Limitlar nazariyasi- ba'zilar o'zlashtira oladigan, boshqalari esa chegaralarni hisoblashda qiynaladigan matematik tahlil bo'limlaridan biri. Chegaralarni topish masalasi juda umumiydir, chunki o'nlab texnikalar mavjud yechim chegaralari har xil turlari. Xuddi shu chegaralarni L'Hopital qoidasi yordamida ham, unsiz ham topish mumkin. Shunday bo'ladiki, bir qator cheksiz kichik funktsiyalarni rejalashtirish sizga kerakli natijani tezda olish imkonini beradi. Har qanday murakkablikdagi funktsiya chegarasini topishga imkon beruvchi texnikalar va fokuslar to'plami mavjud. Ushbu maqolada biz amalda eng ko'p uchraydigan chegaralarning asosiy turlarini tushunishga harakat qilamiz. Biz bu erda chegaraning nazariyasi va ta'rifini bermaymiz, bu haqda Internetda ko'plab manbalar mavjud. Shuning uchun, keling, amaliy hisob-kitoblarga o'taylik, bu erda sizning "Men bilmayman!"

Almashtirish usuli yordamida limitlarni hisoblash

1-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Yechish: Bunday turdagi misollarni odatiy almashtirish yordamida nazariy jihatdan hisoblash mumkin

Cheklov 18/11.
Bunday chegaralarda murakkab va oqilona narsa yo'q - biz qiymatni almashtirdik, hisoblab chiqdik va javob sifatida chegarani yozdik. Biroq, bunday chegaralardan kelib chiqqan holda, har kimga birinchi navbatda qiymatni funktsiyaga almashtirish kerakligi o'rgatiladi. Bundan tashqari, chegaralar yanada murakkablashadi, cheksizlik, noaniqlik va shunga o'xshash tushunchalarni kiritadi.

Cheksizlik cheksizlikka bo'lingan cheksizlik kabi noaniqlik bilan chegara. Noaniqlikni oshkor qilish usullari

2-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=cheksizlik).
Yechish: Ko‘phadning ko‘phadga bo‘lingan shakli chegarasi berilgan va o‘zgaruvchi cheksizlikka intiladi.

Chegaralarni topish uchun o'zgaruvchi topilishi kerak bo'lgan qiymatni oddiygina almashtirish yordam bermaydi, biz cheksizlik shaklidagi noaniqlikni cheksizlikka bo'lamiz.
Limitlar nazariyasiga ko'ra, limitni hisoblash algoritmi hisoblagich yoki maxrajdagi "x" ning eng katta kuchini topishdir. Keyinchalik, pay va maxraj unga soddalashtiriladi va funktsiyaning chegarasi topiladi

O'zgaruvchi cheksizlikka yaqinlashganda qiymat nolga moyil bo'lganligi sababli, ular e'tibordan chetda qoladi yoki nol ko'rinishidagi yakuniy ifodaga yoziladi.

Amaliyotdan darhol siz hisob-kitoblarda ishora bo'lgan ikkita xulosani olishingiz mumkin. Agar o'zgaruvchi cheksizlikka moyil bo'lsa va hisoblagichning darajasi maxraj darajasidan katta bo'lsa, u holda chegara cheksizlikka teng bo'ladi. Aks holda, agar maxrajdagi ko'phad hisoblagichga qaraganda yuqori tartibli bo'lsa, chegara nolga teng.
Cheklov quyidagi formulalarda yozilishi mumkin:

Agar kasrsiz oddiy maydon ko'rinishidagi funktsiyaga ega bo'lsak, uning chegarasi cheksizlikka teng bo'ladi

Cheklovlarning keyingi turi nolga yaqin funktsiyalarning harakatiga tegishli.

3-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Yechish: Bu yerda ko‘phadning yetakchi omilini olib tashlashning hojati yo‘q. To'liq teskari, siz hisoblagich va maxrajning eng kichik kuchini topishingiz va chegarani hisoblashingiz kerak.

Qiymat x^2; O'zgaruvchi nolga moyil bo'lganda x nolga moyil bo'ladi, shuning uchun ular e'tiborga olinmaydi, shuning uchun biz olamiz

chegarasi 2,5.

Endi bilasiz funktsiya chegarasini qanday topish mumkin Agar o'zgaruvchi cheksizlikka yoki 0 ga moyil bo'lsa, ko'phadni ko'phadga bo'ling. Lekin bu misollarning kichik va oson qismidir. Quyidagi materialdan siz o'rganasiz funktsiya chegaralaridagi noaniqliklarni qanday ochish mumkin.

0/0 tipidagi noaniqlik chegarasi va uni hisoblash usullari

Har bir inson darhol nolga bo'linmaydigan qoidani eslaydi. Biroq, bu kontekstdagi chegaralar nazariyasi cheksiz kichik funktsiyalarni nazarda tutadi.
Aniqlik uchun bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

4-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Yechish: X = -1 o‘zgaruvchining qiymatini maxrajga almashtirsak, nolga teng bo‘lamiz va payda ham xuddi shu narsani olamiz. Demak, bizda bor 0/0 shaklining noaniqligi.
Bunday noaniqlik bilan shug'ullanish juda oddiy: polinomni faktorlarga ajratish kerak, to'g'rirog'i, funktsiyani nolga aylantiruvchi omilni tanlash kerak.

Kengaytirilgandan so'ng, funktsiyaning chegarasi quyidagicha yozilishi mumkin

Bu funktsiya chegarasini hisoblashning butun usuli. Ko'phadga bo'lingan shakldagi ko'phadning chegarasi bo'lsa, biz ham xuddi shunday qilamiz.

5-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Yechim: To'g'ridan-to'g'ri almashtirish ko'rsatiladi
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
bizda nima bor 0/0 noaniqlik turi.
Ko‘phadlarni birlik kirituvchi omilga ajratamiz


2-tartibli ko‘phadlarni, ya’ni “kvadrat tenglamalar” turini diskriminant orqali yechish kerakligini o‘rgatuvchi o‘qituvchilar bor. Ammo haqiqiy amaliyot shuni ko'rsatadiki, bu uzoqroq va chalkashroq, shuning uchun belgilangan algoritmga muvofiq cheklovlar doirasidagi xususiyatlardan xalos bo'ling. Shunday qilib, funktsiyani oddiy omillar ko'rinishida yozamiz va uni limitda hisoblaymiz

Ko'rib turganingizdek, bunday chegaralarni hisoblashda murakkab narsa yo'q. Cheklovlarni o'rganganingizda, siz polinomlarni qanday ajratishni bilasiz, hech bo'lmaganda dasturga ko'ra siz allaqachon o'tgan bo'lishingiz kerak.
Vazifalar orasida 0/0 noaniqlik turi Qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanishingiz kerak bo'lgan ba'zilar mavjud. Ammo agar siz ularni bilmasangiz, unda ko'phadni monomga bo'lish orqali siz kerakli formulani olishingiz mumkin.

6-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Yechim: Bizda 0/0 tipidagi noaniqlik mavjud. Numeratorda biz qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanamiz

va kerakli chegarani hisoblang

Noaniqlikni uning konjugatiga ko'paytirish orqali aniqlash usuli

Usul irratsional funktsiyalar tomonidan noaniqlik hosil bo'ladigan chegaralarga nisbatan qo'llaniladi. Hisoblash nuqtasida hisob yoki maxraj nolga aylanadi va chegarani qanday topish mumkinligi noma'lum.

7-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Yechim: O'zgaruvchini chegara formulasida ifodalaymiz

O'zgartirish paytida biz 0/0 tipidagi noaniqlikni olamiz.
Limitlar nazariyasiga ko'ra, bu xususiyatni chetlab o'tish yo'li irratsional ifodani uning konjugati bilan ko'paytirishdir. Ifodaning o'zgarmasligini ta'minlash uchun maxrajni bir xil qiymatga bo'lish kerak

Kvadratlar qoidasining farqidan foydalanib, biz hisoblagichni soddalashtiramiz va funktsiya chegarasini hisoblaymiz

Biz chegarada birlik hosil qiluvchi shartlarni soddalashtiramiz va almashtirishni bajaramiz

8-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Yechish: To'g'ridan-to'g'ri almashtirish chegaraning 0/0 ko'rinishidagi yagonalikka ega ekanligini ko'rsatadi.

Kengaytirish uchun biz numeratorning konjugati bilan ko'paytiramiz va bo'lamiz

Biz kvadratlarning farqini yozamiz

Singulyarlikni kirituvchi atamalarni soddalashtiramiz va funksiya chegarasini topamiz

9-misol. Funksiya chegarasini toping
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Yechish: formulada ikkitasini almashtiring

olamiz noaniqlik 0/0.
Maxrajni qo‘shma ifodaga ko‘paytirish kerak, hisoblagichda esa kvadrat tenglama yakkalikni hisobga olgan holda yechilishi yoki ko‘paytirilishi kerak. 2 ning ildiz ekanligi ma'lum bo'lganligi sababli, ikkinchi ildizni Viet teoremasi yordamida topamiz

Shunday qilib, biz raqamni shaklda yozamiz

va uni chegaraga almashtiring

Kvadratchalar farqini kamaytirish orqali biz sanoqchi va maxrajdagi birlikdan qutulamiz.

Shu tarzda, siz ko'plab misollardagi birliklardan xalos bo'lishingiz mumkin va almashtirish paytida ildizlarning berilgan farqi nolga aylansa, dasturni qayd etish kerak. Boshqa turdagi limitlar ko'rsatkichli funktsiyalar, cheksiz kichik funktsiyalar, logarifmlar, maxsus limitlar va boshqa usullarga tegishli. Ammo siz bu haqda quyida keltirilgan cheklovlar haqida maqolalarda o'qishingiz mumkin.

Limitlar barcha matematika talabalariga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi. Cheklovni hal qilish uchun, ba'zida siz juda ko'p hiyla-nayranglardan foydalanishingiz va turli xil echim usullaridan ma'lum bir misol uchun mos keladiganini tanlashingiz kerak.

Ushbu maqolada biz sizning imkoniyatlaringiz chegaralarini tushunishga yoki nazorat chegaralarini tushunishga yordam bermaymiz, lekin biz savolga javob berishga harakat qilamiz: oliy matematikada chegaralarni qanday tushunish kerak? Tushunish tajriba bilan birga keladi, shuning uchun biz tushuntirishlar bilan chegaralarni hal qilishning bir nechta batafsil misollarini keltiramiz.

Matematikada limit tushunchasi

Birinchi savol: bu chegara nima va nimaning chegarasi? Raqamli ketma-ketliklar va funksiyalarning chegaralari haqida gapirish mumkin. Bizni funktsiyaning chegarasi tushunchasi qiziqtiradi, chunki o'quvchilar ko'p uchraydigan narsa. Lekin birinchi navbatda, chegaraning eng umumiy ta'rifi:

Aytaylik, o'zgaruvchan qiymat bor. Agar o'zgarish jarayonida bu qiymat cheksiz ravishda ma'lum bir raqamga yaqinlashsa a , Bu a - bu qiymatning chegarasi.

Muayyan intervalda aniqlangan funksiya uchun f(x)=y bunday raqam chegara deb ataladi A , bu funksiya qachonga intiladi X , ma'lum bir nuqtaga moyil A . Nuqta A funksiya aniqlangan intervalga tegishli.

Bu og'ir tuyuladi, lekin u juda oddiy yozilgan:

Lim- ingliz tilidan chegara- chegara.

Chegarani aniqlashning geometrik tushuntirishi ham mavjud, ammo bu erda biz nazariyani chuqur o'rganmaymiz, chunki biz masalaning nazariy tomoniga emas, balki amaliy tomoniga ko'proq qiziqamiz. Buni aytganda X ba'zi qiymatga intiladi, bu o'zgaruvchining raqam qiymatini olmasligini, lekin unga cheksiz yaqinlashishini bildiradi.

Keling, aniq bir misol keltiraylik. Vazifa chegarani topishdir.

Ushbu misolni hal qilish uchun biz qiymatni almashtiramiz x=3 funksiyaga aylanadi. Biz olamiz:

Aytgancha, agar siz qiziqsangiz, ushbu mavzu bo'yicha alohida maqolani o'qing.

Misollarda X har qanday qiymatga moyil bo'lishi mumkin. Bu har qanday raqam yoki cheksizlik bo'lishi mumkin. Mana bir misol qachon X cheksizlikka intiladi:

Intuitiv ravishda, maxrajdagi raqam qanchalik katta bo'lsa, funktsiya shunchalik kichikroq qiymatga ega bo'ladi. Shunday qilib, cheksiz o'sish bilan X ma'nosi 1/x kamayadi va nolga yaqinlashadi.

Ko'rib turganingizdek, chegarani hal qilish uchun siz faqat funktsiyaga intiladigan qiymatni almashtirishingiz kerak. X . Biroq, bu eng oddiy holat. Ko'pincha chegarani topish unchalik aniq emas. Chegaralar ichida turning noaniqliklari mavjud 0/0 yoki cheksizlik/cheksizlik . Bunday hollarda nima qilish kerak? Fokuslarga murojaat qiling!

Ichidagi noaniqliklar

Infinity/infinity shaklining noaniqligi

Cheklov bo'lsin:

Funktsiyada cheksizlikni almashtirishga harakat qilsak, biz sonda ham, maxrajda ham cheksizlikka ega bo'lamiz. Umuman olganda, bunday noaniqliklarni hal qilishda san'atning ma'lum bir elementi borligini aytish kerak: siz noaniqlik yo'qolishi uchun funktsiyani qanday o'zgartirishingiz mumkinligini payqashingiz kerak. Bizning holatlarimizda biz hisoblagich va maxrajni ajratamiz X oliy darajadagi. Nima bo'ladi?

Yuqorida muhokama qilingan misoldan bilamizki, maxrajda x ni o'z ichiga olgan atamalar nolga moyil bo'ladi. Keyin chegaraning yechimi:

Turdagi noaniqliklarni hal qilish uchun cheksizlik/cheksizlik son va maxrajni ga bo'ling X eng yuqori darajada.

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud

Boshqa turdagi noaniqlik: 0/0

Har doimgidek, funktsiyaga qiymatlarni almashtirish x=-1 beradi 0 son va maxrajda. Biroz diqqat bilan qarasangiz, hisoblagichda kvadrat tenglama borligini sezasiz. Keling, ildizlarni topamiz va yozamiz:

Keling, kamaytiramiz va olamiz:

Shunday qilib, agar siz noaniqlik turiga duch kelsangiz 0/0 – son va maxrajni ko‘paytiruvchi.

Misollarni echishni osonlashtirish uchun biz ba'zi funktsiyalar chegaralari bilan jadvalni taqdim etamiz:

L'Hopital qoidasi ichida

Ikkala turdagi noaniqlikni bartaraf etishning yana bir kuchli usuli. Usulning mohiyati nimada?

Agar chegarada noaniqlik mavjud bo'lsa, noaniqlik yo'qolguncha pay va maxrajning hosilasini oling.

L'Hopital qoidasi quyidagicha ko'rinadi:

Muhim nuqta : ayiruvchi va maxrajning hosilalari boʻluvchi va ayiruvchi oʻrniga turish chegarasi mavjud boʻlishi kerak.

Va endi - haqiqiy misol:

Oddiy noaniqlik mavjud 0/0 . Numerator va maxrajning hosilalarini olaylik:

Voila, noaniqlik tez va oqlangan tarzda hal qilinadi.

Umid qilamizki, siz ushbu ma'lumotni amalda qo'llay olasiz va "Oliy matematikada chegaralarni qanday hal qilish kerak" degan savolga javob topasiz. Agar siz ketma-ketlik chegarasini yoki nuqtadagi funktsiya chegarasini hisoblashingiz kerak bo'lsa va bu ish uchun mutlaqo vaqt yo'q bo'lsa, tez va batafsil yechim uchun professional talabalar xizmatiga murojaat qiling.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Koshi chegarasini aniqlash
Funktsiya f bo'lsin (x) cheksizlikdagi nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida |x| bilan aniqlanadi > a soni funksiyaning chegarasi deyiladi f (x) chunki x cheksizlikka intiladi (), agar mavjud bo'lsa, qanchalik kichik bo'lsa ham, musbat e soni > 0 , N e soni mavjud >K, e ga qarab, barcha x, |x| uchun qaysi > N e, funktsiya qiymatlari a nuqtaning e-qo'shnisiga tegishli:
|f (x)-a|< ε .
Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi quyidagicha belgilanadi:
.
Yoki da.

Quyidagi belgilar ham tez-tez ishlatiladi:
.

Keling, mavjudlik va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalangan holda ushbu ta'rifni yozamiz:
.
Bu qiymatlar funktsiya sohasiga tegishli deb taxmin qiladi.

Bir tomonlama chegaralar

Cheksizlikdagi funksiyaning chap chegarasi:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Ko'pincha funksiya faqat x o'zgaruvchisining ijobiy yoki salbiy qiymatlari uchun aniqlangan holatlar mavjud (aniqrog'i nuqta yaqinida yoki ). Shuningdek, x ning ijobiy va salbiy qiymatlari uchun cheksizlik chegaralari turli qiymatlarga ega bo'lishi mumkin. Keyin bir tomonlama chegaralar qo'llaniladi.

Cheksizlikda chap chegara yoki x ning minus cheksizlikka () moyilligi kabi chegara quyidagicha aniqlanadi:
.
Cheksizlikda o'ng chegara yoki x chegarasi ortiqcha cheksizlikka ():
.
Cheksizlikdagi bir tomonlama chegaralar ko'pincha quyidagicha belgilanadi:
; .

Funktsiyaning cheksiz chegarasi

Funktsiyaning cheksiz chegarasi:
|f(x)| > M |x| uchun >N

Koshi bo'yicha cheksiz chegara ta'rifi
Funktsiya f bo'lsin (x) cheksizlikdagi nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida |x| bilan aniqlanadi > K, bu erda K - musbat son. Funktsiya chegarasi f (x) chunki x cheksizlikka intiladi (), cheksizlikka teng, agar har qanday ixtiyoriy katta son uchun M > 0 , bunday raqam mavjud N M >K, M ga qarab, barcha x uchun, |x| > N M, funktsiya qiymatlari cheksizlikdagi nuqta qo'shnisiga tegishli:
|f (x) | >M.
Cheksiz chegara x ning cheksizlikka moyilligi quyidagicha ifodalanadi:
.
Yoki da.

Borliq va universallikning mantiqiy belgilaridan foydalanib, funksiyaning cheksiz chegarasini aniqlashni quyidagicha yozish mumkin:
.

Xuddi shunday, ma'lum belgilarning cheksiz chegaralarining ta'riflari quyidagilarga teng va kiritiladi:
.
.

Cheksizlikda bir tomonlama chegaralarning ta'riflari.
Chap chegaralar.
.
.
.
To'g'ri chegaralar.
.
.
.

Geyne bo'yicha funksiya chegarasini aniqlash

f funksiya bo'lsin (x) cheksizlikdagi x nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlangan 0 , qayerda yoki .
a soni (cheklangan yoki cheksizda) f funksiyaning chegarasi deyiladi (x) x nuqtada 0 :
,
har qanday ketma-ketlik uchun (xn), x ga yaqinlashish 0 : ,
kimning elementlari mahallaga, ketma-ketlikka tegishli (f(xn)) ga birlashadi:
.

Agar cheksizlikdagi belgisiz nuqtaning qo'shniligini qo'shni sifatida olsak: , u holda funksiya chegarasining ta'rifini olamiz, chunki x cheksizlikka intiladi, . Cheksizlikda x nuqtaning chap yoki o'ng tomonini oladigan bo'lsak 0 : yoki , u holda biz chegaraning ta'rifini olamiz, chunki x mos ravishda minus cheksizlikka va ortiqcha cheksizlikka intiladi.

Limitning Geyn va Koshi ta'riflari ekvivalentdir.

Misollar

1-misol

Buni ko'rsatish uchun Koshining ta'rifidan foydalanish
.

Keling, quyidagi belgini kiritamiz:
.
Funksiyani aniqlash sohasini topamiz. Kasrning ayiruvchisi va maxraji ko'phadli bo'lganligi sababli, maxraj yo'qolgan nuqtalardan tashqari barcha x uchun funksiya aniqlanadi. Keling, ushbu nuqtalarni topamiz. Kvadrat tenglamani yechish. ;
.
Tenglamaning ildizlari:
; .
O'shandan beri, keyin va.
Shuning uchun funktsiya da aniqlanadi. Buni keyinroq ishlatamiz.

Koshi bo'yicha funksiyaning cheksiz chegarasining ta'rifini yozamiz:
.
Keling, farqni o'zgartiramiz:
.
Hisob va maxrajni ga bo'ling va ko'paytiring -1 :
.

Mayli.
Keyin
;
;
;
.

Shunday qilib, biz buni qachon topdik,
.
.
Bundan kelib chiqadi
da , va .

Siz uni har doim oshirishingiz mumkinligi sababli, keling . Keyin har kim uchun,
da .
Bu degani.

2-misol

Mayli.
Limitning Koshi ta'rifidan foydalanib, quyidagilarni ko'rsating:
1) ;
2) .

1) Yechim x minus cheksizlikka intiladi

Chunki funksiya barcha x uchun aniqlangan.
Minus cheksizlikka teng funksiya chegarasining ta’rifini yozamiz:
.

Mayli.
;
.

Shunday qilib, biz buni qachon topdik,
.
Keyin
.
Ijobiy raqamlarni kiriting va:
.

Bundan kelib chiqadiki, har qanday musbat M soni uchun raqam mavjud, shuning uchun uchun,

Bu degani.

2) Yechim x plyus cheksizlikka intiladi
.
Keling, asl funktsiyani o'zgartiraylik. Kasrning soni va maxrajini ko'paytiring va kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llang:

.
Bizda ... bor:
.

Funktsiyaning o'ng chegarasining ta'rifini quyidagiga yozamiz:
Keling, farqni o'zgartiramiz:
.
Belgini kiritamiz: .
.

Numerator va maxrajni quyidagicha ko'paytiring:
.
Keyin
;
.

Shunday qilib, biz buni qachon topdik,
.
Keyin
.
Bundan kelib chiqadi
Mayli

da va .
.

Bu har qanday ijobiy raqam uchun amal qiladi, shuning uchun
Adabiyotlar:

SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.

Yuqoridagi maqoladan siz chegara nima ekanligini va u nima bilan iste'mol qilinishini bilib olishingiz mumkin - bu JUDA muhim. Nega? Siz aniqlovchilar nima ekanligini tushunmasligingiz va ularni muvaffaqiyatli hal qilishingiz mumkin, siz hosila nima ekanligini umuman tushunmasligingiz va ularni "A" bilan topa olmaysiz. Ammo agar siz chegara nima ekanligini tushunmasangiz, amaliy vazifalarni hal qilish qiyin bo'ladi. Bundan tashqari, namunali echimlar va dizayn bo'yicha tavsiyalarim bilan tanishish yaxshi bo'lardi. Barcha ma'lumotlar oddiy va tushunarli shaklda taqdim etiladi. Va ushbu darsning maqsadlari uchun bizga quyidagi o'quv materiallari kerak bo'ladi: Ajoyib chegaralar Va. Ularni sahifada topish mumkin. Qo'llanmalarni chop etish yaxshiroqdir - bu ancha qulayroq va bundan tashqari, siz tez-tez ularga oflayn rejimda murojaat qilishingiz kerak bo'ladi.

Ajoyib chegaralarning nimasi o'ziga xos? Bu chegaralarning diqqatga sazovor tomoni shundaki, ular mashhur matematiklarning eng buyuk aqllari tomonidan tasdiqlangan va minnatdor avlodlar trigonometrik funktsiyalar, logarifmlar, kuchlar to'plami bilan dahshatli chegaralardan azob chekishlari shart emas. Ya'ni chegaralarni topishda biz nazariy jihatdan isbotlangan tayyor natijalardan foydalanamiz.

Bir nechta ajoyib chegaralar mavjud, ammo amalda 95% hollarda sirtqi bo'lim talabalari ikkita ajoyib chegaraga ega: Birinchi ajoyib chegara, Ikkinchi ajoyib chegara. Shuni ta'kidlash kerakki, bular tarixan o'rnatilgan nomlardir va ular, masalan, "birinchi ajoyib chegara" haqida gapirganda, ular shiftdan olingan tasodifiy chegarani emas, balki juda aniq narsani anglatadi.

Birinchi ajoyib chegara

Quyidagi chegarani ko'rib chiqing: ("u" ona harfi o'rniga men yunoncha "alfa" harfini ishlataman, bu materialni taqdim etish nuqtai nazaridan qulayroqdir).

Cheklovlarni topish qoidamizga ko'ra (maqolaga qarang Cheklovlar. Yechimlarga misollar) funktsiyada nolni almashtirishga harakat qilamiz: hisoblagichda biz nol olamiz (nolning sinusi nolga teng), maxrajda esa nol ham borligi aniq. Shunday qilib, biz shaklning noaniqligiga duch keldik, xayriyatki, uni oshkor qilish kerak emas. Matematik tahlil jarayonida quyidagilar isbotlangan:

Bu matematik fakt deyiladi Birinchi ajoyib chegara. Men chegaraning analitik isbotini keltirmayman, lekin biz uning geometrik ma'nosini darsda ko'rib chiqamiz. cheksiz kichik funktsiyalar.

Ko'pincha amaliy vazifalarda funktsiyalar boshqacha tartibga solinishi mumkin, bu hech narsani o'zgartirmaydi:

- xuddi shunday birinchi ajoyib chegara.

Lekin siz o'zingiz hisoblagich va maxrajni o'zgartira olmaysiz! Agar chegara ko'rinishida berilgan bo'lsa, uni hech narsani qayta tartibga solmasdan, xuddi shu shaklda hal qilish kerak.

Amaliyotda faqat o‘zgaruvchi emas, balki elementar funksiya yoki kompleks funksiya ham parametr vazifasini bajarishi mumkin. Eng muhimi shundaki, u nolga intiladi.

Misollar:
, , ,

Bu yerga , , , , va hamma narsa yaxshi - birinchi ajoyib chegara amal qiladi.

Ammo quyidagi yozuv bid'atdir:

Nega? Ko'phad nolga moyil bo'lmagani uchun u beshga intiladi.

Aytgancha, tezkor savol: chegara nima? ? Javobni dars oxirida topish mumkin.

Amalda, hamma narsa juda silliq emas, deyarli hech qachon talaba bepul limitni hal qilish va oson o'tishni taklif qilmaydi. Hmmm... Men bu satrlarni yozyapman va juda muhim bir fikr xayolimga keldi - axir, "bepul" matematik ta'riflar va formulalarni yoddan yodda tutgan ma'qul, bu savol tug'ilganda testda bebaho yordam berishi mumkin. "ikki" va "uch" o'rtasida qaror qabul qilinadi va o'qituvchi talabaga oddiy savol berishga yoki oddiy misolni echishni taklif qilishga qaror qiladi ("balki u (lar) hali ham nimani biladi?!").

Keling, amaliy misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol

Chegarani toping

Agar biz chegarada sinusni ko'rsak, bu bizni darhol birinchi ajoyib chegarani qo'llash imkoniyati haqida o'ylashga majbur qiladi.

Birinchidan, chegara belgisi ostidagi ifodaga 0 ni almashtirishga harakat qilamiz (biz buni aqliy yoki qoralamada qilamiz):

Shunday qilib, bizda shaklning noaniqligi bor ko'rsatganingizga ishonch hosil qiling qaror qabul qilishda. Chegara belgisi ostidagi ifoda birinchi ajoyib chegaraga o'xshaydi, lekin bu aniq emas, u sinus ostida, lekin maxrajda.

Bunday hollarda biz sun'iy texnikadan foydalangan holda birinchi ajoyib chegarani o'zimiz tashkil qilishimiz kerak. Fikrlash chizig'i quyidagicha bo'lishi mumkin: "bizda sinus ostida , bu biz ham maxrajga kirishimiz kerakligini anglatadi".
Va bu juda oddiy tarzda amalga oshiriladi:

Ya'ni, bu holda maxraj sun'iy ravishda 7 ga ko'paytiriladi va bir xil etti ga bo'linadi. Endi bizning yozuvimiz tanish ko'rinishga ega bo'ldi.
Vazifa qo'lda tuzilganda, oddiy qalam bilan birinchi ajoyib chegarani belgilash tavsiya etiladi:

Nima sodir bo `LDI? Darhaqiqat, aylanali ifodamiz birlikka aylanib, asarda g‘oyib bo‘ldi:

Endi uch qavatli fraktsiyadan xalos bo'lish qoladi:

Ko'p darajali kasrlarni soddalashtirishni kim unutgan bo'lsa, ma'lumotnomadagi materialni yangilang. Maktab matematika kursi uchun issiq formulalar .

Tayyor. Yakuniy javob:

Agar siz qalam belgilaridan foydalanishni xohlamasangiz, unda yechim quyidagicha yozilishi mumkin:

“

Keling, birinchi ajoyib chegaradan foydalanaylik

“

2-misol

Chegarani toping

Yana chegarada kasr va sinusni ko'ramiz. Keling, nolni pay va maxrajga almashtirishga harakat qilaylik:

Haqiqatan ham, bizda noaniqlik bor va shuning uchun biz birinchi ajoyib chegarani tashkil etishga harakat qilishimiz kerak. Darsda Cheklovlar. Yechimlarga misollar biz noaniqlik mavjud bo'lganda, son va maxrajni koeffitsientlarga ajratishimiz kerakligi haqidagi qoidani ko'rib chiqdik. Bu erda ham xuddi shunday, biz darajalarni mahsulot (ko'paytiruvchilar) sifatida ifodalaymiz:

Oldingi misolga o'xshab, biz ajoyib chegaralar atrofida qalam chizamiz (bu erda ulardan ikkitasi bor) va ular birlikka moyilligini ko'rsatamiz:

Aslida javob tayyor:

Quyidagi misollarda men Paint-da san'at bilan shug'ullanmayman, men daftarda yechimni qanday qilib to'g'ri tuzish kerakligini o'ylayman - siz allaqachon tushungansiz.

3-misol

Chegarani toping

Chegara belgisi ostidagi ifodaga nolni almashtiramiz:

Oshkor etilishi kerak bo'lgan noaniqlik olindi. Agar chegarada tangens bo'lsa, u deyarli har doim taniqli trigonometrik formuladan foydalangan holda sinus va kosinusga aylanadi (Aytgancha, ular kotangent bilan taxminan bir xil narsani qiladilar, uslubiy materialga qarang). Issiq trigonometrik formulalar Sahifada Matematik formulalar, jadvallar va ma'lumotnomalar).

Ushbu holatda:

Nolning kosinasi birga teng va undan qutulish juda oson (u birga moyilligini belgilashni unutmang):

Shunday qilib, agar chegarada kosinus MULTIPLIER bo'lsa, unda taxminan aytganda, uni mahsulotda yo'qolib ketadigan birlikka aylantirish kerak.

Bu erda hamma narsa ko'paytma va bo'linishsiz oddiyroq bo'lib chiqdi. Birinchi ajoyib chegara ham bittaga aylanadi va mahsulotda yo'qoladi:

Natijada, cheksizlik olinadi va bu sodir bo'ladi.

4-misol

Chegarani toping

Keling, nolni pay va maxrajga almashtirishga harakat qilaylik:

Noaniqlik olinadi (nol kosinasi, biz eslaganimizdek, birga teng)

Biz trigonometrik formuladan foydalanamiz. Eslatma! Ba'zi sabablarga ko'ra, ushbu formuladan foydalanish cheklovlari juda keng tarqalgan.

Keling, doimiy omillarni chegara belgisidan tashqariga o'tkazamiz:

Keling, birinchi ajoyib chegarani tashkil qilaylik:

Bu erda bizda faqat bitta ajoyib chegara bor, u bittaga aylanadi va mahsulotda yo'qoladi:

Keling, uch qavatli tuzilishdan xalos bo'laylik:

Cheklov aslida hal qilindi, biz qolgan sinus nolga moyilligini ko'rsatamiz:

5-misol

Chegarani toping

Bu misol murakkabroq, buni o'zingiz aniqlashga harakat qiling:

O'zgaruvchini o'zgartirish orqali ba'zi chegaralarni birinchi ajoyib chegaraga kamaytirish mumkin, bu haqda biroz keyinroq maqolada o'qishingiz mumkin. Limitlarni yechish usullari.

Ikkinchi ajoyib chegara

Matematik tahlil nazariyasida quyidagilar isbotlangan:

Bu fakt deyiladi ikkinchi ajoyib chegara.

Malumot: irratsional sondir.

Parametr nafaqat o'zgaruvchi, balki murakkab funktsiya ham bo'lishi mumkin. Muhimi, u cheksizlikka intiladi.

6-misol

Chegarani toping

Chegara belgisi ostidagi ifoda bir darajada bo'lsa, bu ikkinchi ajoyib chegarani qo'llashga harakat qilishingiz kerak bo'lgan birinchi belgidir.

Lekin birinchi navbatda, har doimgidek, biz cheksiz katta raqamni ifodaga almashtirishga harakat qilamiz, bu qanday printsip asosida amalga oshiriladi, darsda muhokama qilinadi. Cheklovlar. Yechimlarga misollar.

Buni qachon sezish oson darajaning asosi , ko‘rsatkichi esa , ya'ni shaklda noaniqlik mavjud:

Bu noaniqlik ikkinchi ajoyib chegara yordamida aniq ochib beriladi. Ammo, tez-tez sodir bo'lganidek, ikkinchi ajoyib chegara kumush laganda yotmaydi va uni sun'iy ravishda tashkil qilish kerak. Siz quyidagicha fikr yuritishingiz mumkin: bu misolda parametr , ya'ni biz indikatorda ham tartibga solishimiz kerak. Buning uchun biz bazani kuchga ko'taramiz va ifoda o'zgarmasligi uchun uni kuchga ko'taramiz:

Vazifa qo'lda bajarilganda, biz qalam bilan belgilaymiz:

Deyarli hamma narsa tayyor, dahshatli daraja yoqimli xatga aylandi:

Bunday holda, biz chegara belgisining o'zini indikatorga o'tkazamiz:

7-misol

Chegarani toping

Diqqat! Ushbu turdagi chegara juda tez-tez uchraydi, iltimos, ushbu misolni diqqat bilan o'rganing.

Chegara belgisi ostidagi ifodaga cheksiz katta sonni almashtirishga harakat qilaylik:

Natijada noaniqlik paydo bo'ladi. Ammo ikkinchi ajoyib chegara shaklning noaniqligi uchun amal qiladi. Nima qilish kerak? Biz daraja asosini aylantirishimiz kerak. Biz shunday fikr yuritamiz: maxrajda biz bor , ya'ni hisoblagichda biz ham tartibga solishimiz kerak.