Aniq integralni trapetsiya usulida topish. To'rtburchaklar va trapetsiya formulalari yordamida integrallarni hisoblash

Ekaterinburg

Aniq integralni hisoblash

Kirish

Funksiyalarni raqamli integrallash muammosi ma'lum bir integralning taxminiy qiymatini hisoblashdan iborat:

, (1)

integrand qiymatlari qatoriga asoslanadi.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Yagona integralni sonli hisoblash formulalari kvadratura formulalari, ikki va undan ortiq ko'p sonli formulalar kubatura formulalari deb ataladi.

Kvadratura formulalarini qurishning odatiy usuli segmentdagi f(x) integralini nisbatan oddiy shakldagi interpolyatsiya yoki yaqinlashuvchi g(x) funksiyasi, masalan, ko‘phad, so‘ngra analitik integratsiya bilan almashtirishdan iborat. Bu ko'rinishga olib keladi

Qolgan R[f] hadini e'tiborsiz qoldirib, taxminiy formulani olamiz

.

Integratsiya funksiyasining turli nuqtalardagi qiymatini y i = f(x i) bilan belgilaymiz.

kuni . Kvadrat formulalar yopiq turdagi formulalar, agar x 0 =a, x n =b bo'lsa.

Taxminan g(x) funksiya sifatida interpolyatsiya polinomini ko'rib chiqamiz

Lagrange polinomi shaklida: , , unda , bu yerda Lagranj interpolyatsiya formulasining qolgan hadi.

Formula (1) beradi

, (2) . (3)

(2) formulada miqdorlar (

) tugunlar deyiladi, () og'irliklar deb ataladi va kvadratura formulasining xatosi deb ataladi. Agar kvadratura formulasining og'irliklari () formula (3) yordamida hisoblansa, unda mos keladigan kvadratura formulasi interpolyatsiya tipidagi kvadratura formulasi deb ataladi.

Xulosa qiling.

) tugunlarning ma'lum joylashuvi uchun kvadratura formulasining (2) integratsiya turiga bog'liq emas.

2. Interpolyatsiya tipidagi kvadratura formulalarida qolgan R n [f] hadi f(x) funksiya bo‘yicha aniq differensial operatorning qiymati sifatida ifodalanishi mumkin. Uchun

.

3. Tartibi n gacha boʻlgan koʻphadlar uchun (2) kvadratura formulasi aniq, yaʼni.

. Kvadrattura formulasi aniq bo'lgan ko'phadning eng yuqori darajasi kvadratura formulasining darajasi deyiladi.

(2) va (3) formulalarning maxsus holatlarini ko'rib chiqamiz: to'rtburchaklar, trapetsiyalar, parabolalar usuli (Simpson usuli). Ushbu usullarning nomlari tegishli formulalarning geometrik talqini bilan bog'liq.

To'rtburchaklar usuli

f(x) funksiyaning aniq integrali:

y=0, x=a, x=b, y=f(x) egri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya maydoniga son jihatdan teng (1-rasm).
Guruch. 1 y=f(x) egri chizig‘i ostidagi maydon Bu maydonni hisoblash uchun butun integrasiya oralig‘i h=(b-a)/n uzunlikdagi n ta teng kichik oraliqlarga bo‘linadi. Integratsiya ostidagi maydon taxminan (2) rasmda ko'rsatilganidek, to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi bilan almashtiriladi.
Guruch. 2 y=f(x) egri chizig‘i ostidagi maydon to‘rtburchaklar maydonlarining yig‘indisiga yaqinlashtiriladi.
Barcha to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi (4) formula bo'yicha hisoblanadi.

(4) formula bilan ifodalangan usul chap to'rtburchaklar usuli, (5) formula bilan ifodalangan usul esa o'ng to'rtburchaklar usuli deb ataladi:

(5) Integralni hisoblashdagi xatolik h integrallash qadamining qiymati bilan aniqlanadi. Integrallash bosqichi qanchalik kichik bo'lsa, S integral yig'indisi I integralning qiymatiga shunchalik aniqroq yaqinlashadi. Bunga asoslanib, berilgan aniqlik bilan integralni hisoblash algoritmi tuziladi. Agar integral yig'indilar orasidagi va mos ravishda h va h/2 qadamlar bilan hisoblangan mutlaq qiymatdagi farq eps dan oshmasa, S integral yig'indisi I integralning qiymatini eps aniqligi bilan ifodalaydi, deb hisoblanadi.

Aniq integralni o'rtacha to'rtburchaklar usulida topish uchun a va b to'g'ri chiziq bilan chegaralangan maydonni asoslari bir xil bo'lgan n ta to'rtburchaklarga bo'linadi h to'rtburchaklar balandliklari f(x) funktsiyaning kesishish nuqtalari bo'ladi; to'rtburchaklarning o'rta nuqtalari (h/2). Integral son jihatdan n ta to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng bo'ladi (3-rasm).

Guruch. 3 y=f(x) egri chizig‘i ostidagi maydon to‘rtburchaklar maydonlarining yig‘indisiga yaqinlashtiriladi. ,

n - segmentning bo'limlari soni.

Trapezoid usuli

Aniq integralni trapetsiya usulida topish uchun egri chiziqli trapetsiyaning maydoni ham balandligi h va asoslari 1, 2, 3,..u n boʻlgan n ta toʻrtburchaklar trapetsiyaga boʻlinadi, bunda n toʻrtburchaklar trapetsiya soni. . Integral son jihatdan to'rtburchaklar trapetsiyalarning maydonlari yig'indisiga teng bo'ladi (4-rasm).

Guruch. 4 y=f(x) egri chizig‘i ostidagi maydon to‘g‘ri to‘rtburchak trapetsiyalarning maydonlari yig‘indisiga yaqinlashtiriladi.

n - bo'limlar soni

(6)

Trapezoidal formulaning xatosi raqam bilan baholanadi

O'sish bilan trapezoidal formulaning xatosi

to'rtburchaklar formulasining xatosidan tezroq kamayadi. Shuning uchun trapezoidal formula to'rtburchaklar usulidan ko'ra ko'proq aniqlikka imkon beradi.

Simpson formulasi

Agar har bir juft segment uchun

ikkinchi darajali ko'phadni tuzamiz, keyin uni segmentga integrallaymiz va integralning qo'shiluvchanlik xususiyatidan foydalanamiz, keyin Simpson formulasini olamiz. Simpson usulida aniq integralni hisoblash uchun butun integrallash oralig'i teng uzunlikdagi h=(b-a)/n kichik intervallarga bo'linadi. Bo'lim segmentlari soni juft sondir. So‘ngra har bir qo‘shni kichik oraliqlar juftida f(x) integrali funksiyasi ikkinchi darajali Lagranj ko‘phadiga almashtiriladi (5-rasm). Guruch. 5 Segmentdagi y=f(x) funksiya 2-tartibli ko'phad bilan almashtiriladi. Bu integratsiyani nuqtalarda y= ga to‘g‘ri keladigan ikkinchi darajali Lagranj interpolyatsiya polinomi bilan almashtiramiz:

Trapezoid usuli sonli integratsiya usullaridan biri hisoblanadi. Bu oldindan belgilangan aniqlik darajasi bilan aniq integrallarni hisoblash imkonini beradi.

Birinchidan, biz trapezoidal usulning mohiyatini tavsiflaymiz va trapezoidal formulani olamiz. Keyinchalik, biz usulning mutlaq xatosining taxminini yozamiz va tipik misollarning echimini batafsil tahlil qilamiz. Xulosa qilib, trapetsiya usulini to'rtburchaklar usuli bilan solishtiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Trapetsiya usulining mohiyati.

Keling, o'z oldimizga quyidagi vazifani qo'yaylik: aniq integralni taxminan hisoblashimiz kerak, bu erda y=f(x) integratsiya funktsiyasi segmentda uzluksizdir.

Kesmani uzunlikdagi h nuqtali n ta teng oraliqlarga ajratamiz. Bunday holda, biz bo'linish bosqichini topamiz, shuningdek, tenglikdan tugunlarni aniqlaymiz.

Keling, elementar segmentlardagi integralni ko'rib chiqaylik .

To'rtta mumkin bo'lgan holatlar mavjud (rasmda ularning eng oddiylari ko'rsatilgan, n cheksiz ortishi bilan hamma narsa tushadi):

Har bir segmentda y=f(x) funksiyani va koordinatalari bo‘lgan nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq kesimi bilan almashtiramiz. Keling, ularni rasmda ko'k chiziqlar bilan tasvirlaymiz:

Integralning taxminiy qiymati sifatida biz ifodani olamiz , ya'ni qabul qilaylik .

Keling, yozma taxminiy tenglik geometrik ma'noda nimani anglatishini bilib olaylik. Bu ko'rib chiqilayotgan sonli integratsiya usuli nima uchun trapezoidal usul deb ataladiganligini tushunishga imkon beradi.

Biz bilamizki, trapezoidning maydoni poydevor va balandlikning yarmi yig'indisining ko'paytmasidir. Shunday qilib, birinchi holda, egri trapezoidning maydoni taxminan asoslari bo'lgan trapezoidning maydoniga teng. va h balandligi, ikkinchi holda aniq integral trapezoidning asoslari bilan maydoniga taxminan tengdir. va balandligi h, minus belgisi bilan olingan. Ikkinchi va uchinchi holatlarda aniq integralning taxminiy qiymati quyidagi rasmda ko'rsatilgan qizil va ko'k hududlarning maydonlaridagi farqga teng.

Shunday qilib, biz keldik trapetsiya usulining mohiyati, bu har bir elementar segmentdagi shaklning integrallari yig'indisi sifatida aniq integralni ifodalashdan va keyingi taxminiy almashtirishdan iborat. .

Trapetsiya usuli formulasi.

Aniq integralning beshinchi xossasi tufayli .

Agar biz integrallar o'rniga ularning taxminiy qiymatlarini almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Trapezoidal usulning mutlaq xatosini baholash.

Trapezoidal usulning mutlaq xatosi sifatida baholanadi
.

Trapezoid usulining grafik tasviri.

beraylik trapetsiya usulining grafik tasviri:

Aniq integrallarni trapetsiya usulida taqribiy hisoblashga misollar.

Aniq integrallarni taqribiy hisoblashda trapetsiya usulidan foydalanish misollarini ko'rib chiqamiz.

Asosan ikki turdagi vazifalar mavjud:

• yoki n segmentining ma'lum miqdordagi bo'limlari uchun trapezoidal usul yordamida aniq integralni hisoblang,
• yoki ma'lum bir integralning taxminiy qiymatini kerakli aniqlik bilan toping.

Shuni ta'kidlash kerakki, berilgan n uchun oraliq hisoblar etarli darajada aniqlik bilan amalga oshirilishi kerak va n qanchalik katta bo'lsa, hisoblarning aniqligi shunchalik yuqori bo'lishi kerak.

Agar ma'lum bir integralni ma'lum bir aniqlik bilan hisoblash kerak bo'lsa, masalan, 0,01 gacha, u holda oraliq hisob-kitoblarni ikki-uch tartibli kattalikdagi aniqroq, ya'ni 0,0001 - 0,00001 gacha bajarishni tavsiya qilamiz. Agar ko'rsatilgan aniqlikka katta n da erishilsa, oraliq hisoblar yanada yuqori aniqlik bilan amalga oshirilishi kerak.

Masalan, aniq integralni olaylik, uning qiymatini Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblashimiz mumkin, bu natijani trapetsiya usulida olingan taxminiy qiymat bilan solishtirishimiz mumkin.

Shunday qilib, .

Misol.

n = 10 uchun trapetsiya usuli yordamida aniq integralni hisoblang.

Yechim.

Trapezoidal usulning formulasi shaklga ega . Ya'ni, uni ishlatish uchun formuladan foydalanib, h qadamini hisoblashimiz, tugunlarni aniqlashimiz va integralning tegishli qiymatlarini hisoblashimiz kerak.

Keling, bo'linish bosqichini hisoblaylik: .

Biz tugunlarni aniqlaymiz va ulardagi integral qiymatlarini hisoblaymiz (biz to'rtta kasrni olamiz):

Qulaylik uchun hisoblash natijalari jadval ko'rinishida keltirilgan:

Biz ularni trapezoidal usul formulasiga almashtiramiz:

Olingan qiymat Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan qiymat bilan yuzdan biriga to'g'ri keladi.

Misol.

Aniq integralni hisoblang 0,01 aniqlik bilan trapezoidal usul yordamida.

Yechim.

Shartdan bizda nima bor: a = 1; b = 2; .

Bunday holda, biz birinchi navbatda integratsiya segmentining bo'linish nuqtalari sonini topamiz, ya'ni n. Buni tengsizlikdan foydalanib, mutlaq xatoni baholashimiz mumkin . Shunday qilib, agar biz tengsizlik o'rinli bo'lgan n ni topsak , u holda berilgan n uchun trapezoidal formula bizga kerakli aniqlik bilan ma'lum bir integralning taxminiy qiymatini beradi.

Avval funksiyaning ikkinchi hosilasi modulining intervaldagi eng katta qiymatini topamiz.

Funktsiyaning ikkinchi hosilasi kvadratik parabola bo'lib, biz uning xossalaridan musbat va intervalda ortib borayotganligini bilamiz, shuning uchun . Ko'rib turganingizdek, bizning misolimizda topish jarayoni juda oddiy. Keyinchalik murakkab holatlarda bo'limga qarang. Agar topish juda qiyin bo'lsa, unda ushbu misoldan keyin biz muqobil harakat usulini beramiz.

Keling, tengsizligimizga qaytaylik va olingan qiymatni unga almashtiring:

Chunki n - natural son (n - integrasiya segmenti bo'linadigan elementar oraliqlar soni), u holda n = 6, 7, 8, ... ni olishimiz mumkin, n = 6 ni olaylik. Bu bizga minimal hisob-kitoblar bilan trapezoidal usulning kerakli aniqligiga erishishga imkon beradi (garchi bizning holatlarimizda n = 10 bilan hisob-kitoblarni qo'lda bajarish qulayroqdir).

Shunday qilib, n topildi, endi oldingi misoldagidek davom etamiz.

Qadamni hisoblang: .

Biz panjara tugunlari va ulardagi integrand qiymatlarini topamiz:

Hisoblash natijalarini jadvalga kiritamiz:

Olingan natijalarni trapezoidal formulaga almashtiramiz:

Qiymatlarni solishtirish uchun Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, asl integralni hisoblaymiz:

Shunday qilib, kerakli aniqlikka erishildi.

Shuni ta'kidlash kerakki, mutlaq xatoni baholash uchun tengsizlikdan n sonini topish juda oddiy protsedura emas, ayniqsa murakkab shakldagi integrallar uchun. Shuning uchun quyidagi usulga murojaat qilish mantiqan to'g'ri keladi.

n ta tugun uchun trapetsiya usulida olingan aniq integralning taxminiy qiymati bilan belgilanadi.

Biz ixtiyoriy n raqamini tanlaymiz, masalan, n = 10. Trapezoidal usul formulasidan foydalanib, n = 10 va tugunlar sonining ikki barobari uchun, ya'ni n = 20 uchun dastlabki integralni hisoblaymiz. Olingan ikkita taxminiy qiymatlar orasidagi farqning mutlaq qiymatini topamiz. Agar u talab qilinadigan aniqlikdan kam bo'lsa , keyin biz hisob-kitoblarni to'xtatamiz va qiymatni aniq integralning taxminiy qiymati sifatida qabul qilamiz, avval uni kerakli aniqlik tartibiga yaxlitlaymiz. Aks holda, biz tugunlar sonini ikki baravar oshiramiz (n = 40 ni oling) va amallarni takrorlang.

5.3 Trapetsiya usuli

Geometrik mulohazalar asosida to‘rtburchaklar formulasi kabi trapetsiya formulasini chiqaramiz. y = f(x) funksiya grafigini (5.1-rasm) quyidagi tarzda olingan siniq chiziqqa (5.7-rasm) almashtiramiz. a = x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n = b nuqtalardan ordinatalar y = f(x) egri chiziq bilan kesishguncha chizamiz. Ordinatlarning uchlari to'g'ri segmentlar bilan bog'lanadi.

Keyin egri chiziqli trapezoidning maydoni taxminan trapezoidlardan tashkil topgan figuraning maydoniga teng deb hisoblanishi mumkin. H = uzunlikdagi segmentda qurilgan trapezoidning maydoni h ga teng bo'lgani uchun , keyin i = 0, 2, …, n – 1 uchun ushbu formuladan foydalanib, biz trapezoidal kvadrat formulasini olamiz:

I=»I tr =h= (5.7)

Xatoni baholash. Trapezoidal formulaning xatosini baholash uchun biz quyidagi teoremadan foydalanamiz.

5.2 teorema. f funksiya oraliqda ikki marta uzluksiz differentsiallanuvchi bo'lsin. Keyin trapezoidal formula uchun quyidagi xato bahosi amal qiladi:

| I – I tr | £ h 2 , (5,8)

bu erda M 2 = |f "(x)|.

5.2-misol.

Trapetsiya formulasi (5.7) yordamida integralning qiymatini hisoblaymiz va olingan natijani 5.1-misol natijasi bilan solishtiramiz.

5.1-misoldagi e funktsiya qiymatlari jadvalidan foydalanib va ​​trapezoidal formula (5.7) yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz: I tr = 0,74621079.

Keling, olingan qiymatning xatosini taxmin qilaylik. Misol (5.1) da biz taxminni oldik: | f "(x)| £ M 2 = 2. Shuning uchun (5.8) formula bo'yicha

I – I tr | £ (0,1) 2 » 1,7× 10 -3 .

5.1 va 5.2 misollar natijalarini taqqoslab, biz o'rtacha to'rtburchaklar usuli kichikroq xatoga ega ekanligini ko'ramiz, ya'ni. aniqroq.

5.4 Simpson usuli (parabola usuli)

y = f(x) funksiyaning , i = 0, 2, … , n – 1 segmentidagi grafigini (x i , f(x i)), (x,f) nuqtalar orqali chizilgan parabola bilan almashtiramiz. (x)), (x i+ 1, f(x i+ 1)), bu erda x segmentning o'rta nuqtasi. Bu parabola x i, x, x i+ 1 tugunlari bilan L 2 (x) ikkinchi darajali interpolyatsiya polinomidir. Ushbu parabolaning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega ekanligini ko'rish oson:

f(x) + (x – x) + (x - x) 2 , (5.9)

(5.9) funksiyani segmentda integrallash , biz olamiz

I i = » = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)). (5.10)

(5.10) ifodani i = 0, 1, 2, …, n – 1 ga jamlab, Simpson kvadraturasi formulasini (yoki parabola formulasini) olamiz:

I =» I C = (f(x 0) + f(x n) + 4 + 2). (5.11)

Xatoni baholash. Simpson formulasining xatosini baholash uchun quyidagi teoremadan foydalanamiz.

5.2 teorema. f funksiya oraliqda uzluksiz to'rtinchi tartibli f (4) (x) hosilasiga ega bo'lsin. Keyin quyidagi xato bahosi Simpson formulasi (5.9) uchun amal qiladi:

| I – I C | £ h 4 , (5,12)

bu erda M 4 = | f (4) (x)|.

Izoh. Agar segment bo'lingan elementar segmentlar soni juft bo'lsa, ya'ni. n = 2m, u holda parabolalarni butun sonli indeksli tugunlar orqali o'tkazish mumkin va h uzunlikdagi elementar segment o'rniga 2h uzunlikdagi segmentni ko'rib chiqing. Keyin Simpson formulasi quyidagi shaklni oladi:

I » (f(x 0) + f(x 2m) + 4 + 2), (5.13)

va smeta (5.10) o'rniga quyidagi xato bahosi haqiqiy bo'ladi:

| I – I C | £ h 4 , (5,14)

5.3-misol.

Simpson formulasi (5.11) yordamida integralning qiymatini hisoblab chiqamiz va olingan natijani 5.1 va 5.2 misollar natijalari bilan solishtiramiz.

5.1-misoldagi e funktsiya qiymatlari jadvalidan foydalanib va ​​Simpson formulasi (5.11) yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz:

I C = 0,74682418.

Keling, olingan qiymatning xatosini taxmin qilaylik. To'rtinchi hosila f (4) (x) ni hisoblaymiz.

f (4) (x) = (16x 4 – 48x 2 + 12) e, | f (4) (x)| £12.

| I – I C | £ (0,1) 4 » 0,42 × 10 -6 .

5.1, 5.2 va 5.3-misollar natijalarini solishtirsak, Simpson usuli o'rtacha to'rtburchaklar usuli va trapetsiya usuliga qaraganda kichikroq xatolikka ega ekanligini ko'ramiz.

To'rtburchaklar, trapetsiya va Simpson formulalari yordamida integrallarni hisoblash. Xatoni baholash.

4.1-mavzu bo'yicha ko'rsatmalar:

To'rtburchaklar formulalari yordamida integrallarni hisoblash. Xato taxmini:

Ko'pgina texnik masalalarni hal qilish aniq ifodasi murakkab, uzoq hisob-kitoblarni talab qiladigan va amalda har doim ham oqlanmaydigan ma'lum integrallarni hisoblashga to'g'ri keladi. Bu erda ularning taxminiy qiymati juda etarli. Misol uchun, tenglamasi noma'lum bo'lgan chiziq bilan chegaralangan maydonni o'qni hisoblash kerak X va ikkita ordinata. Bunday holda, siz ushbu chiziqni tenglama ma'lum bo'lgan oddiyroq bilan almashtirishingiz mumkin. Shu tarzda olingan egri chiziqli trapezoidning maydoni kerakli integralning taxminiy qiymati sifatida qabul qilinadi. Geometrik jihatdan, to'rtburchaklar formulasi yordamida aniq integralni hisoblash usuli g'oyasi egri chiziqli trapezoidning maydonidir. A 1 ABC 1 teng to'rtburchakning maydoni bilan almashtiriladi A 1 A 2 B 1 B 2, o'rtacha qiymat teoremasi bo'yicha unga teng

Qayerda f(c)--- to'rtburchak balandligi A 1 A 2 B 1 B 2, ba'zi bir oraliq nuqtada integral qiymatini ifodalaydi c(a< c

Bunday qiymatni topish deyarli qiyin Bilan, qaysi vaqtda (b-a) f (c) ga to'liq teng bo'ladi. Aniqroq qiymat olish uchun egri chiziqli trapezoidning maydoni bo'linadi n balandliklari teng bo'lgan to'rtburchaklar y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 va asoslar.

Agar egri chiziqli trapezoidning maydonini qoplaydigan to'rtburchaklar maydonlarini kamchilik bilan jamlasak, funktsiya kamaymaydi, u holda formula o'rniga biz formuladan foydalanamiz.

Agar ortiqcha bo'lsa, unda

Qadriyatlar tenglikdan topiladi. Bu formulalar deyiladi to'rtburchaklar formulalari va taxminiy natijani bering. O'sish bilan n natija aniqroq bo'ladi.

1-misol . To'rtburchaklar formulasidan foydalanib hisoblang

Integratsiya oralig'ini 5 qismga ajratamiz. Keyin. Kalkulyator yoki jadval yordamida biz integral qiymatlarini topamiz (4 kasrgacha aniq):

To'rtburchaklar formulasiga ko'ra (kamchilik bilan)

Boshqa tomondan, Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra

To'rtburchak formulasi yordamida nisbiy hisoblash xatosini topamiz:

Trapezoidal formulalar yordamida integrallarni hisoblash. Xato taxmini:

Quyidagi integrallarni taxminiy hisoblash usulining geometrik ma'nosi taxminan teng o'lchamdagi "to'g'ri chiziqli" trapetsiyaning maydonini topishdir.

Maydonni hisoblash kerak bo'lsin A 1 AmBB 1 egri chiziqli trapezoid, formula bilan ifodalangan.

Keling, kamonni almashtiramiz AmB akkord AB va egri chiziqli trapezoid maydoni o'rniga A 1 AmBB 1 trapetsiya maydonini hisoblang A 1 ABB 1: , Qayerda AA 1 Va BB 1 - trapetsiyaning asoslari va A 1 B 1 - balandligi.

belgilaylik f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. trapezoid balandligi A 1 B 1 =b-a, kvadrat . Demak, yoki

Bu deb ataladigan narsa kichik trapezoid formulasi.

Bugun biz raqamli integrasiyaning yana bir usuli trapezoidal usul bilan tanishamiz. Uning yordami bilan biz ma'lum darajadagi aniqlik bilan aniq integrallarni hisoblaymiz. Maqolada biz trapetsiya usulining mohiyatini bayon qilamiz, formula qanday olinganligini tahlil qilamiz, trapezoid usulini to'rtburchaklar usuli bilan taqqoslaymiz va usulning mutlaq xatosining taxminini yozamiz. Materialni chuqurroq tushunish uchun har bir bo'limni misollar bilan ko'rsatamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Faraz qilaylik, y = f (x) integrali [ a oraliqda uzluksiz bo'lgan aniq integral ∫ a b f (x) d x ni taxminan hisoblashimiz kerak; b]. Buning uchun segmentni [a; b ] a = x 0 nuqtali h uzunlikdagi bir nechta teng oraliqlarga< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Bo'lish bosqichini topamiz: h = b - a n. X i = a + i · h, i = 0, 1, tengligidan tugunlarni aniqlaymiz. . . , n.

Elementar segmentlarda x i - 1 integral funksiyasini ko'rib chiqamiz; x i, i = 1, 2, . . , n.

n cheksiz ortishi bilan biz barcha holatlarni to'rtta eng oddiy variantga qisqartiramiz:

X i - 1 segmentlarini tanlaymiz; x i, i = 1, 2, . . . , n. Grafiklarning har biridagi y = f (x) funktsiyani x i - 1 koordinatali nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq segmenti bilan almashtiramiz; f x i - 1 va x i ; f x i. Keling, ularni rasmlarda ko'k rang bilan belgilaymiz.

∫ x i - 1 x i f (x) d x integralning taxminiy qiymati sifatida f (x i - 1) + f (x i) 2 · h ifodasini olaylik. Bular. ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h ni olaylik.

Keling, biz o'rganayotgan sonli integrallash usuli nima uchun trapezoidal usul deb ataladiganini ko'rib chiqamiz. Buning uchun yozma taxminiy tenglik geometrik nuqtai nazardan nimani anglatishini aniqlashimiz kerak.

Trapetsiyaning maydonini hisoblash uchun uning asoslarining yarmi yig'indisini balandligiga ko'paytirish kerak. Birinchi holda, kavisli trapetsiyaning maydoni taxminan f (x i - 1), f (x i) balandligi h bo'lgan trapetsiyaga teng. Biz ko'rib chiqayotgan holatlarning to'rtinchisida berilgan ∫ x i - 1 x f (x) d x integral trapetsiyaning asoslari f (x i - 1), - f (x i) va balandligi bilan taxminan tengdir. h, bu "-" belgisi bilan olinishi kerak. Aniq integral ∫ x i - 1 x i f (x) d x ning taqribiy qiymatini ko'rib chiqilayotgan holatlarning ikkinchi va uchinchi qismlarida hisoblash uchun biz qizil va ko'k mintaqalarning maydonlaridagi farqni topishimiz kerak, biz belgilaganmiz. quyidagi rasmda lyuk.

Keling, xulosa qilaylik. Trapetsiya usulining mohiyati quyidagicha: aniq integral ∫ a b f (x) d x ni har bir elementar segmentda va keyingi taxminiy almashtirishda ∫ x i - 1 x i f (x) d x ko‘rinishdagi integrallar yig‘indisi sifatida ifodalashimiz mumkin. x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Trapetsiya usuli formulasi

Aniq integralning beshinchi xossasini eslaylik: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Trapezoidal usul formulasini olish uchun ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n integrallar o'rniga ularning taxminiy qiymatlarini almashtirish kerak. ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (. x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Ta'rif 1

Trapezoidal usul formulasi:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Trapezoidal usulning mutlaq xatosini baholash

Trapezoidal usulning mutlaq xatosini quyidagicha baholaymiz:

Ta'rif 2

d n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Trapezoidal usulning grafik tasviri rasmda ko'rsatilgan:

Hisoblash misollari

Aniq integrallarni taqribiy hisoblash uchun trapetsiya usulidan foydalanish misollarini ko'rib chiqamiz. Ikki turdagi vazifalarga alohida e'tibor qaratamiz:

• n segmentning berilgan qism raqami uchun trapetsiya usulida aniq integralni hisoblash;
• aniq integralning taxminiy qiymatini belgilangan aniqlikda topish.

Berilgan n uchun barcha oraliq hisoblar yetarli darajada yuqori aniqlik bilan amalga oshirilishi kerak. Hisob-kitoblarning aniqligi yuqoriroq bo'lishi kerak, n qanchalik katta bo'lsa.

Agar ma'lum bir integralni hisoblashda berilgan aniqlikka ega bo'lsak, unda barcha oraliq hisoblar ikki yoki undan ortiq kattalik tartibini aniqroq bajarishi kerak. Misol uchun, agar aniqlik 0,01 ga o'rnatilgan bo'lsa, u holda biz 0,0001 yoki 0,00001 aniqlik bilan oraliq hisob-kitoblarni amalga oshiramiz. Katta n uchun oraliq hisoblar yanada yuqori aniqlik bilan amalga oshirilishi kerak.

Keling, yuqoridagi qoidani misol bilan ko'rib chiqaylik. Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan va trapezoidal usul yordamida olingan aniq integral qiymatlarini solishtiring.

Demak, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

1-misol

Trapetsiya usulidan foydalanib, 10 ga teng n uchun ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x aniq integralni hisoblaymiz.

Yechim

Trapetsiya usulining formulasi ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Formulani qo'llash uchun h = b - a n formulasi yordamida h qadamini hisoblashimiz kerak, x i = a + i · h, i = 0, 1, tugunlarini aniqlang. . . , n, f (x) = 7 x 2 + 1 integrali funktsiyasi qiymatlarini hisoblang.

Bo'lish bosqichi quyidagicha hisoblanadi: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5 . X i = a + i · h, i = 0, 1, tugunlarida integrandni hisoblash uchun. . . , n biz to'rtta kasrni olamiz:

i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

Hisoblash natijalarini jadvalga kiritamiz:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x i)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

Olingan qiymatlarni trapezoidal usul formulasiga almashtiramiz: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5,6 + 3,5 + 2,1538 + 1,4 + 0,9655 + 0,7 + 0,5283 + 0,4117 + 0,3294 + 0,2692 = 9,6117

Natijalarimizni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan natijalar bilan solishtiramiz. Olingan qiymatlar yuzdan biriga to'g'ri keladi.

Javob:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

2-misol

Trapetsiya usulidan foydalanib, aniq integral ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x qiymatini 0,01 aniqlik bilan hisoblaymiz.

Yechim

Masala shartiga ko'ra a = 1; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60; dn ≤ 0,01.

Mutlaq xatolikni d n ≤ m a x x ∈ [ a ni baholash uchun tengsizlikdan foydalanib, integrasiya segmentining bo‘linish nuqtalari soniga teng bo‘lgan n ni topamiz; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Buni quyidagicha qilamiz: n ning qiymatlarini topamiz, ular uchun tengsizlik m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01. Berilgan n, trapezoidal formula bizga berilgan aniqlik bilan aniq integralning taxminiy qiymatini beradi.

Birinchidan, [ 1 oraliqdagi funksiyaning ikkinchi hosilasi modulining eng katta qiymati topilsin; 2].

f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Ikkinchi hosila funksiya f "" (x) = x 2 kvadratik paraboladir. Uning xossalaridan bilamizki, u musbat va intervalda ortib boradi [1; 2]. Shu munosabat bilan m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Keltirilgan misolda m a x x ∈ [ a ni topish jarayoni; b ] f "" (x) juda oddiy bo'lib chiqdi. Murakkab holatlarda siz hisob-kitoblarni bajarish uchun funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlaridan foydalanishingiz mumkin. Ushbu misolni ko'rib chiqqach, m a x x ∈ [ a ni topishning muqobil usulini taqdim etamiz; b ] f "" (x) .

Olingan qiymatni m a x x ∈ [ a tengsizlikka almashtiramiz; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0,01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0,01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5,7735

Integratsiya segmenti n bo'lingan elementar intervallar soni natural sondir. Hisoblash harakati uchun biz oltiga teng n ni olamiz. Bu n qiymati trapezoidal usulning belgilangan aniqligiga minimal hisob-kitoblar bilan erishishga imkon beradi.

Qadamni hisoblaymiz: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

X i = a + i · h, i = 1, 0, tugunlarini topamiz. . . , n , biz ushbu tugunlardagi integral qiymatlarini aniqlaymiz:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0,5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1,9833

Hisoblash natijalarini jadval shaklida yozamiz:

i	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

Olingan natijalarni trapezoidal formulaga almashtiramiz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0,5266 + 0,6911 + 0,9052 + 1,1819 + 1,5359 + 1,9833 ≈ 1,0054

Taqqoslash uchun Nyuton-Leybnits formulasi yordamida asl integralni hisoblaymiz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Ko'rib turganingizdek, biz olingan hisoblash aniqligiga erishdik.

Javob: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1,0054

Murakkab shakldagi integrallar uchun mutlaq xatoni baholash uchun tengsizlikdan n sonini topish har doim ham oson emas. Bunday holda, quyidagi usul mos keladi.

n ta tugun uchun trapetsiya usulida olingan aniq integralning taxminiy qiymatini I n deb belgilaymiz. Keling, ixtiyoriy n raqamini tanlaylik. Trapezoidal usul formulasidan foydalanib, biz bitta (n = 10) va ikki (n = 20) sonli tugunlar uchun boshlang'ich integralni hisoblaymiz va olingan ikkita taxminiy qiymat o'rtasidagi farqning mutlaq qiymatini topamiz I 20 - Men 10.

Agar olingan ikkita taxminiy qiymat orasidagi farqning mutlaq qiymati talab qilinadigan aniqlikdan kam bo'lsa I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Agar olingan ikkita taxminiy qiymat o'rtasidagi farqning mutlaq qiymati talab qilinadigan aniqlikdan katta bo'lsa, u holda bosqichlarni ikki baravar ko'p tugunlar (n = 40) bilan takrorlash kerak.

Bu usul katta miqdordagi hisob-kitoblarni talab qiladi, shuning uchun vaqtni tejash uchun kompyuter texnologiyasidan foydalanish oqilona.

Yuqoridagi algoritm yordamida masalani yechamiz. Vaqtni tejash uchun trapezoidal usul yordamida oraliq hisob-kitoblarni o'tkazib yuboramiz.

3-misol

Aniq integral ∫ 0 2 x e x d x ni trapetsiya usulida 0,001 aniqlik bilan hisoblash kerak.

Yechim

10 va 20 ga teng n ni olaylik. Trapezoidal formuladan foydalanib, biz I 10 = 8,4595380, I 20 = 8,4066906 ni olamiz.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, bu esa qo'shimcha hisob-kitoblarni talab qiladi.

40 ga teng n ni olaylik: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, bu ham davomiy hisob-kitoblarni talab qiladi.

80 ga teng n ni olaylik: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8,3901585 - 8,3934656 = 0,0033071 > 0,001, bu esa tugunlar sonini yana ikki barobar oshirishni talab qiladi.

160 ga teng n ni olaylik: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8,3893317 - 8,3901585 = 0,0008268< 0 , 001

Dastlabki integralning taxminiy qiymatini I 160 = 8, 3893317 ni mingdan birga yaxlitlash orqali olish mumkin: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

Taqqoslash uchun Nyuton-Leybnits formulasi yordamida dastlabki aniq integralni hisoblaymiz: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Kerakli aniqlikka erishildi.

Javob: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Xatolar

Aniq integralning qiymatini aniqlash uchun oraliq hisoblar asosan taxminan amalga oshiriladi. Bu shuni anglatadiki, n ortishi bilan hisoblash xatosi to'plana boshlaydi.

Trapezoidal usul va o'rtacha to'rtburchaklar usulining mutlaq xatolarining taxminlarini solishtiramiz:

d n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 d n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Hisoblash ishlari bir xil miqdorda berilgan n uchun to'rtburchaklar usuli xatoning yarmini beradi. Bu elementar segmentlarning o'rta segmentlaridagi funktsiya qiymatlari ma'lum bo'lgan hollarda usulni afzalroq qiladi.

Birlashtiriladigan funktsiyalar analitik tarzda aniqlanmagan, lekin tugunlardagi qiymatlar to'plami sifatida biz trapezoidal usuldan foydalanishimiz mumkin.

Agar trapetsiya usuli va o'ng va chap to'rtburchaklar usulining aniqligini taqqoslasak, unda birinchi usul natijaning aniqligi bo'yicha ikkinchisidan ustundir.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing