Ushbu chiziqlar bilan chegaralangan shaklni onlayn chizing. Aniq integral

Veb-saytga matematik formulalarni qanday kiritish mumkin?

Agar biror marta veb-sahifaga bitta yoki ikkita matematik formula qo'shish kerak bo'lsa, buni qilishning eng oson yo'li maqolada tasvirlanganidek: matematik formulalar Wolfram Alpha tomonidan avtomatik ravishda yaratilgan rasmlar ko'rinishida saytga osongina kiritiladi. . Oddiylikdan tashqari, ushbu universal usul saytning qidiruv tizimlarida ko'rinishini yaxshilashga yordam beradi. U uzoq vaqtdan beri ishlamoqda (va, menimcha, abadiy ishlaydi), lekin allaqachon ma'naviy jihatdan eskirgan.

Agar siz saytingizda muntazam ravishda matematik formulalardan foydalansangiz, men sizga MathML, LaTeX yoki ASCIIMathML belgilaridan foydalangan holda veb-brauzerlarda matematik belgilarni ko'rsatadigan maxsus JavaScript kutubxonasi - MathJax-dan foydalanishni tavsiya qilaman.

MathJax-dan foydalanishni ikki yo'l bilan boshlash mumkin: (1) oddiy kod yordamida siz MathJax skriptini veb-saytingizga tezda ulashingiz mumkin, u kerakli vaqtda masofaviy serverdan avtomatik ravishda yuklanadi (serverlar ro'yxati); (2) MathJax skriptini masofaviy serverdan serveringizga yuklab oling va uni saytingizning barcha sahifalariga ulang. Ikkinchi usul – murakkabroq va ko‘p vaqt talab qiluvchi – saytingiz sahifalarini yuklashni tezlashtiradi va agar asosiy MathJax serveri biron sababga ko‘ra vaqtincha ishlamay qolsa, bu sizning saytingizga hech qanday ta’sir qilmaydi. Ushbu afzalliklarga qaramay, men birinchi usulni tanladim, chunki u sodda, tezroq va texnik ko'nikmalarni talab qilmaydi. Mening misolimga amal qiling va atigi 5 daqiqada saytingizda MathJaxning barcha imkoniyatlaridan foydalana olasiz.

MathJax kutubxonasi skriptini uzoq serverdan asosiy MathJax veb-saytidan yoki hujjatlar sahifasidan olingan ikkita kod variantidan foydalanib ulashingiz mumkin:

Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangiz kodiga joylashtirish kerak, afzalroq teglar orasiga yoki tegdan keyin darhol. Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytning boshqaruv paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklab olish kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Ana xolos. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML ning belgilash sintaksisini o'rganing va siz saytingiz veb-sahifalariga matematik formulalarni kiritishga tayyorsiz.

Har qanday fraktal cheksiz ko'p marta doimiy ravishda qo'llaniladigan ma'lum bir qoidaga muvofiq tuziladi. Har bir bunday vaqt iteratsiya deb ataladi.

Menger shimgichni qurishning iterativ algoritmi juda oddiy: 1 tomoni bo'lgan asl kub yuzlariga parallel bo'lgan tekisliklar bilan 27 ta teng kubga bo'linadi. Undan bitta markaziy kub va unga qo'shni yuzlar bo'ylab 6 kub chiqariladi. Natijada qolgan 20 ta kichik kubdan iborat to'plam paydo bo'ladi. Ushbu kublarning har biri bilan xuddi shunday qilib, biz 400 ta kichik kubdan iborat to'plamni olamiz. Ushbu jarayonni cheksiz davom ettirib, biz Menger shimgichni olamiz.

Ox o'qi bilan chegaralangan egri trapesiyani, y=f(x) egri chiziqni va ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqamiz: x=a va x=b (85-rasm). Keling, x ning ixtiyoriy qiymatini olaylik (faqat a emas va b emas). Unga h = dx ortishini beramiz va ko'rib chiqilayotgan egri chiziqqa tegishli AB va CD to'g'ri chiziqlar, Ox o'qi va BD yoyi bilan chegaralangan chiziqni ko'rib chiqamiz. Biz bu chiziqni elementar chiziq deb ataymiz. Elementar chiziqning maydoni ACQB to'rtburchaklar maydonidan BQD egri chiziqli uchburchak bilan farq qiladi va ikkinchisining maydoni tomonlari BQ = = h= bo'lgan BQDM to'rtburchaklar maydonidan kichikdir. dx) QD=Ay va hAy = Ay dx ga teng maydon. h tomoni kamayishi bilan Du tomoni ham kamayadi va h bilan bir vaqtda nolga intiladi. Shuning uchun BQDM maydoni ikkinchi tartibli cheksiz kichikdir. Elementar chiziqning maydoni - bu maydonning o'sishi va AB-AC ==/(x) dx> ga teng bo'lgan ACQB to'rtburchaklar maydoni - bu maydonning differentsialidir. Shunday qilib, biz uning differentsialini integrallash orqali maydonning o'zini topamiz. Ko'rib chiqilayotgan rasm ichida l mustaqil o'zgaruvchisi: a dan b ga o'zgaradi, shuning uchun kerakli maydon 5 5= \f(x) dx ga teng bo'ladi. (I) 1-misol. y - 1 -x* parabola, X =--Fj-, x = 1 to'g'ri chiziqlar va O* o'qi bilan chegaralangan maydonni hisoblaymiz (86-rasm). rasmda. 87. rasm. 86. 1 Bu yerda f(x) = 1 - l?, integrasiya chegaralari a = - va £ = 1, shuning uchun J [*-t]\- -fl -- G -1-±L_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* 2-misol. Sinusoid y = sinXy, Ox o'qi va to'g'ri chiziq bilan chegaralangan maydonni hisoblaymiz (87-rasm). (I) formulasini qo'llagan holda A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf ni olamiz 3-misol. Sinusoidning yoyi bilan chegaralangan maydonni hisoblang ^u = sin jc, o'ralgan. Ox o'qi bilan ikkita qo'shni kesishish nuqtasi o'rtasida (masalan, koordinata va abscissa i nuqta o'rtasida). E'tibor bering, geometrik mulohazalar shuni ko'rsatadiki, bu maydon oldingi misoldan ikki baravar ko'p bo'ladi. Biroq, keling, hisob-kitoblarni bajaramiz: I 5= | s\nxdx= [ - cosx)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Haqiqatan ham, bizning taxminimiz to'g'ri bo'lib chiqdi. 4-misol. Bir davrda sinusoid va Ox o'qi bilan chegaralangan maydonni hisoblang (88-rasm). Dastlabki hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, maydon 2-misoldagidan to'rt marta kattaroq bo'ladi. Biroq, hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz “i G,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( ni olamiz. -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Bu natija aniqlashtirishni talab qiladi. Masalaning mohiyatini oydinlashtirish uchun bir xil sinusoid y = sin l: va Ox o'qi bilan chegaralangan maydonni l dan 2i gacha bo'lgan oraliqda ham hisoblaymiz. (I) formuladan foydalanib, 2l $2l sin xdx=[ - cosx]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 ni olamiz. Shunday qilib, biz bu soha salbiy bo'lib chiqdi. Uni 3-mashqda hisoblangan maydon bilan solishtirsak, ularning mutlaq qiymatlari bir xil, ammo belgilari boshqacha ekanligini aniqlaymiz. Agar biz V xossani qo'llasak (XI bob, 4-bandga qarang), biz 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Bu misolda sodir bo'lgan voqea tasodif emas. Har doim Ox o'qi ostida joylashgan maydon, mustaqil o'zgaruvchi chapdan o'ngga o'zgarishi sharti bilan, integrallar yordamida hisoblanganda olinadi. Ushbu kursda biz har doim belgilarsiz hududlarni ko'rib chiqamiz. Shuning uchun, hozirgina muhokama qilingan misoldagi javob quyidagicha bo'ladi: kerakli maydon 2 + |-2| = 4. 5-misol. Rasmda ko'rsatilgan BAB maydonini hisoblaymiz. 89. Bu maydon Ox o'qi, y = - xr parabola va y - = -x+\ to'g'ri chiziq bilan chegaralangan. Egri chiziqli trapezoidning maydoni OABning kerakli maydoni ikki qismdan iborat: OAM va MAV. A nuqta parabola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasi bo'lgani uchun uning koordinatalarini 3 2 Y = mx tenglamalar tizimini yechish orqali topamiz. (faqat A nuqtaning abtsissasini topishimiz kerak). Tizimni yechishda biz l ni topamiz; = ~. Shuning uchun maydonni qismlarga, birinchi kvadratga hisoblash kerak. OAM va keyin pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x kv. birliklar 2 = 2 kv. birliklar

5-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Bu erda siz y 2 = x parabolaning yuqori novdasi, Ox o'qi va x = 1 va x = 4 to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblashingiz kerak (rasmga qarang)

Formula (1) ga ko'ra, f(x) = a = 1 va b = 4 bo'lsa, bizda = (= kv. birliklar mavjud.

6-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Kerakli maydon sinusoidning yarim to'lqini va Ox o'qi bilan cheklangan (rasmga qarang).

Bizda - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. birliklar

7-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: y = - 6x, y = 0 va x = 4.

Shakl Ox o'qi ostida joylashgan (rasmga qarang).

Shuning uchun uning maydonini (3) formuladan foydalanib topamiz.

= =

8-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang: y = va x = 2. y = egri chizig'ini nuqtalar bo'yicha tuzing (rasmga qarang). Shunday qilib, (4) formuladan foydalanib, rasmning maydonini topamiz.

9-misol .

x 2 + y 2 = r 2.

Bu erda siz x 2 + y 2 = r 2 aylana bilan chegaralangan maydonni, ya'ni r radiusli doiraning bosh nuqtasida markazini hisoblashingiz kerak. 0 dan integrasiya chegaralarini olib, bu sohaning to‘rtinchi qismini topamiz

oldin; bizda: 1 = = [

Shuning uchun 1 =

10-misol. Chiziqlar bilan chegaralangan rasmning maydonini hisoblang: y = x 2 va y = 2x

Bu ko'rsatkich y = x 2 parabola va y = 2x to'g'ri chiziq bilan chegaralangan (rasmga qarang). x = 2

Hududni topish uchun (5) formuladan foydalanib, biz olamiz

= . Nima demoqchisiz ijobiy emas? Rasmdan ko'rinib turibdiki, berilgan x lar ichida joylashgan raqam faqat "salbiy" koordinatalarga ega, masalani hal qilishda biz buni ko'rishimiz va eslashimiz kerak. Biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, rasmning maydonini qidiramiz, faqat boshida minus belgisi bilan.

Maqola tugallanmagan.