Tizimning matritsa shaklida yechilishi. Chiziqli tenglamalar

Birinchi qismda biz ba'zi nazariy materiallarni, almashtirish usulini, shuningdek, tizim tenglamalarini muddatlar bo'yicha qo'shish usulini ko'rib chiqdik. Ushbu sahifa orqali saytga kirgan barchaga birinchi qismni o'qishni tavsiya qilaman. Ehtimol, ba'zi tashrif buyuruvchilar materialni juda oddiy deb bilishadi, ammo chiziqli tenglamalar tizimini echish jarayonida men umuman matematik muammolarni hal qilish bo'yicha bir qator juda muhim sharhlar va xulosalar qildim.

Endi biz Kramer qoidasini tahlil qilamiz, shuningdek, teskari matritsa (matritsa usuli) yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echamiz. Barcha materiallar oddiy, batafsil va aniq taqdim etilgan, deyarli barcha o'quvchilar yuqoridagi usullardan foydalangan holda tizimlarni qanday hal qilishni o'rganishlari mumkin;

Birinchidan, ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini batafsil ko'rib chiqamiz. Nima uchun? – Axir, eng oddiy tizimni maktab usulida, muddatga qo‘shish usulida yechish mumkin!

Gap shundaki, ba'zida bunday vazifa yuzaga keladi - Kramer formulalari yordamida ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimini echish. Ikkinchidan, oddiyroq misol sizga Kramer qoidasidan murakkabroq holatda - uchta noma'lum uchta tenglamadan iborat tizimdan qanday foydalanishni tushunishga yordam beradi.

Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud, ularni Kramer qoidasi yordamida hal qilish tavsiya etiladi!

Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili.

Gauss usuli.

Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni hisoblashimiz kerak:
Va

Amalda yuqoridagi saralovchilarni lotin harfi bilan ham belgilash mumkin.

Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz:
,

7-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Yechim: Tenglamaning koeffitsientlari ancha katta ekanligini ko'ramiz o'ng tomonda vergul bilan o'nli kasrlar mavjud; Vergul matematikadan amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydigan mehmondir.

Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Siz bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo bu holda siz ishlash uchun juda noqulay bo'lgan dahshatli chiroyli fraktsiyalarga duch kelishingiz mumkin va yechimning dizayni shunchaki dahshatli ko'rinadi. Siz ikkinchi tenglamani 6 ga ko'paytirasiz va atamani ayirasiz, lekin bu erda ham xuddi shunday kasrlar paydo bo'ladi.

Nima qilish kerak? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi.

;

;

Javob: ,

Ikkala ildizning ham cheksiz dumlari bor va ular taxminan topiladi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy).

Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar yordamida hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish mavjud. Ushbu usuldan foydalanganda, majburiy Vazifa dizaynining bir qismi quyidagi qismdir: "Bu tizimning o'ziga xos echimi borligini anglatadi". Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin.

Kalkulyatorda qulay tarzda amalga oshirilishi mumkin bo'lgan tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga taxminiy qiymatlarni almashtiramiz. Natijada, kichik xatolik bilan siz o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olishingiz kerak.

8-misol

Javobni oddiy noto'g'ri kasrlarda ko'rsating. Tekshirish qiling.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).

Keling, uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqishga o'tamiz:

Biz tizimning asosiy determinantini topamiz:

Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz Gauss usulini qo'llashingiz kerak;

Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana uchta determinantni hisoblashimiz kerak:
, ,

Va nihoyat, javob formulalar yordamida hisoblanadi:

Ko'rib turganingizdek, "uchdan uch" holati "ikkidan ikki" holatidan tubdan farq qilmaydi;

9-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Yechim: Tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz.

, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Javob: .

Aslida, bu erda yana izoh berish uchun alohida narsa yo'q, chunki yechim tayyor formulalarga amal qiladi. Ammo bir nechta sharhlar mavjud.

Shunday bo'ladiki, hisob-kitoblar natijasida "yomon" qaytarilmas fraktsiyalar olinadi, masalan: .
Men quyidagi "davolash" algoritmini tavsiya qilaman. Agar qo'lingizda kompyuter bo'lmasa, buni bajaring:

1) Hisob-kitoblarda xatolik bo'lishi mumkin. "Yomon" kasrga duch kelganingizdan so'ng darhol tekshirishingiz kerak Shart to'g'ri qayta yozilganmi?. Agar shart xatosiz qayta yozilsa, boshqa qatorda (ustun) kengaytirish yordamida determinantlarni qayta hisoblashingiz kerak.

2) Agar tekshirish natijasida hech qanday xato aniqlanmasa, ehtimol vazifa sharoitida xatolik yuz bergan. Bunday holda, topshiriqni oxirigacha xotirjam va E'tibor bilan bajaring, keyin esa tekshirib ko'ring va biz qarordan keyin uni toza varaqda chizamiz. Albatta, kasr javobini tekshirish yoqimsiz vazifadir, lekin bu kabi har qanday bema'nilik uchun minus berishni yaxshi ko'radigan o'qituvchi uchun qurolsizlantiruvchi dalil bo'ladi. Kasrlarni qanday ishlash kerakligi 8-misolga javobda batafsil tavsiflangan.

Agar sizning qo'lingizda kompyuteringiz bo'lsa, tekshirish uchun avtomatlashtirilgan dasturdan foydalaning, uni darsning boshida bepul yuklab olish mumkin. Aytgancha, dasturni darhol ishlatish eng foydalidir (hatto yechimni boshlashdan oldin siz xato qilgan joyingizning oraliq bosqichini darhol ko'rasiz); Xuddi shu kalkulyator matritsa usuli yordamida tizimning yechimini avtomatik ravishda hisoblab chiqadi.

Ikkinchi izoh. Vaqti-vaqti bilan tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan tizimlar mavjud, masalan:

Bu erda birinchi tenglamada o'zgaruvchi yo'q, ikkinchisida o'zgaruvchi yo'q. Bunday hollarda asosiy belgilovchini to'g'ri va diqqat bilan yozish juda muhimdir:
- etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nollar qo'yiladi.
Aytgancha, nol joylashgan qator (ustun) bo'yicha determinantlarni nol bilan ochish oqilona, ​​chunki hisoblar sezilarli darajada kamroq.

10-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Bu mustaqil yechim uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).

4 ta noma'lumli 4 ta tenglamalar tizimi uchun Kramer formulalari shunga o'xshash printsiplarga muvofiq yoziladi. Jonli misolni Aniqlovchilarning xossalari darsida ko'rishingiz mumkin. Determinantning tartibini qisqartirish - beshta 4-tartibli aniqlovchi juda echilishi mumkin. Vazifa allaqachon baxtli talabaning ko'kragidagi professorning tuflisini eslatib tursa-da.

Teskari matritsa yordamida tizimni yechish

Teskari matritsa usuli mohiyatan alohida holatdir matritsa tenglamasi(Ko'rsatilgan darsning 3-misoliga qarang).

Ushbu bo'limni o'rganish uchun siz determinantlarni kengaytirish, matritsaning teskarisini topish va matritsani ko'paytirishni bajarishingiz kerak. Tushuntirishlar davom etar ekan, tegishli havolalar taqdim etiladi.

11-misol

Matritsa usuli yordamida tizimni yeching

Yechim: Tizimni matritsa shaklida yozamiz:
, Qayerda

Iltimos, tenglamalar va matritsalar tizimini ko'rib chiqing. O'ylaymanki, hamma elementlarni matritsalarga yozish tamoyilini tushunadi. Yagona izoh: agar tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan bo'lsa, unda matritsaning tegishli joylariga nollarni qo'yish kerak edi.

Teskari matritsani formuladan foydalanib topamiz:
, bu yerda matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.

Birinchidan, determinantni ko'rib chiqaylik:

Bu yerda determinant birinchi qatorda kengaytiriladi.

Diqqat! Agar bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas va tizimni matritsa usuli yordamida yechish mumkin emas. Bunday holda, tizim noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan yechiladi (Gauss usuli).

Endi biz 9 ta voyaga etmaganlarni hisoblab, ularni kichiklar matritsasiga yozishimiz kerak

Malumot: Chiziqli algebrada qo'sh yozuvlar ma'nosini bilish foydalidir. Birinchi raqam - element joylashgan qatorning raqami. Ikkinchi raqam - element joylashgan ustunning raqami:

Ya'ni, qo'sh yozuv elementning birinchi qatorda, uchinchi ustunda va, masalan, element 3 qatorda, 2 ustunda ekanligini ko'rsatadi.

Bu matritsalar bilan bajariladigan barcha mumkin bo'lgan amallarni umumlashtiruvchi tushunchadir. Matematik matritsa - elementlar jadvali. Qaerda stol haqida m chiziqlar va n ustunlar, bu matritsaning o'lchami borligi aytiladi m yoqilgan n.

Matritsaning umumiy ko'rinishi:

Uchun matritsali yechimlar matritsa nima ekanligini tushunish va uning asosiy parametrlarini bilish kerak. Matritsaning asosiy elementlari:

• Elementlardan tashkil topgan asosiy diagonal a 11, a 22…..a mn.
• Elementlardan tashkil topgan yon diagonali a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Matritsalarning asosiy turlari:

• Kvadrat matritsa bo'lib, unda satrlar soni = ustunlar soni ( m=n).
• Nol - bu erda barcha matritsa elementlari = 0.
• Transpozitsiyalangan matritsa - matritsa IN, bu asl matritsadan olingan A qatorlarni ustunlar bilan almashtirish orqali.
• Birlik - asosiy diagonalning barcha elementlari = 1, qolganlari = 0.
• Teskari matritsa - bu matritsa bo'lib, u asl matritsaga ko'paytirilganda identifikatsiya matritsasi hosil bo'ladi.

Matritsa asosiy va ikkilamchi diagonallarga nisbatan nosimmetrik bo'lishi mumkin. Ya'ni, agar a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, keyin matritsa asosiy diagonalga nisbatan simmetrik bo'ladi. Faqat kvadrat matritsalar simmetrik bo'lishi mumkin.

Matritsalarni yechish usullari.

Deyarli hammasi matritsalarni yechish usullari uning determinantini topishdan iborat n-chi tartib va ​​ularning aksariyati juda og'ir. 2 va 3 tartibli determinantni topish uchun boshqa, yanada oqilona usullar mavjud.

2-tartibli determinantlarni topish.

Matritsaning determinantini hisoblash A 2-tartibda, asosiy diagonal elementlarining mahsulotidan ikkilamchi diagonal elementlarining mahsulotini ayirish kerak:

3-tartibli determinantlarni topish usullari.

Quyida 3-tartibli determinantni topish qoidalari keltirilgan.

Uchburchakning soddalashtirilgan qoidasi matritsalarni yechish usullari ni quyidagicha tasvirlash mumkin:

Boshqacha qilib aytganda, birinchi aniqlovchidagi to'g'ri chiziqlar bilan bog'langan elementlarning ko'paytmasi "+" belgisi bilan olinadi; Shuningdek, 2-determinant uchun tegishli mahsulotlar "-" belgisi bilan, ya'ni quyidagi sxema bo'yicha olinadi:

Da Sarrus qoidasi yordamida matritsalarni yechish, determinantning o'ng tomonida, birinchi 2 ustunni qo'shing va asosiy diagonalda va unga parallel bo'lgan diagonallarda mos keladigan elementlarning mahsuloti "+" belgisi bilan olinadi; va ikkilamchi diagonalning mos keladigan elementlari va unga parallel bo'lgan diagonallarning mahsuloti "-" belgisi bilan:

Matritsalarni yechishda determinantni qator yoki ustunga ajratish.

Aniqlovchi determinant qatori elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmalari yig'indisiga teng. Odatda nollarni o'z ichiga olgan qator/ustun tanlanadi. Parchalanish amalga oshiriladigan qator yoki ustun o'q bilan ko'rsatiladi.

Matritsalarni yechishda determinantni uchburchak shaklga keltirish.

Da matritsalarni yechish determinantni uchburchak shaklga keltirish usuli, ular shunday ishlaydi: satrlar yoki ustunlardagi eng oddiy o'zgarishlardan foydalanib, determinant uchburchak shaklga ega bo'ladi va keyin uning qiymati determinantning xususiyatlariga muvofiq mahsulotga teng bo'ladi. asosiy diagonalda joylashgan elementlardan.

Matritsalarni yechish uchun Laplas teoremasi.

Laplas teoremasi yordamida matritsalarni yechishda siz teoremaning o'zini bilishingiz kerak. Laplas teoremasi: Keling Δ - bu belgilovchi n- tartib. Biz har birini tanlaymiz k qatorlar (yoki ustunlar) taqdim etiladi k≤ n - 1. Bunday holda, barcha voyaga etmaganlarning mahsulotlari yig'indisi k-tanlanganda joylashgan tartib k qatorlar (ustunlar), algebraik to'ldiruvchilarga ko'ra determinantga teng bo'ladi.

Teskari matritsani yechish.

uchun harakatlar ketma-ketligi teskari matritsali yechimlar:

1. Berilgan matritsa kvadrat ekanligini aniqlang. Agar javob salbiy bo'lsa, u uchun teskari matritsa bo'lishi mumkin emasligi aniq bo'ladi.
2. Biz algebraik to'ldiruvchilarni hisoblaymiz.
3. Biz birlashma (o'zaro, qo'shma) matritsani tuzamiz C.
4. Biz teskari matritsani algebraik qo'shimchalardan tuzamiz: qo'shilgan matritsaning barcha elementlari C boshlang'ich matritsaning determinantiga bo'linadi. Yakuniy matritsa berilganga nisbatan talab qilinadigan teskari matritsa bo'ladi.
5. Bajarilgan ishni tekshiramiz: boshlang'ich matritsani va natijada olingan matritsani ko'paytiramiz, natijada identifikatsiya matritsasi bo'lishi kerak.

Matritsali tizimlarni yechish.

Uchun matritsali tizimlarning yechimlari Ko'pincha Gauss usuli qo'llaniladi.

Gauss usuli chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) echishning standart usuli bo'lib, u o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat, ya'ni elementar o'zgarishlar yordamida tenglamalar tizimi ekvivalent uchburchaklar tizimiga keltiriladi. shakl va undan ketma-ket, ikkinchisidan boshlab (raqam bo'yicha) tizimning har bir elementini toping.

Gauss usuli matritsali echimlarni topish uchun eng ko'p qirrali va eng yaxshi vositadir. Agar tizimda cheksiz miqdordagi echimlar bo'lsa yoki tizim mos bo'lmasa, u holda uni Kramer qoidasi va matritsa usuli yordamida hal qilib bo'lmaydi.

Gauss usuli, shuningdek, to'g'ridan-to'g'ri (kengaytirilgan matritsani bosqichma-bosqich shaklga qisqartirish, ya'ni asosiy diagonal ostida nollarni olish) va teskari (kengaytirilgan matritsaning asosiy diagonali ustidagi nollarni olish) harakatlarini ham nazarda tutadi. Oldinga harakat Gauss usuli, teskari harakat Gauss-Jordan usulidir. Gauss-Jordan usuli Gauss usulidan faqat o'zgaruvchilarni yo'q qilish ketma-ketligi bilan farq qiladi.

n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemasi shakl tizimi deb ataladi

Qayerda a ij Va b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ba'zi ma'lum raqamlardir va x 1 ,…,x n- noma'lum. Koeffitsientlarni belgilashda a ij birinchi indeks i tenglama raqamini, ikkinchisini bildiradi j- bu koeffitsient turgan noma'lumlar soni.

Noma'lumlar uchun koeffitsientlarni matritsa shaklida yozamiz , biz uni chaqiramiz tizim matritsasi.

Tenglamalarning o'ng tomonidagi raqamlar b 1 ,…,b m chaqiriladi bepul a'zolar.

Jamiyat n raqamlar c 1 ,…,c n chaqirdi qaror berilgan tizimning, agar tizimning har bir tenglamasi unga raqamlarni almashtirgandan keyin tenglikka aylansa c 1 ,…,c n mos keladigan noma'lumlar o'rniga x 1 ,…,x n.

Bizning vazifamiz tizimga yechim topish bo'ladi. Bunday holda, uchta holat yuzaga kelishi mumkin:

Hech bo'lmaganda bitta yechimga ega bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi deyiladi qo'shma. Aks holda, ya'ni. agar tizimda echimlar bo'lmasa, u chaqiriladi qo'shma.

Keling, tizimga yechim topish yo'llarini ko'rib chiqaylik.

CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARINI YECHISHNING MATRIX USULI

Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini qisqacha yozish imkonini beradi. Uchta noma’lumli 3 ta tenglamalar sistemasi berilsin:

Tizim matritsasini ko'rib chiqing va noma'lum va erkin shartlarning matritsalari ustunlari

Keling, ishni topaylik

bular. mahsulot natijasida biz ushbu tizim tenglamalarining chap tomonlarini olamiz. Keyin, matritsa tengligining ta'rifidan foydalanib, bu tizimni shaklda yozish mumkin

yoki qisqaroq A∙X=B.

Mana matritsalar A Va B ma'lum va matritsa X noma'lum. Uni topish kerak, chunki... uning elementlari bu tizimning yechimidir. Bu tenglama deyiladi matritsa tenglamasi.

Matritsa determinanti noldan farqli bo'lsin | A| ≠ 0. U holda matritsa tenglamasi quyidagicha yechiladi. Chapdagi tenglamaning ikkala tomonini matritsaga ko'paytiring A-1, matritsaga teskari A: . Chunki A -1 A = E Va E∙X = X, keyin matritsali tenglamaning yechimini shaklda olamiz X = A -1 B .

Esda tutingki, teskari matritsani faqat kvadrat matritsalar uchun topish mumkinligi sababli, matritsa usuli faqat shunday tizimlarni hal qilishi mumkin. tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladi. Biroq, tizimning matritsali yozuvi, agar tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lmasa, matritsa ham mumkin. A kvadrat bo'lmaydi va shuning uchun shaklda tizimga yechim topish mumkin emas X = A -1 B.

Misollar. Tenglamalar tizimini yechish.

KRAMER QOIDASI

Uchta noma'lumli 3 ta chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:

Tizim matritsasiga mos keladigan uchinchi darajali determinant, ya'ni. noma'lumlar uchun koeffitsientlardan iborat,

chaqirdi tizimning hal qiluvchi omili.

Yana uchta aniqlovchini quyidagicha tuzamiz: D determinantidagi ketma-ket 1, 2 va 3 ustunlarni erkin shartlar ustuni bilan almashtiring.

Keyin quyidagi natijani isbotlashimiz mumkin.

Teorema (Kramer qoidasi). Agar tizimning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan tizim bitta va faqat bitta yechimga ega va

Isbot. Shunday qilib, uchta noma'lumli 3 ta tenglamalar tizimini ko'rib chiqamiz. Sistemaning 1- tenglamasini algebraik to‘ldiruvchiga ko‘paytiramiz A 11 element a 11, 2- tenglama – yoqilgan A 21 va uchinchisi - yoqilgan A 31:

Keling, ushbu tenglamalarni qo'shamiz:

Keling, qavslarning har birini va bu tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqaylik. 1-ustun elementlarida determinantning kengayishi haqidagi teorema bo'yicha

Xuddi shunday, buni ko'rsatish mumkin va .

Nihoyat, buni sezish oson

Shunday qilib, biz tenglikni olamiz: .

Demak, .

Teorema bayoni kelib chiqadigan va tengliklari o'xshash tarzda olingan.

Shunday qilib, shuni ta'kidlaymizki, agar tizimning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va aksincha. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki hech qanday yechimga ega emas, ya'ni. mos kelmaydigan.

Misollar. Tenglamalar tizimini yechish

GAUSS USULI

Oldin muhokama qilingan usullardan faqat tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladigan va tizimning determinanti noldan farqli bo'lishi kerak bo'lgan tizimlarni echish uchun ishlatilishi mumkin. Gauss usuli ko'proq universal va har qanday tenglamalar soniga ega tizimlar uchun mos keladi. Bu tizim tenglamalaridan noma'lumlarni izchil yo'q qilishdan iborat.

Yana uchta noma'lumli uchta tenglama tizimini ko'rib chiqing:

.

Biz birinchi tenglamani o'zgarishsiz qoldiramiz va 2 va 3-dan iborat bo'lgan shartlarni chiqarib tashlaymiz. x 1. Buning uchun ikkinchi tenglamani ga bo'ling A 21 va ko'paytiring - A 11 va keyin uni 1-tenglamaga qo'shing. Xuddi shunday, biz uchinchi tenglamani ga ajratamiz A 31 va ko'paytiring - A 11 va keyin uni birinchisi bilan qo'shing. Natijada, asl tizim quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Endi oxirgi tenglamadan biz o'z ichiga olgan atamani olib tashlaymiz x 2. Buning uchun uchinchi tenglamani ga bo'ling, ko'paytiring va ikkinchisiga qo'shing. Keyin biz tenglamalar tizimiga ega bo'lamiz:

Bu erdan, oxirgi tenglamadan topish oson x 3, keyin 2-tenglamadan x 2 va nihoyat, 1-dan - x 1.

Gauss usulidan foydalanganda, agar kerak bo'lsa, tenglamalarni almashtirish mumkin.

Ko'pincha, yangi tenglamalar tizimini yozish o'rniga, ular tizimning kengaytirilgan matritsasini yozish bilan cheklanadi:

va keyin elementar transformatsiyalar yordamida uni uchburchak yoki diagonal shaklga keltiring.

TO elementar transformatsiyalar matritsalar quyidagi o'zgarishlarni o'z ichiga oladi:

1. qatorlar yoki ustunlarni qayta tartiblash;
2. satrni noldan boshqa raqamga ko'paytirish;
3. bir qatorga boshqa qatorlarni qo'shish.

Misollar: Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching.

Shunday qilib, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.