Wyrażenie, które nie ma znaczenia: przykłady. Wyrażenia numeryczne i algebraiczne

I. Wyrażenia, w których można używać liczb, symboli arytmetycznych i nawiasów wraz z literami, nazywane są wyrażeniami algebraicznymi.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

2m-n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Ponieważ literę w wyrażeniu algebraicznym można zastąpić różnymi liczbami, literę tę nazywa się zmienną, a samo wyrażenie algebraiczne nazywa się wyrażeniem ze zmienną.

II. Jeśli w wyrażeniu algebraicznym litery (zmienne) zostaną zastąpione ich wartościami i zostaną wykonane określone działania, wówczas wynikową liczbę nazywa się wartością wyrażenia algebraicznego.

Przykłady.

Znajdź znaczenie wyrażenia:

1) a + 2b -c z a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6..

Rozwiązanie

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c z a = -2; b = 10; c = -3,5. Zamiast zmiennych podstawmy ich wartości. Otrzymujemy:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6. Zastąp wskazane wartości. Pamiętamy, że moduł liczby ujemnej jest równy jej liczbie przeciwnej, a moduł liczby dodatniej jest równy samej tej liczbie. Otrzymujemy: III.

Wartości litery (zmiennej), dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są dopuszczalnymi wartościami litery (zmiennej).

Przykłady. Dla jakich wartości zmiennej wyrażenie nie ma sensu?

Rozwiązanie.

Wiemy, że nie można dzielić przez zero, dlatego każde z tych wyrażeń nie będzie miało sensu, biorąc pod uwagę wartość litery (zmiennej), która zamienia mianownik ułamka na zero!

W przykładzie 1) ta wartość wynosi a = 0. Rzeczywiście, jeśli zastąpisz 0 zamiast a, będziesz musiał podzielić liczbę 6 przez 0, ale nie da się tego zrobić. Odpowiedź: wyrażenie 1) nie ma sensu, gdy a = 0.

W przykładzie 2) mianownik x wynosi 4 = 0 przy x = 4, dlatego nie można przyjąć tej wartości x = 4. Odpowiedź: wyrażenie 2) nie ma sensu, gdy x = 4.
W przykładzie 3) mianownikiem jest x + 2 = 0, gdy x = -2. Odpowiedź: wyrażenie 3) nie ma sensu, gdy x = -2. W przykładzie 4) mianownikiem jest 5 -|x| = 0 dla |x| = 5. A ponieważ |5| = 5 i |-5| = 5, to nie możesz przyjąć x = 5 i x = -5. Odpowiedź: wyrażenie 4) nie ma sensu przy x = -5 i przy x = 5.

Przykład: 5 (a – b) i 5a – 5b są również równe, ponieważ równość 5 (a – b) = 5a – 5b będzie prawdziwa dla dowolnych wartości a i b. Równość 5 (a – b) = 5a – 5b jest tożsamością.

Tożsamość jest równością obowiązującą dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w niej zmiennych. Przykładami tożsamości już znanych są na przykład właściwości dodawania i mnożenia oraz własność rozdzielności.

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się transformacją tożsamości lub po prostu transformacją wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.

Przykłady.

A) przekonwertuj wyrażenie na identyczne, korzystając z rozdzielności mnożenia:

1) 10·(1,2x + 2,3 lat); 2) 1,5·(a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y = -5; z = 6.. Przypomnijmy rozdzielność (prawo) mnożenia:

(a+b)c=ac+bc(rozdzielne prawo mnożenia względem dodawania: aby pomnożyć sumę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane wyniki).
(a-b) c=a c-b do(prawo rozdzielności mnożenia względem odejmowania: aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć odjemną i odjąć tę liczbę osobno, a drugą od pierwszego wyniku odjąć).

1) 10·(1,2x + 2,3 lat) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3 lat = 12x + 23 lata.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6:00 -2an +ak.

B) przekształć wyrażenie na identyczne równe, korzystając z właściwości (praw) przemienności i łączenia (praw) dodawania:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Przykłady. Zastosujmy prawa (właściwości) dodawania:

a+b=b+a(przemienne: przestawianie wyrazów nie zmienia sumy).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinowane: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch wyrazów, możesz dodać sumę drugiego i trzeciego do pierwszej liczby).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Przekształć wyrażenie na identycznie równe, korzystając z właściwości (praw) przemienności i łączenia (praw) mnożenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Przykłady. Zastosujmy prawa (właściwości) mnożenia:

a·b=b·a(przemienne: przestawianie czynników nie zmienia iloczynu).
(a b) c=a (b c)(kombinowane: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Jeżeli wyrażenie algebraiczne podane jest w postaci ułamka redukowalnego, to stosując regułę skracania ułamka można je uprościć, tj. zastąp je identycznym, prostszym wyrażeniem.

Przykłady.

Przykłady. Uprość, korzystając z redukcji ułamków. Skracanie ułamka oznacza dzielenie jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę (wyrażenie), inną niż zero. Ułamek 10) zostanie zmniejszony o 3b ; frakcja 11) zostanie zmniejszona o A i frakcja 12) zostanie zmniejszona o 7n

. Otrzymujemy:

Do tworzenia formuł używa się wyrażeń algebraicznych. Formuła to wyrażenie algebraiczne zapisane jako równość i wyrażające związek między dwiema lub większą liczbą zmiennych. Przykład: znana Ci formuła ścieżki s=v t

(s – przebyta droga, v – prędkość, t – czas). Zapamiętaj, jakie inne formuły znasz.

Strona 1 z 1 1

Wyrażenie jest najszerszym terminem matematycznym. Zasadniczo w tej nauce wszystko się z nich składa i wszystkie operacje również są na nich przeprowadzane. Inną kwestią jest to, że w zależności od konkretnego rodzaju stosuje się zupełnie inne metody i techniki. Zatem praca z trygonometrią, ułamkami zwykłymi lub logarytmami to trzy różne działania. Wyrażenie, które nie ma sensu, może być jednego z dwóch typów: numerycznego lub algebraicznego. Ale co oznacza ta koncepcja, jak wygląda jej przykład i inne punkty zostaną omówione dalej.

Wyrażenia numeryczne

Jeśli wyrażenie składa się z liczb, nawiasów, plusów i minusów oraz innych symboli operacji arytmetycznych, można je bezpiecznie nazwać numerycznym. Co jest całkiem logiczne: wystarczy jeszcze raz przyjrzeć się jego pierwszemu nazwanemu komponentowi.

Wyrażenie numeryczne może być dowolne: najważniejsze jest to, że nie zawiera liter. A przez „cokolwiek” mamy w tym przypadku na myśli wszystko: od prostej liczby, samej w sobie, po ogromną ich listę i znaki operacji arytmetycznych, które wymagają późniejszego obliczenia wyniku końcowego. Ułamek jest również wyrażeniem liczbowym, jeśli nie zawiera żadnego a, b, c, d itd., ponieważ wtedy jest to zupełnie inny typ, o czym będzie mowa nieco później.

Warunki wyrażenia, które nie ma sensu

Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że wyrażenia, których ostateczny wynik sprowadza się do działania zabronionego w matematyce, nie mają żadnego znaczenia. Szczerze mówiąc, wtedy sama transformacja traci sens, ale żeby się o tym przekonać, trzeba ją najpierw przeprowadzić. Taki paradoks!

Najbardziej znaną, ale nie mniej ważną zakazaną operacją matematyczną jest dzielenie przez zero.

Dlatego na przykład tutaj jest wyrażenie, które nie ma sensu:

(17+11):(5+4-10+1).

Jeśli za pomocą prostych obliczeń sprowadzimy drugi nawias do jednej cyfry, to będzie to zero.

Na tej samej zasadzie temu wyrażeniu nadaje się „tytuł honorowy”:

(5-18):(19-4-20+5).

Wyrażenia algebraiczne

Jest to to samo wyrażenie numeryczne, jeśli dodane zostaną do niego zabronione litery. Wtedy staje się pełnoprawną algebraiczną. Może również występować we wszystkich rozmiarach i kształtach. Wyrażenie algebraiczne jest szerszym pojęciem, które obejmuje poprzednie. Ale sensowne było rozpoczęcie rozmowy nie od niej, ale od liczby, aby była jaśniejsza i łatwiejsza do zrozumienia. W końcu to, czy wyrażenie algebraiczne ma sens, nie jest bardzo skomplikowaną kwestią, ale wymaga większej liczby wyjaśnień.

Dlaczego tak jest?

Wyrażenie dosłowne lub wyrażenie ze zmiennymi są synonimami. Pierwszy termin jest łatwy do wyjaśnienia: w końcu zawiera litery! To drugie też nie jest tajemnicą stulecia: zamiast liter można zastąpić inne cyfry, w efekcie czego zmieni się znaczenie wyrażenia. Nietrudno zgadnąć, że w tym przypadku zmienne są litery. Przez analogię liczby są stałymi.

I tu wracamy do głównego tematu: czym jest wyrażenie, które nie ma znaczenia?

Przykłady wyrażeń algebraicznych, które nie mają sensu

Warunek bezsensowności wyrażenia algebraicznego jest taki sam jak w przypadku wyrażenia liczbowego, z jednym tylko wyjątkiem, a dokładniej dodatkiem. Przeliczając i obliczając wynik końcowy, trzeba wziąć pod uwagę zmienne, więc pytanie nie jest zadawane w stylu „które wyrażenie nie ma sensu?”, ale „przy jakiej wartości zmiennej to wyrażenie nie będzie miało sensu?” oraz „czy istnieje wartość zmiennej, przy której wyrażenie nie będzie miało już sensu?”

Na przykład (18-3):(a+11-9).

Powyższe wyrażenie nie ma sensu, gdy a jest równe -2.

Ale o (a+3):(12-4-8) możemy śmiało powiedzieć, że jest to wyrażenie, które nie ma sensu dla żadnego a.

W ten sam sposób, cokolwiek b podstawisz w wyrażeniu (b - 11): (12+1), nadal będzie to miało sens.

Typowe problemy na temat „Wyrażenie, które nie ma sensu”

Klasa 7 uczy się tego tematu między innymi na matematyce, a zadania z tego zakresu często znajdują się zarówno bezpośrednio po odpowiedniej lekcji, jak i jako „podchwytliwe” pytanie w modułach i egzaminach.

Dlatego warto zastanowić się nad typowymi problemami i sposobami ich rozwiązywania.

Przykład 1.

Czy wyrażenie ma sens:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Konieczne jest wykonanie wszystkich obliczeń w nawiasach i doprowadzenie wyrażenia do postaci:

Wynik końcowy zawiera dzielenie przez zero, więc wyrażenie nie ma znaczenia.

Przykład 2.

Które wyrażenia nie mają sensu?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Należy obliczyć końcową wartość każdego wyrażenia.

Odpowiedź: 1; 2.

Przykład 3.

Znajdź zakres akceptowalnych wartości dla następujących wyrażeń:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Zakres dopuszczalnych wartości (VA) to wszystkie liczby, które po podstawieniu zamiast zmiennych wyrażenie będzie miało sens.

Oznacza to, że zadanie brzmi tak: znajdź wartości, przy których nie będzie podziału przez zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞) lub b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞) lub b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Przykład 4.

Przy jakich wartościach poniższe wyrażenie nie będzie miało sensu?

Drugi nawias jest równy zero, gdy gra jest równa -3.

Odpowiedź: y=-3

Przykład 4.

Które z wyrażeń nie ma sensu tylko przy x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 i 3, ponieważ w pierwszym przypadku, jeśli podstawisz x = -14, wówczas drugi nawias będzie równy -28, a nie zero, jak to brzmi w definicji wyrażenia bez znaczenia.

Przykład 5.

Wymyśl i zapisz wyrażenie, które nie ma sensu.

18/(2-46+17-33+45+15).

Wyrażenia algebraiczne z dwiema zmiennymi

Pomimo tego, że wszystkie wyrażenia nie mające sensu mają tę samą istotę, istnieją różne poziomy ich złożoności. Można więc powiedzieć, że przykłady liczbowe są prostymi przykładami, ponieważ są łatwiejsze niż algebraiczne. Liczba zmiennych w tym ostatnim zwiększa trudność rozwiązania. Ale nie powinny być mylące w swoim wyglądzie: najważniejsze jest, aby pamiętać o ogólnej zasadzie rozwiązania i zastosować ją, niezależnie od tego, czy przykład jest podobny do standardowego problemu, czy zawiera jakieś nieznane dodatki.

Może pojawić się na przykład pytanie, jak rozwiązać takie zadanie.

Znajdź i zapisz parę liczb, które są nieprawidłowe dla wyrażenia:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38 lat)/(12x 2 - y).

Możliwe odpowiedzi:

Ale tak naprawdę wygląda to tylko strasznie i uciążliwie, bo tak naprawdę zawiera to, co wiadomo od dawna: podnoszenie liczb do kwadratu i sześcianu, niektóre działania arytmetyczne, takie jak dzielenie, mnożenie, odejmowanie i dodawanie. Nawiasem mówiąc, dla wygody możesz sprowadzić problem do postaci ułamkowej.

Licznik powstałego ułamka nie jest szczęśliwy: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). To jest fakt. Ale jest jeszcze jeden powód do szczęścia: nie musisz go nawet dotykać, aby rozwiązać zadanie! Zgodnie z omówioną wcześniej definicją, nie można dzielić przez zero, a to, co dokładnie zostanie przez to podzielone, jest zupełnie nieistotne. Dlatego pozostawiamy to wyrażenie bez zmian i zastępujemy pary liczb z tych opcji w mianowniku. Już trzeci punkt pasuje idealnie, zamieniając mały nawias w zero. Ale zatrzymanie się na tym jest złą rekomendacją, ponieważ coś innego może być odpowiednie. Rzeczywiście: piąty punkt również dobrze pasuje i odpowiada warunkom.

Zapisujemy odpowiedź: 3 i 5.

Podsumowując

Jak widać temat ten jest bardzo ciekawy i niezbyt skomplikowany. Nie będzie trudno to rozgryźć. Ale nigdy nie zaszkodzi przećwiczyć kilka przykładów!

Studiując temat wyrażeń liczbowych, literowych i wyrażeń ze zmiennymi, należy zwrócić uwagę na koncepcję wartość wyrażenia. W tym artykule odpowiemy na pytanie, jaka jest wartość wyrażenia liczbowego, a co nazywa się wartością wyrażenia literalnego i wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych. Aby wyjaśnić te definicje, podajemy przykłady.

Nawigacja strony.

Jaka jest wartość wyrażenia liczbowego?

Znajomość wyrażeń liczbowych rozpoczyna się niemal od pierwszych lekcji matematyki w szkole. Niemal natychmiast wprowadzone zostaje pojęcie „wartości wyrażenia liczbowego”. Odnosi się do wyrażeń składających się z liczb połączonych znakami operacji arytmetycznych (+, -, ·, :). Podajmy odpowiednią definicję.

Definicja.

Wartość wyrażenia numerycznego– jest to liczba, która zostanie uzyskana po wykonaniu wszystkich czynności w oryginalnym wyrażeniu liczbowym.

Rozważmy na przykład wyrażenie numeryczne 1+2. Po wykonaniu tej czynności otrzymujemy liczbę 3, która jest wartością wyrażenia liczbowego 1+2.

Często w wyrażeniu „znaczenie wyrażenia liczbowego” pomija się słowo „liczbowy” i po prostu mówi się „znaczenie wyrażenia”, ponieważ nadal jest jasne, o jakie znaczenie wyrażenia chodzi.

Powyższa definicja znaczenia wyrażenia dotyczy również wyrażeń liczbowych bardziej złożonego typu, których uczy się w szkole średniej. Należy tutaj zauważyć, że możesz napotkać wyrażenia liczbowe, których wartości nie można określić. Dzieje się tak dlatego, że w przypadku niektórych wyrażeń nie jest możliwe wykonanie zarejestrowanych działań. Na przykład dlatego nie możemy określić wartości wyrażenia 3:(2−2) . Takie wyrażenia numeryczne nazywane są wyrażenia, które nie mają sensu.

Często w praktyce interesujące jest nie tyle wyrażenie liczbowe, co jego znaczenie. Oznacza to, że pojawia się zadanie ustalenia znaczenia danego wyrażenia. W tym przypadku zwykle mówią, że trzeba znaleźć wartość wyrażenia. W artykule szczegółowo omówiono proces znajdowania wartości wyrażeń liczbowych różnych typów i rozważono wiele przykładów ze szczegółowym opisem rozwiązań.

Znaczenie wyrażeń dosłownych i zmiennych

Oprócz wyrażeń numerycznych badane są wyrażenia dosłowne, to znaczy wyrażenia, w których występuje jedna lub więcej liter wraz z cyframi. Litery w wyrażeniu dosłownym mogą reprezentować różne liczby, a jeśli litery zostaną zastąpione tymi liczbami, wyrażenie dosłowne stanie się wyrażeniem numerycznym.

Definicja.

Nazywa się liczby zastępujące litery w wyrażeniu dosłownym znaczenie tych liter, a następnie wywoływana jest wartość wynikowego wyrażenia liczbowego wartość wyrażenia dosłownego dla podanych wartości liter.

Zatem w przypadku wyrażeń dosłownych mówimy nie tylko o znaczeniu wyrażenia dosłownego, ale o znaczeniu wyrażenia dosłownego podanych (podanych, wskazanych itp.) wartości liter.

Podajmy przykład. Weźmy dosłowne wyrażenie 2·a+b. Niech zostaną podane wartości liter a i b, na przykład a=1 i b=6. Zastępując litery pierwotnego wyrażenia ich wartościami, otrzymujemy wyrażenie liczbowe w postaci 2·1+6, którego wartość wynosi 8. Zatem liczba 8 jest wartością wyrażenia dosłownego 2·a+b dla podanych wartości liter a=1 i b=6. Gdyby podano inne wartości liter, otrzymalibyśmy wartość wyrażenia literowego dla tych wartości liter. Na przykład dla a=5 i b=1 mamy wartość 2,5+1=11.

W algebrze w szkole średniej litery w wyrażeniach literowych mogą przyjmować różne znaczenia, takie litery nazywane są zmiennymi, a wyrażenia literowe nazywane są wyrażeniami ze zmiennymi. Dla tych wyrażeń wprowadza się pojęcie wartości wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych. Zastanówmy się, co to jest.

Definicja.

Wartość wyrażenia ze zmiennymi dla wybranych wartości zmiennych jest wartością wyrażenia liczbowego, która jest uzyskiwana po podstawieniu wybranych wartości zmiennych do wyrażenia pierwotnego.

Wyjaśnijmy podaną definicję na przykładzie. Rozważmy wyrażenie ze zmiennymi x i y postaci 3·x·y+y. Weźmy x=2 i y=4, podstawmy te wartości zmiennych do pierwotnego wyrażenia i otrzymamy wyrażenie numeryczne 3,2,4+4. Obliczmy wartość tego wyrażenia: 3,2,4+4=24+4=28. Znaleziona wartość 28 jest wartością pierwotnego wyrażenia ze zmiennymi 3·x·y+y dla wybranych wartości zmiennych x=2 i y=4.

Jeśli wybierzesz inne wartości zmiennych, na przykład x=5 i y=0, to tym wybranym wartościom zmiennych będzie odpowiadać wartość wyrażenia zmiennej równa 3,5,0+0=0.

Można zauważyć, że czasami różne wybrane wartości zmiennych mogą skutkować jednakowymi wartościami wyrażeń. Przykładowo dla x=9 i y=1 wartość wyrażenia 3 x y+y wynosi 28 (ponieważ 3 9 1+1=27+1=28), a powyżej pokazaliśmy, że taką samą wartością jest wyrażenie ze zmiennymi ma w x=2 i y=4.

Wartości zmiennych można wybierać spośród odpowiadających im wartości zakresy akceptowalnych wartości. W przeciwnym razie, podstawiając wartości tych zmiennych do pierwotnego wyrażenia, otrzymasz wyrażenie liczbowe, które nie ma sensu. Na przykład, jeśli wybierzesz x=0 i podstawisz tę wartość do wyrażenia 1/x, otrzymasz wyrażenie numeryczne 1/0, co nie ma sensu, ponieważ dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane.

Pozostaje tylko dodać, że istnieją wyrażenia ze zmiennymi, których wartości nie zależą od wartości zawartych w nich zmiennych. Przykładowo wartość wyrażenia ze zmienną x postaci 2+x−x nie zależy od wartości tej zmiennej; jest równa 2 dla dowolnej wybranej wartości zmiennej x z zakresu jej dopuszczalnych wartości , który w tym przypadku jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych.

Referencje.

• Matematyka: podręcznik dla 5 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - wyd. 21, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: il. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: podręcznik dla 7 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Wyrażenie numeryczne– jest to dowolny zapis liczb, symboli arytmetycznych i nawiasów. Wyrażenie liczbowe może po prostu składać się z jednej liczby. Przypomnijmy, że podstawowymi operacjami arytmetycznymi są „dodawanie”, „odejmowanie”, „mnożenie” i „dzielenie”. Działania te odpowiadają znakom „+”, „-”, „∙”, „:”.

Oczywiście, abyśmy mogli uzyskać wyrażenie liczbowe, zapis liczb i symboli arytmetycznych musi mieć sens. Zatem np. takiego wpisu 5: + ∙ nie można nazwać wyrażeniem numerycznym, gdyż jest to losowy zbiór symboli, który nie ma żadnego znaczenia. Wręcz przeciwnie, 5 + 8 ∙ 9 jest już prawdziwym wyrażeniem liczbowym.

Wartość wyrażenia numerycznego.

Powiedzmy od razu, że jeśli wykonamy czynności wskazane w wyrażeniu liczbowym, w rezultacie otrzymamy liczbę. Ten numer się nazywa wartość wyrażenia numerycznego.

Spróbujmy policzyć, co otrzymamy w wyniku wykonania działań z naszego przykładu. Zależnie od kolejności wykonywania operacji arytmetycznych, najpierw wykonujemy operację mnożenia. Pomnóż 8 przez 9. Otrzymamy 72. Teraz dodaj 72 i 5. Otrzymamy 77.
Więc 77 - oznaczający wyrażenie numeryczne 5 + 8 ∙ 9.

Równość liczbowa.

Można to zapisać w ten sposób: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Tutaj po raz pierwszy użyliśmy znaku „=” („Równie się”). Nazywa się taki zapis, w którym dwa wyrażenia liczbowe oddzielone są znakiem „=”. równość liczbowa. Co więcej, jeśli wartości lewej i prawej strony równości pokrywają się, wówczas nazywa się równość wierny. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – prawidłowa równość.
Jeśli napiszemy 5 + 8 ∙ 9 = 100, to już tak będzie fałszywa równość, ponieważ wartości lewej i prawej strony tej równości już się nie pokrywają.

Należy zaznaczyć, że w wyrażeniach liczbowych możemy stosować także nawiasy. Nawiasy wpływają na kolejność wykonywania czynności. Zmodyfikujmy więc przykładowo nasz przykład, dodając nawiasy: (5 + 8) ∙ 9. Teraz musimy najpierw dodać 5 i 8. Otrzymamy 13. A następnie pomnożymy 13 przez 9. Otrzymamy 117. Zatem (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – oznaczający wyrażenie numeryczne (5 + 8) ∙ 9.

Aby poprawnie odczytać wyrażenie, należy określić, która akcja zostanie wykonana jako ostatnia w celu obliczenia wartości danego wyrażenia liczbowego. Jeśli więc ostatnią akcją jest odejmowanie, wówczas wyrażenie nazywa się „różnicą”. Odpowiednio, jeśli ostatnią czynnością jest suma – „suma”, dzielenie – „iloraz”, mnożenie – „iloczyn”, potęgowanie – „potęga”.

Na przykład wyrażenie liczbowe (1+5)(10-3) brzmi następująco: „iloczyn sumy liczb 1 i 5 oraz różnicy liczb 10 i 3”.

Przykłady wyrażeń numerycznych.

Oto przykład bardziej złożonego wyrażenia liczbowego:

\[\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\]

To wyrażenie numeryczne wykorzystuje liczby pierwsze, ułamki zwykłe i dziesiętne. Używane są również znaki dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Linia ułamkowa zastępuje również znak dzielenia. Pomimo pozornej złożoności znalezienie wartości tego wyrażenia liczbowego jest dość proste. Najważniejsze jest, aby móc wykonywać operacje na ułamkach, a także dokładnie i dokładnie wykonywać obliczenia, przestrzegając kolejności wykonywania czynności.

W nawiasach mamy wyrażenie $\frac(1)(4)+3,75$ . Zamień ułamek dziesiętny 3,75 na ułamek zwykły.

3,75 $=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Więc, $\frac(1)(4)+3,75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Następnie w liczniku ułamka \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] mamy wyrażenie 1,25+3,47+4,75-1,47. Aby uprościć to wyrażenie, stosujemy przemienne prawo dodawania, które stanowi: „Suma nie zmienia się poprzez zmianę miejsc wyrazów”. Oznacza to, że 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

W mianowniku ułamka wyrażenie $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Dostajemy $\left(\frac(1)(4)+3,75 \right):\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1 $

Kiedy wyrażenia liczbowe nie mają sensu?

Spójrzmy na inny przykład. W mianowniku ułamka $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ wartość wyrażenia $3\centerdot 3-9$ wynosi 0. A jak wiemy, dzielenie przez zero jest niemożliwe. Zatem ułamek $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nie ma żadnego znaczenia. Mówi się, że wyrażenia liczbowe, które nie mają żadnego znaczenia, „nie mają znaczenia”.

Jeśli w wyrażeniach liczbowych oprócz cyfr użyjemy liter, wówczas będziemy mieli

Strona 1 z 1 1

Wyrażenia numeryczne

Wyrażenia numeryczne

Jeśli wyrażenie składa się z liczb, nawiasów, plusów i minusów oraz innych symboli operacji arytmetycznych, można je bezpiecznie nazwać numerycznym. Co jest całkiem logiczne: wystarczy jeszcze raz przyjrzeć się jego pierwszemu nazwanemu komponentowi.

Warunki wyrażenia, które nie ma sensu

Warunki wyrażenia, które nie ma sensu

Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że wyrażenia, których ostateczny wynik sprowadza się do działania zabronionego w matematyce, nie mają żadnego znaczenia. Szczerze mówiąc, wtedy sama transformacja traci sens, ale żeby się o tym przekonać, trzeba ją najpierw przeprowadzić. Taki paradoks!

Najbardziej znaną, ale nie mniej ważną zakazaną operacją matematyczną jest dzielenie przez zero.

Dlatego na przykład tutaj jest wyrażenie, które nie ma sensu:

(17+11):(5+4-10+1).

Jeśli za pomocą prostych obliczeń sprowadzimy drugi nawias do jednej cyfry, to będzie to zero.

Na tej samej zasadzie temu wyrażeniu nadaje się „tytuł honorowy”:

(5-18):(19-4-20+5).

Wyrażenia algebraiczne

Jest to to samo wyrażenie numeryczne, jeśli dodane zostaną do niego zabronione litery. Wtedy staje się pełnoprawną algebraiczną. Może również występować we wszystkich rozmiarach i kształtach. Wyrażenie algebraiczne jest szerszym pojęciem, które obejmuje poprzednie. Ale sensowne było rozpoczęcie rozmowy nie od niej, ale od liczby, aby była jaśniejsza i łatwiejsza do zrozumienia. W końcu to, czy wyrażenie algebraiczne ma sens, nie jest bardzo skomplikowaną kwestią, ale wymaga większej liczby wyjaśnień.

Dlaczego tak jest?

Wyrażenie dosłowne lub wyrażenie ze zmiennymi są synonimami. Pierwszy termin jest łatwy do wyjaśnienia: w końcu zawiera litery! To drugie też nie jest tajemnicą stulecia: zamiast liter można zastąpić inne cyfry, w efekcie czego zmieni się znaczenie wyrażenia. Nietrudno zgadnąć, że w tym przypadku zmienne są litery. Przez analogię liczby są stałymi.

I tu wracamy do głównego tematu: czym jest wyrażenie, które nie ma znaczenia?

Przykłady wyrażeń algebraicznych, które nie mają sensu

Warunek bezsensowności wyrażenia algebraicznego jest taki sam jak w przypadku wyrażenia liczbowego, z jednym tylko wyjątkiem, a dokładniej dodatkiem. Przeliczając i obliczając wynik końcowy, trzeba wziąć pod uwagę zmienne, więc pytanie nie jest zadawane w stylu „które wyrażenie nie ma sensu?”, ale „przy jakiej wartości zmiennej to wyrażenie nie będzie miało sensu?” oraz „czy istnieje wartość zmiennej, przy której wyrażenie nie będzie miało już sensu?”

Na przykład (18-3):(a+11-9).

Powyższe wyrażenie nie ma sensu, gdy a jest równe -2.

Ale o (a+3):(12-4-8) możemy śmiało powiedzieć, że jest to wyrażenie, które nie ma sensu dla żadnego a.

W ten sam sposób, cokolwiek b podstawisz w wyrażeniu (b - 11): (12+1), nadal będzie to miało sens.

Typowe problemy na temat „Wyrażenie, które nie ma sensu”

Klasa 7 uczy się tego tematu między innymi na matematyce, a zadania z tego zakresu często znajdują się zarówno bezpośrednio po odpowiedniej lekcji, jak i jako „podchwytliwe” pytanie w modułach i egzaminach.

Dlatego warto zastanowić się nad typowymi problemami i sposobami ich rozwiązywania.

Przykład 1.

Czy wyrażenie ma sens:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Konieczne jest wykonanie wszystkich obliczeń w nawiasach i doprowadzenie wyrażenia do postaci:

Wynik końcowy zawiera dzielenie przez zero, więc wyrażenie nie ma znaczenia.

Przykład 2.

Które wyrażenia nie mają sensu?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Należy obliczyć końcową wartość każdego wyrażenia.

Odpowiedź: 1; 2.

Przykład 3.

Znajdź zakres akceptowalnych wartości dla następujących wyrażeń:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Zakres dopuszczalnych wartości (VA) to wszystkie liczby, które po podstawieniu zamiast zmiennych wyrażenie będzie miało sens.

Oznacza to, że zadanie brzmi tak: znajdź wartości, przy których nie będzie podziału przez zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞) lub b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞) lub b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Przykład 4.

Przy jakich wartościach poniższe wyrażenie nie będzie miało sensu?

Drugi nawias jest równy zero, gdy gra jest równa -3.

Odpowiedź: y=-3

Przykład 4.

Które z wyrażeń nie ma sensu tylko przy x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 i 3, ponieważ w pierwszym przypadku, jeśli podstawisz x = -14, wówczas drugi nawias będzie równy -28, a nie zero, jak to brzmi w definicji wyrażenia bez znaczenia.

Przykład 5.

Wymyśl i zapisz wyrażenie, które nie ma sensu.

18/(2-46+17-33+45+15).

Wyrażenia algebraiczne z dwiema zmiennymi

Pomimo tego, że wszystkie wyrażenia nie mające sensu mają tę samą istotę, istnieją różne poziomy ich złożoności. Można więc powiedzieć, że przykłady liczbowe są prostymi przykładami, ponieważ są łatwiejsze niż algebraiczne. Liczba zmiennych w tym ostatnim zwiększa trudność rozwiązania. Ale nie powinny być mylące w swoim wyglądzie: najważniejsze jest, aby pamiętać o ogólnej zasadzie rozwiązania i zastosować ją, niezależnie od tego, czy przykład jest podobny do standardowego problemu, czy zawiera jakieś nieznane dodatki.

Może pojawić się na przykład pytanie, jak rozwiązać takie zadanie.

Znajdź i zapisz parę liczb, które są nieprawidłowe dla wyrażenia:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Możliwe odpowiedzi:

Ale tak naprawdę wygląda to tylko strasznie i uciążliwie, bo tak naprawdę zawiera to, co wiadomo od dawna: podnoszenie liczb do kwadratu i sześcianu, niektóre działania arytmetyczne, takie jak dzielenie, mnożenie, odejmowanie i dodawanie. Nawiasem mówiąc, dla wygody możesz sprowadzić problem do postaci ułamkowej.

Licznik powstałego ułamka nie jest szczęśliwy: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). To jest fakt. Ale jest jeszcze jeden powód do szczęścia: nie musisz go nawet dotykać, aby rozwiązać zadanie! Zgodnie z omówioną wcześniej definicją, nie można dzielić przez zero, a to, co dokładnie zostanie przez to podzielone, jest zupełnie nieistotne. Dlatego pozostawiamy to wyrażenie bez zmian i zastępujemy pary liczb z tych opcji w mianowniku. Już trzeci punkt pasuje idealnie, zamieniając mały nawias w zero. Ale zatrzymanie się na tym jest złą rekomendacją, ponieważ coś innego może być odpowiednie. Rzeczywiście: piąty punkt również dobrze pasuje i odpowiada warunkom.

Zapisujemy odpowiedź: 3 i 5.

Podsumowując

Jak widać temat ten jest bardzo ciekawy i niezbyt skomplikowany. Nie będzie trudno to rozgryźć. Ale nigdy nie zaszkodzi przećwiczyć kilka przykładów!