Сопротивление однородного цилиндрического проводника с постоянным сечением. Электрическое сопротивление — Гипермаркет знаний

Маринчук М. Об электрическом сопротивлении проводников //Квант. - 1990. - № 5. - С. 53-55.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как вам, безусловно, известно, электрическое сопротивление проводника зависит от материала, из которого он изготовлен, от размеров и формы проводника. Так, например, для однородного проводника постоянного сечения S и длиной l сопротивление

\(~R = \rho \frac lS\) , (1)

где ρ - удельное электрическое сопротивление. Иногда бывает удобнее говорить не о сопротивлении проводника, а об обратной ему величине - электрической проводимости.

Первым физиком, попытавшимся выяснить количественные закономерности прохождения постоянного электрического тока через проводники, был скромный школьный учитель из Кельна Георг Симон Ом (1789-1854). Результаты своих первых опытов Ом опубликовал в 1826 году.

Разумеется, в распоряжении Ома не было современных нам высокоточных электроизмерительных приборов и надежных источников тока, поэтому Ому по ходу дела пришлось решить целый ряд сложных практических задач.

Так, в качестве источников тока в своих первых опытах Ом использовал вольтовы столбы - чередующиеся слои двух разнородных металлов (например, серебра и цинка), разделенных бумагой, пропитанной раствором соли. При этом он заметил, что сила тока в гальванической цепи со временем заметно убывает. Ясно, что в таких условиях было почти бессмысленно заниматься установлением каких-либо количественных закономерностей. Когда же Ом познакомился с работами Зеебека (Томас Иоганн Зеебек (1770-1831) - немецкий физик), открывшего в 1821 году термоэлектрический эффект, то стал использовать в своих опытах термоэлемент, дающий достаточно стабильный ток. В установке Ома, схема которой изображена на рисунке 1, использовался термоэлемент, состоящий из висмутого стержня, спаянного с двумя медными проводами. Спай 1 поддерживался при температуре таяния льда, а спай 2 - при температуре кипения воды. Свободные концы 3 и 4 проводов были погружены в чашечки со ртутью. Сюда же погружались и предварительно зачищенные для лучшего контакта концы исследуемых проволок 5 .

Узнав об опытах Эрстеда (Ханс Кристиан Эрстед (1777-1851) - датский физик), обнаружившего в 1820 году действие электрического тока на магнитную стрелку, Ом решил характеризовать силу тока величиной угла отклонения магнитной стрелки, находящейся около проводника с током. Для этого проводник помещался в плоскости магнитного меридиана (см. рис. 1), в отсутствие тока в проводнике магнитная стрелка 6 располагалась над ним и была параллельной ему, а слегка сплющенная проволока 7 , к которой подвешивалась стрелка, деформирована не была. При протекании тока через проводник магнитная стрелка выходила из плоскости магнитного меридиана и закручивала подвес. Ом поворачивал головку 8 , где был закреплен верхний конец подвеса, так, чтобы стрелка снова оказывалась параллельной проводнику с током, и измерял угол поворота. Этот угол и принимался в качестве характеристики магнитного действия электрического тока.

Для исследования проводимости различных металлов Ом брал проволоки одинакового поперечного сечения, но изготовленные из различных материалов, и поочередно включал их в цепь. В качестве эталона он выбрал медную проволоку определенной длины, приняв ее проводимость за 1000 условных единиц, и измерил угол поворота головки, при котором магнитная стрелка становилась параллельной проводнику с током. Затем включал в цепь проволоки из других металлов и укорачивал их до тех пор, пока угол поворота головки не становился таким же, как и в случае эталонной проволоки. По полученной при этом длине можно было судить о проводимости соответствующего материала. Таким образом Ом нашел, что проводимость золота составляет 574 условных единицы, серебра - 356, цинка - 333 и т. д.

Затем Ом исследовал проволоки из одного и того же металла, но различной толщины, и поступал с ними так же, как при определении проводимости различных металлов. Он нашел, что сопротивления проволок из одного и того же материала одинаковы, если отношения их длин равны отношениям площадей их поперечных сечений, т. е. если отношения \(~\frac lS\) у этих проволок одинаковы. Впоследствии было установлено, что сопротивление R прямо пропорционально этому отношению\[~R \sim \frac lS\]. Вводя коэффициент пропорциональности ρ , зависящий от природы материала, можно для сопротивления проволоки записать соотношение (1). Покажем теперь, как, исходя из этого соотношения, можно получить известные вам формулы для подсчета общего сопротивления системы проводников, соединенных последовательно или параллельно.

Рассмотрим проводник постоянного поперечного сечения площадью S , изготовленный из какого-либо однородного материала с удельным сопротивлением ρ . Обозначим его длину через l . Вообразим этот проводник состоящим из нескольких последовательно соединенных частей, например трех. Пусть их длины равны l 1 , l 2 и l 3 (рис. 2). Очевидно, что

\(~l = l_1 + l_2 + l_3\) .

Умножим обе части этого равенства на отношение \(~\frac{\rho}{S}\):

\(~\rho \frac{l}{S} = \rho \frac{l_1}{S} + \rho \frac{l_2}{S} + \rho \frac{l_3}{S}\) .

Ho \(~\rho \frac lS = R\) - сопротивление всего проводника, \(~\rho \frac{l_1}{S} = R_1\), \(~\rho \frac{l_2}{S} = R_2\) и \(~\rho \frac{l_3}{S} = R_3\) - сопротивления его первой, второй и третьей частей соответственно. Таким образом,

\(~R = R_1 + R_2 + R_3\) . (2)

Это и есть искомая формула для вычисления общего сопротивления при последовательном соединении проводников.

Теперь представим тот же проводник состоящим из нескольких, например опять же трех, параллельно соединенных частей с поперечными сечениями S 1 , S 2 и S 3 (рис. 3). Аналогично предыдущему случаю,

\(~S = S_1 + S_2 + S_3\) ,

или, после умножения на общий множитель \(~\frac{1}{\rho l}\)

\(~\frac{S}{\rho l} = \frac{S_1}{\rho l} + \frac{S_2}{\rho l} + \frac{S_3}{\rho l}\) .

В соответствии с формулой (1),

\(~\frac{S}{\rho l} = \frac 1R , \frac{S_1}{\rho l} = \frac 1R_1, \frac{S_2}{\rho l} = \frac 1R_2, \frac{S_3}{\rho l} = \frac 1R_3\) .

поэтому получаем

\(~\frac 1R = \frac 1R_1 + \frac 1R_2 + \frac 1R_3\) . (3)

По этой формуле и можно найти общее сопротивление при параллельном соединении проводников. Формулы (2) и (3) выведены здесь лишь для частного случая конкретного вида проводников - один и тот же материал, одинаковые поперечные сечения в первом случае и одинаковые длины во втором. Однако применимы они и для самых общих случаев.

Допустим, что в неоднородном проводнике с переменным сечением (рис. 111.28) 1 и 2 изображают эквипотенциальные поверхности с потенциалами При переносе заряда из первого сечения во второе электрические силы, действующие внутри проводника, совершают работу Эта работа при постоянном токе, как указывалось выше, идет не на увеличение кинетической энергий упорядоченного движения электронов, а выделяется в проводнике в виде тепла. Если сила тока с течением времени увеличивается, то часть работы электрических сил идет на увеличение скорости упорядоченного движения электронов, а остальная часть выделяется в виде тепла. При переменном токе работу электрических сил следует рассчитывать, разбивая время наблюдения на элементарные отрезки на протяжении которых силу тока и разность потенциалов можно полагать постоянными. Тогда за время через участок 1-2 пройдет электрический заряд выделится энергия Обозначив можем рассчитать/энергию, выделяющуюся на участке 1-2 за время по формуле

Сила тока выражается в амперах, разность потенциалов в вольтах, время - в секундах, а энергия - в джоулях

Энергию можно выразить в зависимости от размеров и вещества проводника на рассматриваемом участке 1-2. Допустим, на элементарном участке проводник однороден и имеет постоянное сечение (рис. III.28). Кроме того, в пределах объема электрическое поле будем счдедть однородным, имеющим везде одинаковую напряженность Сила тока через сечение 5, согласно формуле (2.6), равна откуда

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем для интересующего нас участка проводника между эквипотенциальными сечениями 1 и 2:

(при постоянном токе сила тока одинакова для любого сечения проводника). Левый интеграл есть, по определению, разность потенциалов правый интеграл зависит от сврйств проводника (электропроводность а) и его конфигурации. Обозначим этот интеграл через

Это есть электрическое сопротивление проводника на участке 1-2. Тогда предыдущее выражение перепишется в виде

Эта формула выражает закон Ома для участка цепи.

Пользуясь им, можно записать работу электрического тока в зависимости от сопротивления проводника:

или при переменном токе

Энергия выделяющаяся в проводнике в виде тепла,

Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца в обычной форме.

Электрическое сопротивление однородного проводника с постоянным сечением зависит от его длины I и площади сечения

Если длина и сечение проводника равны единице, то Величина

есть удельное электрическое сопротивление вещества проводника. Для неоднородного проводника переменного сечения электрическое сопротивление необходимо рассчитывать по фмуле (2.11) или же по приближенной формуле

Сопротивление проводника, на концах которого при силе тока в один ампер существует разность потенциалов в один вольт, называется омом:

Удельное, а следовательно, и полное электрическое сопротивление проводников зависят от температуры. Эта зависимость имеет сложный вид. Для металлов можно пользоваться приближенными формулами:

где относятся к нулевой температуре по шкале Цельсия, температурный коэффициент сопротивления. Этот коэффйциент можно считать постоянным только для небольших интервалов температур. При точных расчетах необходимо учитывать зависимость а от температуры.

Закон Ома, т. е. прямая пропорциональность между напряжением и силой тока (см. формулу (2.12)), имеет место для различных значений только при условии Если же через проводник течет переменный ток и выделяющееся джоулево тепло не отводится так, чтобы обеспечить постоянство температуры проводника, то сопротивление проводника будет изменяться со временем в зависимости от того, как изменяется сила тока. Вследствие этого сопротивление проводника является функцией от силы тока: Для каждого момента времени можно рассчитать две величины:

которые могут отличаться друг от друга в зависимости от вида функции и от условий, в которых находится проводник. Если есть сопротивление какого-нибудь сложного прибора, то функции или характеризуют электрические свойства этого прибора. Однако более удобными являются кривые изображающие зависимость тока приложенного напряжения; эти кривые называются «вольт-амперными характеристиками» прибора.

При очень низких температурах, близких к абсолютному нулю (около сопротивление некоторых металлов скачком уменьшается практически до нуля. Например, алюминий при температуре 1,4 К теряет электрическое сопротивление. Состояние металла с нулевым электрическим сопротивлением называется сверхпроводящим, а само исчезновение сопротивления - сверхпроводимостью. Вследствие отсутствия сопротивления в сверхпроводниках можно вызвать очень большие токи (до 1200 А на 1 мм2) без выделения теплоты. Если в замкнутой цепи из сверхпроводников вызвать электрический ток (например, при помощи электромагнитной индукции), то этот ток ввиду отсутствия потерь может существовать очень долго.

Сопротивление проводника зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен.

Для однородного линейного проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине ℓ и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

где ρ - удельное электрическое сопротивление, характеризующее материал проводника.

§ 13.4 Параллельное и последовательное соединение проводников

При последовательном соединении проводников

а) сила тока на всех участках цепи одинакова, т.е.

б) общее напряжение в цепи равно сумме напряжений на отдельных её участках:

в) общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных проводников:

или
(13.23)

При параллельном соединении проводников выполняются следующие три закона:

а) общая сила тока в цепи равно сумме сил токов в отдельных проводниках:

б) напряжение на всех параллельно соединённых участках цепи одно и то же:

в) величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлению каждого из проводников в отдельности:

или
(13.24)

§ 13.5 Разветвленные электрические цепи. Правила Кирхгофа

При решении задач, наряду с законом Ома, удобно использовать два правила Кирхгофа. При сборке сложных электрических цепей в некоторых точках сходятся несколько проводников. Такие точки называют узлами.

Первое правило Кирхгофа основано на следующих соображениях. Токи, втекающие в данный узел, приносят в него заряд. Токи, вытекающие из узла, уносят заряд. Заряд в узле накапливаться не может, поэтому величина заряда, поступающего в данный узел за некоторое время, в точности равна величине уносимого из узла заряда за то же самое время. Токи, втекающие в данный узел, считаются положительными, токи, вытекающие из узла, считаются отрицательными.

Согласно первому правилу Кирхгофа , алгебраическая сумма сил токов в проводниках, соединяющихся в узле, равна нулю .

(13.25)

I 1 + I 2 + I 3 +….+ I n =0

I 1 +I 2 =I 3 + I 4

I 1 + I 2 - I 3 - I 4 =0

Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сопротивления каждого из участков любого замкнутого контура разветвленной цепи постоянного тока на силу тока на этом участке равна алгебраической сумме ЭДС вдоль этого контура .

(13.26)

Это правило особенно удобно применять в том случае, когда проводящем контуре содержится не один, а несколько источников тока (рис.13.8).

При использовании этого правила направления токов и обхода выбираются произвольно. Токи, текущие вдоль выбранного направления обхода контура, считаются положительными, а идущие против направления обхода –отрицательными. Соответственно положительными считаются ЭДС тех источников, которые вызывают ток, совпадающий по направлению с обходом контура.

ε 2 –ε 1 =Ir 1 +Ir 2 +IR (13.27)

Каким же образом коэффициент пропорциональности в законе Ома – сопротивление проводника – зависит от его параметров? Попытаемся выделить в этой зависимости части, определяемые отдельно геометрией данного образца проводника и его материалом . Начнем с простейшего случая.

Рассмотрим однородный цилиндрический проводник, по которому течет постоянный ток I (рис. 6). Пусть на перпендикулярных его оси сечениях 1 и 2, находящихся на расстоянии l друг от друга, поддерживаются потенциалы и . Какое поле будет при этом действовать внутри проводника? Как распределится ток по его сечению?

Ввиду однородности проводника и тождественности физических условий вдоль его оси любые перпендикулярные ей сечения абсолютно эквивалентны. Отсюда следует равенство нулю поперечной составляющей (ввиду аксиальной симметрии задачи она может быть только радиальной) поля , ибо если она существует в каком-то одном сечении, то она существует и во всех остальных. Эта составляющая повлечет за собой появление поперечного тока, который, дойдя до поверхности, должен оборваться, приводя к накапливанию у поверхности заряда и нарушая, таким образом, условие постоянства тока I . Но если поле имеет лишь одну продольную составляющую, то оно обязано быть однородным не только по длине (что следует из эквивалентности сечений), но и по сечению (это вытекает из его потенциальности – см. § 8.14, пример 1). Таким образом, все линии тока оказываются параллельными оси, а трубки тока идентичны по сечению. Значит, вектор j постоянен по сечению проводника, а полный ток, текущий по нему,

I ~ S . (10)

Нетрудно видеть, что, кроме того,

Действительно, «надставим» отрезок нашего проводника точно таким же куском с той же разностью потенциалов на концах. Получим проводник длиной 2l с током I и напряжением 2U = 2(). Уменьшим теперь напряжение на его концах до U . По закону Ома ток тоже уменьшится вдвое. Получаем, что при увеличении длины проводника в два раза и неизменном напряжении на его концах ток через него падает вдвое, т. е. зависимость (11).

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Валентина:

Вы спасли нашего сына от увольнения! Дело в том что недоучившись в институте, сын пошел в армию. А вернувшись, восстанавливаться не захотел. Работал без диплома. Но недавно начали увольнять всех, кто не имеет «корочки. Поэтому решили обратиться к вам и не пожалели! Теперь спокойно работает и ничего не боится! Спасибо!