Równanie x kwadrat to a. Definicja i przykłady niepełnych równań kwadratowych

Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.

Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe, do rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych stosuje się inne metody, które znajdziesz w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.

Jakie równania kwadratowe nazywane są kompletnymi? Ten równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zero. Aby więc rozwiązać pełne równanie kwadratowe, należy obliczyć dyskryminator D.

D = b 2 – 4ac.

W zależności od tego, jaką wartość ma dyskryminator, zapiszemy odpowiedź.

Jeżeli dyskryminator jest liczbą ujemną (D< 0),то корней нет.

Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x \u003d (-b) / 2a. Gdy dyskryminator jest liczbą dodatnią (D > 0),

wtedy x 1 = (-b - √D)/2a i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.

re = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odpowiedź: 2.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.

re = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odpowiedź: brak korzeni.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odpowiedź: – 3,5; 1.

Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych przy użyciu diagramu na rysunku 1.

Za pomocą tych wzorów można rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe. Trzeba tylko uważać równanie zapisano jako wielomian postaci standardowej

A x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie stwierdzić, że

a = 1, b = 3 i c = 2. Następnie

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. I to nie jest prawdą. (Patrz rozwiązanie przykładu 2 powyżej).

Jeżeli więc równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, to w pierwszej kolejności należy zapisać pełne równanie kwadratowe jako wielomian postaci standardowej (najpierw powinien pojawić się jednomian o największym wykładniku, czyli A x 2 , a potem mniej – bx a następnie darmowy członek Z.

Rozwiązując zredukowane równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem w drugim członie, możesz użyć innych wzorów. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym drugi wyraz ma parzysty współczynnik (b = 2k), to równanie można rozwiązać korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 2.

Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równe jeden i równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub można je otrzymać dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik A, stojąc przy x 2 .

Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązywania zredukowanego kwadratu
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.

Przykład. Rozwiązać równanie

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rozwiążmy to równanie, korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1.

re = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3

Można zauważyć, że współczynnik x w tym równaniu jest liczbą parzystą, czyli b = 6 lub b = 2k, skąd k = 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie rysunku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x – 2 = 0 Rozwiąż to równanie korzystając ze wzorów na zredukowane równanie kwadratowe
równania rysunek 3.

re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3.

Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dokładnym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na ryc. 1 zawsze będziesz w stanie rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystuje się je w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Człowiek używał równań w czasach starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Dyskryminator pozwala rozwiązać dowolne równanie kwadratowe za pomocą wzoru ogólnego, który ma następującą postać:

Wzór dyskryminacyjny zależy od stopnia wielomianu. Powyższy wzór nadaje się do rozwiązywania równań kwadratowych w postaci:

Dyskryminator ma następujące właściwości, które musisz znać:

* „D” wynosi 0, gdy wielomian ma wiele pierwiastków (równe pierwiastki);

* „D” jest wielomianem symetrycznym w odniesieniu do pierwiastków wielomianu, a zatem jest wielomianem pod względem jego współczynników; ponadto współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, niezależnie od rozszerzenia, w którym brane są pierwiastki.

Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe w następującej postaci:

1 równanie

Według wzoru mamy:

Ponieważ \, równanie ma 2 pierwiastki. Zdefiniujmy je:

Gdzie mogę rozwiązać równanie za pomocą dyskryminacyjnego solwera online?

Równanie możesz rozwiązać na naszej stronie internetowej https://site. Darmowy solwer online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wystarczy, że wprowadzisz swoje dane do solwera. Możesz także obejrzeć instrukcję wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej, a jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Mam nadzieję, że po przestudiowaniu tego artykułu dowiesz się, jak znaleźć pierwiastki pełnego równania kwadratowego.

Za pomocą dyskryminatora rozwiązuje się tylko pełne równania kwadratowe, do rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych stosuje się inne metody, które znajdziesz w artykule „Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych”.

Jakie równania kwadratowe nazywane są kompletnymi? Ten równania postaci ax 2 + b x + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c nie są równe zero. Aby więc rozwiązać pełne równanie kwadratowe, należy obliczyć dyskryminator D.

D = b 2 – 4ac.

W zależności od tego, jaką wartość ma dyskryminator, zapiszemy odpowiedź.

Jeżeli dyskryminator jest liczbą ujemną (D< 0),то корней нет.

Jeśli dyskryminator wynosi zero, to x \u003d (-b) / 2a. Gdy dyskryminator jest liczbą dodatnią (D > 0),

wtedy x 1 = (-b - √D)/2a i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na przykład. Rozwiązać równanie x 2– 4x + 4= 0.

re = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odpowiedź: 2.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + x + 3 = 0.

re = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odpowiedź: brak korzeni.

Rozwiąż równanie 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odpowiedź: – 3,5; 1.

Wyobraźmy sobie więc rozwiązanie pełnych równań kwadratowych przy użyciu diagramu na rysunku 1.

Za pomocą tych wzorów można rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe. Trzeba tylko uważać równanie zapisano jako wielomian postaci standardowej

A x 2 + bx + c, w przeciwnym razie możesz popełnić błąd. Na przykład pisząc równanie x + 3 + 2x 2 = 0, możesz błędnie stwierdzić, że

a = 1, b = 3 i c = 2. Następnie

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i wtedy równanie ma dwa pierwiastki. I to nie jest prawdą. (Patrz rozwiązanie przykładu 2 powyżej).

Jeżeli więc równanie nie jest zapisane jako wielomian postaci standardowej, to w pierwszej kolejności należy zapisać pełne równanie kwadratowe jako wielomian postaci standardowej (najpierw powinien pojawić się jednomian o największym wykładniku, czyli A x 2 , a potem mniej – bx a następnie darmowy członek Z.

Rozwiązując zredukowane równanie kwadratowe i równanie kwadratowe z parzystym współczynnikiem w drugim członie, możesz użyć innych wzorów. Zapoznajmy się z tymi formułami. Jeżeli w pełnym równaniu kwadratowym drugi wyraz ma parzysty współczynnik (b = 2k), to równanie można rozwiązać korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 2.

Pełne równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli współczynnik w x 2 jest równe jeden i równanie przyjmuje postać x 2 + px + q = 0. Takie równanie można podać do rozwiązania lub można je otrzymać dzieląc wszystkie współczynniki równania przez współczynnik A, stojąc przy x 2 .

Rysunek 3 przedstawia schemat rozwiązywania zredukowanego kwadratu
równania. Spójrzmy na przykład zastosowania formuł omówionych w tym artykule.

Przykład. Rozwiązać równanie

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rozwiążmy to równanie, korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie na rysunku 1.

re = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3

Można zauważyć, że współczynnik x w tym równaniu jest liczbą parzystą, czyli b = 6 lub b = 2k, skąd k = 3. Następnie spróbujmy rozwiązać równanie korzystając ze wzorów pokazanych na schemacie rysunku D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3. Zauważając, że wszystkie współczynniki w tym równaniu kwadratowym są podzielne przez 3 i wykonując dzielenie, otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe x 2 + 2x – 2 = 0 Rozwiąż to równanie korzystając ze wzorów na zredukowane równanie kwadratowe
równania rysunek 3.

re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odpowiedź: –1 – √3; –1 + √3.

Jak widać, rozwiązując to równanie za pomocą różnych wzorów, otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Dlatego po dokładnym opanowaniu wzorów pokazanych na schemacie na ryc. 1 zawsze będziesz w stanie rozwiązać dowolne pełne równanie kwadratowe.

blog.site, przy pełnym lub częściowym kopiowaniu materiału wymagany jest link do źródła.

Wiadomo, że jest to szczególna wersja osi równości 2 + bx + c = o, gdzie a, b i c są rzeczywistymi współczynnikami dla nieznanego x oraz gdzie a ≠ o, a b i c będą zerami - jednocześnie lub osobno. Na przykład c = o, v ≠ o lub odwrotnie. Prawie zapamiętaliśmy definicję równania kwadratowego.

Trójmian drugiego stopnia jest równy zero. Jego pierwszy współczynnik a ≠ o, b i c może przyjmować dowolną wartość. Wartość zmiennej x będzie wtedy taka, gdy podstawienie zamieni ją w poprawną równość liczbową. Skupmy się na pierwiastkach rzeczywistych, chociaż równania mogą być również rozwiązaniami.Zwyczajowo równanie nazywa się zupełnym, w którym żaden ze współczynników nie jest równy o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Rozwiążmy przykład. 2x 2 -9x-5 = och, znajdujemy
D = 81+40 = 121,
D jest dodatnie, co oznacza, że ​​istnieją pierwiastki, x 1 = (9+√121):4 = 5, a drugie x 2 = (9-√121):4 = -o,5. Sprawdzenie pomoże upewnić się, że są one prawidłowe.

Oto krok po kroku rozwiązanie równania kwadratowego

Za pomocą dyskryminatora można rozwiązać dowolne równanie, po lewej stronie którego znany jest trójmian kwadratowy dla a ≠ o. W naszym przykładzie. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Zastanówmy się, jakie są niepełne równania drugiego stopnia

1. topór 2 +in = o. Termin wolny, współczynnik c przy x 0, jest tutaj równy zero, w ≠ o.
   Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe tego typu? Wyjmijmy x z nawiasów. Przypomnijmy sobie, kiedy iloczyn dwóch czynników jest równy zero.
   x(ax+b) = o, może to mieć miejsce, gdy x = o lub gdy ax+b = o.
   Po rozwiązaniu drugiego zadania mamy x = -в/а.
   W rezultacie mamy pierwiastki x 1 = 0, zgodnie z obliczeniami x 2 = -b/a.
2. Teraz współczynnik x jest równy o, a c nie jest równe (≠) o.
   x 2 + c = o. Przesuńmy c na prawą stronę równości, otrzymamy x 2 = -с. To równanie ma pierwiastki rzeczywiste tylko wtedy, gdy -c jest liczbą dodatnią (c ‹ o),
   x 1 jest wtedy równe odpowiednio √(-c), x 2 wynosi -√(-c). W przeciwnym razie równanie nie ma w ogóle pierwiastków.
3. Ostatnia opcja: b = c = o, czyli topór 2 = o. Naturalnie takie proste równanie ma jeden pierwiastek, x = o.

Specjalne przypadki

Przyjrzeliśmy się, jak rozwiązać niekompletne równanie kwadratowe, a teraz weźmy dowolne typy.

• W pełnym równaniu kwadratowym drugi współczynnik x jest liczbą parzystą.
  Niech k = o,5b. Mamy wzory na obliczenie wyróżnika i pierwiastka.
  D/4 = k 2 - ac, pierwiastki oblicza się jako x 1,2 = (-k±√(D/4))/a dla D › o.
  x = -k/a przy D = o.
  Nie ma pierwiastków dla D ‹ o.
• Dane są równania kwadratowe, gdy współczynnik x kwadrat jest równy 1, zwykle zapisuje się je x 2 + рх + q = o. Wszystkie powyższe wzory mają do nich zastosowanie, ale obliczenia są nieco prostsze.
  Przykład, x 2 -4x-9 = 0. Oblicz D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Poza tym łatwo zastosować się do podanych, mówi, że suma pierwiastków równania jest równa -p, drugi współczynnik z minusem (czyli znak przeciwny), a iloczyn tych samych pierwiastków będzie być równe q, członowi swobodnemu. Sprawdź, jak łatwo byłoby werbalnie określić pierwiastki tego równania. Dla współczynników niezredukowanych (dla wszystkich współczynników różnych od zera) twierdzenie to można zastosować w następujący sposób: suma x 1 + x 2 równa się -b/a, iloczyn x 1 · x 2 równa się c/a.

Suma członu wolnego c i pierwszego współczynnika a jest równa współczynnikowi b. W tej sytuacji równanie ma co najmniej jeden pierwiastek (łatwy do udowodnienia), pierwszy z konieczności jest równy -1, a drugi -c/a, jeśli istnieje. Jak rozwiązać niekompletne równanie kwadratowe, możesz to sprawdzić sam. Bułka z masłem. Współczynniki mogą występować w pewnych proporcjach między sobą

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Suma wszystkich współczynników wynosi o.
  Pierwiastkami takiego równania są 1 i c / a. Przykład, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Istnieje wiele innych sposobów rozwiązywania różnych równań drugiego stopnia. Oto na przykład metoda wyodrębnienia pełnego kwadratu z danego wielomianu. Jest kilka sposobów graficznych. Kiedy często będziesz miał do czynienia z takimi przykładami, nauczysz się je „klikać” jak nasiona, bo wszystkie metody przychodzą Ci na myśl automatycznie.

Równania kwadratowe często pojawiają się przy rozwiązywaniu różnych problemów z fizyki i matematyki. W tym artykule przyjrzymy się, jak rozwiązać te równości w sposób uniwersalny „poprzez dyskryminator”. W artykule podano także przykłady wykorzystania zdobytej wiedzy.

O jakich równaniach będziemy mówić?

Poniższy rysunek przedstawia wzór, w którym x jest nieznaną zmienną, a symbole łacińskie a, b, c reprezentują znane liczby.

Każdy z tych symboli nazywany jest współczynnikiem. Jak widać, liczba „a” pojawia się przed zmienną x kwadrat. Jest to maksymalna potęga przedstawionego wyrażenia, dlatego nazywa się je równaniem kwadratowym. Często używana jest jego inna nazwa: równanie drugiego rzędu. Sama wartość a jest współczynnikiem kwadratowym (stoi przy zmiennej do kwadratu), b jest współczynnikiem liniowym (jest obok zmiennej podniesionej do pierwszej potęgi), a na koniec liczba c jest wyrazem wolnym.

Należy zauważyć, że typ równania pokazany na powyższym rysunku jest ogólnym klasycznym wyrażeniem kwadratowym. Oprócz tego istnieją inne równania drugiego rzędu, w których współczynniki b i c mogą wynosić zero.

Gdy zadanie ma na celu rozwiązanie danej równości, oznacza to, że należy znaleźć takie wartości zmiennej x, które ją spełnią. Tutaj pierwszą rzeczą, o której musisz pamiętać, jest następująca rzecz: ponieważ maksymalny stopień X wynosi 2, to tego typu wyrażenie nie może mieć więcej niż 2 rozwiązań. Oznacza to, że jeśli przy rozwiązywaniu równania znaleziono 2 wartości x, które je spełniają, to można być pewnym, że nie ma trzeciej liczby, zastępując ją za x, równość również byłaby prawdziwa. Rozwiązania równania w matematyce nazywane są jego pierwiastkami.

Metody rozwiązywania równań drugiego rzędu

Rozwiązywanie równań tego typu wymaga znajomości jakiejś teorii na ich temat. Na szkolnym kursie algebry rozważane są 4 różne metody rozwiązywania. Wymieńmy je:

• stosowanie faktoryzacji;
• korzystając ze wzoru na idealny kwadrat;
• stosując wykres odpowiedniej funkcji kwadratowej;
• za pomocą równania dyskryminacyjnego.

Zaletą pierwszej metody jest jej prostota, jednakże nie można jej zastosować do wszystkich równań. Druga metoda jest uniwersalna, ale nieco uciążliwa. Trzecia metoda wyróżnia się przejrzystością, ale nie zawsze jest wygodna i stosowana. I wreszcie użycie równania dyskryminacyjnego jest uniwersalnym i dość prostym sposobem znalezienia pierwiastków absolutnie dowolnego równania drugiego rzędu. Dlatego w tym artykule rozważymy tylko to.

Wzór na uzyskanie pierwiastków równania

Przejdźmy do ogólnej postaci równania kwadratowego. Zapiszmy to: a*x²+ b*x + c =0. Przed użyciem metody rozwiązania „poprzez dyskryminator” należy zawsze doprowadzić równość do jej formy pisemnej. Oznacza to, że musi składać się z trzech terminów (lub mniej, jeśli b lub c wynosi 0).

Przykładowo, jeśli istnieje wyrażenie: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², to należy najpierw przenieść wszystkie jego wyrazy na jedną stronę równości i dodać wyrazy zawierające zmienną x w same moce.

W tym przypadku operacja ta doprowadzi do następującego wyrażenia: -6*x²-4*x+8=0, co jest równoważne równaniu 6*x²+4*x-8=0 (tutaj pomnożyliśmy lewą stronę i prawe strony równości przez -1) .

W powyższym przykładzie a = 6, b = 4, c = -8. Należy pamiętać, że wszystkie wyrazy rozważanej równości są zawsze sumowane, więc jeśli pojawi się znak „-”, oznacza to, że odpowiadający mu współczynnik jest ujemny, podobnie jak liczba c w tym przypadku.

Po zbadaniu tego punktu przejdźmy teraz do samego wzoru, który umożliwia uzyskanie pierwiastków równania kwadratowego. Wygląda jak ten pokazany na zdjęciu poniżej.

Jak widać z tego wyrażenia, pozwala uzyskać dwa pierwiastki (zwróć uwagę na znak „±”). Aby to zrobić, wystarczy podstawić do niego współczynniki b, c i a.

Pojęcie dyskryminatora

W poprzednim akapicie podano wzór, który pozwala szybko rozwiązać dowolne równanie drugiego rzędu. W nim radykalne wyrażenie nazywa się dyskryminatorem, czyli D = b²-4*a*c.

Dlaczego ta część formuły jest wyróżniona i dlaczego ma nawet własną nazwę? Faktem jest, że dyskryminator łączy wszystkie trzy współczynniki równania w jedno wyrażenie. Ten ostatni fakt oznacza, że ​​w całości niesie ze sobą informacje o korzeniach, które można wyrazić w następującym zestawieniu:

1. D>0: Równość ma 2 różne rozwiązania, oba są liczbami rzeczywistymi.
2. D=0: Równanie ma tylko jeden pierwiastek i jest liczbą rzeczywistą.

Zadanie wyznaczania dyskryminacyjnego

Podajmy prosty przykład, jak znaleźć dyskryminator. Niech zostanie podana równość: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Sprowadźmy to do postaci standardowej, otrzymamy: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, skąd dochodzimy do równości : -2*x² +2*x-11 = 0. Tutaj a=-2, b=2, c=-11.

Teraz możesz użyć powyższego wzoru na dyskryminator: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Wynikowa liczba jest odpowiedzią na zadanie. Ponieważ dyskryminator w przykładzie jest mniejszy od zera, możemy powiedzieć, że to równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków. Jego rozwiązaniem będą tylko liczby typu zespolonego.

Przykład nierówności poprzez dyskryminator

Rozwiążmy problemy nieco innego typu: podana jest równość -3*x²-6*x+c = 0. Należy znaleźć takie wartości c, dla których D>0.

W tym przypadku znane są tylko 2 z 3 współczynników, więc nie będzie możliwe obliczenie dokładnej wartości dyskryminatora, ale wiadomo, że jest on dodatni. Tworząc nierówność, korzystamy z ostatniego faktu: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rozwiązanie powstałej nierówności prowadzi do wyniku: c>-3.

Sprawdźmy wynikową liczbę. W tym celu obliczamy D dla 2 przypadków: c=-2 i c=-4. Liczba -2 spełnia wynik (-2>-3), odpowiadający jej dyskryminator będzie miał wartość: D = 12>0. Z kolei liczba -4 nie spełnia nierówności (-4Zatem każda liczba c większa od -3 spełni warunek.

Przykład rozwiązania równania

Tutaj pojawia się problem, który polega nie tylko na znalezieniu wyróżnika, ale także na rozwiązaniu równania. Należy znaleźć pierwiastki równości -2*x²+7-9*x = 0.

W tym przykładzie dyskryminator jest równy wartości: D = 81-4*(-2)*7= 137. Następnie wyznaczamy pierwiastki równania w następujący sposób: x = (9±√137)/(- 4). Są to dokładne wartości pierwiastków, jeśli obliczysz pierwiastek w przybliżeniu, otrzymasz liczby: x \u003d -5,176 i x \u003d 0,676.

Problem geometryczny

Rozwiążmy zadanie, które będzie wymagało nie tylko umiejętności obliczenia dyskryminatora, ale także umiejętności abstrakcyjnego myślenia i wiedzy o pisaniu równań kwadratowych.

Bob miał kołdrę o wymiarach 5 x 4 metry. Chłopiec chciał uszyć ciągły pasek pięknej tkaniny na całym obwodzie. Jak gruby będzie ten pasek, jeśli wiemy, że Bob ma 10 m² materiału.

Niech pasek będzie miał grubość x m, wówczas pole tkaniny wzdłuż długiego boku koca będzie wynosić (5+2*x)*x, a ponieważ są 2 długie boki, mamy: 2*x *(5+2*x). Na krótkim boku powierzchnia uszytej tkaniny będzie wynosić 4*x, ponieważ tych boków są 2, otrzymamy wartość 8*x. Należy zauważyć, że do długiego boku dodano wartość 2*x, ponieważ długość koca wzrosła o tę liczbę. Łączna powierzchnia tkaniny wszytej w koc to 10 m². Otrzymujemy więc równość: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

W tym przykładzie dyskryminator jest równy: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jego pierwiastek wynosi 22. Korzystając ze wzoru, znajdujemy wymagane pierwiastki: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Oczywiście z dwóch pierwiastków tylko liczba 0,5 jest odpowiednia w zależności od warunków problemu.

Zatem pasek materiału, który Bob przyszywa do swojego koca, będzie miał szerokość 50 cm.