Proces badania funkcji pod kątem obecności punktów stacjonarnych, a także ich znajdowania, jest jednym z ważnych elementów podczas konstruowania wykresu funkcji. Możesz znaleźć punkty stacjonarne funkcji, jeśli masz pewien zestaw wiedzy matematycznej.

Będziesz potrzebować

• - funkcja, którą należy zbadać pod kątem obecności punktów stacjonarnych;
• - definicja punktów stacjonarnych: punktami stacjonarnymi funkcji są punkty (wartości argumentów), w których zanika pochodna funkcji pierwszego rzędu.

Instrukcje

• Korzystając z tabeli pochodnych i wzorów różniczkujących funkcje, należy znaleźć pochodną funkcji. Ten krok jest najtrudniejszy i najbardziej odpowiedzialny podczas zadania. Jeśli na tym etapie popełnisz błąd, dalsze obliczenia nie będą miały sensu.
• Sprawdź, czy pochodna funkcji zależy od jej argumentu. Jeżeli znaleziona pochodna nie zależy od argumentu, czyli jest liczbą (np. f”(x) = 5), to w tym przypadku funkcja nie ma punktów stacjonarnych. Takie rozwiązanie jest możliwe tylko wtedy, gdy badana funkcja jest funkcją liniową pierwszego rzędu (do np. f(x) = 5x+1). Jeżeli pochodna funkcji zależy od argumentu, to przejdź do ostatniego kroku.
• Ułóż równanie f"(x) = 0 i rozwiąż je. Równanie może nie mieć rozwiązań - w tym przypadku funkcja nie ma punktów stacjonarnych. Jeśli równanie ma rozwiązania, to te konkretne wartości argumentu będą stacjonarne punkty funkcji W tym momencie Na tym etapie należy sprawdzić rozwiązanie równania poprzez podstawienie argumentów.

Punkty krytyczne– są to punkty, w których pochodna funkcji jest równa zeru lub nie istnieje. Jeśli pochodna jest równa 0, to funkcja w tym punkcie przyjmuje lokalne minimum lub maksimum. Na wykresie w takich punktach funkcja ma asymptotę poziomą, czyli styczna jest równoległa do osi Wółu.

Takie punkty nazywane są stacjonarny. Jeżeli na wykresie funkcji ciągłej widzisz „garb” lub „dziurę”, pamiętaj, że w punkcie krytycznym osiągane jest maksimum lub minimum. Weźmy jako przykład następujące zadanie.

Przykład 1. Znajdź punkty krytyczne funkcji y=2x^3-3x^2+5.
Rozwiązanie. Algorytm znajdowania punktów krytycznych jest następujący:

Zatem funkcja ma dwa punkty krytyczne.

Następnie, jeśli chcesz przestudiować funkcję, określamy znak pochodnej po lewej i prawej stronie punktu krytycznego. Jeżeli pochodna zmienia znak z „-” na „+” po przejściu przez punkt krytyczny, to funkcja przyjmuje minimum lokalne. Jeśli od „+” do „-” powinno maksimum lokalne.

Drugi rodzaj punktów krytycznych są to zera mianownika funkcji ułamkowych i niewymiernych

Funkcje logarytmiczne i trygonometryczne, które nie są zdefiniowane w tych punktach


Trzeci rodzaj punktów krytycznych mają odcinkowo ciągłe funkcje i moduły.
Na przykład każda funkcja modułu ma minimum lub maksimum w punkcie przerwania.

Na przykład moduł y = | x -5 |
w punkcie x = 5 ma minimum (punkt krytyczny).

Pochodna w nim nie istnieje, ale po prawej i lewej stronie przyjmuje odpowiednio wartość 1 i -1.

1)
2)
3)
4)
5)

Spróbuj wyznaczyć punkty krytyczne funkcji
Jeśli odpowiedź brzmi y, otrzymasz wartość
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. to już wiesz jak znaleźć punkty krytyczne

i być w stanie poradzić sobie z prostym testem lub testami.

Definicje: Ekstremum

wywołać maksymalną lub minimalną wartość funkcji w danym zbiorze. Punkt ekstremalny

jest punktem, w którym osiągana jest maksymalna lub minimalna wartość funkcji. Maksymalny punkt

jest punktem, w którym funkcja osiąga maksymalną wartość. Minimalny punkt

jest punktem, w którym osiągana jest minimalna wartość funkcji.

Wyjaśnienie.

Na rysunku w pobliżu punktu x = 3 funkcja osiąga wartość maksymalną (czyli w pobliżu tego punktu nie ma punktu wyższego). W sąsiedztwie x = 8 ma on znowu wartość maksymalną (wyjaśnijmy jeszcze raz: w tym sąsiedztwie nie ma punktu wyżej). W tych punktach wzrost ustępuje miejsca spadkowi. Są to maksymalne punkty:

xmaks. = 3, xmaks. = 8.

W pobliżu punktu x = 5 osiągana jest minimalna wartość funkcji (czyli w pobliżu x = 5 nie ma punktu poniżej). W tym momencie spadek ustępuje miejsca wzrostowi. Jest to punkt minimalny: Maksymalna i minimalna liczba punktów to ekstrema funkcji , a wartości funkcji w tych punktach są jej.

skrajności

Punkty krytyczne i stacjonarne funkcji:

Warunek konieczny ekstremum:

Warunek wystarczający na ekstremum: Na segmencie funkcja = y(F X

) może osiągnąć najmniejszą lub największą wartość albo w punktach krytycznych, albo na końcach odcinka.Na segmencie funkcja = y(F Algorytm badania funkcji ciągłej

) dla monotoniczności i ekstremów:

widać, że ogólnie rzecz biorąc, rozważana rodzina ma dwa okręgi styczne do prostej l: ich środki znajdują się po przeciwnych stronach odcinka P Q. Jeden z punktów styczności daje absolutne maksimum wartość j, podczas gdy druga daje jedynie „względne” maksimum: oznacza to, że wartości j w tym punkcie są większe niż wartości w jakimś sąsiedztwie danego punktu. Większe z dwóch maksimów – maksimum absolutne – wyznacza punkt styczności, który leży w kącie ostrym utworzonym przez prostą l i kontynuację odcinka P Q, a mniejsze – punkt styczności, który znajduje się w kącie rozwartym utworzonym przez te linie proste. (Punkt przecięcia prostej l z kontynuacją odcinka P Q daje minimalną wartość kąta j, czyli j = 0.)

Ryż. 190. Z którego punktu l odcinek P Q jest widoczny pod największym kątem?

Uogólniając rozpatrywany problem, możemy zastąpić prostą l jakąś krzywą C i poszukać na krzywej C punktów R, z których dany odcinek P Q, nieprzecinający się z C, jest widoczny pod największym lub najmniejszym kątem. W tym zadaniu, podobnie jak w poprzednim, okrąg przechodzący przez P, Q i R musi stykać się z krzywą C w punkcie R.

§ 3. Punkty stacjonarne i rachunek różniczkowy

1. Punkty ekstremalne i stacjonarne. W poprzednich dyskusjach w ogóle nie korzystaliśmy z technicznych metod rachunku różniczkowego.

Trudno nie przyznać, że nasze elementarne metody są prostsze i bardziej bezpośrednie niż metody analityczne. Ogólnie rzecz biorąc, zajmując się konkretnym problemem naukowym, lepiej wyjść od jego jednostki

cechy, niż opierać się wyłącznie na metodach ogólnych, chociaż z drugiej strony ogólna zasada wyjaśniająca znaczenie stosowanych procedur specjalnych powinna oczywiście zawsze odgrywać rolę wiodącą. Takie jest właśnie znaczenie metod rachunku różniczkowego przy rozpatrywaniu problemów ekstremalnych. Dążenie do ogólności obserwowane we współczesnej nauce reprezentuje tylko jedną stronę sprawy, gdyż to, co w matematyce jest naprawdę istotne, jest bez wątpienia zdeterminowane indywidualnymi cechami rozpatrywanych problemów i stosowanych metod.

Rachunek różniczkowy w swoim historycznym rozwoju w bardzo istotny sposób wpływał na indywidualne problemy związane ze znalezieniem największych i najmniejszych wartości wielkości. Związek między problemami ekstremalnymi a rachunkiem różniczkowym można rozumieć w następujący sposób. W rozdziale VIII zajmiemy się szczegółowym badaniem pochodnej f0 (x) funkcji f(x) i jej znaczenia geometrycznego. Zobaczymy tam, w skrócie, że pochodna f0 (x) jest nachyleniem stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie (x, y). Jest geometrycznie oczywiste, że w maksymalnych lub minimalnych punktach gładkiej krzywej y = f(x) styczna do krzywej musi koniecznie być pozioma, tj. nachylenie musi wynosić zero. Otrzymujemy zatem warunek f0 (x) = 0 dla punktów ekstremalnych.

Aby jasno zrozumieć, co oznacza zanik pochodnej f0 (x), rozważmy krzywą pokazaną na ryc. 191. Widzimy tutaj pięć punktów A, B, C, D, E, w których styczna do krzywej jest pozioma; Oznaczmy odpowiednie wartości f(x) w tych punktach przez a, b, c, d, e. Największą wartość f(x) (w obszarze pokazanym na rysunku) osiąga się w punkcie D, najmniejszą w punkcie A. W punkcie B występuje maksimum - w tym sensie, że we wszystkich punktach pewnego otoczenia w punkcie B wartość f(x) jest mniejsza niż b, chociaż w punktach bliskich D wartość f(x) jest nadal większa niż b. Z tego powodu zwyczajowo mówi się, że w punkcie B występuje maksimum względne funkcji f(x), natomiast w punkcie D maksimum absolutne. Podobnie w punkcie C istnieje minimum względne, a w punkcie A minimum absolutne. Wreszcie, co do punktu E, nie ma w nim ani maksimum, ani minimum, choć nadal obowiązuje tam równość f0 (x) = 0. Wynika z tego, że zniknięcie pochodnej f0 (x) jest konieczne, ale niewystarczające warunek pojawienia się ekstremum gładkiej funkcji f(x); innymi słowy, w każdym punkcie, w którym występuje ekstremum (absolutne lub względne), z pewnością zachodzi równość f0 (x) = 0, ale nie w każdym punkcie, w którym f0 (x) = 0, musi istnieć ekstremum. Punkty, w których pochodna f0 (x) zanika, niezależnie od tego, czy istnieje w nich ekstremum, nazywane są stacjonarnymi. Dalsza analiza prowadzi do mniej więcej

§ 3 PUNKTY STACJONARNE I RACHUNEK RÓŻNICOWY 371

złożone warunki dotyczące wyższych pochodnych funkcji f(x) i całkowicie charakteryzujące maksima, minima i inne punkty stacjonarne.

Ryż. 191. Punkty stacjonarne funkcji

2. Maksima i minimum funkcji kilku zmiennych. Punkty siodłowe. Istnieją skrajne problemy, których nie można wyrazić za pomocą pojęcia funkcji f(x) jednej zmiennej. Najprostszym przykładem, jaki można tu zastosować, jest problem znalezienia ekstremów funkcji z = f(x, y) dwóch zmiennych niezależnych.

Zawsze możemy sobie wyobrazić funkcję f(x, y) jako wysokość z powierzchni nad płaszczyzną x, y i zinterpretujemy ten obraz jako, powiedzmy, krajobraz górski. Maksimum funkcji f(x, y) odpowiada szczytowi góry, minimum dnu dziury lub jeziora. W obu przypadkach, jeśli powierzchnia nie jest gładka, płaszczyzna styczna do powierzchni jest z konieczności pozioma. Ale oprócz szczytów gór i najniższych punktów w dołach mogą istnieć inne punkty, w których płaszczyzna styczna jest pozioma: są to punkty „siodłowe” odpowiadające przełęczom górskim. Przyjrzyjmy się im dokładniej. Załóżmy (ryc. 192), że w paśmie górskim znajdują się dwa szczyty A i B oraz dwa punkty C i D na różnych zboczach grzbietu; Załóżmy, że z C musimy przejść do D. Rozważmy najpierw te ścieżki prowadzące z C do D, które otrzymamy przecinając powierzchnię z płaszczyznami przechodzącymi przez C i D. Każda taka droga ma najwyższy punkt. Kiedy zmienia się położenie płaszczyzny cięcia, zmienia się także ścieżka i możliwe będzie znalezienie ścieżki, dla której najwyższy punkt będzie w

najniższa możliwa pozycja. Najwyższy punkt E na tej trasie jest w naszym krajobrazie punktem przełęczy; można go również nazwać punktem siodłowym. Oczywiste jest, że w punkcie E nie ma ani maksimum, ani minimum, ponieważ niezależnie od tego, jak blisko E, na powierzchni znajdują się punkty powyżej E i te, które są poniżej E. W poprzednim rozumowaniu nie można było się ograniczyć rozważyć tylko te ścieżki, które powstają, gdy płaszczyzny przecinają powierzchnię i wziąć pod uwagę wszystkie ścieżki łączące C i D. Charakterystyka, którą nadaliśmy punktowi E, nie ulegnie zmianie.

W ten sam sposób, gdybyśmy chcieli przejść ze szczytu A do szczytu B, wówczas każda ścieżka, którą moglibyśmy wybrać, miałaby najniższy punkt; nawet biorąc pod uwagę tylko przekroje płaskie, znaleźlibyśmy ścieżkę AB, dla której najmniejszy punkt byłby położony najwyżej i ponownie otrzymalibyśmy poprzedni punkt E. Zatem ten punkt siodłowy E ma właściwość zapewniania najwyższego minimum lub najniższego maksimum: tutaj jest „maksimum” lub „minimaksimum” - w skrócie minimax. Płaszczyzna styczna w punkcie E jest pozioma; rzeczywiście, ponieważ E jest najniższym punktem ścieżki AB, to styczna do AB w E jest pozioma i podobnie, ponieważ E jest najwyższym punktem ścieżki CD, to styczna do CD w E jest pozioma. Dlatego płaszczyzna styczna koniecznie przechodząca przez te dwie styczne jest pozioma. Zatem znajdujemy trzy różne typy punktów z poziomymi płaszczyznami stycznymi: punkty maksymalne, punkty minimalne i wreszcie punkty siodłowe; W związku z tym istnieją trzy różne typy wartości funkcji stacjonarnych.

Innym sposobem geometrycznego przedstawienia funkcji f(x, y) jest narysowanie linii poziomu - tych samych, których używa się w kartografii do oznaczania wysokości na podłożu (patrz strona 308). Linia poziomu to krzywa na płaszczyźnie x, y, wzdłuż której funkcja f(x, y) ma tę samą wartość; innymi słowy, linie poziomu są takie same jak krzywe rodziny f(x, y) = c. Przez zwykłe

Ryż. 194. Stacy punkty jednoargumentowe w obszarze podwójnie połączonym

§ 3 PUNKTY STACJONARNE I RACHUNEK RÓŻNICOWY 373

dokładnie jedna linia poziomu przechodzi przez punkt na płaszczyźnie; punkty maksymalne i minimalne są otoczone zamkniętymi liniami poziomu; dwie (lub więcej) linie poziomu przecinają się w punktach siodłowych. Na ryc. Narysowano 193 linie poziomów odpowiadające krajobrazowi pokazanemu na ryc. 192.

W tym przypadku niezwykła właściwość punktu siodłowego E staje się szczególnie wyraźna: każda ścieżka łącząca A i B i nieprzechodząca przez E częściowo leży w obszarze, gdzie f(x, y)< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Punkty Minimax i topologia. Istnieje głęboki związek pomiędzy ogólną teorią punktów stacjonarnych a ideami topologicznymi. W tym względzie możemy jedynie krótko wskazać i ograniczyć się do rozważenia jednego przykładu.

Rozważmy krajobraz górski na wyspie B w kształcie pierścienia z dwoma konturami wybrzeża C i C0; jeśli oznaczymy jak poprzednio wysokość nad poziomem morza przez u = f(x, y) i założymy, że f(x, y) = 0 na konturach C i C0 oraz f(x, y) > 0

wewnątrz, to na wyspie musi znajdować się co najmniej jedna przełęcz: na ryc. 194 taki przejazd znajduje się w miejscu przecięcia dwóch linii poziomu. Ważność stwierdzonego oświadczenia staje się jasna, kiedy

Czy powinniśmy postawić sobie za zadanie znalezienie takiej ścieżki, połączenia

wspólne C i C0, które nie osiągnęłyby większej wysokości niż jest to nieuniknione. Każdyścieżka od C do C0 ma najwyższą długość

najwyższy punkt i jeśli wybierzemy ścieżkę, dla której najwyższy punkt jest najniższym, to uzyskany w ten sposób najwyższy punkt będzie punktem siodłowym funkcji u = f(x, y). (Konieczne jest określenie trywialnego przypadku, który stanowi wyjątek, gdy pewna płaszczyzna pozioma styka się z pierścieniowym pasmem górskim wzdłuż zamkniętej krzywej.) W przypadku obszaru ograniczonego p zamkniętymi krzywymi w ogóle musi istnieć co najmniej p - 1 punktów minimax. Podobne zależności, ustalone przez Marstona Morse’a, zachodzą także dla regionów wielowymiarowych,

jednak różnorodność możliwości topologicznych i rodzajów punktów stacjonarnych w tym przypadku jest znacznie większa. Relacje te stanowią podstawę współczesnej teorii punktów stacjonarnych.

4. Odległość punktu od powierzchni. Dla odległości punktu P

Z różnych punktów krzywej zamkniętej występują (co najmniej) dwie wartości stacjonarne: minimalna i maksymalna. Przechodząc do trzech wymiarów, nie odkryjemy żadnych nowych faktów, jeśli ograniczymy się do rozważenia powierzchni C, która jest topologicznie równoważna kuli (takiej jak elipsoida). Ale jeśli powierzchnia jest rodzaju 1 lub wyższego, sytuacja jest inna. Rozważmy powierzchnię torusa C. Niezależnie od punktu P, oczywiście zawsze istnieją na torusie C punkty, które dają największą i najmniejszą odległość od P, a odpowiadające im odcinki są prostopadłe do samej powierzchni. Ale teraz ustalimy, że w tym przypadku istnieją również punkty minimax. Wyobraźmy sobie jeden z „południków” okręgów L na torusie (ryc. 195) i na tym okręgu L znajdziemy punkt Q najbliższy P. Następnie przesuwając okrąg L po torusie, znajdujemy jego położenie takie, że odległość P Q staje się: a) minimalna - wówczas otrzymujemy punkt na C najbliższy P; b) maksimum - wtedy otrzymasz stacjonarny punkt minimax. W ten sam sposób możemy znaleźć punkt na L, który jest najbardziej oddalony od P, a następnie poszukać położenia L, w którym największa znaleziona odległość będzie wynosić: c) maksymalna (otrzymujemy punkt na C najbardziej oddalony od P) , d) minimalne. Otrzymujemy więc cztery różne wartości stacjonarne odległości punktu torusa C od punktu P.

Ryż. 195–196. Odległość od punktu do powierzchni

Ćwiczenia. Powtórz to samo rozumowanie dla innego typu L0 krzywej zamkniętej na C, której również nie można zawęzić do punktu (ryc. 196).

W poprzednich dyskusjach w ogóle nie korzystaliśmy z technicznych metod rachunku różniczkowego.

Trudno nie przyznać, że nasze elementarne metody są prostsze i bardziej bezpośrednie niż metody analityczne. Ogólnie rzecz biorąc, zajmując się konkretnym problemem naukowym, lepiej jest wyjść od jego indywidualnych cech, niż opierać się wyłącznie na metodach ogólnych, chociaż z drugiej strony oczywiście ogólna zasada wyjaśniająca znaczenie stosowanych procedur specjalnych , powinna zawsze odgrywać rolę wiodącą. Takie jest właśnie znaczenie metod rachunku różniczkowego przy rozpatrywaniu problemów ekstremalnych. Dążenie do ogólności obserwowane we współczesnej nauce przedstawia tylko jedną stronę sprawy, gdyż to, co w matematyce jest naprawdę istotne, jest bez wątpienia zdeterminowane indywidualnymi cechami rozpatrywanych problemów i stosowanych metod.

Rachunek różniczkowy w swoim historycznym rozwoju w bardzo dużym stopniu podlegał indywidualnym problemom związanym ze znalezieniem największych i najmniejszych wartości wielkości. Związek między problemami ekstremalnymi a rachunkiem różniczkowym można rozumieć w następujący sposób. W rozdziale VIII zajmiemy się szczegółowym badaniem pochodnej f”(x) funkcji f(x) i jej znaczenia geometrycznego. Zobaczymy tam, że w skrócie pochodna f”(x) jest nachyleniem funkcji styczna do krzywej y = f(x) w punkcie (x, y). Jest geometrycznie oczywiste, że w maksymalnych lub minimalnych punktach gładkiej krzywej y = f(x) styczna do krzywej musi z pewnością być pozioma, tj. nachylenie musi wynosić zero. W ten sposób otrzymujemy warunek na punkty ekstremalne f"(x) = 0.

Aby dobrze zrozumieć, co oznacza zanik pochodnej f”(x), rozważmy krzywą pokazaną na ryc. 191. Widzimy tutaj pięć punktów A, B, C, D, ?, w których styczna do krzywej jest pozioma ; oznaczmy odpowiednie wartości f(x) w tych punktach przez a, b, c, d, e. Największą wartość f(x) (w obszarze pokazanym na rysunku) osiąga się w punkcie D, najmniejszą w punkcie A. W punkcie B występuje maksimum - w tym sensie, że we wszystkich punktach jakaś dzielnica w punktach B wartość f(x) jest mniejsza niż b, chociaż w punktach bliskich D wartość f(x) jest nadal większa niż b. Z tego powodu zwyczajowo mówi się, że w punkcie B jest względne maksimum funkcji f(x), natomiast w punkcie D - absolutne maksimum. Podobnie jest w punkcie C względne minimum, i w punkcie A - absolutne minimum. Wreszcie, jeśli chodzi o punkt E, nie ma w nim ani maksimum, ani minimum, chociaż równość jest w nim nadal realizowana f"(x) = Q, Wynika z tego, że zniknięcie pochodnej f”(x) wynosi niezbędny, ale wcale wystarczający warunek pojawienia się ekstremum gładkiej funkcji f(x); innymi słowy, w każdym punkcie, w którym istnieje ekstremum (absolutne lub względne), z pewnością ma miejsce równość f"(x) = 0, ale nie w każdym miejscu f"(x) = 0, musi być ekstremum. Punkty, w których pochodna f”(x) zanika, niezależnie od tego, czy istnieje w nich ekstremum, nazywane są stacjonarny. Dalsza analiza prowadzi do mniej lub bardziej złożonych warunków dotyczących wyższych pochodnych funkcji f(x) i całkowicie charakteryzujących maksima, minima i inne punkty stacjonarne.