Сложные высказывания. Логические операции

Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на более простые части мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Понятие высказывания - одно из исходных, ключевых понятий современной логики. Как таковое оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются «истинностными значениями высказываний».

Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Например, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т.п.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.

Высказывание называется сложным, если оно получено с помощью логических связок из других более простых высказываний.

Рассмотрим наиболее важные способы построения сложных высказываний.

Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).

Обозначим высказывания буквами А, В, С, ... Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание А истинно, его отрицание ложно, и если А ложно, его отрицание истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» - истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» - ложно, а так как «1 есть простое число» - ложно, его отрицание «1 не есть простое число» - истинно.

Соединение двух высказываний при помощи слова «и» дает сложное высказывание, называемоеконъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким образом, называются «членами конъюнкции».

Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто, и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число и Москва - большой город», поскольку составляющие се высказывания не связаны между собой по смыслу. Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более определенным.

Соединение двух высказываний с помощью слова «или» дает дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются «членами дизъюнкции».

Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Например, высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на «Пиковую даму» или на «Аиду» допускает возможность двукратного посещения онеры. В высказывании же «Он учится в Московском или в Ярославском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает, что, по крайней мере, одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или пет. Взятая во втором, исключающему или строгом, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из высказываний истинно, а второе - ложно.

Неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны.

Исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.

В логике и математике слово «или» почти всегда употреб***яется в неисключающем значении.

Условное высказывание - сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если..., то...» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого.

Например: «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, оно делится на 3» и т.п.

Условное высказывание слагается из двух более простых высказываний. То из них, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим), высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).

Утверждая условное высказывание, мы прежде всего имеем в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в его основании, имело место, а то, о чем говорится в следствии, отсутствовало. Иными словами, не может случиться, чтобы антецедент был истинным, а консеквент - ложным.

В терминах условного высказывания обычно определяются понятия достаточного и необходимого условия: антецедент (основание) есть достаточное условие для консеквента (следствия), а консеквент - необходимое условие для антецедента. Например, истинность условного высказывания «Если выбор рационален, то выбирается лучшая из имеющихся альтернатив» означает, что рациональность - достаточное основание для избрания лучшей из имеющихся возможностей и что выбор такой возможности есть необходимое условие его рациональности.

Типичной функцией условного высказывания является обоснование одного высказывания ссылкой на другое высказывание. Например, то, что серебро электропроводно, можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: «Если серебро - металл, оно электропроводно».

Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия) трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа се относительно ясна. Эта связь может быть, во-первых, связью логического следования, имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны, а медуза является таким существом, то она смертна»); во-вторых, законом природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться»); в-третьих, причинной связью («Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, наступает солнечное затмение»); в-четвертых, социальной закономерностью, правилом, традицией и т.п. («Если меняется общество, меняется и человек», «Если совет разумен, он должен быть выполнен»).

Со связью, выражаемой условным высказыванием, обычно соединяется убеждение, что следствие с определенной необходимостью «вытекает» из основания и что имеется некоторый общий закон, сумев сформулировать который, мы могли бы логически вывести следствие из основания.

Например, условное высказывание «Если висмут - металлом пластичен» как бы предполагает общий закон "Нес металлы пластичны», делающий консеквент данного высказывания логическим следствием его антецедента.

И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание кроме функции обоснования может выполнять также ряд других задач: формулировать условие, не связанное с каким-либо подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»); фиксировать какую-либо последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»); выражать в своеобразной форме неверие («Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма»); противопоставление («Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька») и т.п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняет его анализ.

Употребление условного высказывания связано с определенными психологическими факторами. Так, обычно мы формулируем такое высказывание, только если не знаем с определенностью, истинны или нет его антецедент и консеквент. В противном случае его употребление кажется неестественным («Если вата - металл, она электропровод на»).

Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или импликации. При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление «если..., то...», освобождает его от влияния психологических факторов.

Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для условного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться с помощью нс только «если..., то...», но и других языковых средств. Например, «Так как вода жидкость, она передает давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен», «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводным» и т.п. Эти и подобные им высказывания представляются в языке логики посредством импликации, хотя употребление в них «если..., то...» было бы не совсем естественным.

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание имело место, а следствие - отсутствовало. Иными словами, импликация является ложной только в том случае, когда се основание истинно, а следствие ложно.

Это определение предполагает, как и предыдущие определения связок, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений составляющих его высказываний и от способа их связи.

Импликация истинна, когда и ее основание, и ее следствие истинны или ложны; она истинна, если ее основание ложно, а следствие истинно. Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, импликация ложна.

Импликацией не предполагается, что высказывания А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание «если А, то В» истинно независимо от того, являетсяА истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.

Например, истинным считаются высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре», «Если Волга - озеро, то Токио - большая деревня» и т.п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с А или нет. К истинным относятся высказывания: «Если Солнце - куб, то Земля - треугольник», «Если дважды два равно пять, то Токио - маленький город» и т.п.

В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.

Хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты логического поведения условного высказывания, но она не является вместе с тем достаточно адекватным его описанием.

В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении наряду с ним другого понятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.

С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность - сложное высказывание «Л, если и только если В», образованное из высказываний Ли В и разлагающееся на две импликации: «если А, то В», и «если В, то А». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «..., если и только если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «если и только если» для этой цели могут использоваться «в том и только в том случае, когда», «тогда и только тогда, когда» и т.п.

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющих ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т.е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.

Дорогие друзья, рады видеть вас на этой страничке! Дорогой посетитель, не исключено, что ты ищешь Простые цитаты с рисунками по этой тематике. Классно! Ты нашёл, что искал. Мы желаем тебе умопомрачительного чтения и самосовершенствования!

Те, кто упорно испытывает свою жизнь на прочность, рано или поздно добиваются своего эффектно оканчивают ее.

Я понял, что для того, чтобы понять смысл жизни, надо прежде всего, чтобы жизнь была не бессмысленна и зла, а потом уже разум для того, чтобы понять ее. Толстой Л. Н.

Чем сильнее любовь, тем она беззащитнее. Герцогиня Диана (Мари де Босак)

Раз в жизни фортуна стучится в дверь каждого человека, но человек в это время нередко сидит в ближайшей пивной и никакого стука не слышит. Марк Твен

Я не боюсь того, кто изучает 10,000 различных ударов. Я боюсь того, кто изучает один удар 10,000 раз.

Я ежедневно о тебе мечтаю, я думаю ночами о тебе!

Тот, кто не может располагать 2/3 дня лично для себя, должен быть назван рабом. Фридрих Ницше

Я был из тех, кто соглашается беседовать о смысле жизни для того, чтоб быть готовым править верстку на эту тему. Эко У.

Desinit in piscem mulier formosa superne — прекрасная сверху женщина оканчивается рыбьим хвостом.

Мы — рабы своих привычек. Измени свои привычки, изменится твоя жизнь. Роберт Кийосаки

Ты бы мог протянуть руку вперед и схватить счастье. Оно ведь рядом совсем! Но ты всегда смотришь только назад

Ошибки всегда можно себе простить, если только найдется смелость признать их. Брюс Ли

Первый вздох любви — это последний вздох мудрости. Антони Брет.

Дружба — это любовь без крыльев. Байрон

Если человек может сказать, что такое любовь, значит, он никого не любил.

Во что влюбился, то и целуй.

из-за не скольких людей я могу переступить через свою гордость и свой страх…

Наша любовь началась с первого взгляда.

Ревность — это измена подозрением в измене. В. Кротов

С неповторимым мужчиной — хочется повторить!

Романтически настроенной женщине претит секс без любви. Поэтому она спешит влюбиться с первого взгляда. Лидия Ясиньская

Любовь — внутри каждого, но показать её стоит лишь тем, кто открыт Вам.

Тайна любви к человеку начинается в тот момент, когда мы на него смотрим без желания им обладать, без желания над ним властвовать, без желания каким бы то ни было образом воспользоваться его дарами или его личностью — только глядим и изумляемся той красоте, что нам открылась. Антоний, митрополит Сурожский

Хотелось бы оказаться в первобытном обществе. Не нужно думать о деньгах, об армии, о каких-то званиях и научных степенях. Важны только самки, скот и рабы.

Когда человеку лежать на одном боку неудобно, он переворачивается на другой, а когда ему жить неудобно он только жалуется. А ты сделай усилие перевернись. Максим Горький

Медленная рука времени сглаживает горы. Вольтер

У женщин — все сердце, даже голова. Жан Поль

Твой поцелуй так сладок был, что я от счастья просто окрылилась!

Человек тянется, будто росток, к Светилу и становится выше. Мечтая о несбыточных грезах, достигает заоблачных высот.

Лучше настоящая дружба, чем поддельная любовь!

Нас невозможно лишить самоуважения, если только мы сами его не отдадим Ганди

Любовь — это эгоизм вдвоем.

Знания делают человека весомее, а поступки придают ему блеск. Но многие люди склонны взглянуть, но не взвесить. Т. Карлейль

Только в России любимых называют… Горе ты мое!

Безответная любовь — это не любовь, а пытка!

Адекватность умение делать две вещи: вовремя молчать и вовремя говорить.

Счастье приходит с правильными суждениями, правильные суждения приходят с опытом, а опыт приходит с ошибочными суждениями.

Не жди, что станет легче, проще, лучше. Не станет. Трудности будут всегда. Учись быть счастливым прямо сейчас. Иначе не успеешь.

Жизнь, счастливая или несчастливая, удачная или неудачная, все же исключительно интересна. Б. Шоу

Не считай себя мудрым: иначе гордостию вознесется душа твоя, и ты впадешь в руки врагов твоих. Антоний Великий

Ухаживать за своей женой ему казалось столь же нелепым, как охотиться за жареной дичью. Эмиль Кроткий

Письма, и подарки, и глянцевые картинки, выражающие нежность, важны. Но еще важнее слушать друг друга лицом к лицу, это большое и редкостное искусство. Т. Янссон.

Жизнь устроена так дьявольски искусно, что, не умея ненавидеть, невозможно искренне любить. М. Горький

Приятно,когда просто так любимый дарит тебе огромный букет, ведь приятно же, черт!

Без страха люди превращаются в безрассудных глупцов, которые часто расстаются с жизнью. Айзек Азимов Фантастическое путешествие II

Друг это одна душа, живущая в двух телах. Аристотрель

Быть человеком думающим только о себе не значит делать все, что вздумается. Это значит хотеть, чтоб весь мир жил так, как хочется тебе. — О. Уайльд

Каждая мать должна выкроить для себя несколько минут свободного времени, чтобы помыть посуду.

Простые и сложные высказывания, логиче­ские переменные и логические константы, логическое отрицание, логическое умноже­ние, логическое сложение, таблицы истин­ности для логических операций

Для автоматизации информационных процессов необходимо уметь не только единообразно представ­лять информацию различных видов (числовую, текс­товую, графическую, звуковую) в виде последова­тельностей нулей и единиц, но и определять дейст­вия, которые можно выполнять над информацией. Выполнение таких действий производится в соответ­ствии с правилами, которым подчиняется процесс мышления. Говоря иначе, в соответствии с законами логики. Термин «логика» образован от древнегрече­ского слова 1 о§ 08 , означающего «мысль, рассуждение, закон». Наука логика изучает законы и формы мыш­ления, способы доказательств.

Для описания рассуждений и правил выполне­ния действий с информацией используют специаль­ный язык, принятый в математической логике. В осно­ве рассуждений содержатся специальные предложе­ния, называемые высказываниями. В высказываниях всегда что-либо утверждается или отрицается об объ­ектах, их свойствах и отношениях между объекта­ми. Высказыванием является любое суждение, отно­сительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Высказываниями могут быть только повест­вовательные предложения. Вопросительные или по­будительные предложения высказываниями не явля­ются.

Высказывание - суждение, сформулированное в виде по­вествовательного предложения, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, вопросительные предложения «В каком году было первое летописное упоминание о Москве?» и «Что является внешней памятью компьютера?» или побудительное предло­жение «Соблюдайте правила техники безопасности в компью­терном классе» высказываниями не являются. Повествователь­ные предложения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1812 г.», «Оперативное запоминающее устройство являет­ся внешней памятью компьютера» и «В компьютерном классе не надо соблюдать правила техники безопасности» являются выска­зываниями, поскольку это суждения, о каждом из которых мож­но сказать, что оно ложно. Истинными высказываниями будут суждения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1147 г.», «Жесткий магнитный диск является внешней памятью компьютера».

Каждому высказыванию соответствует только одно из двух значений: или «истина», или «ложь», которые являются логиче­скими константами. Истинное значение принято обозначать цифрой 1, а ложное значение - цифрой 0. Высказывания можно обозначать с помощью логических переменных, в качестве кото­рых используются заглавные латинские буквы. Логические пере­менные могут принимать только одно из двух возможных значе­ний: «истина» или «ложь». Например, высказывание «Информа­ция в компьютере кодируется с помощью двух знаков» можно обозначить логической переменной А, а высказывание «Прин­тер является устройством хранения информации» можно обо­значить логической переменной В. Поскольку первое выска­зывание соответствует действительности, то А = 1. Такая запись означает, что высказывание А истинно. Так как второе высказы­вание не соответствует действительности, то В = 0. Такая запись означает, что высказывание в ложно.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием. До сих пор были приведены примеры простых высказываний, которые обозначались логическими перемены ми. Выстраивая цепочку рассуждений, человек с помощью логических операций объединяет простые высказывания в сложнее" высказывания. Чтобы узнать значение сложного высказывания нет необходимости вдумываться в его содержание. Достаточно знать значение простых высказываний, составляющих сложное высказывание, и правила выполнения логических операций.

Логическая операция - действие, позволяющее составлять сложное высказывание из простых высказываний.

Все рассуждения человека, а также работа современных тех­нических устройств основываются на типовых действиях с ин­формацией - трех логических операциях: логическом отрица­нии (инверсии), логическом умножении (конъюнкции) и логи­ческом сложении (дизъюнкции).

Логическое отрицание простого высказывания получают до­бавлением слов «Неверно, что» в начале простого высказывания.

■ ПРИМЕР 1. Имеется простое высказывание «Крокодилы уме­ют летать». Результатом логического отрицания будет высказы­вание «Неверно, что крокодилы умеют летать». Значение ис­ходного высказывания - «ложь», а значение нового - «истина».

■ ПРИМЕР 2. Имеется простое высказывание «Файл должен иметь имя». Результатом логического отрицания будет высказы­вание «Неверно, что файл должен иметь имя». Значение исход­ного высказывания - «истина», а значение нового высказыва­ния - «ложь».

Можно заметить, что логическое отрицание высказывания истинно, когда исходное высказывание ложно, и наоборот, ло­гическое отрицание высказывания ложно, когда исходное вы­сказывание истинно.

Логическое отрицание (инверсия) - логическая операция, ставящая в соответствие простому высказыванию новое высказывание, значение которого противоположно значе­нию исходного высказывания.

Обозначим простое высказывание логической переменной А. Тогда логическое отрицание этого высказывания будем обозначать НЕ А. Запишем все возможные значения логической переменной А и соответствующие результаты логического отрицания НЕ А в виде таблицы, которая называется таблицей истинности для логичес­кого отрицания (табл. 40).

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО ОТРИЦАНИЯ

Если/1 = 0, то НЕ А = 1 (см. пример 1). Если А = 1, то НЕ А = 0 (см. пример 2)

не А

Можно заметить, что в таблице истинности для логическо­го отрицания ноль меняется на единицу, а единица меняется на ноль.

Логическое умножение двух простых высказываний получа­ют объединением этих высказываний с помощью союза и. Разбе­рем на примерах 3-6, что будет являться результатом логическо­го умножения.

■ ПРИМЕР 3. Имеются два простых высказывания. Одно выска­зывание - «Карлсон живет в подвале». Другое высказывание - «Карлсон лечится мороженым».

Результатом логического умножения этих простых высказы­ваний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале, и Карлсон лечится мороженым». Можно сформулировать новое высказывание более кратко: «Карлсон живет в подвале и лечится мороженым». Оба исходных высказывания ложны. Значение но­вого сложного высказывания также «ложь».

■ ПРИМЕР 4. Имеются два простых высказывания. Первое вы­сказывание - «Карлсон живет в подвале». Второе высказыва­ние - «Карлсон лечится вареньем».

Результатом логического умножения этих простых выска­зываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подва­ле и лечится вареньем». Первое исходное высказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания - «ложь».

■ ПРИМЕР 5. Имеются два простых высказывания. Первое вы­сказывание - «Карлсон живет на крыше». Второе высказыва­ние - «Карлсон лечится мороженым».

Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится мороженым». Первое исходное высказывание истин но, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания «ложь».

* ПРИМЕР б . Имеются два простых высказывания. Одно высказывание - «Карлсон живет на крыше». Другое высказывание «Карлсон лечится вареньем».

Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится вареньем». Оба исходных высказывания истинны. Зпачение нового сложного высказывания также «истина».

Можно заметить, что логическое умножение двух высказываний истинно только в одном случае - когда оба исходных высказывания истинн ы.

Логическое умножение (конъюнкция) - логическая опера­ция, ставящая в соответствие двум простым высказывани­ям новое высказывание, значение которого истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ

Таблица 41

		A и B

Если А = 0, В =0, то А И В- 0 (см. пример 3). Если А = 0, 7? = 1, то А И В - 0 (см. пример 4). Если/1 = 1, В = 0, то А И й=0 (см. пример 5). Если Л = \, В = \, то А\\ В = \ (см. пример 6).

Можно заметить, что результаты логического умножения сов­падают с результатами обычного умножения нулей и единиц.

Логическое сложение двух простых высказываний получают объединением этих высказываний с помощью союза или. Разбе­рем на примерах 7-10, что будет являться результатом логиче­ского сложения.

ПРИМЕР 7 . Имеются два простых высказывания. Одно высказы­вание - «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов». Другое высказывание - «Комедию «Ревизор» написал И. А. Крылов».

Результатом логического сложения этих простых высказыва­ний будет сложное высказывание «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов или И. А. Крылов». Оба исходных высказыва­ний ложны. Значение нового сложного высказывания также «ложь».

ПРИМЕР 8. Имеются два простых высказывания. Первое выска­зывание - «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов». Вто­рое высказывание - «Комедию «Ревизор» написал Н. В. Гоголь».

Результатом логического сложения этих простых высказыва­ ний будет сложное высказывание «Комедию «Ревизор» написал М, К). Лермонтов или Н. В. Гоголь». Первое исходное вы ысказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания - «истина» .

ПРИМЕР 9 . Имеются два простых высказывания. Первое высказывание - «Поэму «Мцыри» написал М. Ю. Лермонтов». Второе высказывание - «Поэму «Мцыри» написал Н. В. Гоголь» . Результатом логического сложения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Поэму «Мцыри» написал М. Ю. Лермонтов или Н. В. Гоголь». Первое исходное высказывание истинно, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания - «истина» .

ПРИМЕР 10 . Имеются два простых высказывания. Одно высказывание - «А. С. Пушкин писал стихи» Другое высказывание -«А. С. Пушкин писал прозу». Результатом логического сложения этих простых высказываний будет сложное высказывание «А. С. Пушкин писал стихи или прозу». Оба исходных высказывания истинны. Значение нового сложного высказывания также «истина» .

Можно заметить, что логическое сложение двух высказываний ложно только в одном случае - когда оба исходных высказывания ложны.

Логическое сложение (дизъюнкция) - логическая операция, ставящая в соответствие двум простым высказываниям новое высказывание, значение которого ложно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Обозначим одно простое высказывание логической переменной А, а другое простое высказывание логической переменной В.

Тогда логическое сложение этих высказываний будем обозначать А ИЛИ В

Запишем все возможные значения логических переменных A , B , а так же соответствующий результат логического сложения А ИЛИ В в виде таблицы которая называется таблицей истинности.

Действия с двоичными знаками выполняются в соответствии с таблицами истинности для логического сложения

Если А=0, В =0, то А ИЛИ В =0 (см.пример 7) Если А=0, В =1, то А ИЛИ В =1 (см.пример 8) Если А=1, В =0, то А ИЛИ В =1 (см.пример 9) Если А=1, В =1, то А ИЛИ В =1 (см.пример 10)

А ИЛИ В

Можно заметить, что результаты логического сложения, кроме последней строки, совпадают с результатами обычного сложения нулей и единиц.

Таким образом, используя язык логики, рассуждения можно заменить действиями с высказываниями. Высказываниям, в свою очередь, можно поставить в соответствие двоичный знак - 0 или 1. Действия с двоичными знаками выполняются в соответствии с таблицами истинности для основных логических операций логического отрицания, логического умножения и логического сложения (см. табл. 40-42)

23. Высказывания. Логические операции

Логическое сложение (дизъюнкция) двух высказываний ложно

1) тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны

2) тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны

3) когда хотя бы одно высказывание истинно

4) когда хотя бы одно высказывание ложно

Логические выражения. Выполнение логических операций

Запись логических выражений, приоритет выполнения логических операций, нахождение значения логического выражения, выполнение логических операций с информацией различного вида Логическое отрицание, логическое умножение и логическое сложение образуют полную систему логических операций, с помощью которой можно составить любое сложное высказывание и определить его истинность. При описании рассуждений с помощью языка математической логики простые высказывания обозначаются логическими переменными (латинскими буквами), значения высказываний обозначаются логическими константами (нулями или единицами), а логические операции обозначаются специальными связками (НЕ, И, ИЛИ). Запись, составляемая с помощью таких переменных, констант и связок, получила название логического выражения.

Логическое выражение - символическая запись на языке математической логики, составленная из логических переменных или логических констант, объединенных логическими операциями (связками).

При нахождении значения логического выражения логические операции выполняются в определенном порядке, согласно их приоритету - вначале логическое отрицание, потом логическое умножение и лишь затем логическое сложение. Логические операции, имеющие один и тот же приоритет, выполняются слева направо. Для изменения порядка выполнения логических операций используются скобки.

■ ПРИМЕР 1. Дано простое истинное высказывание А = «Аристотель - древнегреческий философ» и простое ложное высказывание В = «Аристотель - древнерусский философ».

Действия над информацией. Основные операции

значения сложных высказываний, которые соответствуют следующим логическим выражениям:

1) НЕ А;

2) А ИЛИ В;

3) А И (НЕВ).

Решение. 1) Результатом логического отрицания высказывания А будет высказывание «Неверно, что Аристотель - древнегреческий философ». Поскольку значение исходного высказывания «истина» А = 1, то значение логического отрицания этого высказывания «ложь» НЕ А =0 (см. табл. 40). 2) Результатом логического сложения двух высказываний будет высказывание «Аристотель - древнегреческий или Аристотель -древнерусский философ». Поскольку значение первого исходного высказывания «истина» А = 1, а значение второго исходного высказывания «ложь» В = 0, то значение логического сложения этих высказываний «истина» А ИЛИ В =1 (см. табл. 42). 3) Результатом логического умножения высказывания А и логического отрицания высказывания В будет высказывание «Аристотель - древнегреческий философ, и неверно, что Аристотель - древнерусский философ». Вначале выполняем логическое отрицание высказывания В. Поскольку значение исходного высказывания «ложь» В = 0, то значение логического отрицания этого высказывания «истина» НЕ В = 1 (см. табл. 40). Поскольку значение первого исходного высказывания «истина» А = 1 и значение логического отрицания второго исходного высказывания «истина» НЕ В =1, то значение логического умножения этих высказываний «истина» А И (НЕ В) =1

(см. табл. 41)

Ответ. 1) «Ложь»; 2) «истина»; 3) «истина». Для нахождения значения сложного высказывания достаточно знать значения простых высказываний, входящих в сложное высказывание, и правила выполнения логических операций, которые объединяют эти простые высказывания.

■ ПРИМЕР 2. Найти значение логического выражения НЕ А ИЛИ (0 ИЛИ 1) И (НЕ В И 1), если значения логических переменных А =1, В =0.

Решение . 1) Заменим в логическом выражении логические переменные логическими константами. НЕАИЛИ(0ИЛИ 1)И(НЕВИ 1)= =НЕ1ИЛИ(0ИЛИ1)И(НЕ0И1).

2) Определим последовательность выполнения логических операций в соответствии с их приоритетом. НЕ4 1 ИЛИ6 (0 ИЛИ1 1) И5 (НЕг 0 И3 1).

Под высказыванием понимается языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинно оно или ложно. Выска­зывание, в отличие от суждений, не имеет личностного характера.

Вопросы, просьбы, приказы, восклицания, отдельные слова (кро­ме случаев, когда они выступают представителями высказываний ти­па «вечереет», «похолодало» и т. п.) не являются высказываниями. Истинность и ложность высказываний являются их логическими зна­чениями.

Высказывания делятся на атрибутивные, экзистенциальные и ре­ляционные.

Атрибутивными называются высказывания, в которых утвер­ждается или отрицается свойство или состояние предмета.

Экзистенциальными называются высказывания, которые ут­верждают или отрицают факт существования.

Реляционными называются высказывания, выражающие отно­шения между предметами.

Высказывания, как и их логические формы, бывают простыми и сложными. Сложное высказывание можно разбить на простые. Простые высказывания на более простые не расчленяются.

Простое атрибутивное высказывание имеет структуру, в которую входят субъект, предикат и связка.

Субъект высказывания (S) - это та часть высказывания, которая выражает предмет мысли.

Предикат высказывания (Р) - это часть высказывания, в которой отображается признак предмета мысли, его свойство, состояние, отношение.

Субъект (S) и предикат (Р) называются терминами. Связка указывает на то, в каком взаимоотношении находятся между собой термины (S и Р).

В атрибутивных высказываниях часто используются кванторы существования и общности.

Атрибутивные высказывания делятся по качеству и количеству.

По качеству они делятся на утвердительные и отрицательные. В утвердительных указывается на принадлежность (наличие) призна­ка, мыслимого в предикате, субъекту высказывания: «S есть Р». На­пример: «Платон - философ-идеалист». В отрицательных указыва­ется на непринадлежность предиката его субъекту: «S не есть Р».

По количеству высказывания делятся на единичные, частные и общие. Имеется в виду совокупность (число, количество) индиви­дуальных предметов, составляющих имя класса субъекта.

В единичных высказываниях субъект состоит из одного предмета.

Частные высказывания имеют форму: «Некоторые S есть (не есть) Р».

В общих высказываниях субъект охватывает все предметы. Та­кие высказывания имеют форму: «Все S есть (не есть) Р».

Высказывания классифицируются по качеству и количеству. Вы­деляются 4 класса высказываний:

1) общеутвердительное (А) - общее по количеству и утверди­тельное по качеству («Все S есть Р»);

2) частноутвердительное (J) - частное по количеству и утвер­дительное по качеству («Некоторые S есть Р»);

3) общеотрицательное (Е) - общее по количеству и отрица­тельное по качеству («Ни одно S не есть Р»);

4) частноотрицательное (О) - частное по количеству и отри­цательное по качеству («Некоторые S не есть Р»).

В каждом классе высказываний соотношение объемов S и Р (тер­минов) различно. В логике проблема соотношения объемов S и Р называется проблемой распределенности терминов. Термин распределен, если он полностью входит в объем другого термина или полностью из него исключается.

В классе А |Все S есть Р| субъект полно­стью распределен в предикате, а предикат не распределен.

Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на более простые части мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Понятие высказывания - одно из исходных, ключевых понятий логики. Как таковое оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным - если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются «истинностными значениями высказываний».

Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания.

Например, из высказывания «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер, и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т. п.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказывании в качестве своих частей.

Высказывание называется сложным , если оно получено с помощью логических связок из других более простых высказываний.

Рассмотрим наиболее важные способы построения сложных высказываний.

Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).

Обозначим высказывания буквами А, В, С,… Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание А истинно, его отрицание ложно, и если А ложно, его отрицание истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» ложно, а так как «1 есть простое число» ложно, его отрицание «1 не есть простое число» истинно.

Соединение двух высказываний при помощи слова «и» дает сложное высказывание, называемое конъюнкцией . Высказывания, соединяемые таким образом, называются «членами конъюнкции».

Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто, и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число, и Москва - большой город», поскольку составляющие ее высказывания не связаны между собой по смыслу. Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.

Соединение двух высказываний с помощью слова «или» дает дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются «членами дизъюнкции».

Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Например, высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на „Пиковую даму“ или на „Аиду“» допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании «Он учится в Московском или Ярославском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем , или строгом, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из высказываний истинно, а второе - ложно.

Неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны.

Исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.

В логике и математике слово «или» почти всегда употребляется в неисключающем значении.

Условное высказывание - сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если …, то …» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т. п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого.

Например: «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, оно делится на 3» и т. п.

Условное высказывание слагается из двух более простых высказываний. То из них, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим), высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).

Утверждая условное высказывание, мы прежде всего имеем в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в его основании, имело место, а то, о чем говорится в следствии, отсутствовало. Иными словами, не может случиться, чтобы антецедент был истинным, а консеквент - ложным.

В терминах условного высказывания обычно определяются понятия достаточного и необходимого условия:антецедент (основание) есть достаточное условие для консеквента (следствия), а консеквент - необходимое условие для антецедента. Например, истинность условного высказывания «Если выбор рационален, то выбирается лучшая из имеющихся альтернатив» означает, что рациональность - достаточное основание для избрания лучшей из имеющихся возможностей и что выбор такой возможности есть необходимое условие его рациональности.

Типичной функцией условного высказывания является обоснование одного высказывания ссылкой на другое высказывание. Например, то, что серебро электропроводно, можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: «Если серебро - металл, оно электропроводно».

Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия) трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа ее относительно ясна. Эта связь может быть, во­первых, связью логического следования, имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны, а медуза является таким существом, то она смертна»); во­вторых, законом природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться»); в­третьих, причинной связью («Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, наступает солнечное затмение»); в­четвертых, социальной закономерностью, правилом, традицией («Если меняется общество, меняется также человек», «Если совет разумен, он должен быть выполнен») и т. п.

Со связью, выражаемой условным высказыванием, обычно соединяется убеждение, что следствие с определенной необходимостью «вытекает» из основания и что имеется некоторый общий закон, сумев сформулировать который, мы могли бы логически вывести следствие из основания.

Например, условное высказывание «Если висмут - металл, он пластичен» как бы предполагает общий закон «Все металлы пластичны», делающий консеквент данного высказывания логическим следствием его антецедента.

И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание кроме функции обоснования может выполнять также ряд других задач: формулировать условие, не связанное с каким­либо подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»); фиксировать какую­то последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»); выражать в своеобразной форме неверие («Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма»); противопоставление («Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька») и т. п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняет его анализ.

Употребление условного высказывания связано с определенными психологическими факторами. Обычно мы формулируем такое высказывание, только если не знаем с определенностью, истинны или нет его антецедент и консеквент. В противном случае его употребление кажется неестественным («Если вата - металл, она электропроводна»).

Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания , или импликации . При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление «если…, то…», освобождает его от влияния психологических факторов.

Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для условного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться с помощью не только «если…, то…», но и других языковых средств.

Например, «Так как вода жидкость, она передает давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен», «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводно» и т. п. Эти и подобные им высказывания представляются в языке логики посредством импликации, хотя употребление в них «если…, то…» было бы не совсем естественным.

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание имело место, а следствие отсутствовало. Иными словами, импликация является ложной только в том случае, когда ее основание истинно, а следствие ложно.

Это определение предполагает, как и предыдущие определения связок, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений составляющих его высказываний и способа их связи.

Импликация истинна, когда и ее основание, и ее следствие истинны или ложны; она истинна, если ее основание ложно, а следствие истинно. Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, импликация ложна.

Импликацией не предполагается, что высказывания А и В как­то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.

Например, истинным считаются высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре», «Если Волга - озеро, то Токио - большая деревня» и т. п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно, и при этом опять­таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с А или нет. К истинным относятся высказывания: «Если Солнце - куб, то Земля - треугольник», «Если дважды два равно пять, то Токио - маленький город» и т. п.

В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.

Хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты логического поведения условного высказывания, но она не является вместе с тем достаточно адекватным его описанием.

В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении наряду с ним другого понятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.

С импликацией тесно связана эквивалентность , называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность - сложное высказывание «А, если и только если В», образованное из высказываний А и В и разлагающееся на две импликации: «если А, то В», и «если В, то А». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «…, если и только если…», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «если и только если» для этой цели могут использоваться «в том и только в том случае, когда», «тогда и только тогда, когда » и т. п.

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющих ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда они оба истинны и оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.

При рассмотрении способов образования сложных высказываний из простых внутреннее строение простых высказываний во внимание не принималось. Они брались как неразложимые частицы, обладающие только одним свойством: быть истинными или ложными. Простые высказывания

не случайно иногда называют атомарными: из них, как из элементарных кирпичиков, с помощью логических связок «и», «или» и т. п. строятся разнообразные сложные («молекулярные») высказывания.

Теперь следует остановиться на вопросе о внутреннем строении, или внутренней структуре, самих простых высказываний: из каких конкретных частей они слагаются и как эти части связаны между собой.

Сразу же нужно подчеркнуть, что простые высказывания могут разлагаться на составные части по­разному. Результат разложения зависит от цели, ради которой оно осуществляется, т. е. от той концепции логического вывода (логического следования), в рамках которой анализируются такие высказывания.

Особый интерес к категорическим высказывания объясняется прежде всего тем, что с изучения их логических связей началось развитие логики как науки. Кроме того, высказывания этого типа широко используются в наших рассуждениях. Теория логических связей категорических высказываний обычно именуется силлогистикой .

Например, в высказывании «Все динозавры вымерли» динозаврам приписывается признак «быть вымершими». В суждении «Некоторые динозавры летали» способность летать приписывается отдельным видам динозавров. В суждении «Все кометы не астероиды» отрицается наличие признака «быть астероидом» у каждой из комет. В суждении «Некоторые животные не являются травоядными» отрицается травоядность некоторых животных.

Если отвлечься от количественной характеристики, содержащейся в категорическом высказывании и выражающейся словами «все» и «некоторые», то получится два варианта таких высказываний: утвердительный и отрицательный. Их структура:

«S есть Р» и «S не есть Р»,

где буква S представляет имя того предмета, о котором идет речь в высказывании, а буква Р - имя признака, присущего или не присущего этому предмету.

Имя предмета, о котором говорится в категорическом высказывании, называется субъектом , а имя его признака - предикатом . Субъект и предикат именуются терминами категорического высказывания и соединяются между собой связками «есть» или «не есть» («является» или «не является» и т. п.). Например, в высказывании «Солнце есть звезда» терминами являются имена «Солнце» и «звезда» (первый из них - субъект высказывания, второй - его предикат), а слово «есть» - связка.

Простые высказывания типа «S есть (не есть) Р» называют атрибутивными: в них осуществляется атрибуция (приписывание) какого­то свойства предмету.

Атрибутивным высказываниям противостоят высказывания об отношениях, в которых устанавливаются отношения между двумя или большим числом предметов: «Три меньше пяти», «Киев больше Одессы», «Весна лучше осени», «Париж находится между Москвой и НьюЙорком» и т. п. Высказывания об отношениях играют существенную роль в науке, особенно в математике. Они не сводятся к категорическим высказываниям, поскольку отношения между несколькими предметами (такие, как «равно», «любит», «теплее», «находится между» и т. д.) не сводятся к свойствам отдельных предметов. Одним из существенных недостатков традиционной логики являлось то, что она считала суждения об отношениях сводимыми к суждениям о свойствах.

В категорическом высказывании не просто устанавливается связь предмета и признака, но и дается определенная количественная характеристика субъекта высказывания. В высказываниях типа «Все S есть (не есть) Р» слово «все» означает «каждый из предметов соответствующего класса». В высказываниях типа «Некоторые S есть (не есть) Р» слово «некоторые» употребляется в неисключающем смысле и означает «некоторые, а может быть все». В исключающем смысле слово «некоторые» означает «только некоторые», или «некоторые, но не все». Различие между двумя смыслами этого слова можно продемонстрировать на примере высказывания «Некоторые звезды есть звезды». В неисключающем смысле оно означает «Некоторые, а возможно, и все звезды являются звездами» и является, очевидно, истинным. В исключающем же смысле данное высказывание означает «Лишь некоторые звезды являются звездами» и является явно ложным.

В категорических высказываниях утверждается или отрицается принадлежность каких­то признаков рассматриваемым предметам и указывается, идет ли речь обо всех этих предметах или же о некоторых из них.

Возможны, таким образом, четыре вида категорических высказываний:

Все S есть Р - общеутвердительное высказывание,

Некоторые S есть Р - частноутвердительное высказывание,

Все S не есть Р - общеотрицательное высказывание,

Некоторые S не есть Р - частноотрицательное высказывание.

Категорические высказывания можно рассматривать как результаты подстановки каких­то имен в следующие выражения с пробелами (многоточиями): «Все … есть …», «Некоторые … есть …», «Все … не есть …» и «Некоторые … не есть …». Каждое из этих выражений является логической постоянной (логической операцией), позволяющей из двух имен получить высказывание. Например, подставляя вместо многоточий имена «летающие» и «птицы», получаем, соответственно, следующие высказывания: «Все летающие есть птицы», «Некоторые летающие есть птицы»,

Умозаключения

«Все летающие не есть птицы» и «Некоторые летающие не есть птицы». Первое и третье высказывания являются ложными, а второе и четвертое - истинными.

Умозаключения

«По одной капле воды человек, умеющий мыслить логически, может сделать вывод о существовании Атлантического океана или Ниагарского водопада, даже если он не видал ни того ни другого и никогда о них не слыхал… По ногтям человека, по его рукам, обуви, сгибу брюк на коленях, по утолщениям кожи на большом и указательном пальцах, по выражению лица и обшлагам рубашки - по таким мелочам нетрудно угадать его профессию. И можно не сомневаться, что все это, вместе взятое, подскажет сведущему наблюдателю верные выводы».

Это цитата из программной статьи самого знаменитого в мировой литературе сыщика­консультанта Шерлока Холмса. Исходя из мельчайших деталей, он строил логически безупречные цепи рассуждений и раскрывал запутанные преступления, причем часто не выходя из своей квартиры на Бейкер­стрит. Холмс использовал созданный им самим дедуктивный метод, ставящий, как полагал его друг доктор Ватсон, раскрытие преступлений на грань точной науки.

Конечно, Холмс несколько преувеличивал значение дедукции в криминалистике, но его рассуждения о дедуктивном методе сделали свое дело. «Дедукция» из специального и известного только немногим термина превратилась в общеупотребительное и даже модное понятие. Популяризация искусства правильного рассуждения, и прежде всего дедуктивного рассуждения, - не меньшая заслуга Холмса, чем все раскрытые им преступления. Ему удалось «придать логике прелесть грезы, пробирающейся сквозь хрустальный лабиринт возможных дедукций к единственному сияющему выводу» (В. Набоков).

Дедукция - это частный случай умозаключения.

В широком смысле умозаключение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких принятых утверждений (посылок) получается новое утверждение - заключение (вывод, следствие).

В зависимости от того, существует ли между посылками и заключением связь логического следования , можно выделить два вида умозаключений.

В основе дедуктивного умозаключения лежит логический закон, в силу чего заключение с логической необходимостью вытекает из принятых посылок.

Отличительная особенность такого умозаключения в том, что оно от истинных посылок всегда ведет к истинному заключению.

В индуктивном умозаключении связь посылок и заключения опирается не на закон логики, а на некоторые фактические или психологические основания, не имеющие чисто формального характера.

В таком умозаключении заключение не следует логически из посылок и может содержать информацию, отсутствующую в них. Достоверность посылок не означает поэтому достоверности выведенного из них индуктивно утверждения. Индукция дает только вероятные, или правдоподобные , заключения, нуждающиеся в дальнейшей проверке.

К дедуктивным относятся, к примеру, такие умозаключения:

Если идет дождь, земля мокрая. Идет дождь.

Земля мокрая.

Если гелий - металл, он электропроводен. Гелий не электропроводен.

Гелий не металл.

Черта, отделяющая посылки от заключения, заменяет, как обычно, слово «следовательно».

Примерами индукции могут служить рассуждения:

Аргентина является республикой; Бразилия - республика; Венесуэла - республика; Эквадор - республика.

Аргентина, Бразилия, Венесуэла, Эквадор - латиноамериканские государства.

Все латиноамериканские государства являются республиками.

Италия - республика, Португалия - республика, Финляндия – республика, Франция - республика.

Италия, Португалия, Финляндия, Франция - западноевропейские страны.

Все западноевропейские страны являются республиками.

Индукция не дает полной гарантии получения новой истины из уже имеющихся. Максимум, о котором можно говорить, - это определенная степень вероятности выводимого утверждения. Так посылки и первого и второго индуктивного умозаключения истинны, но заключение первого из них истинно, а второго - ложно. Действительно, все латиноамериканские государства - республики; но среди западноевропейских стран имеются не только республики, но и монархии, например Англия, Бельгия и Испания.

Умозаключения

Особенно характерными дедукциями являются логические переходы от общего знания к частному, типа:

Все металлы пластичны. Медь - металл.

Медь пластична.

Во всех случаях, когда требуется рассмотреть какие­то явления на основании уже известного общего правила и вывести в отношении этих явлений необходимое заключение, мы умозаключаем в форме дедукции. Рассуждения, ведущие от знания о части предметов (частного знания) к знанию обо всех предметах определенного класса (общему знанию), - это типичные индукции. Всегда остается вероятность того, что обобщение окажется поспешным и необоснованным («Наполеон - полководец; Суворов - полководец; значит, каждый человек полководец»).

Нельзя вместе с тем отождествлять дедукцию с переходом от общего к частному, а индукцию - с переходом от частного к общему.

В рассуждении «Шекспир писал сонеты; следовательно, неверно, что Шекспир не писал сонетов» есть дедукция, но нет перехода от общего к частному. Рассуждение «Если алюминий пластичен или глина пластична, то алюминий пластичен» является, как принято думать, индуктивным, но в нем нет перехода от частного к общему.

Дедукция - это выведение заключений, столь же достоверных, как и принятые посылки, индукция - выведение вероятных (правдоподобных) заключений. К индуктивным умозаключениям относятся как переходы от частного к общему, так и аналогия, методы установления причинных связей, подтверждение следствий, целевое обоснование и т. д.

Тот особый интерес, который проявляется к дедуктивным умозаключениям, понятен. Они позволяют из уже имеющегося знания получать новые истины, и притом с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции, здравому смыслу и т. п. Дедукция дает стопроцентную гарантию успеха, а не просто обеспечивает ту или иную - быть может, и высокую - вероятность истинного заключения. Отправляясь от истинных посылок и рассуждая дедуктивно, мы обязательно во всех случаях получим достоверное знание.

Подчеркивая важность дедукции в процессе развертывания и обоснования знания, не следует, однако, отрывать ее от индукции и недооценивать последнюю. Почти все общие положения, включая и научные законы, являются результатами индуктивного обобщения. В этом смысле индукция - основа нашего знания. Сама по себе она не гарантирует его истинности и обоснованности, но она порождает предположения, связывает их с опытом и тем самым сообщает им определенное правдоподобие, более или менее высокую степень вероятности. Опыт - источник и фундамент человеческого знания. Индукция, отправляющаяся от того, что постигается в опыте, является необходимым средством его обобщения и систематизации.

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Глава

Понятие логического закона

Логические законы составляют основу человеческого мышления. Они определяют, когда из одних высказываний логически вытекают другие высказывания, и представляют собой тот невидимый железный каркас, на котором держится последовательное рассуждение и без которого оно превращается в хаотическую, бессвязную речь. Без логического закона нельзя понять, что такое логическое следование, а тем самым - что такое доказательство.

Правильное, или, как обычно говорят, логичное, мышление, - это мышление по законам логики, по тем абстрактным схемам, которые фиксируются ими. Отсюда понятна вся важность данных законов.

Однородные логические законы объединяются в логические системы, которые тоже обычно именуются «логиками». Каждая из них дает описание логической структуры определенного фрагмента, или типа, наших рассуждений.

Например, законы, описывающие логические связи высказываний, не зависящие от внутренней структуры последних, объединяются в систему, именуемую «логикой высказываний». Логические законы, определяющие связи категорических высказываний, образуют логическую систему, называемую «логикой категорических высказываний», или «силлогистикой», и т. д.

Логические законы объективны и не зависят от воли и сознания человека. Они не являются результатом соглашения между людьми, некоторой специально разработанной или стихийно сложившейся конвенции. Они не являются и порождением какого­то «мирового духа», как полагал когда­то Платон. Власть законов логики над человеком, их обязательная для правильного мышления сила обусловлена тем, что они представляют отображение в человеческом мышлении реального мира и многовекового опыта его познания и преобразования человеком.

Подобно всем иным научным законам, логические законы являются универсальными и необходимыми. Они действуют всегда и везде, распространяясь в равной мере на всех людей и на любые эпохи. Представители

Понятие логического закона

разных наций и разных культур, мужчины и женщины, древние египтяне и современные полинезийцы с точки зрения логики своих рассуждений не отличаются друг от друга.

Присущая логическим законам необходимость в каком­то смысле даже более настоятельна и непреложна, чем природная, или физическая, необходимость. Невозможно даже представить, чтобы логически необходимое было иным. Если что­то противоречит законам природы и является физически невозможным, то никакой инженер, при всей его одаренности, не сумеет реализовать это. Но если нечто противоречит законам логики и является логически невозможным, то не только инженер - даже всемогущее существо, если бы оно вдруг появилось, не смогло бы воплотить это в жизнь.

Как уже говорилось ранее, в правильном рассуждении заключение вытекает из посылок с логической необходимостью, и общая схема такого рассуждения представляет собой логический закон.

Число схем правильного рассуждения (логических законов) бесконечно. Многие из этих схем известны нам из практики рассуждения. Мы применяем их интуитивно, не отдавая себе отчета, что в каждом правильно проведенном нами умозаключении используется тот или иной логический закон.

Прежде чем ввести общее понятие логического закона, приведем несколько примеров схем рассуждения, представляющих собой логические законы. Вместо переменных А, В, С, …, используемых обычно для обозначения высказываний, воспользуемся, как это делалось еще в античности, словами «первое» и «второе», заменяющими переменные.

«Если есть первое, то есть второе; есть первое; следовательно, естьвторое». Эта схема рассуждения позволяет от утверждения условного высказывания («Если есть первое, то есть второе») и утверждения его основания («Есть первое») перейти к утверждению следствия («Есть второе»). По этой схеме протекает, в частности, рассуждение: «Если лед нагревают, он тает; лед нагревают; следовательно, он тает».

Еще одна схема правильного рассуждения: «Либо имеет место первое, либо второе; есть первое; значит, нет второго». Посредством этой схемы от двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы. Например: «Либо Достоевский родился в Москве, либо он родился в Петербурге. Достоевский родился в Москве. Значит, неверно, что он родился в Петербурге». В американском вестерне «Хороший, плохой и злой» один отрицательный герой говорит другому: «Запомни, мир делится на две части: на тех, кто держит револьвер, и тех, кто копает. Револьвер сейчас у меня, так что бери лопату». Это рассуждение также опирается на указанную схему.

И последний предварительный пример логического закона, или общей схемы правильного рассуждения: «Имеет место первое или второе. Но первого нет. Значит, имеет место второе». Подставим вместо выражения «первое» высказывание «Сейчас день», а вместо «второго» - высказывание «Сейчас ночь». Из абстрактной схемы получаем рассуждение: «Сейчас день или сейчас ночь. Но неверно, что сейчас день.

Значит, сейчас ночь».

Таковы некоторые простые схемы правильного рассуждения, иллюстрирующие понятие логического закона. Сотни и сотни подобных схем сидят у нас в голове, хотя мы и не осознаем этого. Опираясь на них, мы рассуждаем логично, или правильно.

Закон логики (логический закон) - выражение, включающее только логические постоянные и переменные вместо содержательных частей и являющееся истинным в любой области рассуждений.

Возьмем в качестве примера выражения, состоящего только из переменных и логических постоянных, выражение: «Если А, то В; значит, если не­А, то не­В». Логическими постоянными здесь являются пропозициональные связки «если, то» и «не». Переменные А и В представляют какието высказывания. Допустим, А - это высказывание «Имеется причина», а В - высказывание «Есть следствие». С данным конкретным содержанием получаем рассуждение: «Если имеется причина, то есть следствие; значит, если нет следствия, то нет и причины». Предположим, далее, что вместо А подставляется высказывание «Число делится на шесть», а вместо В - высказывание «Число делится на три». С этим конкретным содержанием на основе рассматриваемой схемы получаем рассуждение: «Если число делится на шесть, оно делится на три. Следовательно, если число не делится на три, оно не делится на шесть». Какие бы иные высказывания ни подставлялись вместо переменных А и В, если эти высказывания истинны, то и выводимое из них заключение будет истинным.

В логике обычно делается оговорка, что та область объектов, о которой ведется рассуждение и о которой говорят подставляемые в логический закон высказывания, не может быть пустой: в ней должен иметься хотя бы один предмет. В противном случае рассуждение по схеме, представляющей собой закон логики, может вести от истинных посылок к ложному заключению.

Например, из истинных посылок «Все слоны - животные» и «Все слоны имеют хобот» по закону логики вытекает истинное заключение «Некоторые животные имеют хобот». Но если область объектов, о которой идет речь, является пустой, следование закону логики не гарантирует истинного заключения при истинных посылках. Будем рассуждать по такой же схеме, но уже о золотых горах. Построим умозаключение: «Все золотые горы есть горы; все золотые горы - золотые; следовательно, некоторые горы - золотые». Обе посылки этого умозаключения истинны. Но его заключение «Некоторые горы - золотые» явно ложно: ни одной золотой горы не существует.

Понятие логического закона

Таким образом, для рассуждений, опирающихся на закон логики, характерны две особенности:

Такие рассуждения всегда ведут от истинных посылок к истинному заключению;

Следствие вытекает из посылок с логической необходимостью.

Логический закон принято называть также логической тавтологией .

Логическая тавтология - выражение, остающееся истинным, независимо от того, о каких объектах идет речь, или «всегда истинное» выражение.

Например, все результаты подстановок в логический закон двойного отрицания «Если А, то неверно, что не­А» являются истинными высказываниями: «Если сажа черная, то неверно, что она не является черной», «Если человек дрожит от страха, то неверно, что он не дрожит от страха» и т. д.

Как уже говорилось, понятие логического закона непосредственно связано с понятием логического следования: заключение логически следует из принятых посылок, если оно связано с ними логическим законом. К примеру, из посылок «Если А, то В» и «Если В, то С» логически следует заключение «Если А, то С», поскольку выражение «Если А, то В, и если В, то С, то если А, то С» представляет собой логический закон, а именно закон транзитивности (переходности). Скажем, из посылок «Если человек отец, то он родитель» и «Если человек родитель, то он отец или мать» по этому закону вытекает следствие «Если человек отец, то он отец или мать».

Логическое следование - отношение между посылками и заключением умозаключения, общая схема которого представляет собой логический закон.

Поскольку связь логического следования опирается на логический закон, для нее характерны две особенности:

Логическое следование ведет от истинных посылок только к истинному заключению;

Заключение, следующее из посылок, вытекает из них с логической необходимостью.

Не все логические законы непосредственно определяют понятие логического следования. Имеются законы, описывающие другие логические связи: «и», «или», «неверно, что» и т. д. и только косвенно связанные с отношением логического следования. Таков, в частности, рассматриваемый далее закон противоречия: «Неверно, что произвольно взятое высказывание и