Teoria granic jest jedną z gałęzi analizy matematycznej. Kwestia rozwiązywania granic jest dość obszerna, ponieważ istnieją dziesiątki metod rozwiązywania granic różnego typu. Istnieją dziesiątki niuansów i sztuczek, które pozwalają rozwiązać ten lub inny limit. Niemniej jednak nadal będziemy starali się zrozumieć główne rodzaje ograniczeń, które są najczęściej spotykane w praktyce.

Zacznijmy od samego pojęcia limitu. Ale najpierw krótkie tło historyczne. W XIX wieku żył Francuz Augustin Louis Cauchy, który położył podwaliny analizy matematycznej i podał ścisłe definicje, w szczególności definicję granicy. Trzeba powiedzieć, że ten sam Cauchy był, jest i będzie w koszmarach wszystkich studentów wydziałów fizyki i matematyki, ponieważ udowodnił ogromną liczbę twierdzeń analizy matematycznej, a każde twierdzenie jest bardziej obrzydliwe od drugiego. W związku z tym nie będziemy rozważać ścisłej definicji limitu, ale spróbujemy zrobić dwie rzeczy:

1. Zrozum, czym jest limit.
2. Naucz się rozwiązywać główne typy limitów.

Przepraszam za niektóre nienaukowe wyjaśnienia, ważne, żeby materiał był zrozumiały nawet dla czajnika, co zresztą jest zadaniem projektu.

Jaka jest więc granica?

I tylko przykład dlaczego do kudłatej babci....

Każdy limit składa się z trzech części:

1) Dobrze znana ikona limitu.
2) Wpisy pod ikoną limitu, w tym przypadku . Wpis brzmi: „X dąży do jedności”. Najczęściej - dokładnie, chociaż zamiast „X” w praktyce są inne zmienne. W zadaniach praktycznych miejscem jednego może być absolutnie dowolna liczba, a także nieskończoność ().
3) Funkcje pod znakiem ograniczenia, w tym przypadku .

Samo nagranie brzmi następująco: „granica funkcji, gdy x dąży do jedności”.

Spójrzmy na kolejne ważne pytanie - co oznacza wyrażenie „x”? stara się do jednego”? I co w ogóle znaczy „starać się”?
Pojęcie granicy jest, że tak powiem, pojęciem dynamiczny. Zbudujmy sekwencję: najpierw , potem , , …, , ….
Oznacza to, że wyrażenie „x stara się do jednego” należy rozumieć następująco: „x” konsekwentnie przyjmuje wartości które zbliżają się do jedności nieskończenie blisko i praktycznie się z nią pokrywają.

Jak rozwiązać powyższy przykład? W oparciu o powyższe wystarczy podstawić jeden do funkcji pod znakiem ograniczającym:

Zatem pierwsza zasada: Jeśli mamy jakiś limit, najpierw próbujemy po prostu podłączyć liczbę do funkcji.

Rozważaliśmy najprostsze ograniczenia, ale one również występują w praktyce i to wcale nie tak rzadko!

Przykład z nieskończonością:

Zastanówmy się, co to jest? Dzieje się tak, gdy rośnie bez ograniczeń, czyli: najpierw, potem, potem, potem i tak w nieskończoność.

Co w tym momencie dzieje się z funkcją?
, , , …

Zatem: jeśli , to funkcja dąży do minus nieskończoności:

Z grubsza mówiąc, zgodnie z naszą pierwszą zasadą, zamiast „X” podstawiamy nieskończoność do funkcji i otrzymujemy odpowiedź.

Inny przykład z nieskończonością:

Znowu zaczynamy zwiększać do nieskończoności i przyglądamy się zachowaniu funkcji:

Wniosek: gdy funkcja rośnie bez ograniczeń:

I kolejna seria przykładów:

Spróbuj samodzielnie przeanalizować w myślach poniższe kwestie i zapamiętaj najprostsze rodzaje limitów:

, , , , , , , , ,
Jeśli masz jakiekolwiek wątpliwości, możesz wziąć kalkulator i trochę poćwiczyć.
W takim przypadku spróbuj skonstruować ciąg , , . Jeśli , to , .

Uwaga: ściśle rzecz biorąc, takie podejście do konstruowania ciągów kilku liczb jest nieprawidłowe, ale do zrozumienia najprostszych przykładów jest całkiem odpowiednie.

Zwróć także uwagę na następującą rzecz. Nawet jeśli podany jest limit z dużą liczbą na górze lub nawet z milionem: , to wszystko jest takie samo , bo prędzej czy później „X” przybierze tak gigantyczne wartości, że milion w porównaniu z nimi będzie prawdziwym mikrobem.

O czym musisz pamiętać i rozumieć z powyższego?

1) Jeśli mamy jakieś ograniczenie, najpierw po prostu próbujemy podstawić liczbę do funkcji.

2) Musisz zrozumieć i natychmiast rozwiązać najprostsze ograniczenia, takie jak , , itp.

Teraz rozważymy grupę granic kiedy , a funkcja jest ułamkiem, którego licznik i mianownik zawierają wielomiany

Przykład:

Oblicz limit

Zgodnie z naszą regułą spróbujemy wstawić do funkcji nieskończoność. Co dostajemy na górze? Nieskończoność. A co dzieje się poniżej? Także nieskończoność. Mamy zatem do czynienia z tak zwaną niepewnością gatunkową. Można by tak pomyśleć i odpowiedź jest gotowa, ale w ogólnym przypadku wcale tak nie jest i konieczne jest zastosowanie pewnej techniki rozwiązania, którą teraz rozważymy.

Jak rozwiązać tego typu limity?

Najpierw patrzymy na licznik i znajdujemy najwyższą potęgę:

Potęga wiodąca w liczniku wynosi dwa.

Teraz patrzymy na mianownik i znajdujemy go również do najwyższej potęgi:

Najwyższy stopień mianownika to dwa.

Następnie wybieramy największą potęgę licznika i mianownika: w tym przykładzie są one takie same i równe dwa.

Zatem metoda rozwiązania jest następująca: aby ujawnić niepewność, należy podzielić licznik i mianownik przez największą potęgę.

Oto odpowiedź, a nie nieskończoność.

Co jest zasadniczo ważne przy projektowaniu decyzji?

Po pierwsze, wskazujemy niepewność, jeśli taka istnieje.

Po drugie, wskazane jest przerwanie rozwiązania w celu uzyskania wyjaśnień pośrednich. Zwykle używam znaku, nie ma on żadnego znaczenia matematycznego, ale oznacza, że ​​rozwiązanie zostaje przerwane w celu pośredniego wyjaśnienia.

Po trzecie, w limicie wskazane jest zaznaczenie, co dokąd zmierza. Kiedy praca jest sporządzana ręcznie, wygodniej jest to zrobić w ten sposób:

Do notatek lepiej używać prostego ołówka.

Oczywiście nie musisz tego robić, ale być może wtedy nauczyciel wskaże niedociągnięcia w rozwiązaniu lub zacznie zadawać dodatkowe pytania dotyczące zadania. Czy tego potrzebujesz?

Przykład 2

Znajdź granicę
Ponownie w liczniku i mianowniku znajdujemy w najwyższym stopniu:

Maksymalny stopień w liczniku: 3
Maksymalny stopień w mianowniku: 4
Wybierać największy wartość, w tym przypadku cztery.
Zgodnie z naszym algorytmem, aby ujawnić niepewność, dzielimy licznik i mianownik przez .
Kompletne zadanie może wyglądać następująco:

Podziel licznik i mianownik przez

Przykład 3

Znajdź granicę
Maksymalny stopień „X” w liczniku: 2
Maksymalny stopień „X” w mianowniku: 1 (można zapisać jako)
Aby ujawnić niepewność, należy podzielić licznik i mianownik przez . Ostateczne rozwiązanie może wyglądać następująco:

Podziel licznik i mianownik przez

Notacja nie oznacza dzielenia przez zero (nie można dzielić przez zero), ale dzielenie przez nieskończenie małą liczbę.

Zatem odkrywając niepewność dotyczącą gatunków, być może będziemy w stanie to zrobić ostateczny numer, zero lub nieskończoność.

Granice z niepewnością rodzaju i sposobu ich rozwiązywania

Następna grupa granic jest nieco podobna do granic, które właśnie rozważaliśmy: licznik i mianownik zawierają wielomiany, ale „x” nie dąży już do nieskończoności, ale do skończona liczba.

Przykład 4

Rozwiąż limit
Najpierw spróbujmy podstawić -1 do ułamka:

W tym przypadku uzyskuje się tzw. niepewność.

Ogólna zasada: jeśli licznik i mianownik zawierają wielomiany i istnieje niepewność co do postaci , to ujawnić to musisz rozłożyć licznik i mianownik.

Aby to zrobić, najczęściej trzeba rozwiązać równanie kwadratowe i/lub zastosować skrócone wzory na mnożenie. Jeśli o tych rzeczach zapomniałeś, odwiedź stronę Wzory i tablice matematyczne i przeczytaj materiały dydaktyczne Gorące formuły na szkolny kurs matematyki. Nawiasem mówiąc, najlepiej go wydrukować; jest to wymagane bardzo często, a informacje lepiej wchłaniają się z papieru.

Rozwiążmy więc nasz limit

Rozłóż licznik i mianownik

Aby rozłożyć licznik na czynniki, należy rozwiązać równanie kwadratowe:

Najpierw znajdujemy dyskryminator:

I pierwiastek kwadratowy z tego: .

Jeśli dyskryminator jest duży, np. 361, używamy kalkulatora; funkcja wyciągania pierwiastka kwadratowego jest na najprostszym kalkulatorze.

! Jeśli pierwiastek nie zostanie wyodrębniony w całości (uzyskuje się liczbę ułamkową z przecinkiem), jest bardzo prawdopodobne, że wyróżnik został błędnie obliczony lub w zadaniu wystąpiła literówka.

Następnie znajdujemy korzenie:

Zatem:

Wszystko. Licznik jest rozkładany na czynniki.

Mianownik. Mianownik jest już najprostszym czynnikiem i nie ma sposobu, aby go uprościć.

Oczywiście można to skrócić do:

Teraz podstawimy -1 do wyrażenia znajdującego się pod znakiem ograniczającym:

Oczywiście w teście, teście czy egzaminie rozwiązanie nigdy nie jest opisane tak szczegółowo. W ostatecznej wersji projekt powinien wyglądać mniej więcej tak:

Rozłóżmy licznik na czynniki.

Przykład 5

Oblicz limit

Najpierw wersja „końcowa” rozwiązania

Rozłóżmy licznik i mianownik.

Licznik ułamka:
Mianownik:



,

Co jest ważne w tym przykładzie?
Po pierwsze, musisz dobrze zrozumieć, w jaki sposób objawia się licznik, najpierw wyjęliśmy 2 z nawiasów, a następnie skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę kwadratów. To jest formuła, którą musisz poznać i zobaczyć.

Ten kalkulator matematyczny online pomoże Ci, jeśli go potrzebujesz obliczyć granicę funkcji. Program granice rozwiązań nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także prowadzi szczegółowe rozwiązanie z objaśnieniami, tj. wyświetla proces obliczania limitu.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w szkołach ogólnokształcących podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontroli rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Granica funkcji w punkcie x->x 0

Niech będzie zdefiniowana funkcja f(x) na jakimś zbiorze X i niech punkt \(x_0 \in X\) lub \(x_0 \notin X\)

Weźmy z X ciąg punktów różny od x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
zbieżny do x*. Wartości funkcji w punktach tej sekwencji również tworzą ciąg liczbowy
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
i można postawić pytanie o istnienie jej granicy.

Definicja. Liczbę A nazywa się granicą funkcji f(x) w punkcie x = x 0 (lub w x -> x 0), jeśli dla dowolnego ciągu (1) wartości argumentu x różnych od x 0 zbieżny do x 0, odpowiadająca mu funkcja ciągu (2) wartości zbiega się do liczby A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcja f(x) może mieć tylko jedną granicę w punkcie x 0. Wynika to z faktu, że sekwencja
(f(x n)) ma tylko jedną granicę.

Istnieje inna definicja granicy funkcji.

Definicja Liczbę A nazywa się granicą funkcji f(x) w punkcie x = x 0, jeśli dla dowolnej liczby \(\varepsilon > 0\) istnieje liczba \(\delta > 0\) taka, że ​​dla wszystkich \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), spełniając nierówność \(|x-x_0| Używając symboli logicznych, definicję tę można zapisać jako
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Zauważ, że nierówności \(x \neq x_0 , \; |x-x_0|. Pierwsza definicja opiera się na koncepcji granicy ciągu liczbowego, dlatego często nazywana jest definicją „w języku ciągów”. Druga definicja nazywana jest „w języku \(\varepsilon - \delta \)”.
Te dwie definicje granicy funkcji są równoważne i można zastosować dowolną z nich, w zależności od tego, która z nich jest wygodniejsza do rozwiązania konkretnego problemu.

Należy zauważyć, że definicja granicy funkcji „w języku ciągów” nazywana jest także definicją granicy funkcji według Heinego, a definicja granicy funkcji „w języku \(\varepsilon - \delta \)” nazywana jest także definicją granicy funkcji według Cauchy’ego.

Granica funkcji w x->x 0 - i w x->x 0 +

W dalszej części będziemy używać pojęć jednostronnych granic funkcji, które definiuje się w następujący sposób.

Definicja Liczbę A nazywamy prawą (lewą) granicą funkcji f(x) w punkcie x 0, jeśli dla dowolnego ciągu (1) zbieżnego do x 0, którego elementy x n są większe (mniejsze od) x 0, odpowiedni ciąg (2) zbiega się do A.

Symbolicznie jest to napisane tak:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Równoważną definicję jednostronnych granic funkcji możemy podać „w języku \(\varepsilon - \delta \)”:

Definicja liczbę A nazywa się prawą (lewą) granicą funkcji f(x) w punkcie x 0, jeśli dla dowolnego \(\varepsilon > 0\) istnieje \(\delta > 0\) takie, że dla wszystkich x spełniając nierówności \(x_0 Wpisy symboliczne:

Temat 4.6. Obliczanie limitów

Granica funkcji nie zależy od tego, czy jest ona zdefiniowana w punkcie granicznym, czy nie. Ale w praktyce obliczania granic funkcji elementarnych okoliczność ta ma istotne znaczenie.

1. Jeżeli funkcja jest elementarna i wartość graniczna argumentu należy do jej dziedziny definicji, to obliczenie granicy funkcji sprowadza się do prostego podstawienia wartości granicznej argumentu, ponieważ granica funkcji elementarnej f (x) w x dążenie doA , który należy do dziedziny definicji, jest równa częściowej wartości funkcji w x = A, tj. limit f(x)=f( A) .

2. Jeśli x dąży do nieskończoności lub argument zmierza do liczby nie należącej do dziedziny definicji funkcji, to w każdym takim przypadku znalezienie granicy funkcji wymaga specjalnych badań.

Poniżej znajdują się najprostsze limity oparte na właściwościach limitów, które można wykorzystać jako formuły:

Bardziej złożone przypadki znalezienia granicy funkcji:

każdy rozpatrywany jest osobno.

W tej sekcji opisano główne sposoby ujawniania niepewności.

1. Przypadek, gdy x dążenie doA funkcja f(x) reprezentuje stosunek dwóch nieskończenie małych wielkości

a) Najpierw należy się upewnić, że granicy funkcji nie można znaleźć przez bezpośrednie podstawienie i przy wskazanej zmianie argumentu reprezentuje ona stosunek dwóch nieskończenie małych wielkości. Przekształcenia dokonuje się w celu zmniejszenia ułamka o współczynnik dążący do 0. Zgodnie z definicją granicy funkcji argument x dąży do wartości granicznej, nigdy się z nią nie pokrywając.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli szukasz granicy funkcji w x dążenie doA , to musisz pamiętać, że x nie przyjmuje wartości A, tj. x nie jest równe a.

b) Zastosowano twierdzenie Bezouta. Jeśli szukasz granicy ułamka, którego licznik i mianownik są wielomianami, które zanikają w punkcie granicznym x = A, to zgodnie z powyższym twierdzeniem oba wielomiany są podzielne przez x- A.

c) Irracjonalność w liczniku lub mianowniku niszczy się poprzez pomnożenie licznika lub mianownika przez sprzężenie do wyrażenia irracjonalnego, a następnie po uproszczeniu ułamek jest redukowany.

d) Stosuje się pierwszą niezwykłą granicę (4.1).

e) Stosuje się twierdzenie o równoważności nieskończenie małych i następujące zasady:

2. Przypadek, gdy x dążenie doA funkcja f(x) reprezentuje stosunek dwóch nieskończenie dużych wielkości

a) Dzielenie licznika i mianownika ułamka przez największą potęgę niewiadomej.

b) Ogólnie rzecz biorąc, możesz użyć reguły

3. Przypadek, gdy x dążenie doA funkcja f (x) reprezentuje iloczyn wielkości nieskończenie małej i nieskończenie dużej

Ułamek przekształca się do postaci, której licznik i mianownik jednocześnie dążą do 0 lub do nieskończoności, tj. przypadek 3 sprowadza się do przypadku 1 lub przypadku 2.

4. Przypadek, gdy x dążenie doA funkcja f (x) reprezentuje różnicę dwóch dodatnich nieskończenie dużych wielkości

Ten przypadek sprowadza się do typu 1 lub 2 w jeden z następujących sposobów:

a) sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika;

b) konwersja funkcji na ułamek;

c) pozbycie się irracjonalności.

5. Przypadek kiedy x dążenie doA funkcja f(x) reprezentuje potęgę, której podstawa dąży do 1, a wykładnik do nieskończoności.

Funkcję przekształca się w taki sposób, aby wykorzystać drugą granicę niezwykłą (4.2).

Przykład. Znajdować .

Ponieważ x ma tendencję do 3, to licznik ułamka zmierza do liczby 3 2 +3 *3+4=22, a mianownik dąży do liczby 3+8=11. Stąd,

Przykład

Oto licznik i mianownik ułamka x dążący do 2 zmierza do 0 (niepewność typu), rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, otrzymujemy lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Przykład

Mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie wyrażenia do licznika, mamy

Otwierając nawiasy w liczniku, otrzymujemy

Przykład

Poziom 2. Przykład. Podajmy przykład zastosowania pojęcia granicy funkcji w obliczeniach ekonomicznych. Rozważmy zwykłą transakcję finansową: pożyczenie kwoty S 0 pod warunkiem, że po pewnym czasie T kwota zostanie zwrócona ST. Ustalmy wartość R względny wzrost formuła

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Wzrost względny można wyrazić procentowo, mnożąc otrzymaną wartość R o 100.

Ze wzoru (1) łatwo jest wyznaczyć wartość ST:

ST= S 0 (1 + R)

Przy obliczaniu kredytów długoterminowych obejmujących kilka pełnych lat stosuje się schemat odsetek składanych. Polega ona na tym, że jeśli przez 1 rok jest to kwota S 0 wzrasta do (1 + R) razy, następnie przez drugi rok w (1 + R) razy suma wzrasta S 1 = S 0 (1 + R), to jest S 2 = S 0 (1 + R) 2 . Okazuje się podobnie S 3 = S 0 (1 + R) 3 . Z powyższych przykładów możemy wyprowadzić ogólny wzór na obliczenie wzrostu kwoty N lata obliczone przy zastosowaniu planu odsetek składanych:

S n= S 0 (1 + R) N.

W obliczeniach finansowych stosuje się schematy, w których odsetki składane naliczane są kilka razy w roku. W tym przypadku jest to określone stawka roczna R I liczba rozliczeń w ciągu roku k. Z reguły rozliczenia międzyokresowe dokonywane są w równych odstępach czasu, to znaczy długości każdego przedziału Tk stanowi część roku. Następnie na okres w T lat (tutaj T niekoniecznie liczba całkowita). ST obliczone według wzoru

(2)

gdzie jest częścią całkowitą liczby, która pokrywa się z samą liczbą, jeśli np. T? liczba całkowita.

Niech będzie stopa roczna R i jest produkowany N rozliczenia roczne w regularnych odstępach czasu. Następnie za rok kwotę S 0 zwiększa się do wartości określonej ze wzoru

(3)

W analizie teoretycznej oraz w praktyce działalności finansowej często spotyka się pojęcie „odsetki naliczane w sposób ciągły”. Aby przejść do odsetek naliczonych w sposób ciągły, należy zwiększyć w nieskończoność odpowiednio liczby we wzorach (2) i (3) k I N(czyli reżyserować k I N do nieskończoności) i obliczyć, do jakiej granicy funkcje będą dążyć ST I S 1. Zastosujmy tę procedurę do wzoru (3):

Należy zauważyć, że granica w nawiasach klamrowych pokrywa się z drugą niezwykłą granicą. Wynika z tego w ujęciu rocznym R przy stale naliczanych odsetkach, kwota S 0 w ciągu 1 roku wzrasta do wartości S 1 *, co określa się ze wzoru

S 1 * = S 0 e r (4)

Niech teraz suma S 0 jest udzielane jako pożyczka z naliczonymi odsetkami N raz w roku w regularnych odstępach czasu. Oznaczmy Odnośnie stawka roczna, według której na koniec roku kwota S 0 zwiększa się do wartości S 1 * ze wzoru (4). W tym przypadku powiemy tak Odnośnie- Ten roczna stopa procentowa N raz w roku w wysokości odpowiadającej rocznym odsetkom R z ciągłym naliczaniem. Ze wzoru (3) otrzymujemy

S* 1 = S 0 (1+r mi /n) n

Zrównanie prawych stron ostatniego wzoru i wzoru (4), zakładając w tym drugim T= 1, możemy wyprowadzić zależności pomiędzy wielkościami R I Odnośnie:

Wzory te są szeroko stosowane w obliczeniach finansowych.

Pojęcia granic ciągów i funkcji. Gdy konieczne jest znalezienie granicy ciągu, pisze się to w następujący sposób: lim xn=a. W takim ciągu ciągów xn dąży do a, a n dąży do nieskończoności. Sekwencja jest zwykle przedstawiana jako seria, na przykład:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Ciągi dzielą się na rosnące i malejące. Na przykład:
xn=n^2 - ciąg rosnący
yn=1/n - sekwencja
Czyli np. granica ciągu xn=1/n^ :
granica 1/n^2=0

x → ∞
Granica ta jest równa zeru, ponieważ n → ∞, a ciąg 1/n^2 dąży do zera.

Zwykle zmienna ilość x zmierza do skończonej granicy a, x stale zbliża się do a, a ilość a jest stała. Zapisuje się to w następujący sposób: limx = a, podczas gdy n może również dążyć do zera lub nieskończoności. Istnieją funkcje nieskończone, dla których granica dąży do nieskończoności. W innych przypadkach, gdy funkcja np. spowalnia pociąg, granica dąży do zera.
Granice mają wiele właściwości. Zazwyczaj każda funkcja ma tylko jedno ograniczenie. Jest to główna właściwość granicy. Inne są wymienione poniżej:
* Limit kwotowy jest równy sumie limitów:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Limit produktowy jest równy iloczynowi limitów:
lim(xy)=lim x*lim y
* Granica ilorazu jest równa ilorazowi granic:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Stały współczynnik jest brany poza znak graniczny:
lim(Cx)=C lim x
Biorąc pod uwagę funkcję 1 /x, w której x →∞, jej granica wynosi zero. Jeśli x → 0, granica takiej funkcji wynosi ∞.
W przypadku funkcji trygonometrycznych istnieją pewne z tych zasad. Ponieważ funkcja sin x zawsze dąży do jedności, gdy zbliża się do zera, zachodzi tożsamość:
lim sin x/x=1

W wielu funkcjach występują funkcje, przy obliczaniu granic których powstaje niepewność - sytuacja, w której nie można obliczyć granicy. Jedynym wyjściem z tej sytuacji jest L'Hopital. Istnieją dwa rodzaje niepewności:
* niepewność postaci 0/0
* niepewność postaci ∞/∞
Przykładowo podana jest granica w postaci: lim f(x)/l(x) i f(x0)=l(x0)=0. Powstaje w tym przypadku niepewność postaci 0/0. Aby rozwiązać taki problem, różniczkuje się obie funkcje, po czym znajduje się granicę wyniku. Dla niepewności typu 0/0 granica wynosi:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (przy x → 0)
Ta sama zasada dotyczy również niepewności typu ∞/∞. Ale w tym przypadku prawdziwa jest równość: f(x)=l(x)=∞
Korzystając z reguły L'Hopitala, można znaleźć wartości dowolnych granic, w których pojawiają się niepewności. Warunek wstępny

wolumen - brak błędów przy wyszukiwaniu instrumentów pochodnych. I tak np. pochodna funkcji (x^2)" jest równa 2x. Z tego możemy wyciągnąć wniosek, że:
f"(x)=nx^(n-1)

Granica funkcji- numer A będzie granicą jakiejś zmiennej wielkości, jeśli w procesie jej zmiany ta zmienna wielkość będzie się zbliżać w nieskończoność A.

Inaczej mówiąc, liczba A jest granicą funkcji y = f(x) w tym punkcie x 0, jeśli dla dowolnego ciągu punktów z dziedziny definicji funkcji , nie jest równy x 0, i który jest zbieżny do punktu x 0 (lim x n = x0), sekwencja odpowiednich wartości funkcji zbiega się do liczby A.

Wykres funkcji, której granica, przy danym argumencie dążącym do nieskończoności, jest równa L:

Oznaczający A Jest granica (wartość graniczna) funkcji k(x) w tym punkcie x 0 w przypadku dowolnego ciągu punktów , co zbiega się do x 0, ale który nie zawiera x 0 jako jeden z jego elementów (tj. w okolicy przebicia x 0), sekwencja wartości funkcji zbiega się do A.

Granica funkcji Cauchy'ego.

Oznaczający A będzie granica funkcji k(x) w tym punkcie x 0 jeśli dla dowolnej liczby nieujemnej pobranej z góry ε zostanie znaleziona odpowiednia liczba nieujemna δ = δ(ε) tak, że dla każdego argumentu X, spełniający warunek 0 < | x - x0 | < δ , nierówność zostanie spełniona | f(x)A |< ε .

Będzie to bardzo proste, jeśli zrozumiesz istotę granicy i podstawowe zasady jej znajdowania. Jaka jest granica funkcji F (X) Na X dążenie do A równa się A, jest napisane w ten sposób:

Ponadto wartość, do której dąży zmienna X, może być nie tylko liczbą, ale także nieskończonością (∞), czasami +∞ lub -∞, lub może w ogóle nie być limitu.

Aby zrozumieć jak znaleźć granice funkcji, najlepiej przyjrzeć się przykładom rozwiązań.

Trzeba znaleźć granice funkcji F (x) = 1/X Na:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Znajdźmy rozwiązanie pierwszego ograniczenia. Aby to zrobić, możesz po prostu zastąpić X liczba, do której zmierza, tj. 2, otrzymujemy:

Znajdźmy drugą granicę funkcji. Zamiast tego zamień czyste 0 X jest to niemożliwe, ponieważ Nie można dzielić przez 0. Ale możemy przyjąć wartości bliskie zeru, na przykład 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 i tak dalej, oraz wartość funkcji F (X) wzrośnie: 100; 1000; 10000; 100 000 i tak dalej. Można zatem zrozumieć, że kiedy X→ 0 wartość funkcji znajdująca się pod znakiem ograniczenia będzie rosła bez ograniczeń, tj. dążyć do nieskończoności. Co oznacza:

Jeśli chodzi o trzecią granicę. Ta sama sytuacja, co w poprzednim przypadku, jest niemożliwa do zastąpienia ∞ w najczystszej postaci. Musimy rozważyć przypadek nieograniczonego wzrostu X. Podstawiamy 1000 jeden po drugim; 10000; 100000 i tak dalej, mamy wartość funkcji F (x) = 1/X zmniejszy się: 0,001; 0,0001; 0,00001; i tak dalej, dążąc do zera. Dlatego:

Konieczne jest obliczenie granicy funkcji

Rozpoczynając rozwiązywanie drugiego przykładu widzimy niepewność. Stąd znajdujemy najwyższy stopień licznika i mianownika - to jest x 3, usuwamy go z nawiasów w liczniku i mianowniku, a następnie zmniejszamy przez:

Odpowiedź

Pierwszy krok znalezienie tej granicy zamiast tego zamień wartość 1 X, powodując niepewność. Aby to rozwiązać, rozłóżmy licznik na czynniki i zróbmy to metodą znajdowania pierwiastków równania kwadratowego x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Zatem licznik będzie wynosił:

Odpowiedź

Jest to określenie jej konkretnej wartości lub pewnego obszaru, w którym funkcja spada, który jest ograniczony granicą.

Aby rozwiązać limity, postępuj zgodnie z zasadami:

Po zrozumieniu istoty i istoty zasady rozwiązywania granicy, uzyskasz podstawową wiedzę o tym, jak je rozwiązać.