Raqamlar ketma-ketligi tushunchasi har bir natural sonning qandaydir haqiqiy qiymatga mos kelishini nazarda tutadi. Bunday raqamlar qatori ixtiyoriy bo'lishi yoki ma'lum xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin - progressiya. Ikkinchi holda, ketma-ketlikning har bir keyingi elementi (a'zosi) avvalgisidan foydalanib hisoblanishi mumkin.

Arifmetik progressiya sonli qiymatlar ketma-ketligi bo'lib, unda qo'shni a'zolar bir-biridan bir xil son bilan farqlanadi (2-dan boshlab qatorning barcha elementlari o'xshash xususiyatga ega). Bu raqam - oldingi va keyingi hadlar orasidagi farq - doimiy bo'lib, progressiya farqi deb ataladi.

Progressiya farqi: ta'rif

A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j qiymatlaridan tashkil topgan ketma-ketlikni ko'rib chiqaylik N natural sonlar to'plamiga tegishli. Arifmetik Progressiya, ta'rifiga ko'ra, ketma-ketlik bo'lib, unda a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. d qiymati bu progressiyaning istalgan farqidir.

d = a(j) – a(j-1).

Ajratish:

• Ortib boruvchi progressiya, u holda d > 0. Misol: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progressiyani kamaytirish, keyin d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Farq progressiyasi va uning ixtiyoriy elementlari

Agar progressiyaning 2 ta ixtiyoriy shartlari ma'lum bo'lsa (i-chi, k-th), u holda berilgan ketma-ketlik uchun farqni bog'liqlik asosida aniqlash mumkin:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ya’ni d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Progressiyaning farqi va uning birinchi muddati

Ushbu ifoda noma'lum qiymatni faqat ketma-ketlik elementining soni ma'lum bo'lgan hollarda aniqlashga yordam beradi.

Progressiya farqi va uning yig'indisi

Progressiya yig'indisi uning shartlari yig'indisidir. Uning birinchi j elementlarining umumiy qiymatini hisoblash uchun tegishli formuladan foydalaning:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lekin beri a(j) = a(1) + d(j – 1), keyin S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(() 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Arifmetik progressiya yig‘indisi.

Arifmetik progressiya yig'indisi oddiy narsadir. Ham ma'noda, ham formulada. Ammo bu mavzu bo'yicha har xil vazifalar mavjud. Oddiydan ancha mustahkamgacha.

Birinchidan, miqdorning ma'nosi va formulasini tushunamiz. Va keyin biz qaror qilamiz. O'z zavqingiz uchun.) Miqdorning ma'nosi moo kabi oddiy. Arifmetik progressiyaning yig'indisini topish uchun uning barcha shartlarini diqqat bilan qo'shish kifoya. Agar bu shartlar oz bo'lsa, siz formulalarsiz qo'shishingiz mumkin. Lekin ko'p bo'lsa yoki ko'p bo'lsa ... qo'shish bezovta qiladi.) Bunday holda, formula yordamga keladi.

Miqdorning formulasi oddiy:

Keling, formulaga qanday harflar kiritilganligini aniqlaylik. Bu ko'p narsalarni aniqlaydi.

S n - arifmetik progressiya yig'indisi. Qo'shish natijasi hamma a'zolari, bilan birinchi tomonidan oxirgi. Bu muhim. Ular aniq qo'shiladi Hammasi a'zolarni ketma-ket, o'tkazib yubormasdan yoki o'tkazib yubormasdan. Va, aniqrog'i, dan boshlab birinchi. Uchinchi va sakkizinchi hadlar yig'indisini yoki beshinchi va yigirmanchi hadlar yig'indisini topish kabi masalalarda formulani to'g'ridan-to'g'ri qo'llash umidsizlikka olib keladi.)

a 1 - birinchi progressiyaning a'zosi. Bu erda hamma narsa aniq, oddiy birinchi qator raqami.

a n- oxirgi progressiyaning a'zosi. Seriyaning oxirgi soni. Juda tanish nom emas, lekin miqdorga qo'llanilganda, bu juda mos keladi. Keyin o'zingiz ko'rasiz.

n - oxirgi a'zoning raqami. Formulada bu raqamni tushunish muhimdir qo'shilgan atamalar soniga to'g'ri keladi.

Keling, kontseptsiyani aniqlaylik oxirgi a'zosi a n. Qiyin savol: qaysi a'zo bo'ladi Oxirgisi berilgan bo'lsa cheksiz arifmetik progressiya?)

Ishonch bilan javob berish uchun arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini tushunishingiz kerak va... topshiriqni diqqat bilan o'qing!)

Arifmetik progressiya yig'indisini topish vazifasida har doim oxirgi had paydo bo'ladi (to'g'ridan-to'g'ri yoki bilvosita), qaysi chegaralanishi kerak. Aks holda, yakuniy, aniq miqdor oddiygina mavjud emas. Yechim uchun progressiyaning berilganligi muhim emas: chekli yoki cheksiz. Qanday qilib berilganligi muhim emas: raqamlar qatori yoki n-son uchun formula.

Eng muhimi, formulaning progressiyaning birinchi hadidan boshlab raqam bilan atamagacha ishlashini tushunishdir n. Aslida, formulaning to'liq nomi quyidagicha ko'rinadi: arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi. Bu birinchi a'zolarning soni, ya'ni. n, faqat vazifa bilan belgilanadi. Vazifada barcha bu qimmatli ma'lumotlar ko'pincha shifrlangan, ha ... Lekin hech qanday holatda, quyida keltirilgan misollarda biz bu sirlarni ochib beramiz.)

Arifmetik progressiya yig‘indisi bo‘yicha topshiriqlarga misollar.

Birinchidan, foydali ma'lumotlar:

Arifmetik progressiya yig‘indisi bilan bog‘liq topshiriqlardagi asosiy qiyinchilik formula elementlarini to‘g‘ri aniqlashdadir.

Vazifa mualliflari bu elementlarni cheksiz tasavvur bilan shifrlashadi.) Bu erda asosiy narsa qo'rqmaslikdir. Elementlarning mohiyatini tushunib, ularni shunchaki shifrlash kifoya. Keling, bir nechta misollarni batafsil ko'rib chiqaylik. Haqiqiy GIAga asoslangan vazifa bilan boshlaylik.

1. Arifmetik progressiya shart bilan berilgan: a n = 2n-3,5. Uning dastlabki 10 ta hadining yig‘indisini toping.

Yaxshi bajarilgan ish. Oson.) Formuladan foydalanib miqdorni aniqlash uchun biz nimani bilishimiz kerak? Birinchi a'zo a 1, oxirgi muddat a n, ha oxirgi a'zoning raqami n.

Oxirgi a'zo raqamini qayerdan olsam bo'ladi? n? Ha, shart bilan! Unda aytiladi: yig'indini toping birinchi 10 a'zo. Xo'sh, u qaysi raqam bilan bo'ladi? oxirgi, o'ninchi a'zo?) Ishonmaysiz, uning soni o'ninchi!) Shuning uchun, o'rniga a n Biz formulaga almashtiramiz a 10, va o'rniga n- o'n. Takror aytaman, oxirgi a'zoning soni a'zolar soniga to'g'ri keladi.

Bu aniqlash uchun qoladi a 1 Va a 10. Bu masala bayonida berilgan n-son uchun formula yordamida osonlik bilan hisoblanadi. Buni qanday qilishni bilmayapsizmi? Oldingi darsga qatnashing, busiz hech qanday yo'l yo'q.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Biz arifmetik progressiya yig'indisi formulasining barcha elementlarining ma'nosini aniqladik. Faqat ularni almashtirish va hisoblash qoladi:

Bo'ldi shu. Javob: 75.

GIAga asoslangan yana bir vazifa. Biroz murakkabroq:

2. Ayirmasi 3,7 ga teng arifmetik progressiya (a n) berilgan; a 1 =2,3. Uning dastlabki 15 ta hadining yig‘indisini toping.

Biz darhol yig'indi formulasini yozamiz:

Bu formula har qanday atamaning qiymatini uning soni bo'yicha topishga imkon beradi. Biz oddiy almashtirishni qidiramiz:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Arifmetik progressiya yig'indisi formulasiga barcha elementlarni almashtirish va javobni hisoblash qoladi:

Javob: 423.

Aytgancha, o'rniga yig'indisi formulada bo'lsa a n Biz oddiygina n-sonli formulani almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

Keling, shunga o'xshashlarni keltiramiz va arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi uchun yangi formulani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu erda n-son shart emas a n. Ba'zi muammolarda bu formula juda ko'p yordam beradi, ha ... Bu formulani eslab qolishingiz mumkin. Yoki bu yerda bo'lgani kabi, uni kerakli vaqtda ko'rsatishingiz mumkin. Axir, siz har doim yig'indining formulasini va n-son uchun formulani eslab qolishingiz kerak.)

Endi vazifa qisqa shifrlash shaklida):

3. Uchga karrali barcha musbat ikki xonali sonlar yig‘indisini toping.

Voy-buy! Na birinchi a'zongiz, na oxirgi, na progressiyangiz... Qanday yashash kerak!?

Siz boshingiz bilan o'ylab, shartdan arifmetik progressiya yig'indisining barcha elementlarini chiqarib olishingiz kerak bo'ladi. Ikki xonali sonlar nima ekanligini bilamiz. Ular ikkita sondan iborat.) Ikki xonali son qanday bo'ladi birinchi? 10, ehtimol.) A oxirgi narsa ikki xonali raqam? 99, albatta! Uch xonalilar unga ergashadi ...

Uchning karralari... Hm... Bular uchga bo'linadigan sonlar, mana! O'n uchga bo'linmaydi, 11 bo'linmaydi... 12... bo'linadi! Shunday qilib, nimadir paydo bo'ladi. Siz allaqachon muammoning shartlariga ko'ra bir qator yozishingiz mumkin:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu qator arifmetik progressiya bo'ladimi? Albatta! Har bir atama oldingisidan qat'iy uchta farq qiladi. Agar siz atamaga 2 yoki 4 qo'shsangiz, aytaylik, natija, ya'ni. yangi raqam endi 3 ga bo'linmaydi. Arifmetik progressiyaning farqini darhol aniqlashingiz mumkin: d = 3. Bu foydali bo'ladi!)

Shunday qilib, biz ba'zi progressiv parametrlarni xavfsiz yozishimiz mumkin:

Raqam nima bo'ladi? n oxirgi a'zo? Kim 99 deb o'ylagan bo'lsa, adashadi... Raqamlar har doim ketma-ket keladi, lekin bizning a'zolarimiz uchtadan oshib ketadi. Ular mos kelmaydi.

Bu erda ikkita yechim bor. Bir yo'l - o'ta mehnatkashlar uchun. Siz ketma-ketlikni, raqamlarning butun qatorini yozib olishingiz va barmog'ingiz bilan a'zolar sonini hisoblashingiz mumkin.) Ikkinchi yo'l - o'ylanganlar uchun. n-son uchun formulani eslab qolishingiz kerak. Agar formulani muammomizga qo'llasak, 99 progressiyaning o'ttizinchi hadi ekanligini topamiz. Bular. n = 30.

Arifmetik progressiya yig‘indisining formulasini ko‘rib chiqamiz:

Biz qaraymiz va xursand bo'lamiz.) Biz muammo bayonnomasidan miqdorni hisoblash uchun zarur bo'lgan hamma narsani chiqardik:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Faqat elementar arifmetika qoladi. Raqamlarni formulaga almashtiramiz va hisoblaymiz:

Javob: 1665

Mashhur jumboqning yana bir turi:

4. Arifmetik progressiya berilgan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yigirmanchidan o‘ttiz to‘rtgacha bo‘lgan hadlar yig‘indisini toping.

Biz miqdor formulasini ko'rib chiqamiz va ... biz xafa bo'lamiz.) Formula, sizga eslatib o'taman, miqdorni hisoblab chiqadi. birinchidan a'zosi. Va muammoda siz summani hisoblashingiz kerak yigirmanchi yildan beri ... Formula ishlamaydi.

Siz, albatta, ketma-ket butun jarayonni yozib, 20 dan 34 gacha shartlarni qo'shishingiz mumkin. Lekin... bu qandaydir ahmoqona va uzoq vaqt talab etadi, shunday emasmi?)

Yana oqlangan yechim bor. Keling, seriyamizni ikki qismga ajratamiz. Birinchi qism bo'ladi birinchi davrdan to o'n to'qqizinchi muddatgacha. Ikkinchi qism - yigirma dan o'ttiz to'rtgacha. Agar birinchi qism shartlarining yig'indisini hisoblasak, aniq S 1-19, uni ikkinchi qism shartlari yig'indisi bilan qo'shamiz S 20-34, biz birinchi haddan o'ttiz to'rtinchigacha progressiyaning yig'indisini olamiz S 1-34. Mana bunday:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Bundan ko'ramizki, yig'indini topadi S 20-34 oddiy ayirish orqali amalga oshirilishi mumkin

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

O'ng tomondagi ikkala miqdor ham hisobga olinadi birinchidan a'zosi, ya'ni. standart yig'indi formulasi ularga juda mos keladi. Qani boshladik?

Muammo bayonotidan progressiya parametrlarini chiqaramiz:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Birinchi 19 va birinchi 34 shartlarning yig'indisini hisoblash uchun bizga 19 va 34-sonlar kerak bo'ladi. Biz ularni 2-masaladagi kabi n-sonli formuladan foydalanib hisoblaymiz:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Hech narsa qolmadi. 34 ta aʼzoning yigʻindisidan 19 ta hadning yigʻindisi ayiriladi:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Javob: 262.5

Bitta muhim eslatma! Bu muammoni hal qilishda juda foydali hiyla bor. To'g'ridan-to'g'ri hisoblash o'rniga sizga kerak bo'lgan narsa (S 20-34), hisobladik kerak bo'lmagan narsa - S 1-19. Va keyin ular qaror qilishdi S 20-34, to'liq natijadan keraksizlarni olib tashlash. Bunday "quloqlar bilan hiyla" ko'pincha sizni yomon muammolardan qutqaradi.)

Ushbu darsda biz arifmetik progressiya yig'indisining ma'nosini tushunish uchun etarli bo'lgan muammolarni ko'rib chiqdik. Xo'sh, siz bir nechta formulalarni bilishingiz kerak.)

Amaliy maslahat:

Arifmetik progressiya yig'indisi bilan bog'liq har qanday muammoni hal qilishda men ushbu mavzuning ikkita asosiy formulasini darhol yozishni tavsiya qilaman.

n-son uchun formula:

Ushbu formulalar sizga muammoni hal qilish uchun nimani izlash va qaysi yo'nalishda o'ylash kerakligini darhol aytib beradi. Yordam beradi.

Va endi mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

5. Uchga bo‘linmaydigan barcha ikki xonali sonlar yig‘indisini toping.

Ajoyib?) Maslahat 4-muammoga eslatmada yashiringan. Xo'sh, 3-muammo yordam beradi.

6. Arifmetik progressiya shart bilan beriladi: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Uning dastlabki 24 ta hadining yig‘indisini toping.

Noodatiymi?) Bu takrorlanuvchi formula. Bu haqda oldingi darsda o'qishingiz mumkin. Bog'lanishni e'tiborsiz qoldirmang, bunday muammolar ko'pincha Davlat Fanlar akademiyasida topiladi.

7. Vasya bayram uchun pul yig'di. 4550 rublgacha! Va men sevimli odamga (o'zimga) bir necha kunlik baxt berishga qaror qildim). O'zingizdan hech narsani inkor etmasdan go'zal yashang. Birinchi kuni 500 rubl sarflang va har bir keyingi kun oldingisidan 50 rubl ko'proq sarflang! Pul tugamaguncha. Vasya necha kun baxtga erishdi?

Qiyinmi?) 2-topshiriqdan qo'shimcha formula yordam beradi.

Javoblar (tartibsiz): 7, 3240, 6.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Raqamlar ketma-ketligi

Shunday qilib, keling, o'tiramiz va bir nechta raqamlarni yozishni boshlaymiz. Masalan:
Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlaganingizcha ko'p bo'lishi mumkin (bizning holatlarimizda ular bor). Qancha son yozmaylik, qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va shunga o'xshash oxirgisiga qadar ayta olamiz, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol:

Raqamlar ketma-ketligi
Masalan, bizning ketma-ketligimiz uchun:

Belgilangan raqam ketma-ketlikda faqat bitta raqamga xosdir. Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlikda uchta ikkinchi raqam yo'q. Ikkinchi raqam (chi raqam kabi) har doim bir xil bo'ladi.
Raqamli raqam ketma-ketlikning uchinchi hadi deb ataladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Bizning holatda:

Aytaylik, bizda qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi mavjud.
Masalan:

va hokazo.
Bu sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya deyiladi.
"Progressiya" atamasi Rim muallifi Boethius tomonidan VI asrda kiritilgan va kengroq ma'noda cheksiz sonli ketma-ketlik sifatida tushunilgan. "Arifmetika" nomi qadimgi yunonlar tomonidan o'rganilgan uzluksiz nisbatlar nazariyasidan ko'chirildi.

Bu raqamlar ketma-ketligi bo'lib, uning har bir a'zosi bir xil raqamga qo'shilgan oldingisiga teng. Bu raqam arifmetik progressiyaning ayirmasi deb ataladi va belgilanadi.

Qaysi sonlar ketma-ketligi arifmetik progressiya ekanligini va qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:

a)
b)
c)
d)

Tushundim? Keling, javoblarimizni taqqoslaylik:
Bu arifmetik progressiya - b, c.
Emas arifmetik progressiya - a, d.

Keling, berilgan progressiyaga () qaytaylik va uning uchinchi hadining qiymatini topishga harakat qilaylik. Mavjud ikki uni topish usuli.

1. Usul

Progressiya raqamini oldingi qiymatga progressiyaning uchinchi qismiga yetguncha qo'shishimiz mumkin. Xulosa qilish uchun ko'p narsa yo'qligi yaxshi - faqat uchta qiymat:

Demak, tasvirlangan arifmetik progressiyaning uchinchi hadi ga teng.

2. Usul

Agar progressiyaning uchinchi hadining qiymatini topish kerak bo'lsa-chi? Yig'ish bir soatdan ko'proq vaqtni oladi va raqamlarni qo'shishda xato qilmasligimiz haqiqat emas.
Albatta, matematiklar arifmetik progressiyaning farqini oldingi qiymatga qo‘shish shart bo‘lmagan usulni o‘ylab topishgan. Chizilgan rasmga diqqat bilan qarang ... Albatta, siz allaqachon ma'lum bir naqshni payqadingiz, xususan:

Masalan, ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi hadining qiymati nimadan iboratligini ko'rib chiqamiz:


Boshqa so'zlar bilan aytganda:

Berilgan arifmetik progressiyaning a'zosining qiymatini shu tarzda o'zingiz topishga harakat qiling.

Siz hisoblab chiqdingizmi? Qaydlaringizni javob bilan solishtiring:

Iltimos, e'tibor bering, biz oldingi qiymatga arifmetik progressiya shartlarini ketma-ket qo'shganimizda, oldingi usulda bo'lgani kabi, xuddi shunday raqamni oldingiz.
Keling, ushbu formulani "shaxsiylashtirishga" harakat qilaylik - keling, uni umumiy shaklga keltiramiz va olamiz:

Arifmetik progressiya tenglamasi.

Arifmetik progressiyalar ortishi yoki kamayishi mumkin.

Ortib bormoqda- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan katta bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Pastga- shartlarning har bir keyingi qiymati oldingisidan kichik bo'lgan progressiyalar.
Masalan:

Olingan formuladan arifmetik progressiyaning o'sish va kamayuvchi hadlaridagi hadlarni hisoblashda foydalaniladi.
Keling, buni amalda tekshirib ko'ramiz.
Bizga quyidagi raqamlardan iborat arifmetik progressiya berilgan: Keling, uni hisoblash uchun formulamizdan foydalansak, bu arifmetik progressiyaning soni qancha bo'lishini tekshirib ko'raylik:

O'shandan beri:

Shunday qilib, formulaning arifmetik progressiyaning ham kamayishi, ham ortishi bilan ishlashiga amin bo'ldik.
Ushbu arifmetik progressiyaning uchinchi va uchinchi hadlarini o'zingiz topishga harakat qiling.

Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Arifmetik progressiya xossasi

Keling, masalani murakkablashtiramiz - arifmetik progressiyaning xossasini olamiz.
Aytaylik, bizga quyidagi shart berilgan:
- arifmetik progressiya, qiymatini toping.
Oson, siz bilgan formula bo'yicha aytasiz va hisoblashni boshlaysiz:

Keling, ah, keyin:

Mutlaqo to'g'ri. Ma'lum bo'lishicha, biz avval topamiz, keyin uni birinchi raqamga qo'shamiz va biz izlayotgan narsamizni olamiz. Agar progressiya kichik qiymatlar bilan ifodalangan bo'lsa, unda bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, lekin agar bizga shartlarda raqamlar berilsa nima bo'ladi? Qabul qiling, hisob-kitoblarda xato qilish ehtimoli bor.
Endi o'ylab ko'ring, har qanday formuladan foydalanib, bu muammoni bir bosqichda hal qilish mumkinmi? Albatta, ha, va biz buni hozir chiqarishga harakat qilamiz.

Arifmetik progressiyaning zaruriy atamasini shunday belgilaymizki, uni topish formulasi bizga ma'lum - bu biz boshida olingan formuladir:
, Keyin:

• progressiyaning oldingi muddati:
• progressiyaning keyingi muddati:

Progressiyaning oldingi va keyingi shartlarini umumlashtiramiz:

Ma’lum bo‘lishicha, progressiyaning oldingi va keyingi hadlarining yig‘indisi ular orasida joylashgan progressiya hadining qo‘sh qiymati hisoblanadi. Boshqacha qilib aytganda, oldingi va ketma-ket qiymatlari ma'lum bo'lgan progressiya hadining qiymatini topish uchun ularni qo'shish va bo'lish kerak.

To'g'ri, bizda bir xil raqam bor. Keling, materialni himoya qilaylik. Rivojlanish qiymatini o'zingiz hisoblang, bu unchalik qiyin emas.

Juda qoyil! Siz taraqqiyot haqida deyarli hamma narsani bilasiz! Afsonaga ko'ra, barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri, "matematiklar qiroli" Karl Gauss tomonidan o'zi uchun osonlikcha aniqlangan yagona formulani topish qoladi ...

Karl Gauss 9 yoshga to'lganida, boshqa sinflardagi o'quvchilarning ishini tekshirish bilan band bo'lgan o'qituvchi sinfda quyidagi vazifani berdi: "Barcha natural sonlar yig'indisini (boshqa manbalarga ko'ra) inklyuzivgacha hisoblang". Bir daqiqadan so'ng uning shogirdlaridan biri (bu Karl Gauss) topshiriqga to'g'ri javob berganida, o'qituvchining hayratda qolganini tasavvur qiling-a, biroq jasur sinfdoshlarining ko'pchiligi uzoq hisob-kitoblardan so'ng noto'g'ri natijaga erishdilar ...

Yosh Karl Gauss siz ham osongina sezishingiz mumkin bo'lgan ma'lum bir naqshni payqadi.
Aytaylik, bizda --chi hadlardan iborat arifmetik progressiya bor: Arifmetik progressiyaning bu hadlarining yig‘indisini topishimiz kerak. Albatta, biz barcha qiymatlarni qo'lda yig'ishimiz mumkin, lekin agar vazifa Gauss izlayotgandek, uning shartlari yig'indisini topishni talab qilsa-chi?

Keling, bizga berilgan taraqqiyotni tasvirlaylik. Belgilangan raqamlarni diqqat bilan ko'rib chiqing va ular bilan turli xil matematik operatsiyalarni bajarishga harakat qiling.


Siz sinab ko'rdingizmi? Nimani sezdingiz? To'g'ri! Ularning miqdori teng

Endi ayting-chi, bizga berilgan progressiyada jami nechta shunday juftlik bor? Albatta, barcha raqamlarning to'liq yarmi, ya'ni.
Arifmetik progressiyaning ikkita hadining yig‘indisi teng va o‘xshash juftliklar teng ekanligiga asoslanib, umumiy yig‘indi quyidagiga teng ekanligini hosil qilamiz:
.
Shunday qilib, har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi formulasi:

Ba'zi masalalarda biz th atamani bilmaymiz, lekin progressiyaning farqini bilamiz. Yig'indi formulasiga th hadning formulasini qo'yishga harakat qiling.
Nima oldingiz?

Juda qoyil! Endi Karl Gaussga berilgan masalaga qaytaylik: th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi va th dan boshlanadigan sonlar yig'indisi nimaga teng ekanligini o'zingiz hisoblang.

Qancha oldingiz?
Gauss hadlar yig'indisi teng, va hadlar yig'indisi ekanligini aniqladi. Siz shunday qaror qildingizmi?

Darhaqiqat, arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi formulasini qadimgi yunon olimi Diofant 3-asrda isbotlagan va shu vaqt davomida zukkolar arifmetik progressiyaning xususiyatlaridan to‘liq foydalanishgan.
Masalan, Qadimgi Misr va o‘sha davrdagi eng yirik qurilish loyihasi – piramida qurilishini tasavvur qiling... Rasmda uning bir tomoni ko‘rsatilgan.

Bu yerda taraqqiyot qayerda, deysizmi? Ehtiyotkorlik bilan qarang va piramida devorining har bir qatoridagi qum bloklari sonidagi naqshni toping.


Nega arifmetik progressiya emas? Agar poydevorga blokli g'isht qo'yilgan bo'lsa, bitta devorni qurish uchun qancha blok kerakligini hisoblang. Umid qilamanki, siz barmog'ingizni monitor bo'ylab harakatlantirganda hisoblamaysiz, oxirgi formulani va arifmetik progressiya haqida aytgan hamma narsani eslaysizmi?

Bu holda progressiya quyidagicha ko'rinadi: .
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiyaning hadlar soni.
Keling, ma'lumotlarimizni oxirgi formulalarga almashtiramiz (bloklar sonini 2 usulda hisoblang).

1-usul.

2-usul.

Va endi siz monitorda hisoblashingiz mumkin: olingan qiymatlarni bizning piramidamizdagi bloklar soni bilan solishtiring. Tushundim? Yaxshi, siz arifmetik progressiyaning n-chi hadlari yig‘indisini o‘zlashtirib oldingiz.
Albatta, siz poydevordagi bloklardan piramida qura olmaysiz, lekin nimadan? Ushbu shart bilan devor qurish uchun qancha qum g'ishtlari kerakligini hisoblashga harakat qiling.
Siz boshqardingizmi?
To'g'ri javob bloklar:

Trening

Vazifalar:

1. Masha yoz uchun formaga tushmoqda. Har kuni u chayqalishlar sonini ko'paytiradi. Agar Masha birinchi mashg'ulotda chayqalsa, haftada necha marta chayqaladi?
2. Tarkibidagi barcha toq raqamlarning yig'indisi nimaga teng.
3. Jurnallarni saqlashda loggerlar ularni har bir yuqori qatlamda oldingisidan bittadan kamroq jurnalni o'z ichiga oladigan tarzda yig'adilar. Agar toshning poydevori loglar bo'lsa, bitta devorda nechta log bor?

Javoblar:

1. Arifmetik progressiyaning parametrlarini aniqlaylik. Ushbu holatda
   (hafta = kunlar).

   Javob: Ikki hafta ichida Masha kuniga bir marta squats qilish kerak.

2. Birinchi toq raqam, oxirgi raqam.
   Arifmetik progressiya farqi.
   Toq sonlar soni yarmiga teng, ammo arifmetik progressiyaning uchinchi hadini topish formulasi yordamida bu faktni tekshiramiz:

   Raqamlar toq raqamlarni o'z ichiga oladi.
   Keling, mavjud ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

   Javob: Tarkibidagi barcha toq sonlarning yig'indisi teng.

3. Piramidalar haqidagi muammoni eslaylik. Bizning holatlarimiz uchun a , chunki har bir yuqori qatlam bitta logga qisqartiriladi, keyin jami qatlamlar to'plami mavjud, ya'ni.
   Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

   Javob: Duvarcılıkda loglar mavjud.

Keling, xulosa qilaylik

1. - qo'shni sonlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan sonlar ketma-ketligi. U ortishi yoki kamayishi mumkin.
2. Formulani topish Arifmetik progressiyaning uchinchi hadi - formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.
3. Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi- - bu yerda progressiyadagi sonlar soni.
4. Arifmetik progressiyaning hadlari yig'indisi ikki shaklda topish mumkin:
   
   , bu yerda qiymatlar soni.

ARIFMETIK PROGRESSIYA. O'RTACHA DARAJASI

Raqamlar ketma-ketligi

Keling, o'tirib, bir nechta raqamlarni yozishni boshlaylik. Masalan:

Siz har qanday raqamlarni yozishingiz mumkin va ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Lekin biz har doim qaysi biri birinchi, qaysi biri ikkinchi va boshqalarni aytishimiz mumkin, ya'ni ularni raqamlashimiz mumkin. Bu raqamlar ketma-ketligiga misol.

Raqamlar ketma-ketligi raqamlar to'plami bo'lib, ularning har biriga o'ziga xos raqam berilishi mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, har bir raqam ma'lum bir natural son va noyob raqam bilan bog'lanishi mumkin. Va biz bu raqamni ushbu to'plamdagi boshqa raqamga tayinlamaymiz.

Raqamli raqam ketma-ketlikning th a'zosi deyiladi.

Biz odatda butun ketma-ketlikni qandaydir harf bilan chaqiramiz (masalan,) va bu ketma-ketlikning har bir a'zosi indeksi shu a'zoning soniga teng bo'lgan bir xil harf: .

Agar ketma-ketlikning uchinchi hadi qandaydir formula bilan aniqlansa, bu juda qulay. Masalan, formula

ketma-ketlikni belgilaydi:

Va formula quyidagi ketma-ketlikdir:

Masalan, arifmetik progressiya ketma-ketlikdir (bu erda birinchi had teng, farq esa). Yoki (, farq).

Formula n-chi davr

Formulani takroriy deb ataymiz, unda 1-sonni bilish uchun oldingi yoki bir nechta oldingilarini bilishingiz kerak:

Masalan, ushbu formuladan foydalanib, progressiyaning uchinchi hadini topish uchun biz oldingi to'qqiztasini hisoblashimiz kerak. Masalan, ruxsat bering. Keyin:

Xo'sh, endi formula nima ekanligi aniqmi?

Har bir satrda biz qo'shamiz, ba'zi raqamga ko'paytiramiz. Qaysi biri? Juda oddiy: bu joriy a'zoning soni minus:

Endi ancha qulayroq, to'g'rimi? Biz tekshiramiz:

O'zingiz uchun qaror qiling:

Arifmetik progressiyada n-hashning formulasini toping va yuzinchi hadni toping.

Yechim:

Birinchi atama teng. Farqi nimada? Mana nima:

(Shuning uchun u farq deb ataladi, chunki u progressiyaning ketma-ket hadlari ayirmasiga teng).

Shunday qilib, formula:

U holda yuzinchi had quyidagilarga teng bo'ladi:

dan gacha bo'lgan barcha natural sonlarning yig'indisi nimaga teng?

Afsonaga ko'ra, buyuk matematik Karl Gauss 9 yoshli bolaligida bu miqdorni bir necha daqiqada hisoblab chiqdi. U birinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi teng ekanligini, ikkinchi va oxirgi sonlar yig‘indisi bir xil, oxiridan uchinchi va uchinchi sonlar yig‘indisi bir xil ekanligini va hokazo. Bunday juftliklar jami nechta? To'g'ri, barcha raqamlar sonining yarmi, ya'ni. Shunday qilib,

Har qanday arifmetik progressiyaning birinchi hadlari yig'indisining umumiy formulasi quyidagicha bo'ladi:

Misol:
Barcha ikki xonali koʻpaytmalar yigʻindisini toping.

Yechim:

Birinchi bunday raqam bu. Har bir keyingi raqam oldingi raqamga qo'shish orqali olinadi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan raqamlar birinchi had va ayirma bilan arifmetik progressiya hosil qiladi.

Ushbu progressiyaning 3-sonining formulasi:

Agar ularning hammasi ikki xonali bo‘lishi kerak bo‘lsa, progressiyada nechta had bor?

Juda oson: .

Progressiyaning oxirgi muddati teng bo'ladi. Keyin summa:

Javob: .

Endi o'zingiz qaror qiling:

1. Har kuni sportchi oldingi kunga qaraganda ko'proq metr yuguradi. Agar birinchi kuni km m yugurgan bo'lsa, u haftada jami necha kilometr yuguradi?
2. Velosipedchi har kuni oldingi kunga qaraganda ko'proq kilometr masofani bosib o'tadi. Birinchi kuni u km yo'l bosib o'tdi. Bir kilometrni bosib o'tish uchun u necha kun yurishi kerak? Sayohatining oxirgi kunida u necha kilometr yuradi?
3. Do'kondagi muzlatgichning narxi har yili bir xil miqdorda pasayadi. Agar sotuvga rublga qo'yilgan bo'lsa, olti yildan so'ng u rublga sotilgan bo'lsa, muzlatgich narxi har yili qanchaga tushganini aniqlang.

Javoblar:

1. Bu erda eng muhim narsa arifmetik progressiyani tanib olish va uning parametrlarini aniqlashdir. Bunday holda, (hafta = kun). Ushbu progressiyaning birinchi shartlari yig'indisini aniqlashingiz kerak:
   .
   Javob:
2. Bu erda berilgan: , topilishi kerak.
   Shubhasiz, oldingi muammodagi kabi bir xil yig'indi formulasidan foydalanishingiz kerak:
   .
   Qiymatlarni almashtiring:

   Ildiz aniq mos kelmaydi, shuning uchun javob.
   Oxirgi kun davomida bosib o‘tgan yo‘lni 1-son formulasidan foydalanib hisoblaymiz:
   (km).
   Javob:

3. Berilgan: . Toping: .
   Bu oddiyroq bo'lishi mumkin emas:
   (rub).
   Javob:

ARIFMETIK PROGRESSIYA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Bu qo'shni raqamlar orasidagi farq bir xil va teng bo'lgan raqamlar ketma-ketligi.

Arifmetik progressiya ortishi () va kamayishi () bo'lishi mumkin.

Masalan:

Arifmetik progressiyaning n-chi hadini topish formulasi

formula bilan yoziladi, bu erda progressiyadagi sonlar soni.

Arifmetik progressiya a'zolarining xossasi

Bu progressiyaning qo‘shni shartlari ma’lum bo‘lsa, uning hadini osongina topish imkonini beradi – progressiyadagi sonlar soni qayerda.

Arifmetik progressiyaning hadlari yig‘indisi

Miqdorni topishning ikki yo'li mavjud:

Qaerda qiymatlar soni.

Qaerda qiymatlar soni.

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, kollejga byudjetga kirish uchun va ENG MUHIM, umrbod.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq pul oladilar. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida yana ko'p imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.

Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching - 299 rub.
2. Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - 499 rub.

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va ularni hal qiling!

Onlayn kalkulyator.
Arifmetik progressiyani yechish.
Berilgan: a n, d, n
Toping: a 1

Bu matematik dastur foydalanuvchi tomonidan belgilangan \(a_n, d\) va \(n\) raqamlariga asoslangan arifmetik progressiyaning \(a_1\) ni topadi.
\(a_n\) va \(d\) raqamlari nafaqat butun sonlar, balki kasrlar sifatida ham ko'rsatilishi mumkin. Bundan tashqari, kasr sonini o'nlik kasr (\(2,5\)) va oddiy kasr (\(-5\frac(2)(7)\)) shaklida kiritish mumkin.

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki yechim topish jarayonini ham ko'rsatadi.

Ushbu onlayn kalkulyator umumta'lim maktablarining o'rta maktab o'quvchilari uchun test va imtihonlarga tayyorgarlik ko'rishda, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinovdan o'tkazishda, shuningdek, ota-onalar uchun matematika va algebra bo'yicha ko'plab masalalarni hal qilishni nazorat qilishda foydali bo'lishi mumkin. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki matematika yoki algebra uy vazifasini imkon qadar tezroq bajarishni xohlaysizmi? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizni o'qitishingiz va/yoki o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga muammolarni hal qilish sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Agar siz raqamlarni kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Raqamlarni kiritish qoidalari

\(a_n\) va \(d\) raqamlari nafaqat butun sonlar, balki kasrlar sifatida ham ko'rsatilishi mumkin.
\(n\) soni faqat musbat butun son bo'lishi mumkin.

O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlardagi butun va kasr qismlari nuqta yoki vergul bilan ajratilishi mumkin.
Masalan, 2,5 yoki 2,5 kabi o'nli kasrlarni kiritishingiz mumkin

Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.
Faqat butun son kasrning ayiruvchisi, maxraji va butun qismi vazifasini bajara oladi.

Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas.

Raqamli kasrni kiritishda hisoblagich maxrajdan bo'linish belgisi bilan ajratiladi: /
Kiritish:
Natija: \(-\frac(2)(3)\)

Butun qism kasrdan ampersand belgisi bilan ajratiladi: &
Kiritish:
Natija: \(-1\frac(2)(3)\)

a n, d, n raqamlarini kiriting

1 ni toping

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...

Agar Siz yechimdagi xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Esdan chiqarma qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.

Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Raqamlar ketma-ketligi

Kundalik amaliyotda turli xil ob'ektlarni raqamlash ko'pincha ularni joylashtirish tartibini ko'rsatish uchun ishlatiladi. Masalan, har bir ko‘chadagi uylar raqamlangan. Kutubxonada kitobxon obunalari raqamlanadi, so‘ngra maxsus kartotekalarda berilgan raqamlar tartibida joylashtiriladi.

Omonat kassasida omonatchining shaxsiy hisob raqamidan foydalanib, siz ushbu hisobni osongina topishingiz va unda qanday depozit borligini ko'rishingiz mumkin. 1-sonli hisobda a1 rubl, 2-sonli hisobda a2 rubl va hokazo depozit bo'lsin. raqamlar ketma-ketligi
a 1, a 2, a 3, ..., a N
bu erda N - barcha hisoblar soni. Bu erda 1 dan N gacha bo'lgan har bir natural n soni a n soni bilan bog'langan.

Matematikani ham o'qigan cheksiz sonli ketma-ketliklar:
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
a 1 raqami deyiladi ketma-ketlikning birinchi a'zosi, a 2 raqami - ketma-ketlikning ikkinchi muddati, a 3 raqami - ketma-ketlikning uchinchi muddati va hokazo.
a n raqami deyiladi qatorning n-chi (n-chi) a'zosi, n natural soni esa uning raqam.

Masalan, natural sonlar kvadratlari qatorida 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... va 1 = 1 qatorning birinchi hadi; va n = n 2 - ketma-ketlikning n-chi hadi; a n+1 = (n + 1) 2 - ketma-ketlikning (n + 1)-chi (n plus birinchi) hadi. Ko'pincha ketma-ketlikni uning n-sonining formulasi bilan aniqlash mumkin. Masalan, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) formulasi ketma-ketlikni aniqlaydi \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \ \frac(1)(4) , \nuqtalar,\frac(1)(n) , \nuqtalar \)

Arifmetik progressiya

Yilning uzunligi taxminan 365 kun. Aniqroq qiymat \(365\frac(1)(4)\) kun, shuning uchun har to'rt yilda bir kunlik xatolik to'planadi.

Ushbu xatoni hisobga olish uchun har to'rtinchi yilga bir kun qo'shiladi va uzaytirilgan yil kabisa yili deb ataladi.

Masalan, uchinchi ming yillikda kabisa yillari 2004, 2008, 2012, 2016, ... yillardir.

Bu ketma-ketlikda har bir a'zo ikkinchisidan boshlab oldingisiga teng bo'lib, bir xil songa qo'shiladi 4. Bunday ketma-ketliklar deyiladi. arifmetik progressiyalar.

Ta'rif.
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... sonlar ketma-ketligi deyiladi arifmetik progressiya, agar hamma uchun tabiiy n tenglik
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
bu yerda d qandaydir son.

Bu formuladan a n+1 - a n = d degan xulosa kelib chiqadi. d soni farq deyiladi arifmetik progressiya.

Arifmetik progressiyaning ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarga egamiz:
\(a_(n+1)=a_n+d, \to'rt a_(n-1)=a_n-d, \)
qayerda
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), bu erda \(n>1 \)

Shunday qilib, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, uning ikkita qo'shni hadining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng bo'ladi. Bu "arifmetik" progressiya nomini tushuntiradi.

E'tibor bering, agar a 1 va d berilgan bo'lsa, a n+1 = a n + d takrorlanuvchi formula yordamida arifmetik progressiyaning qolgan a'zolarini hisoblash mumkin. Shunday qilib, progressiyaning dastlabki bir necha shartlarini hisoblash qiyin emas, ammo, masalan, 100 allaqachon juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi. Buning uchun odatda n-sonli formuladan foydalaniladi. Arifmetik progressiyaning ta'rifi bo'yicha
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
va hokazo.
Umuman,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
chunki arifmetik progressiyaning n-chi hadi birinchi haddan (n-1) marta d sonini qo‘shish orqali olinadi.
Bu formula deyiladi arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi.

Arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisi

1 dan 100 gacha bo‘lgan barcha natural sonlar yig‘indisini toping.
Keling, bu miqdorni ikki shaklda yozamiz:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Keling, ushbu tengliklarni hadlar bo'yicha qo'shamiz:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Bu summa 100 ta shartga ega
Shuning uchun 2S = 101 * 100, demak, S = 101 * 50 = 5050.

Endi ixtiyoriy arifmetik progressiyani ko'rib chiqamiz
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
S n bu progressiyaning birinchi n hadlarining yig‘indisi bo‘lsin:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Keyin arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisi ga teng
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d\), bu formulada n ni almashtirsak, topish uchun boshqa formulani olamiz. arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Kitoblar (darsliklar) Yagona davlat imtihonining tezislari va Yagona davlat imtihonlari testlari Onlayn o'yinlar, boshqotirmalar Funksiyalarning grafiklarini tuzish Rus tilining imlo lug'ati Rus tilining yoshlar slengi lug'ati Rus maktablari katalogi Rossiya o'rta ta'lim muassasalari katalogi Rossiya universitetlari ro'yxati vazifalari

Agar har bir natural son uchun n haqiqiy raqamga mos keladi a n , keyin berilganligini aytishadi raqamlar ketma-ketligi :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Demak, sonlar ketma-ketligi natural argumentning funksiyasidir.

Raqam a 1 chaqirdi ketma-ketlikning birinchi a'zosi , raqam a 2 — ketma-ketlikning ikkinchi muddati , raqam a 3 — uchinchi va hokazo. Raqam a n chaqirdi qatorning n-a'zosi , va natural son n — uning raqami .

Ikki qo'shni a'zodan a n Va a n +1 ketma-ketlik a'zosi a n +1 chaqirdi keyingi (munosabatga ko'ra a n ), A a n — oldingi (munosabatga ko'ra a n +1 ).

Ketma-ketlikni aniqlash uchun istalgan raqam bilan ketma-ketlik a'zosini topish imkonini beruvchi usulni ko'rsatish kerak.

Ko'pincha ketma-ketlik yordamida belgilanadi n-sonli formulalar , ya'ni ketma-ketlik a'zosini raqami bo'yicha aniqlash imkonini beruvchi formula.

Masalan,

musbat toq sonlar ketma-ketligi formula bilan berilishi mumkin

a n= 2n- 1,

va almashinish ketma-ketligi 1 Va -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Ketma-ketlikni aniqlash mumkin takrorlanuvchi formula, ya’ni ketma-ketlikning istalgan a’zosini ba’zilaridan boshlab oldingi (bir yoki bir necha) a’zolar orqali ifodalovchi formula.

Masalan,

Agar a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Agar a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , keyin raqamli ketma-ketlikning birinchi yettita a'zosi quyidagicha o'rnatiladi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ketma-ket bo'lishi mumkin final Va cheksiz .

Ketma-ket deyiladi yakuniy , agar u cheklangan miqdordagi a'zolarga ega bo'lsa. Ketma-ket deyiladi cheksiz , agar u cheksiz ko'p a'zolarga ega bo'lsa.

Masalan,

Ikki xonali natural sonlar ketma-ketligi:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

tub sonlar ketma-ketligi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

cheksiz. ◄

Ketma-ket deyiladi ortib boradi , agar uning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, oldingisidan kattaroq bo'lsa.

Ketma-ket deyiladi kamaymoqda , agar uning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Masalan,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - ketma-ketlikni oshirish;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ketma-ketlikni kamaytirish. ◄

Elementlari soni ko'payganda kamaymaydigan yoki aksincha ko'paymaydigan ketma-ketlik deyiladi. monoton ketma-ketlik .

Monotonik ketma-ketliklar, xususan, ketma-ketliklarning ortib borayotgan va kamayuvchi ketma-ketliklardir.

Arifmetik progressiya

Arifmetik progressiya ikkinchidan boshlab har bir a'zo oldingisiga teng bo'lgan ketma-ketlik bo'lib, unga bir xil son qo'shiladi.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

har qanday natural son uchun arifmetik progressiyadir n shart bajariladi:

a n +1 = a n + d,

Qayerda d - ma'lum bir raqam.

Shunday qilib, berilgan arifmetik progressiyaning keyingi va oldingi hadlari o'rtasidagi farq doimo doimiy bo'ladi:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Raqam d chaqirdi arifmetik progressiyaning farqi.

Arifmetik progressiyani aniqlash uchun uning birinchi hadini va farqini ko'rsatish kifoya.

Masalan,

Agar a 1 = 3, d = 4 , keyin ketma-ketlikning birinchi beshta hadini quyidagicha topamiz:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Birinchi hadli arifmetik progressiya uchun a 1 va farq d uni n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Masalan,

arifmetik progressiyaning o‘ttizinchi hadini toping

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

keyin aniq

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Arifmetik progressiyaning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.

a, b va c raqamlari ba'zi arifmetik progressiyaning ketma-ket hadlari, agar ulardan biri qolgan ikkitasining o'rta arifmetik qiymatiga teng bo'lsa.

Masalan,

a n = 2n- 7 , arifmetik progressiyadir.

Keling, yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Demak,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Shu esta tutilsinki n Arifmetik progressiyaning uchinchi hadini nafaqat orqali topish mumkin a 1 , balki oldingi har qanday a k

a n = a k + (n- k)d.

Masalan,

Uchun a 5 yozib olish mumkin

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

keyin aniq

a n=	a n-k + a n+k
	2

arifmetik progressiyaning ikkinchisidan boshlab istalgan a'zosi bu arifmetik progressiyaning teng intervalli a'zolari yig'indisining yarmiga teng.

Bundan tashqari, har qanday arifmetik progressiya uchun quyidagi tenglik amal qiladi:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Masalan,

arifmetik progressiyada

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, chunki

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

birinchi n Arifmetik progressiya hadlari ekstremal hadlar va hadlar soni yig‘indisining yarmining ko‘paytmasiga teng:

Bu erdan, xususan, agar shartlarni jamlash kerak bo'lsa, shundan kelib chiqadi

a k, a k +1 , . . . , a n,

keyin oldingi formula o'z tuzilishini saqlab qoladi:

Masalan,

arifmetik progressiyada 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Agar arifmetik progressiya berilgan bo'lsa, u holda miqdorlar a 1 , a n, d, n VaS n ikkita formula bilan bog'langan:

Shuning uchun, agar bu miqdorlarning uchtasining qiymatlari berilgan bo'lsa, qolgan ikkita miqdorning mos keladigan qiymatlari ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglamalar tizimiga birlashtirilgan ushbu formulalardan aniqlanadi.

Arifmetik progressiya monotonik ketma-ketlikdir. Bunda:

• Agar d > 0 , keyin u ortib bormoqda;
• Agar d < 0 , keyin u kamayadi;
• Agar d = 0 , keyin ketma-ketlik statsionar bo'ladi.

Geometrik progressiya

Geometrik progressiya ikkinchidan boshlab har bir a'zo oldingi bir xil songa ko'paytiriladigan ketma-ketlikdir.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

har qanday natural son uchun geometrik progressiyadir n shart bajariladi:

b n +1 = b n · q,

Qayerda q ≠ 0 - ma'lum bir raqam.

Shunday qilib, berilgan geometrik progressiyaning keyingi hadining oldingisiga nisbati doimiy son:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Raqam q chaqirdi geometrik progressiyaning maxraji.

Geometrik progressiyani aniqlash uchun uning birinchi hadini va maxrajini ko'rsatish kifoya.

Masalan,

Agar b 1 = 1, q = -3 , keyin ketma-ketlikning birinchi beshta hadini quyidagicha topamiz:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 va maxraj q uni n Atamani quyidagi formula yordamida topish mumkin:

b n = b 1 · qn -1 .

Masalan,

geometrik progressiyaning yettinchi hadini toping 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

keyin aniq

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geometrik progressiyaning ikkinchidan boshlab har bir a'zosi oldingi va keyingi a'zolarning geometrik o'rtacha (proporsional) ga teng.

Qarama-qarshilik ham to'g'ri bo'lganligi sababli, quyidagi bayonot amal qiladi:

a, b va c sonlar ba’zi geometrik progressiyaning ketma-ket hadlari bo‘ladi, agar ulardan birining kvadrati qolgan ikkitasining ko‘paytmasiga teng bo‘lsa, ya’ni sonlardan biri qolgan ikkitasining geometrik o‘rtasi bo‘lsa.

Masalan,

Formula bilan berilgan ketma-ketlikni isbotlaylik b n= -3 2 n , geometrik progressiyadir. Keling, yuqoridagi bayonotdan foydalanamiz. Bizda ... bor:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Demak,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

bu kerakli bayonotni isbotlaydi. ◄

Shu esta tutilsinki n Geometrik progressiyaning uchinchi hadini nafaqat orqali topish mumkin b 1 , balki oldingi a'zolar ham b k , buning uchun formuladan foydalanish kifoya

b n = b k · qn - k.

Masalan,

Uchun b 5 yozib olish mumkin

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

keyin aniq

b n 2 = b n - k· b n + k

ikkinchisidan boshlab geometrik progressiyaning istalgan hadining kvadrati undan teng masofada joylashgan bu progressiya hadlarining ko‘paytmasiga teng.

Bundan tashqari, har qanday geometrik progressiya uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Masalan,

geometrik progressiyada

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , chunki

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

birinchi n maxrajli geometrik progressiyaning a'zolari q ≠ 0 formula bo'yicha hisoblanadi:

Va qachon q = 1 - formula bo'yicha

S n= nb 1

E'tibor bering, agar siz shartlarni jamlashingiz kerak bo'lsa

b k, b k +1 , . . . , b n,

keyin formuladan foydalaniladi:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Masalan,

geometrik progressiyada 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Agar geometrik progressiya berilgan bo'lsa, u holda miqdorlar b 1 , b n, q, n Va S n ikkita formula bilan bog'langan:

Shuning uchun, agar bu miqdorlarning har uchtasining qiymatlari berilgan bo'lsa, qolgan ikkita kattalikning tegishli qiymatlari ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglama tizimiga birlashtirilgan ushbu formulalardan aniqlanadi.

Birinchi hadli geometrik progressiya uchun b 1 va maxraj q quyidagilar sodir bo'ladi monotonlik xususiyatlari :

• Agar quyidagi shartlardan biri bajarilsa, rivojlanish kuchayadi:

b 1 > 0 Va q> 1;

b 1 < 0 Va 0 < q< 1;

• Quyidagi shartlardan biri bajarilsa, rivojlanish pasayadi:

b 1 > 0 Va 0 < q< 1;

b 1 < 0 Va q> 1.

Agar q< 0 , u holda geometrik progressiya almashinadi: uning toq sonli hadlari birinchi hadi bilan bir xil, juft sonli hadlari esa qarama-qarshi belgiga ega. O'zgaruvchan geometrik progressiya monotonik emasligi aniq.

Birinchisining mahsuloti n Geometrik progressiyaning a'zolarini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Masalan,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya maxraj moduli kichik bo'lgan cheksiz geometrik progressiya deyiladi 1 , ya'ni

|q| < 1 .

E'tibor bering, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya kamayuvchi ketma-ketlik bo'lmasligi mumkin. Bu vaziyatga mos keladi

1 < q< 0 .

Bunday maxraj bilan ketma-ketlik almashinadi. Masalan,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi birinchilarining yig'indisi cheksiz yaqinlashadigan sonni nomlang n sonining cheksiz ko'payishi bilan progressiyaning a'zolari n . Bu raqam har doim cheklangan va formula bilan ifodalanadi

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Masalan,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik va geometrik progressiyalar o‘rtasidagi bog‘liqlik

Arifmetik va geometrik progressiyalar bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Keling, ikkita misolni ko'rib chiqaylik.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Bu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Masalan,

1, 3, 5, . . . - farqli arifmetik progressiya 2 Va

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - maxrajli geometrik progressiya 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - maxrajli geometrik progressiya q , Bu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - farqli arifmetik progressiya log aq .

Masalan,

2, 12, 72, . . . - maxrajli geometrik progressiya 6 Va

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - farqli arifmetik progressiya lg 6 . ◄