Ta'rif 1: Funktsiya nuqtada lokal maksimalga ega deyiladi, agar nuqtaning qo'shnisi bo'lsa, har qanday nuqta uchun M koordinatalari bilan (x, y) tengsizlik amal qiladi: . Bu holda, ya'ni funktsiyaning o'sishi< 0.

Ta'rif 2: Funktsiya nuqtada lokal minimumga ega deyiladi, agar nuqta qo'shnisi bo'lsa, har qanday nuqta uchun M koordinatalari bilan (x, y) tengsizlik amal qiladi: . Bu holda, ya'ni funktsiyaning o'sishi > 0 ga teng.

Ta'rif 3: Mahalliy minimal va maksimal nuqtalar chaqiriladi ekstremal nuqtalar.

Shartli ekstremallar

Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremallarini topishda ko'pincha muammolar deb ataladigan narsa bilan bog'liq muammolar paydo bo'ladi. shartli ekstremum. Ushbu kontseptsiyani ikkita o'zgaruvchining funksiyasi misolida tushuntirish mumkin.

Funktsiya va chiziq berilgan bo'lsin L yuzada 0xy. Vazifa - chiziqqa chiqish L shunday nuqtani toping P(x, y), unda funktsiyaning qiymati chiziqdagi nuqtalardagi ushbu funktsiyaning qiymatlariga nisbatan eng katta yoki eng kichik bo'ladi L, nuqta yaqinida joylashgan P. Bunday nuqtalar P chaqiriladi shartli ekstremal nuqtalar Onlayn funktsiyalar L. Odatiy ekstremum nuqtadan farqli o'laroq, shartli ekstremum nuqtadagi funktsiyaning qiymati uning qo'shnisining barcha nuqtalarida emas, balki faqat chiziqda yotgan nuqtalardagi qiymatlari bilan taqqoslanadi. L.

Oddiy ekstremum nuqtasi (ular ham aytadilar shartsiz ekstremum) ham shu nuqtadan oʻtuvchi har qanday chiziq uchun shartli ekstremum nuqtadir. Buning aksi, albatta, to'g'ri emas: shartli ekstremum nuqta oddiy ekstremum nuqta bo'lmasligi mumkin. Aytganlarimni oddiy misol bilan tushuntiraman. Funktsiyaning grafigi yuqori yarim shardir (3-ilova (3-rasm)).

Bu funksiya boshlang'ichda maksimalga ega; cho'qqisi unga mos keladi M yarim sharlar. Agar chiziq L nuqtalardan o'tuvchi chiziq mavjud A Va IN(uning tenglamasi x+y-1=0), u holda geometrik jihatdan aniq bo'ladiki, bu chiziqning nuqtalari uchun funktsiyaning eng katta qiymati nuqtalar orasidagi o'rtada joylashgan nuqtada erishiladi. A Va IN. Bu chiziqdagi funksiyaning shartli ekstremum (maksimal) nuqtasi; u yarim sharning M 1 nuqtasiga to'g'ri keladi va rasmdan bu erda biron bir oddiy ekstremum haqida gap bo'lishi mumkin emasligi aniq.

Yopiq mintaqadagi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasining yakuniy qismida biz ushbu mintaqa chegarasida funktsiyaning ekstremal qiymatlarini topishimiz kerakligini unutmang, ya'ni. bir qatorda va shu bilan shartli ekstremum muammosini hal qiladi.

Endi Z= f(x, y) funksiyaning shartli ekstremum nuqtalarini x va y o‘zgaruvchilari (x, y) = 0 tenglama bilan bog‘langan bo‘lsa, amaliy izlashga kirishamiz. ulanish tenglamasi. Agar bog‘lanish tenglamasidan y ni x ko‘rinishida aniq ifodalash mumkin bo‘lsa: y=(x), bitta o‘zgaruvchining Z= f(x, (x)) = F(x) funksiyasini olamiz.

Bu funksiya ekstremumga yetadigan x qiymatini topib, so'ngra ulanish tenglamasidan mos keladigan y qiymatlarini aniqlab, shartli ekstremumning kerakli nuqtalarini olamiz.

Demak, yuqoridagi misolda x+y-1=0 munosabat tenglamasidan y=1-x ga egamiz. Bu yerdan

z ning x = 0,5 da maksimal darajaga yetganini tekshirish oson; lekin keyin ulanish tenglamasidan y = 0,5 va biz geometrik mulohazalardan topilgan P nuqtasini aniq olamiz.

Shartli ekstremum masalasi ulanish tenglamasini x=x(t), y=y(t) parametrik tenglamalar bilan ifodalash mumkin bo'lganda ham juda oson yechiladi. Bu funksiyaga x va y ifodalarini qo‘yib, yana bitta o‘zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topish masalasiga kelamiz.

Agar ulanish tenglamasi murakkabroq shaklga ega bo'lsa va biz bir o'zgaruvchini boshqasi bilan aniq ifodalay olmasak yoki uni parametrik tenglamalar bilan almashtira olmasak, u holda shartli ekstremumni topish vazifasi qiyinlashadi. z= f(x, y) funksiyani ifodalashda (x, y) = 0 o‘zgaruvchini qabul qilishni davom ettiramiz. z= f(x, y) funksiyaning to‘liq hosilasi quyidagilarga teng:

Bunda y` hosilasi yashirin funksiyani differentsiallash qoidasi yordamida topiladi. Shartli ekstremum nuqtalarida topilgan umumiy hosila nolga teng bo'lishi kerak; bu x va y ga tegishli bitta tenglamani beradi. Ular birlashtiruvchi tenglamani ham qondirishi kerakligi sababli, biz ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini olamiz.

Keling, birinchi tenglamani proporsiya shaklida yozib, yangi yordamchi noma'lumni kiritish orqali ushbu tizimni ancha qulayroq tizimga aylantiramiz:

(oldidagi minus belgisi qulaylik uchun). Ushbu tengliklardan quyidagi tizimga o'tish oson:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

u (x, y) = 0 bog'lanish tenglamasi bilan birgalikda x, y va noma'lumlari bo'lgan uchta tenglamalar tizimini hosil qiladi.

Ushbu tenglamalarni (*) quyidagi qoidadan foydalanib eslash oson: funktsiyaning shartli ekstremum nuqtalari bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalarni topish uchun

Z= f(x, y) bog‘lanish tenglamasi (x, y) = 0 bo‘lsa, yordamchi funksiya hosil qilish kerak.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Qaerda bir necha doimiy va bu funksiyaning ekstremum nuqtalarini topish uchun tenglamalar tuzing.

Ko'rsatilgan tenglamalar tizimi, qoida tariqasida, faqat zarur shartlarni ta'minlaydi, ya'ni. Ushbu tizimni qondiradigan har bir x va y qiymatlari juftligi shartli shartli ekstremum nuqta emas. Men shartli ekstremum nuqtalari uchun etarli shartlarni bermayman; ko'pincha muammoning o'ziga xos mazmuni topilgan nuqta nima ekanligini ko'rsatadi. Shartli ekstremum bo'yicha muammolarni hal qilishning tavsiflangan usuli Lagrange multiplikator usuli deb ataladi.

Birinchidan, ikkita o'zgaruvchili funktsiya holatini ko'rib chiqaylik. $M_0(x_0;y_0)$ nuqtadagi $z=f(x,y)$ funksiyaning shartli ekstremumiga $x$ va $y$ oʻzgaruvchilari $M_0(x_0;y_0)$ nuqtada erishilganda erishiladi. bu nuqtaga yaqinlik $\ varphi (x,y)=0$ ulanish tenglamasini qanoatlantiradi.

“Shartli” ekstremum nomi o‘zgaruvchilarga $\varphi(x,y)=0$ qo‘shimcha shart qo‘yilganligi bilan bog‘liq. Agar bir o'zgaruvchini bog'lanish tenglamasidan boshqasi orqali ifodalash mumkin bo'lsa, u holda shartli ekstremumni aniqlash masalasi bitta o'zgaruvchining funksiyasining odatiy ekstremumini aniqlash masalasiga tushiriladi. Masalan, agar ulanish tenglamasi $y=\psi(x)$ ni nazarda tutsa, $y=\psi(x)$ ni $z=f(x,y)$ ga almashtirsak, bitta $z oʻzgaruvchisi funksiyasini olamiz. =f\chap (x,\psi(x)\o'ng)$. Umuman olganda, bu usul kam qo'llaniladi, shuning uchun yangi algoritmni joriy etish talab etiladi.

Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari uchun Lagrange multiplikator usuli.

Lagranj multiplikatori usuli shartli ekstremumni topish uchun Lagrange funksiyasini qurishdan iborat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ parametri deyiladi). Lagrange multiplikatori). Ekstremum uchun zarur shartlar statsionar nuqtalar aniqlanadigan tenglamalar tizimi bilan belgilanadi:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & \frac(\qisman F)(\qisman x)=0;\\ & \frac(\qisman F)(\qisman y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(hizalangan) \o'ng.

Ekstremumning tabiatini aniqlash uchun yetarli shart $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) belgisidir. ^("" )dy^2$. Agar statsionar nuqtada $d^2F > 0$ boʻlsa, $z=f(x,y)$ funksiyasi shu nuqtada shartli minimumga ega, lekin $d^2F boʻlsa.< 0$, то условный максимум.

Ekstremumning tabiatini aniqlashning yana bir usuli bor. Ulanish tenglamasidan biz quyidagilarni olamiz: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, shuning uchun har qanday statsionar nuqtada bizda:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\o'ng)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \o'ng)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \o'ng)$$

Ikkinchi omil (qavslar ichida joylashgan) ushbu shaklda ifodalanishi mumkin:

$\left| determinantining elementlari qizil rang bilan ajratilgan. \begin(massiv) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (massiv)\right|$, bu Lagranj funksiyasining Hessianidir. Agar $H > 0$ boʻlsa, $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, ya'ni. $z=f(x,y)$ funksiyaning shartli minimumiga egamiz.

$H$ determinantining yozuviga oid eslatma. ko'rsatish\yashirish

$$ H=-\left|\begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(massiv) \o'ng| $$

Bunday holda, yuqorida tuzilgan qoida quyidagicha o'zgaradi: agar $H > 0$ bo'lsa, funktsiya shartli minimumga ega va agar $H bo'lsa.< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Shartli ekstremum uchun ikkita o'zgaruvchili funktsiyani o'rganish algoritmi

1. Lagrange funksiyasini tuzing $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Tizimni yeching $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\qisman F)(\qisman x)=0;\\ & \frac(\qisman F)(\qisman y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(hizalangan) \right.$
3. Oldingi xatboshida topilgan har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlang. Buning uchun quyidagi usullardan birini qo'llang:
   • $H$ ning determinantini tuzing va ishorasini toping
   • Ulanish tenglamasini hisobga olib, $d^2F$ belgisini hisoblang

n ta o'zgaruvchining funksiyalari uchun Lagrange ko'paytma usuli

Aytaylik, bizda $n$ oʻzgaruvchilar funksiyasi $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ va $m$ bogʻlanish tenglamalari ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagrange ko'paytirgichlarini $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ sifatida belgilab, biz Lagrange funksiyasini tuzamiz:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Shartli ekstremumning mavjudligi uchun zarur shart-sharoitlar tenglamalar tizimi bilan beriladi, undan statsionar nuqtalarning koordinatalari va Lagrange ko'paytmalarining qiymatlari topiladi:

$$\left\(\begin(hizalangan) & \frac(\qisman F)(\qisman x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(hizalangan) \o'ng.$$

Topilgan nuqtada funktsiyaning shartli minimal yoki shartli maksimalga ega ekanligini, avvalgidek $d^2F$ belgisi yordamida bilib olishingiz mumkin. Agar topilgan nuqtada $d^2F > 0$ boʻlsa, funktsiya shartli minimumga ega, lekin agar $d^2F boʻlsa.< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

$\left| matritsasining aniqlovchisi \begin(massiv) (ccccc) \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)^(2)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(2) ) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(n)) \\ \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)\qisman x_1) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)^(2)) & \frac(\qisman^2F) )(\qisman x_(2)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)\qisman x_(n))\\ \frac(\qisman^2F) )(\qisman x_(3) \qisman x_(1)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)\qisman x_(2)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)\qisman x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(1)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(2)) & \ frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)^(2))\\ \end( massiv) \right|$, $L$ matritsasida qizil rang bilan ajratilgan, Lagranj funksiyasining Gessianidir. Biz quyidagi qoidadan foydalanamiz:

• Agar burchakli kichiklarning belgilari $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matritsalari $L$ $(-1)^m$ belgisiga toʻgʻri keladi, u holda oʻrganilayotgan statsionar nuqta $ funksiyasining shartli minimal nuqtasi hisoblanadi. z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Agar burchakli kichiklarning belgilari $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ almashinadi va $H_(2m+1)$ minor belgisi $(-1)^(m+1) sonining belgisiga toʻgʻri keladi. )$, u holda statsionar nuqta $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ funksiyaning shartli maksimal nuqtasidir.

Misol № 1

$x^2+y^2=10$ shartidagi $z(x,y)=x+3y$ funksiyaning shartli ekstremumini toping.

Bu masalaning geometrik talqini quyidagicha: $z=x+3y$ tekislik ilovasining $x^2+y silindr bilan kesishgan nuqtalari uchun eng katta va eng kichik qiymatlarini topish talab qilinadi. ^2=10$.

Ulanish tenglamasidan bir o‘zgaruvchini boshqasi orqali ifodalash va uni $z(x,y)=x+3y$ funksiyasiga qo‘yish biroz qiyin, shuning uchun biz Lagrange usulidan foydalanamiz.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ belgilab, Lagrange funksiyasini tuzamiz:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\qisman) F)(\qisman x)=1+2\lambda x; \frac(\qisman F)(\qisman y)=3+2\lambda y. $$

Lagranj funksiyasining statsionar nuqtalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimini yozamiz:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (tekislangan)\o'ng.$$

Agar $\lambda=0$ deb faraz qilsak, birinchi tenglama quyidagicha bo'ladi: $1=0$. Olingan ziddiyat $\lambda\neq 0$ ekanligini ko'rsatadi. $\lambda\neq 0$ shartida, birinchi va ikkinchi tenglamalardan biz quyidagilarga egamiz: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Olingan qiymatlarni uchinchi tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \o'ng)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \o'ng)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(hizalangan) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(hizalangan) \o'ng.\\ \begin(hizalangan) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(hizalangan) $$

Demak, tizimning ikkita yechimi bor: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ va $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlaymiz: $M_1(1;3)$ va $M_2(-1;-3)$. Buning uchun har bir nuqtada $H$ ning determinantini hisoblaymiz.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiv) \o'ng|= \chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \o'ng| $$

$M_1(1;3)$ nuqtasida biz quyidagilarni olamiz: $H=8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(massiv) \right|=40 > 0$, shuning uchun nuqta $M_1(1;3)$ funksiyasi $z(x,y)=x+3y$ shartli maksimalga ega, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Xuddi shunday, $M_2(-1,-3)$ nuqtasida biz quyidagilarni topamiz: $H=8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(massiv) \right|=-40$. $H beri< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Shuni ta'kidlaymanki, har bir nuqtada $H$ determinantining qiymatini hisoblash o'rniga, uni umumiy shaklda kengaytirish ancha qulayroqdir. Matnni tafsilotlar bilan aralashtirib yubormaslik uchun men ushbu usulni eslatma ostida yashiraman.

$H$ determinantini umumiy shaklda yozish. ko'rsatish\yashirish

$$ H=8\cdot\left|\begin(massiv)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(massiv)\o'ng| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\o'ng). $$

Printsipial jihatdan $H$ ning qanday belgisi borligi allaqachon aniq. $M_1$ yoki $M_2$ nuqtalarining hech biri kelib chiqishi bilan mos kelmagani uchun $y^2+x^2>0$. Demak, $H$ belgisi $\lambda$ belgisiga qarama-qarshidir. Siz hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin:

$$ \begin(hizalangan) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\o'ng)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\o'ng)=-40. \end(hizalangan) $$

$M_1(1;3)$ va $M_2(-1;-3)$ statsionar nuqtalaridagi ekstremumning tabiati haqidagi savolni $H$ determinantidan foydalanmasdan yechish mumkin. Har bir statsionar nuqtada $d^2F$ belgisini topamiz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \chap( dx^2+dy^2\o‘ng) $$

Shuni ta'kidlashim kerakki, $ dx ^ 2 $ belgisi ikkinchi darajaga ko'tarilgan aniq $ dx $ ni anglatadi, ya'ni. $\chap(dx \o'ng)^2$. Demak, bizda: $dx^2+dy^2>0$, shuning uchun $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ bilan biz $d^2F olamiz.< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Javob: $(-1;-3)$ nuqtada funksiya shartli minimumga ega, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=10$

Misol № 2

$x+y=0$ shartidagi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ funksiyaning shartli ekstremumini toping.

Birinchi usul (Lagrange multiplikator usuli)

$\varphi(x,y)=x+y$ belgilab, Lagranj funksiyasini tuzamiz: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\qisman F)(\qisman x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\qisman F)(\qisman y)=9y^2-x+\lambda.\\ \chap \( \begin(hizalangan) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0 \\ & x+y=0 \end(hizalangan) \o'ng.

Tizimni hal qilib, biz quyidagilarni olamiz: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ va $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Bizda ikkita statsionar nuqta bor: $M_1(0;0)$ va $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. $H$ determinant yordamida har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlaymiz.

$$H=\chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiv) \o'ng|= \chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(massiv) \right|=-10-18y $$

Nuqtada $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, shuning uchun bu nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Biz har bir nuqtada ekstremumning tabiatini $d^2F$ belgisiga asoslanib, boshqa usul yordamida tekshiramiz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

$x+y=0$ ulanish tenglamasidan bizda: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ekan, u holda $M_1(0;0)$ $z(x,y)=3y^3+ funksiyaning shartli minimal nuqtasidir. 4x^ 2-xy$. Xuddi shunday, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Ikkinchi yo'l

Ulanish tenglamasidan $x+y=0$ olamiz: $y=-x$. $y=-x$ ni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ funksiyasiga almashtirsak, $x$ o‘zgaruvchisining qandaydir funksiyasini olamiz. Bu funksiyani $u(x)$ deb belgilaymiz:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Shunday qilib, biz ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning shartli ekstremumini topish masalasini bitta o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumini aniqlash masalasiga qisqartirdik.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10) \; y_2=-\frac(10)(9);

Biz $M_1(0;0)$ va $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ nuqtalarini oldik. Keyingi tadqiqotlar bitta o'zgaruvchining funktsiyalarini differentsial hisoblash kursidan ma'lum. Har bir statsionar nuqtada $u_(xx)^("")$ belgisini tekshirish yoki topilgan nuqtalarda $u_(x)^(")$ belgisining o'zgarishini tekshirish orqali biz xuddi shunday xulosalarga erishamiz: Birinchi usulni hal qilish, masalan, $u_(xx)^("")$ belgisini tekshiramiz:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ ekan, $M_1$ $u(x)$ funksiyasining minimal nuqtasi va $u_(\min)=u(0)=0 $. $u_(xx)^("")(M_2) dan beri<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Berilgan ulanish sharti uchun $u(x)$ funksiyasining qiymatlari $z(x,y)$ funksiyasining qiymatlari bilan mos keladi, yaʼni. $u(x)$ funksiyaning topilgan ekstremallari $z(x,y)$ funksiyasining izlanuvchi shartli ekstremasi.

Javob: $(0;0)$ nuqtada funksiya shartli minimumga ega, $z_(\min)=0$. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik, unda biz $d^2F$ belgisini aniqlash orqali ekstremumning mohiyatini aniqlaymiz.

Misol № 3

Agar $x$ va $y$ oʻzgaruvchilari ijobiy boʻlsa va $\frac(x^2)(8)+\frac( bogʻlanish tenglamasini qanoatlantirsa, $z=5xy-4$ funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping. y^2)(2) -1=0$.

Lagrange funksiyasini tuzamiz: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Lagranj funksiyasining statsionar nuqtalarini topamiz:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(hizalangan) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \; y > 0. \end(hatlangan) \o'ng.

Barcha keyingi transformatsiyalar $x > 0 hisobga olingan holda amalga oshiriladi; \; y > 0$ (bu muammo bayonida ko'rsatilgan). Ikkinchi tenglamadan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ni ifodalaymiz va topilgan qiymatni birinchi tenglamaga almashtiramiz: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4) )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Uchinchi tenglamaga $x=2y$ o‘rniga qo‘ysak: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ ekan, keyin $x=2$, $\lambda=-10$. $d^2F$ belgisi asosida $(2;1)$ nuqtadagi ekstremumning xarakterini aniqlaymiz.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ ekan, u holda:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \o'ng)+d\left(\frac(y^2)(2) \o'ng)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Asosan, bu erda siz darhol $x=2$, $y=1$ statsionar nuqtaning koordinatalarini va $\lambda=-10$ parametrini almashtirib, quyidagilarni olishingiz mumkin:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \o'ng)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Biroq, shartli ekstremumdagi boshqa muammolarda bir nechta statsionar nuqtalar bo'lishi mumkin. Bunday hollarda $d ^ 2F $ ni umumiy shaklda ifodalash va keyin topilgan har bir statsionar nuqtaning koordinatalarini hosil bo'lgan ifodaga almashtirish yaxshiroqdir:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \o'ng)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \o'ng)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ oʻrniga quyidagini olamiz:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \o'ng)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 dan beri< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Javob: $(2;1)$ nuqtada funksiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=6$.

Keyingi qismda biz ko'proq o'zgaruvchilarning funktsiyalari uchun Lagrange usulini qo'llashni ko'rib chiqamiz.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi uchun etarli shart

1. Funktsiya nuqtaning qaysidir qo'shnisida uzluksiz differentsiallanuvchi bo'lsin va ikkinchi tartibli (sof va aralash) uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin.

2. Ikkinchi tartibli aniqlovchi bilan belgilaymiz

ekstremum o'zgaruvchan ma'ruza funktsiyasi

Teorema

Agar koordinatali nuqta funktsiya uchun statsionar nuqta bo'lsa, u holda:

A) Unda mahalliy ekstremum nuqtasi va mahalliy maksimalda u mahalliy minimum hisoblanadi;

C) nuqtada lokal ekstremum nuqta emas;

C) agar, ehtimol ikkalasi ham.

Isbot

Keling, ikkita atama bilan cheklab, funksiya uchun Teylor formulasini yozamiz:

Teorema shartlariga ko'ra, nuqta statsionar bo'lganligi sababli, ikkinchi tartibli qisman hosilalar nolga teng, ya'ni. Va. Keyin

belgilaylik

Keyin funktsiyaning o'sishi quyidagi shaklni oladi:

Ikkinchi tartibli qisman hosilalarning (sof va aralash) uzluksizligi tufayli bir nuqtadagi teorema shartlariga ko'ra, biz quyidagicha yozishimiz mumkin:

Qaerda yoki; ,

1. Let va, ya'ni. yoki.

2. Funksiyaning o‘sish sur’atini ko‘paytirsak va ga bo‘lamiz:

3. Yig‘indining to‘liq kvadratiga jingalak qavs ichidagi ifodani qo‘shamiz:

4. Jingalak qavslardagi ifoda manfiy emas, chunki

5. Demak, agar vosita va, keyin va demak, ta'rifga ko'ra nuqta mahalliy minimal nuqta hisoblanadi.

6. Agar vosita va demak, ta'rifga ko'ra, koordinatali nuqta mahalliy maksimal nuqtadir.

2. Kvadrat uch a'zoni, uning diskriminantini ko'rib chiqing.

3. Agar, u holda ko'phadli nuqtalar mavjud

4. Funksiyaning nuqtadagi to‘liq o‘sishini I da olingan ifodaga muvofiq quyidagicha yozamiz:

5. Ikkinchi tartibli qisman hosilalarning uzluksizligi tufayli teoremaning nuqtadagi shartlariga ko‘ra, shunday yozishimiz mumkin:

Demak, nuqtaning shunday qo‘shnisi borki, har qanday nuqta uchun kvadrat uch a’zo noldan katta bo‘ladi:

6. Nuqtaning qo‘shniligini ko‘rib chiqing.

Keling, har qanday qiymatni tanlaymiz, shuning uchun davr. Faraz qilib, funktsiyani oshirish formulasida

Biz nimani olamiz:

7. O'shandan beri.

8. Ildiz uchun xuddi shunday bahs yuritsak, nuqtaning har qanday -qo'shnisida nuqta borligini topamiz, demak, nuqta qo'shnisida belgi saqlanmaydi, shuning uchun nuqtada ekstremum yo'q.

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremum

Ikki o'zgaruvchining funktsiyasining ekstremalini topishda ko'pincha shartli ekstremum deb ataladigan muammolar paydo bo'ladi. Ushbu kontseptsiyani ikkita o'zgaruvchining funksiyasi misolida tushuntirish mumkin.

0xy tekisligida funktsiya va L chiziq berilgan bo'lsin. Vazifa L chiziqda P (x, y) nuqtasini topishdir, bunda funktsiya qiymati P nuqtasi yaqinida joylashgan L chiziqdagi nuqtalardagi ushbu funktsiyaning qiymatlariga nisbatan eng katta yoki eng kichik bo'ladi. Bunday P nuqtalari L chiziqdagi shartli ekstremum nuqtalar funksiyalari deb ataladi. Odatiy ekstremum nuqtadan farqli o'laroq, shartli ekstremum nuqtadagi funktsiya qiymati uning qo'shnisining barcha nuqtalarida emas, balki faqat yotadigan nuqtalardagi funktsiya qiymatlari bilan taqqoslanadi. L liniyasida.

Oddiy ekstremum nuqtasi (ular shartsiz ekstremum deb ham aytishadi) bu nuqtadan o'tadigan har qanday chiziq uchun shartli ekstremum nuqtasi ekanligi mutlaqo aniq. Buning aksi, albatta, to'g'ri emas: shartli ekstremum nuqta oddiy ekstremum nuqta bo'lmasligi mumkin. Keling, buni bir misol bilan tushuntirib beraylik.

Misol № 1. Funktsiyaning grafigi yuqori yarim shardir (2-rasm).

Guruch. 2.

Bu funksiya boshlang'ichda maksimalga ega; u yarim sharning M cho'qqisiga to'g'ri keladi. Agar L chiziq A va B nuqtalari (uning tenglamasi) orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'lsa, u holda bu chiziqning nuqtalari uchun funktsiyaning eng katta qiymati A va B nuqtalari orasidagi o'rtada joylashgan nuqtada erishilishi geometrik jihatdan aniq. Bu chiziqdagi shartli ekstremum (maksimal) funktsiyalarning nuqtasi; u yarim sharning M 1 nuqtasiga to'g'ri keladi va rasmdan bu erda biron bir oddiy ekstremum haqida gap bo'lishi mumkin emasligi aniq.

Yopiq mintaqadagi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish masalasining yakuniy qismida biz ushbu mintaqa chegarasida funktsiyaning ekstremal qiymatlarini topishimiz kerakligini unutmang, ya'ni. bir qatorda va shu bilan shartli ekstremum muammosini hal qiladi.

Ta'rif 1. Aytishlaricha, bu erda tenglamani qanoatlantiradigan nuqtada shartli yoki nisbiy maksimal (minimum) bo'ladi: agar tenglamani qanoatlantiradigan har qanday nuqta uchun tengsizlik bo'lsa.

Ta'rif 2. Shakldagi tenglama cheklovchi tenglama deyiladi.

Teorema

Agar va funksiyalari nuqta va qisman hosila qo‘shnisida uzluksiz differentsiallanuvchi bo‘lsa va nuqta cheklovchi tenglamaga nisbatan funksiyaning shartli ekstremum nuqtasi bo‘lsa, ikkinchi tartibli determinant nolga teng bo‘ladi:

Isbot

1. Chunki teorema shartlariga ko'ra, qisman hosila va funktsiya qiymati, keyin ma'lum bir to'rtburchakda

yashirin funksiya aniqlangan

Bir nuqtada ikkita o'zgaruvchining kompleks funktsiyasi mahalliy ekstremumga ega bo'ladi, shuning uchun yoki.

2. Darhaqiqat, birinchi tartibli differentsial formulaning o'zgarmaslik xususiyatiga ko'ra

3. Bog'lanish tenglamasi bu shaklda ifodalanishi mumkin, ya'ni

4. (2) tenglamani ga, (3) ga ko'paytiring va ularni qo'shing

Shuning uchun, qachon

o'zboshimchalik bilan. va boshqalar.

Natija

Ikki o'zgaruvchining funksiyasining shartli ekstremum nuqtalarini izlash amalda tenglamalar tizimini echish yo'li bilan amalga oshiriladi.

Shunday qilib, yuqoridagi misolda 1-sonli ulanish tenglamasidan bizda mavjud. Bu erdan maksimal darajaga yetganini tekshirish oson. Ammo keyin aloqa tenglamasidan. Geometrik tarzda topilgan P nuqtasini olamiz.

Misol № 2. Ulanish tenglamasiga nisbatan funksiyaning shartli ekstremum nuqtalarini toping.

Berilgan funksiyaning qisman hosilalari va bog‘lanish tenglamasini topamiz:

Ikkinchi tartibli determinantni yaratamiz:

Shartli ekstremum nuqtalarni topish uchun tenglamalar tizimini yozamiz:

Bu koordinatali funksiyaning shartli ekstremumining to'rtta nuqtasi borligini bildiradi: .

Misol № 3. Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping.

Qisman hosilalarni nolga tenglashtirsak: , biz bitta statsionar nuqta - koordinatani topamiz. Bu yerga,. Binobarin, nuqta (0, 0) ekstremum nuqta emas. Tenglama giperbolik paraboloidning tenglamasidir (3-rasm) rasmdan (0, 0) nuqta ekstremum nuqta emasligini ko'rish mumkin.

Guruch. 3.

Yopiq mintaqadagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati

1. Funksiya D chegaralangan yopiq sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin.

2. Mintaqaning alohida nuqtalari bundan mustasno, ushbu mintaqada funksiyaning cheklangan qisman hosilalari bo'lsin.

3. Veyershtrass teoremasiga muvofiq, bu mintaqada funksiya eng katta va eng kichik qiymatlarni qabul qiladigan nuqta mavjud.

4. Agar bu nuqtalar D mintaqasining ichki nuqtalari bo'lsa, ularda maksimal yoki minimal bo'lishi aniq.

5. Bunda bizni qiziqtirgan nuqtalar ekstremumdagi shubhali nuqtalar qatoriga kiradi.

6. Shu bilan birga, funksiya D hududi chegarasida ham eng katta yoki eng kichik qiymatni qabul qilishi mumkin.

7. D mintaqasida funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topish uchun ekstremum uchun shubhali barcha ichki nuqtalarni topish, ulardagi funksiya qiymatini hisoblash, so'ngra funktsiyaning qiymati bilan taqqoslash kerak. mintaqaning chegara nuqtalari va barcha topilgan qiymatlarning eng kattasi yopiq D mintaqasida eng katta bo'ladi.

8. Mahalliy maksimal yoki minimalni topish usuli avvalroq 1.2-bo'limda muhokama qilingan. va 1.3.

9. Mintaqaning chegarasida funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish usulini ko'rib chiqish qoladi.

10. Ikki o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, maydon odatda egri chiziq yoki bir nechta egri chiziq bilan chegaralanadi.

11. Bunday egri chiziq (yoki bir nechta egri) bo'ylab o'zgaruvchilar va yo bir-biriga bog'liq yoki ikkalasi bir parametrga bog'liq.

12. Shunday qilib, chegarada funksiya bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lib chiqadi.

13. Bir o'zgaruvchining funksiyasining eng katta qiymatini topish usuli haqida avvalroq muhokama qilingan edi.

14. D hududning chegarasi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin:

U holda bu egri chiziqda ikkita o'zgaruvchining funksiyasi parametrning kompleks funksiyasi bo'ladi: . Bunday funktsiya uchun eng katta va eng kichik qiymatlar bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun eng katta va eng kichik qiymatlarni aniqlash usuli yordamida aniqlanadi.

SHARTLI EKSTREM

Muayyan funktsiya (yoki funktsional) tomonidan erishilgan minimal yoki maksimal qiymat, agar ba'zi boshqa funktsiyalar (funktsiyalar) ma'lum bir ruxsat etilgan to'plamdan qiymatlarni qabul qilsa. Agar ko'rsatilgan ma'noda mustaqil o'zgaruvchilar (funktsiyalar) o'zgarishini cheklovchi shartlar bo'lmasa, biz shartsiz ekstremum haqida gapiramiz.
Klassik vazifa U. e. bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning minimalini aniqlash masalasidir

Ba'zi boshqa funktsiyalar berilgan qiymatlarni olish sharti bilan:

Bu masalada vektor funksiyaning qiymatlari tegishli bo'lishi kerak bo'lgan G g=(g 1, ...,g m), qo'shimcha shartlarga kiritilgan (2), sobit nuqta mavjud c=(c 1, ..., t bilan)m o'lchovli Evklid fazosida
Agar (2) da tenglik belgisi bilan birga tengsizlik belgilariga ruxsat beriladi

Keyinchalik bu muammoga olib keladi chiziqli bo'lmagan dasturlash(13). (1), (3) masalada g vektor funktsiyasining ruxsat etilgan qiymatlari G to'plami m 1 bilan aniqlangan (n-m 1) o'lchovli gipersirtga tegishli ma'lum bir egri chiziqli hisoblanadi. 1 , m tenglik (3) kabi shartlar. Belgilangan egri chiziqli ko'pburchakning chegaralari hisobga olingan holda quriladi p-m
(3) ga kiritilgan 1 ta tengsizlik. U.V.dagi muammoning (1), (3) maxsus holati. vazifa hisoblanadi chiziqli dasturlash, unda barcha f va funktsiyalari mavjud g i x l da chiziqli, ... , x p. Chiziqli dasturlash masalasida vektor funktsiyasining ruxsat etilgan qiymatlari G to'plami g, o'zgaruvchilarning o'zgarishlar doirasini cheklaydigan shartlarga kiritilgan x 1,.....x n,
ifodalaydi, (3) dagi tenglik turining m 1 shartlari bilan belgilangan (n-t 1)-o'lchovli gipertekislikka tegishli. Xuddi shunday, amaliy ifodalovchi funktsiyalarni optimallashtirish muammolarining aksariyati qiziqish U. e. bo'yicha muammolar pastga keladi. (sm.). Xuddi matematikada bo'lgani kabi. dasturlash, variatsiyalar hisobining asosiy muammolari va optimal boshqarish nazariyasi elektron tizimlardagi muammolardir.
Elektron tizimlardagi muammolarni hal qilishda, ayniqsa nazariy masalalarni ko'rib chiqishda. elektron tizimlardagi muammolar, noaniq foydalanish bilan bog'liq savollar Lagrange multiplikatorlari, muammoni U. e.ga kamaytirishga imkon beradi. zaruriy optimallik shartlarini shartsiz va soddalashtirish masalasiga. Ko'pgina klassik tadqiqotlar asosida Lagrange multiplikatorlaridan foydalanish yotadi. elektron tizimlardagi muammolarni hal qilish usullari.

Lit.: Hedley J., Nonlinear va, trans. ingliz tilidan, M., 1967; Bliss G. A., Variatsiyalar hisobi bo'yicha ma'ruzalar, trans. ingliz tilidan, M., 1950; Pontryagin L. S. [va boshqalar], Matematik optimal jarayonlar, 2-nashr, M., 1969 yil.
I. B. Vapnyarskiy.

Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.