Ular butun bo'ylab teng taqsimlanadi. Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlashning yagona va eksponensial qonunlari

Uning yordamida ko'plab real jarayonlar simulyatsiya qilinadi. Va eng keng tarqalgan misol jamoat transporti jadvalidir. Aytaylik, ma'lum bir avtobus (trolleybus/tramvay) har 10 daqiqada ishlaydi va siz tasodifiy vaqtda to'xtab qolasiz. Avtobusning 1 daqiqada yetib kelish ehtimoli qancha? Shubhasiz 1/10. 4-5 daqiqa kutishingiz ehtimoli qanday? Bir xil . Avtobusni 9 minutdan ortiq kutish ehtimoli qanday? O'ndan biri!

Keling, ba'zilarini ko'rib chiqaylik cheklangan interval, aniqlik uchun segment bo'lsin. Agar tasodifiy qiymat ega doimiy ehtimollikni taqsimlash zichligi ma'lum bir segmentda va uning tashqarisida nol zichlikda, keyin ular taqsimlanganligini aytishadi teng ravishda. Bunday holda, zichlik funktsiyasi qat'iy aniqlanadi:

Haqiqatan ham, segmentning uzunligi bo'lsa (rasmga qarang) bo'lsa, u holda qiymat muqarrar ravishda teng bo'ladi - shuning uchun to'rtburchakning birlik maydoni olinadi va u kuzatiladi ma'lum mulk:


Keling, buni rasmiy ravishda tekshiramiz:
, va boshqalar. Ehtimollik nuqtai nazaridan, bu tasodifiy o'zgaruvchini anglatadi ishonchli tarzda segmentning qiymatlaridan birini oladi ..., eh, men asta-sekin zerikarli keksa odamga aylanyapman =)

Bir xillikning mohiyati shundaki, har qanday ichki bo'shliq belgilangan uzunlik biz o'ylamaganmiz ("avtobus" daqiqalarini eslang)- tasodifiy o'zgaruvchining ushbu intervaldan qiymat olish ehtimoli bir xil bo'ladi. Chizmada men uchta bunday ehtimollikni soya qildim - yana bir bor ta'kidlayman ular hududlarga qarab belgilanadi, funktsiya qiymatlari emas!

Keling, odatiy vazifani ko'rib chiqaylik:

1-misol

Uzluksiz tasodifiy miqdor uning taqsimlanish zichligi bilan belgilanadi:

Konstantani toping, taqsimlash funksiyasini hisoblang va tuzing. Grafiklarni qurish. Toping

Boshqacha qilib aytganda, siz orzu qilgan hamma narsa :)

Yechim: oraliqda beri (cheklangan interval) , keyin tasodifiy o'zgaruvchi bir xil taqsimotga ega va "ce" qiymatini to'g'ridan-to'g'ri formuladan foydalanib topish mumkin. . Ammo umumiy ma'noda - mulkdan foydalanish yaxshiroqdir:

...nega yaxshiroq? Keraksiz savollar bo'lmasligi uchun;)

Shunday qilib, zichlik funktsiyasi:

Keling, rasm chizamiz. Qiymatlar imkonsiz , shuning uchun quyuq nuqtalar quyida joylashgan:


Tez tekshirish uchun to'rtburchakning maydonini hisoblaymiz:
, va boshqalar.

Keling, topamiz kutilgan qiymat, va siz, ehtimol, nimaga teng ekanligini allaqachon taxmin qilishingiz mumkin. "10 daqiqalik" avtobusni eslang: agar tasodifiy ko'p, ko'p kunlar uchun to'xtashga yaqinlashib, keyin o'rtacha siz uni 5 daqiqa kutishingiz kerak bo'ladi.

Ha, to'g'ri - kutish "voqea" oralig'ining o'rtasida bo'lishi kerak:
, kutilganidek.

dan foydalanib dispersiyani hisoblaymiz formula . Va bu erda integralni hisoblashda sizga ko'z va ko'z kerak:

Shunday qilib, dispersiya:

Keling, tuzamiz tarqatish funktsiyasi . Bu erda hech qanday yangilik yo'q:

1) agar , keyin va ;

2) agar , keyin va:

3) va nihoyat, qachon , Shunung uchun:

Natijada:

Keling, rasm chizamiz:


"Jonli" intervalda, tarqatish funktsiyasi o'sib borayotgan chiziqli, va bu bizda bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchiga ega ekanligimizning yana bir belgisidir. Axir, albatta hosila chiziqli funksiya- doimiylik bor.

Kerakli ehtimollikni topilgan taqsimot funksiyasidan foydalangan holda ikki usulda hisoblash mumkin:

yoki zichlikning ma'lum bir integralidan foydalanish:

Kimga yoqsa.

Va bu erda siz ham yozishingiz mumkin javob: ,
, grafiklar yechim bo'ylab qurilgan.

... "mumkin", chunki uning yo'qligi uchun odatda jazo yo'q. Odatda;)

Yagona tasodifiy o'zgaruvchini hisoblash uchun maxsus formulalar mavjud, men ularni o'zingiz olishingizni tavsiya qilaman:

2-misol

Uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik bilan beriladi .

Matematik kutish va dispersiyani hisoblang. Natijalarni iloji boricha soddalashtiring (qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamlashmoq).

Olingan formulalarni tekshirish uchun ishlatish qulay, xususan, "a" va "b" ning aniq qiymatlarini almashtirish orqali siz hal qilgan muammoni tekshiring. Sahifaning pastki qismida qisqacha yechim.

Va dars oxirida biz bir nechta "matn" muammolarini ko'rib chiqamiz:

3-misol

O'lchov moslamasining shkala bo'linish qiymati 0,2 ga teng. Asbob ko'rsatkichlari eng yaqin butun bo'linmaga yaxlitlanadi. Yaxlitlash xatolari bir xil taqsimlangan deb faraz qilsak, keyingi o'lchovda uning 0,04 dan oshmasligi ehtimolini toping.

Yaxshiroq tushunish uchun yechimlar Tasavvur qilaylik, bu o'qli mexanik qurilma, masalan, bo'linish qiymati 0,2 kg bo'lgan tarozi va biz cho'chqani tortishimiz kerak. Ammo uning semizligini bilish uchun emas - endi o'q ikkita qo'shni bo'linma o'rtasida to'xtagan joyda muhim bo'ladi.

Keling, tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik - masofa dan o'qlar eng yaqin chap bo'linma. Yoki eng yaqinidan o'ngga, bu muhim emas.

Ehtimollik zichligi funksiyasini tuzamiz:

1) Masofa salbiy bo'lishi mumkin emasligi sababli, intervalda. Mantiqiy.

2) Shartdan kelib chiqadiki, tarozi o'qi bilan teng ehtimollik bo'linishlar orasidagi istalgan joyda to'xtashi mumkin * , shu jumladan bo'linmalarning o'zlari va shuning uchun intervalda:

* Bu muhim shart. Masalan, paxta momig'i yoki bir kilogramm o'ram tuzni tortishda bir xillik ancha torroq vaqt oralig'ida saqlanadi.

3) ENG YAQIN chap bo'linmadan masofa 0,2 dan katta bo'lishi mumkin emasligi sababli, at ham nolga teng.

Shunday qilib:

Shuni ta'kidlash kerakki, hech kim bizdan zichlik funktsiyasi haqida so'ramagan va men uning to'liq tuzilishini faqat kognitiv zanjirlarda taqdim etganman. Vazifani tugatayotganda faqat 2-bandni yozish kifoya.

Endi muammoning savoliga javob beraylik. Qachon eng yaqin bo'linmaga yaxlitlashda xatolik 0,04 dan oshmaydi? Bu o'q chap bo'linmadan 0,04 dan uzoqroqda to'xtaganda sodir bo'ladi o'ngda yoki o'ng bo'linmadan 0,04 dan oshmasligi kerak chap. Chizmada men tegishli joylarni soya qildim:

Bu hududlarni topish qoladi integrallardan foydalanish. Asosan, ularni "maktab uslubida" hisoblash mumkin (to'rtburchaklar maydonlari kabi), lekin oddiylik har doim ham tushunilmaydi;)

tomonidan mos kelmaydigan hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasi:

- yaxlitlash xatosi 0,04 dan oshmasligi ehtimoli (bizning misolimiz uchun 40 gramm)

Maksimal yaxlitlash xatosi 0,1 (100 gramm) ekanligini ko'rish oson, shuning uchun yaxlitlash xatosi 0,1 dan oshmasligi ehtimoli birga teng.

Javob: 0,4

Boshqa ma'lumot manbalarida bu muammoning muqobil tushuntirishlari/formulalari mavjud va men o'zim uchun eng tushunarli bo'lgan variantni tanladim. Maxsus e'tibor vaziyatda xatolar haqida yaxlitlash emas, balki haqida gapirish mumkinligiga e'tibor berish kerak tasodifiy odatda bo'lgan o'lchash xatolari (lekin har doim emas), tomonidan tarqatilgan oddiy qonun. Shunday qilib, Birgina so'z qaroringizni tubdan o'zgartirishi mumkin! Ogoh bo'ling va ma'nosini tushuning.

Va hamma narsa aylana bo'lib ketishi bilan, oyoqlarimiz bizni o'sha avtobus bekatiga olib boradi:

4-misol

Muayyan yo'nalish bo'yicha avtobuslar qat'iy jadval bo'yicha va har 7 daqiqada ishlaydi. Tasodifiy o'zgaruvchining zichlik funksiyasini tuzing - bekatga tasodifiy yaqinlashgan yo'lovchining keyingi avtobusni kutish vaqti. Uning avtobusni uch daqiqadan ko'p bo'lmagan kutish ehtimolini toping. Tarqatish funksiyasini toping va uning mazmunini tushuntiring.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga misol sifatida (a; b) oraliqda bir xil taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing. X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi teng taqsimlangan (a; b) oraliqda, agar uning tarqalish zichligi ushbu intervalda doimiy bo'lmasa:

Normalizatsiya shartidan c konstantaning qiymatini aniqlaymiz. Tarqatish zichligi egri chizig'i ostidagi maydon birlikka teng bo'lishi kerak, ammo bizning holatlarimizda bu asosi (b - a) va balandligi c bo'lgan to'rtburchakning maydoni (1-rasm).

Guruch. 1 Yagona taqsimlash zichligi
Bu yerdan c doimiysining qiymatini topamiz:

Demak, bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning zichligi ga teng

Keling, quyidagi formula yordamida taqsimlash funksiyasini topamiz:
1) uchun
2) uchun
3) 0+1+0=1 uchun.
Shunday qilib,

Tarqatish funksiyasi uzluksiz va kamaymaydi (2-rasm).

Guruch. 2 Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi

Biz topamiz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi formula bo'yicha:

Bir xil taqsimotning tarqalishi formula bo'yicha hisoblanadi va ga teng bo'ladi

Misol № 1. O'lchov moslamasining shkala bo'linish qiymati 0,2 ga teng. Asbob ko'rsatkichlari eng yaqin butun bo'linmaga yaxlitlanadi. Sanoq paytida xatolikka yo'l qo'yish ehtimolini toping: a) 0,04 dan kam; b) katta 0,02
Yechim. Yaxlitlash xatosi qo'shni butun bo'linmalar orasidagi intervalda bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir. (0; 0,2) intervalni shunday bo'linish sifatida ko'rib chiqamiz (a-rasm). Yaxlitlash chap chegarada ham - 0, o'ng tomonda - 0,2 bo'lishi mumkin, ya'ni 0,04 dan kam yoki unga teng bo'lgan xato ikki marta amalga oshirilishi mumkin, bu ehtimollikni hisoblashda hisobga olinishi kerak:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

Ikkinchi holda, xato qiymati ikkala bo'linish chegarasida ham 0,02 dan oshishi mumkin, ya'ni u 0,02 dan ortiq yoki 0,18 dan kichik bo'lishi mumkin.


Keyin bunday xatolik ehtimoli:

Misol № 2. So'nggi 50 yil ichida mamlakatdagi iqtisodiy vaziyatning barqarorligi (urushlar, tabiiy ofatlar va h.k.) aholining yoshga qarab taqsimlanishi xarakteriga ko'ra baholanishi mumkin, deb taxmin qilingan edi: tinch holatda bo'lishi kerak. forma. Tadqiqot natijasida mamlakatlardan biri uchun quyidagi ma'lumotlar olindi.

Mamlakatda beqarorlik bor edi, deyishga asos bormi?

Biz gipotezalarni sinovdan o'tkazish uchun kalkulyator yordamida hal qilamiz. Ko'rsatkichlarni hisoblash uchun jadval.

Guruhlar	Intervalning o'rta nuqtasi, x i	Miqdori, f i	x i * f i	Yig'ilgan chastota, S	|x - x avg |*f	(x - x o'rtacha) 2 *f	Chastotasi, f i / n
0 - 10	5	0.14	0.7	0.14	5.32	202.16	0.14
10 - 20	15	0.09	1.35	0.23	2.52	70.56	0.09
20 - 30	25	0.1	2.5	0.33	1.8	32.4	0.1
30 - 40	35	0.08	2.8	0.41	0.64	5.12	0.08
40 - 50	45	0.16	7.2	0.57	0.32	0.64	0.16
50 - 60	55	0.13	7.15	0.7	1.56	18.72	0.13
60 - 70	65	0.12	7.8	0.82	2.64	58.08	0.12
70 - 80	75	0.18	13.5	1	5.76	184.32	0.18
		1	43		20.56	572	1

Tarqatish markazi ko'rsatkichlari.
O'rtacha vaznli


Variatsiya ko'rsatkichlari.
Mutlaq o'zgarishlar.
O'zgaruvchanlik diapazoni - asosiy seriya xarakteristikasining maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Dispersiya- dispersiya o'lchovini uning o'rtacha qiymati atrofida tavsiflaydi (tarqalish o'lchovi, ya'ni o'rtacha qiymatdan og'ish).


Standart og'ish.

Seriyaning har bir qiymati o'rtacha 43 qiymatidan 23,92 dan ko'p bo'lmagan farq qiladi
Tarqatish turi haqidagi farazlarni tekshirish.
4. Haqida gipotezani tekshirish yagona taqsimlash umumiy aholi.
X ning bir xil taqsimlanishi haqidagi gipotezani tekshirish uchun, ya'ni. qonun bo'yicha: f(x) = 1/(b-a) (a,b) oraliqda.
zarur:
1. Formulalar yordamida a va b parametrlarini - X ning mumkin bo'lgan qiymatlari kuzatilgan intervalning uchlarini hisoblang (* belgisi parametr baholarini bildiradi):

2. F(x) = 1/(b * - a *) kutilayotgan taqsimotning ehtimollik zichligini toping.
3. Nazariy chastotalarni toping:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. K = s-3 erkinlik darajalari sonini olib, Pearson mezoni yordamida empirik va nazariy chastotalarni solishtiring, bu erda s - dastlabki namuna olish intervallari soni; agar kichik chastotalar kombinatsiyasi va shuning uchun intervallarning o'zlari amalga oshirilgan bo'lsa, u holda s - kombinatsiyadan keyin qolgan intervallar soni.

Yechim:
1. Formulalar yordamida bir xil taqsimotning a * va b * parametrlarining baholarini toping:


2. Qabul qilingan yagona taqsimotning zichligini toping:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Nazariy chastotalarni topamiz:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0,0121(10-1,58) = 0,1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0,0121(84,42-70) = 0,17
Qolgan n lar quyidagilarga teng bo'ladi:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)

i	n i	n*i	n i - n * i	(n i - n* i) 2	(n i - n * i) 2 / n * i
1	0.14	0.1	0.0383	0.00147	0.0144
2	0.09	0.12	-0.0307	0.000943	0.00781
3	0.1	0.12	-0.0207	0.000429	0.00355
4	0.08	0.12	-0.0407	0.00166	0.0137
5	0.16	0.12	0.0393	0.00154	0.0128
6	0.13	0.12	0.0093	8.6E-5	0.000716
7	0.12	0.12	-0.000701	0	4.0E-6
8	0.18	0.17	0.00589	3.5E-5	0.000199
Jami	1				0.0532

Kritik mintaqaning chegarasini aniqlaymiz. Pearson statistikasi empirik va nazariy taqsimotlar orasidagi farqni o'lchaganligi sababli, uning kuzatilgan qiymati K obs qanchalik katta bo'lsa, asosiy gipotezaga qarshi dalil shunchalik kuchli bo'ladi.
Shuning uchun, ushbu statistika uchun muhim mintaqa har doim o'ng qo'ldir :)