Romb nima? Geometrik figuralar. Romb Rombning diagonallari burchak ostida kesishadi

"A olish" video kursi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini 60-65 ball bilan muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematika bo'yicha profil yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Yagona davlat imtihonining tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan, sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlarining nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.

1-rasmda $ABCD$ romb, $A B=B C=C D=A D$. Romb parallelogramm bo'lgani uchun u parallelogrammaning barcha xossalariga ega, lekin faqat rombga xos xususiyatlar ham mavjud.

Har qanday rombga aylana o'rnatishingiz mumkin. Rombga chizilgan aylana markazi uning diagonallarining kesishish nuqtasidir. Doira radiusi romb balandligining yarmiga teng $r=\frac(A H)(2)$ (1-rasm)

Rombning xossalari

1. Rombning diagonallari perpendikulyar;
2. Rombning diagonallari uning burchaklarining bissektrisalaridir.

Olmos belgilari

1. Diagonallari to'g'ri burchak ostida kesishgan parallelogramma - romb;
2. Diagonallari burchaklarining bissektrisalari bo'lgan parallelogramma rombdir.

Muammoni hal qilishga misollar

Misol

Mashq qilish.$ABCD$ rombining diagonallari 6 va 8 sm. Romb tomonini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (1-rasm). Aniqlik uchun $A C=6$ sm, $B D=8$ sm rombning xossasi boʻyicha uning diagonallari toʻgʻri burchak ostida kesishsin. Kesishish nuqtasida diagonallar yarmiga bo'linadi (parallelogrammaning xossasi, romb esa parallelogrammaning maxsus holatidir).

$A O B$ uchburchagini ko'rib chiqing. U to'rtburchak ($\burchak O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ sm, $B O=\frac(B D) ) (2)=\frac(8)(2)=4$ sm bu uchburchak uchun Pifagor teoremasini yozamiz:

$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$

$AO$ va $BO$ ning topilgan qiymatlarini almashtiramiz,

$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$

Javob. Rombning yon tomoni 5 sm.

Misol

Mashq qilish. Tomoni 4 sm bo'lgan rombda burchaklardan biri $60^(\circ)$ ga teng. Rombning diagonallarini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (2-rasm).

Aniqlik uchun $\angle B=60^(\circ)$ bo'lsin. U holda rombning xossasi bo‘yicha $BD$ diagonali $B$, $\angle A B O=\angle O B C=\frac(\angle B)(2)=30^(\circ) burchakning bissektrisasidir. $. $\Delta O B C$ ni ko'rib chiqaylik, u to'g'ri burchakli ($\angle B O C=90^(\circ)$), chunki rombning diagonallari to'g'ri burchak ostida kesishadi. $\angle O B C=30^(\circ) ekan, O C=\frac(B C)(2)=2$ dm $30^(\circ)$ burchakka qarama-qarshi yotgan oyoqdir. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz $B O$ topamiz:

$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$

$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$

$$B O=\sqrt(12)$$

$$B O=2 \sqrt(3)$$

Rombning diagonallari kesishish nuqtasida yarmiga bo'linadi, shuning uchun

$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)

$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)

Javob.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm

Misol

Mashq qilish. Rombda diagonallardan biri va romb tomoni hosil qilgan burchak $27^(\circ)$ ga teng. Rombning burchaklarini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (3-rasm)

Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak, $\angle K L O=27^(\circ)$. Rombdagi diagonallar uning burchaklarining bissektrisalaridir, shuning uchun $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. Romb parallelogramm bo'lgani uchun unga quyidagi xossalar qo'llaniladi: bir tomoniga tutashgan burchaklar yig'indisi $180^(\circ)$ va qarama-qarshi burchaklar teng. Shunung uchun,

$\burchak M=\burchak K=180^(\circ)-\burchak L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$

Javob.$\burchak N=\burchak L=54^(\circ)$

$\burchak M=\burchak K=126^(\circ)$

AB \parallel CD,\;BC \parallel AD

AB = CD, \;BC = AD

2. Rombning diagonallari perpendikulyar.

AC\perp BD

Isbot

Romb parallelogramm bo'lgani uchun uning diagonallari yarmiga bo'linadi.

Bu shuni anglatadiki, \triangle BOC = \triangle DOC uch tomonda (BO = OD, OC - bo'g'in, BC = CD). Biz \angle BOC = \angle COD olamiz va ular qo'shni.

\O'ng strelka \burchak BOC = 90^(\circ) va \angle COD = 90^(\circ) .

3. Diagonallarning kesishish nuqtasi ularni yarmiga bo'ladi.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Rombning diagonallari uning burchaklarining bissektrisalaridir.

\angle 1 = \angle 2; \; \ burchak 5 = \ burchak 6;

\angle 3 = \angle 4; \; \ burchak 7 = \ burchak 8.

Isbot

Diagonallar kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linganligi va rombning barcha tomonlari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, butun rasm diagonallari bo'yicha 4 ta teng uchburchakka bo'linadi:

\triangle BOC,\; \triangle BOA,\; \triangle AOD,\; \triangle COD.

Bu BD, AC bissektrisa ekanligini bildiradi.

5. Diagonallar rombdan 4 ta to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi.

6. Har qanday rombda markazi diagonallari kesishgan nuqtada joylashgan doira bo'lishi mumkin.

7. Diagonallar kvadratlarining yig'indisi romb tomonlaridan birining kvadratining to'rtga ko'paytirilganiga teng.

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Olmos belgilari

1. Perpendikulyar diagonalli parallelogramma rombdir.

\begin(holatlar) AC \perp BD \\ ABCD \end(holatlar)- parallelogramm, \Rightarrow ABCD - romb.

Isbot

ABCD - parallelogramm \Rightarrow AO = CO ; BO = OD. Bu ham aytilgan AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD- 2 oyoqda.

AB = BC = CD = AD ekanligi ma'lum bo'ldi.

Tasdiqlangan!

2. Paralelogrammada diagonallarning kamida bittasi ikkala burchakni (u orqali o'tadigan) yarmiga bo'lsa, bu raqam romb bo'ladi.

Isbot

Eslatmada: perpendikulyar diagonallari bo'lgan har bir figura (to'rtburchak) romb bo'lmaydi.

Masalan:

Bu diagonallarning perpendikulyarligiga qaramay, endi romb emas.

Farqlash uchun, birinchi navbatda, to'rtburchak parallelogramm bo'lishi va bo'lishi kerakligini esga olish kerak

teng tomonlar bilan. To'g'ri burchakli romb kvadrat .

Romb parallelogrammaning bir turi sifatida qaraladi, uning ikkita qo'shni teng tomoni yoki o'zaro perpendikulyar diagonallari yoki diagonallari burchakni 2 teng qismga bo'linadi.

Rombning xossalari.

1. Romb parallelogramma, shuning uchun qarama-qarshi tomonlar bir xil uzunlikka ega va juftlikda parallel, AB || CD, AD || Quyosh.

2. Diagonallarning kesishish burchagi romb to'g'ri (AC⊥ BD) va kesishish nuqtasi ikkita bir xil qismga bo'linadi. Ya'ni, diagonallar rombni 4 ta to'rtburchaklar uchburchakka ajratadi.

3. Rombning diagonallari burchaklarining bissektrisalaridir (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBD va hokazo. ).

4. Diagonallarning kvadratlari yig'indisi to'rtga ko'paytiriladigan tomonning kvadratiga teng (paralelogramma identifikatsiyasidan olingan).

Olmos belgilari.

Paralelogramma A B C D shartlardan kamida bittasi bajarilgan taqdirdagina romb deb ataladi:

1. Uning qo‘shni 2 tomoni bir xil uzunlikka ega (ya’ni rombning barcha tomonlari teng, AB=BC=CD=AD).

2. To'g'ri chiziq diagonallarining kesishish burchagi ( A.C.⊥ BD).

3. Diagonallarning 1 tasi uni o'z ichiga olgan burchaklarni yarmiga bo'ladi.

Biz to'rtburchakning parallelogramm bo'lib chiqishini oldindan bilmasligimiz mumkin, lekin uning barcha tomonlari teng ekanligini bilamiz. Demak, bu to'rtburchak rombdir.

Romb simmetriyasi.

Romb simmetrikdir uning barcha diagonallariga nisbatan ko'pincha bezaklar va parket taxtalarida ishlatiladi.

Romb perimetri.

Geometrik figuraning perimetri- tekis geometrik figuraning chegaralarining umumiy uzunligi. Perimetr uzunligi bilan bir xil o'lchamga ega.

Geometrik shakllarning xilma-xilligi orasida romb kabi to'rtburchak sezilarli darajada ajralib turadi. Hatto uning nomi ham to'rtburchaklarni belgilash uchun xos emas. Va geometriyada aylana, uchburchak, kvadrat yoki to'rtburchaklar kabi oddiy figuralarga qaraganda kamroq uchraydi, lekin uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi.

Quyida romblarning ta'rifi, xossalari va xususiyatlari keltirilgan.

Ta'rif

Romb - tomonlari teng bo'lgan parallelogramm. Rombning barcha burchaklari to'g'ri burchakli bo'lsa, u kvadrat deyiladi. Olmosning eng yorqin namunasi - o'yin kartasidagi olmos kostyumining tasviri. Bundan tashqari, romb ko'pincha turli xil gerblarda tasvirlangan. Kundalik hayotda olmosga misol basketbol maydonidir.

Xususiyatlari

1. Rombning qarama-qarshi tomonlari parallel chiziqlarda yotadi va bir xil uzunlikka ega.
2. Romb diagonallarining kesishishi bir nuqtada 90 ° burchak ostida sodir bo'ladi, bu ularning o'rta nuqtasidir.
3. Rombning diagonallari ular paydo bo'lgan burchakni ikkiga bo'ladi.
4. Paralelogrammaning xossalariga asoslanib, diagonallarning kvadratlari yig'indisini chiqarishimiz mumkin. Formulaga ko'ra, u kvadrat darajaga ko'tarilgan va to'rtga ko'paytiriladigan tomonga teng.

Belgilar

Biz har qanday romb parallelogramm ekanligini aniq tushunishimiz kerak, lekin shu bilan birga, har bir parallelogramda ham rombning barcha ko'rsatkichlari mavjud emas. Ushbu ikki geometrik shaklni farqlash uchun siz rombning xususiyatlarini bilishingiz kerak. Ushbu geometrik shaklning o'ziga xos xususiyatlari quyidagilardir:

1. Umumiy cho'qqisi bo'lgan har qanday ikki tomon tengdir.
2. Diagonallar 90 ° C burchak ostida kesishadi.
3. Eng kamida bitta diagonal cho'qqi nuqtalaridan chiqadigan burchaklarni yarmiga bo'ladi.

Hudud formulalari

Asosiy formula:

• S = (AC*BD)/2

Paralelogrammaning xususiyatlariga asoslanib:

• S = (AB*H AB)

Rombning ikkita qo'shni tomoni orasidagi burchak o'lchamiga qarab:

• S = AB2*sina

Rombga chizilgan aylana radiusining uzunligini bilsak:

• S = 4r 2 /(sina), bu erda:
  • S - maydon;
  • AB, AC, BD - tomonlarning belgilanishi;
  • H - balandlik;
  • r - aylana radiusi;
  • sina - sinus alfa.

Perimetr

Rombning perimetrini hisoblash uchun uning istalgan tomonining uzunligini to'rtga ko'paytirish kifoya.

Chizma qurilishi

Ba'zi odamlar olmos naqshini yaratishda qiyinchiliklarga duch kelishadi. Agar siz romb nima ekanligini allaqachon tushungan bo'lsangiz ham, uning chizilgan rasmini qanday qilib to'g'ri va kerakli nisbatlarga rioya qilgan holda qurish har doim ham aniq emas.

Olmos naqshini yaratishning ikki yo'li mavjud:

1. Avval bitta diagonalni, so'ngra unga perpendikulyar bo'lgan ikkinchi diagonalni quring, so'ngra rombning parallel tomonlarining qo'shni juftliklari segmentlarining uchlarini ulang.
2. Avval rombning bir tomonini chetga surib qo'ying, so'ngra unga parallel bo'lgan uzunlikdagi segmentni tuzing va bu segmentlarning uchlarini ham parallel ravishda juftlik bilan bog'lang.

Qurilishda ehtiyot bo'ling - agar chizmada siz rombning barcha tomonlarini uzunligini bir xil qilsangiz, siz romb emas, balki kvadrat olasiz.