Dispersiya. Standart og'ish

Dispersiya- har bir atribut qiymatining umumiy o'rtacha qiymatdan kvadratik og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymati. Manba ma'lumotlariga qarab, dispersiya o'lchovsiz (oddiy) yoki vaznli bo'lishi mumkin.

Dispersiya quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

· guruhlanmagan ma'lumotlar uchun

· guruhlangan ma'lumotlar uchun

Og'irlangan dispersiyani hisoblash tartibi:

1. o'rtacha arifmetik og'irlikni aniqlang

2. variantning o‘rtachadan chetlanishlari aniqlanadi

3. har bir variantning o'rtachadan chetlanishini kvadrat

4. og'irliklar (chastotalar) bilan og'ish kvadratlarini ko'paytiring

5. olingan mahsulotlarni umumlashtirish

6. natijada olingan miqdor shkalalar yig'indisiga bo'linadi

Dispersiyani aniqlash formulasini quyidagi formulaga aylantirish mumkin:

- oddiy

Farqni hisoblash tartibi oddiy:

1. o‘rtacha arifmetik qiymatni aniqlang

2. o'rtacha arifmetik kvadrat

3. qatordagi har bir variantni kvadratga aylantiring

4. kvadratlar yig‘indisini toping variant

5. kvadratlar yig'indisini ularning soniga bo'ling, ya'ni. o'rtacha kvadratni aniqlang

6. xarakteristikaning o'rtacha kvadrati va o'rtacha kvadrati o'rtasidagi farqni aniqlang

Shuningdek, vaznli dispersiyani aniqlash formulasini quyidagi formulaga aylantirish mumkin:

bular. dispersiya atributning kvadrat qiymatlari o'rtacha va arifmetik o'rtacha kvadrat o'rtasidagi farqga teng. O'zgartirilgan formuladan foydalanganda, xarakteristikaning individual qiymatlarining x dan og'ishlarini hisoblashning qo'shimcha tartibi o'chiriladi va og'ishlarni yaxlitlash bilan bog'liq hisoblashdagi xatolik yo'q qilinadi.

Dispersiya bir qator xususiyatlarga ega, ulardan ba'zilari hisoblashni osonlashtiradi:

1) doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng;

2) agar atribut qiymatlarining barcha variantlari bir xil songa kamaytirilsa, dispersiya kamaymaydi;

3) agar atribut qiymatlarining barcha variantlari bir xil marta (katta) kamaytirilsa, dispersiya bir omilga kamayadi

Standart og'ish S- dispersiyaning kvadrat ildizini ifodalaydi:

· guruhlanmagan ma'lumotlar uchun:

;

· Variatsiyalar seriyasi uchun:

O'zgaruvchanlik diapazoni, o'rtacha chiziqli va standart og'ish kattaliklar deb ataladi. Ular individual xarakterli qiymatlar bilan bir xil o'lchov birliklariga ega.

Dispersiya va standart og'ish o'zgaruvchanlikning eng ko'p qo'llaniladigan o'lchovidir. Bu ularning matematik statistikaning asosi bo'lib xizmat qiladigan ehtimollar nazariyasining aksariyat teoremalariga kiritilganligi bilan izohlanadi. Bundan tashqari, dispersiya uning tarkibiy elementlariga ajralishi mumkin, bu xususiyatning o'zgarishini aniqlaydigan turli omillar ta'sirini baholashga imkon beradi.

Foyda marjasi bo'yicha guruhlangan banklar uchun variatsiya ko'rsatkichlarini hisoblash jadvalda keltirilgan.

Foyda miqdori, million rubl.	Banklar soni	hisoblangan ko'rsatkichlar
3,7 - 4,6 (-)		4,15	8,30	-1,935	3,870	7,489
4,6 - 5,5		5,05	20,20	- 1,035	4,140	4,285
5,5 - 6,4		5,95	35,70	- 0,135	0,810	0,109
6,4 - 7,3		6,85	34,25	+0,765	3,825	2,926
7,3 - 8,2		7,75	23,25	+1,665	4,995	8,317
Jami:			121,70		17,640	23,126

O'rtacha chiziqli va standart og'ish xarakteristikaning qiymati o'rganilayotgan birliklar va aholi o'rtasida o'rtacha qanchalik tebranishini ko'rsatadi. Shunday qilib, bu holda, foydaning o'rtacha tebranishi: o'rtacha chiziqli og'ish bo'yicha, 0,882 million rubl; standart og'ish bo'yicha - 1,075 million rubl. Standart og'ish har doim o'rtacha chiziqli og'ishdan kattaroqdir. Agar xarakteristikaning taqsimlanishi normalga yaqin bo'lsa, u holda S va d o'rtasida bog'liqlik mavjud: S=1,25d, yoki d=0,8S. Standart og'ish aholi birliklarining asosiy qismi o'rtacha arifmetik qiymatga nisbatan qanday joylashganligini ko'rsatadi. Tarqatish shaklidan qat'i nazar, atributning 75 ta qiymati x 2S oralig'iga va barcha qiymatlarning kamida 89 tasi x 3S oralig'iga to'g'ri keladi (P.L. Chebyshev teoremasi).

Tajribadan olingan qiymatlar muqarrar ravishda turli sabablarga ko'ra xatolarni o'z ichiga oladi. Ular orasida tizimli va tasodifiy xatolarni ajratib ko'rsatish kerak. Tizimli xatolar o'ziga xos tarzda harakat qiladigan sabablarga ko'ra yuzaga keladi va ularni har doim bartaraf etish yoki juda aniq hisobga olish mumkin. Tasodifiy xatolar juda ko'p sonli individual sabablar tufayli yuzaga keladi, ularni aniq hisoblab bo'lmaydi va har bir alohida o'lchovda turli yo'llar bilan harakat qiladi. Bu xatolarni butunlay chiqarib bo'lmaydi; ular faqat o'rtacha hisobga olinishi mumkin, buning uchun tasodifiy xatolarni boshqaradigan qonunlarni bilish kerak.

Biz o'lchangan miqdorni A bilan, o'lchovdagi tasodifiy xatoni x bilan belgilaymiz. X xatosi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkinligi sababli, u uzluksiz tasodifiy miqdor bo'lib, u o'zining taqsimot qonuni bilan to'liq tavsiflanadi.

Eng oddiy va eng to'g'ri aks ettiruvchi voqelik (ko'p hollarda) bu shunday deyiladi Oddiy xatolarni taqsimlash qonuni:

Ushbu taqsimot qonunini turli xil nazariy asoslardan, xususan, to'g'ridan-to'g'ri o'lchash yo'li bilan bir xil aniqlik darajasiga ega bo'lgan qiymatlar qatori olinadigan noma'lum miqdorning eng ehtimoliy qiymatini o'rtacha arifmetik qiymat deb hisoblash talabidan olish mumkin. bu qadriyatlar. Miqdor 2 deyiladi dispersiya bu oddiy qonun.

Arifmetik o'rtacha

Eksperimental ma'lumotlardan dispersiyani aniqlash. Agar har qanday A qiymati uchun a i qiymatlari bir xil darajada aniqlik bilan to'g'ridan-to'g'ri o'lchash yo'li bilan olingan bo'lsa va agar A qiymatining xatolari normal taqsimot qonuniga bo'ysunsa, u holda A ning eng ehtimolli qiymati bo'ladi. arifmetik o'rtacha:

a - o'rtacha arifmetik,

a i - i-bosqichda o'lchangan qiymat.

Kuzatilgan qiymatning (har bir kuzatish uchun) A qiymatining a i dan chetlanishi arifmetik o'rtacha: a i - a.

Bu holda oddiy xato taqsimot qonunining dispersiyasini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

2 - dispersiya,
a - o'rtacha arifmetik,
n - parametr o'lchovlari soni,

Standart og'ish

Standart og'ish dan o'lchangan qiymatlarning mutlaq og'ishini ko'rsatadi arifmetik o'rtacha. Chiziqli birikmaning aniqligi o'lchovi uchun formulaga muvofiq o'rtacha kvadrat xato O'rtacha arifmetik qiymat quyidagi formula bilan aniqlanadi:

, Qayerda

a - o'rtacha arifmetik,
n - parametr o'lchovlari soni,
a i - i-bosqichda o'lchangan qiymat.

O'zgaruvchanlik koeffitsienti

O'zgaruvchanlik koeffitsienti dan o'lchangan qiymatlarning og'ishning nisbiy o'lchovini tavsiflaydi arifmetik o'rtacha:

, Qayerda

V - o'zgaruvchanlik koeffitsienti,
- standart og'ish,
a - o'rtacha arifmetik.

Qiymat qanchalik baland o'zgaruvchanlik koeffitsienti, o'rganilayotgan qiymatlarning tarqalishi nisbatan kattaroq va bir xilligi kamroq bo'ladi. Agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 10% dan kam bo'lsa, u holda variatsiya qatorining o'zgaruvchanligi ahamiyatsiz deb hisoblanadi, 10% dan 20% gacha o'rtacha, 20% dan ortiq va 33% dan kam bo'lsa muhim hisoblanadi va agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 33% dan oshadi, bu ma'lumotlarning heterojenligini va eng katta va eng kichik qiymatlarni chiqarib tashlash zarurligini ko'rsatadi.

O'rtacha chiziqli og'ish

O'zgaruvchanlik ko'lami va intensivligi ko'rsatkichlaridan biri hisoblanadi o'rtacha chiziqli og'ish(o'rtacha og'ish moduli) o'rtacha arifmetik qiymatdan. O'rtacha chiziqli og'ish formula bo'yicha hisoblanadi:

, Qayerda

_
a - o'rtacha chiziqli og'ish,
a - o'rtacha arifmetik,
n - parametr o'lchovlari soni,
a i - i-bosqichda o'lchangan qiymat.

O'rganilayotgan qiymatlarning normal taqsimot qonuniga muvofiqligini tekshirish uchun munosabat ishlatiladi assimetriya ko'rsatkichi uning xatosi va munosabatiga kurtoz ko'rsatkichi uning xatosiga.

Asimmetriya ko'rsatkichi

Asimmetriya ko'rsatkichi(A) va uning xatosi (m a) quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

, Qayerda

A - assimetriya ko'rsatkichi,
- standart og'ish,
a - o'rtacha arifmetik,
n - parametr o'lchovlari soni,
a i - i-bosqichda o'lchangan qiymat.

Kurtoz ko'rsatkichi

Kurtoz ko'rsatkichi(E) va uning xatosi (m e) quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:

, Qayerda

Vikipediyadan olingan material - bepul ensiklopediya

Standart og'ish(sinonimlar: standart og'ish, standart og'ish, kvadrat og'ish; tegishli atamalar: standart og'ish, standart tarqalish) - ehtimollik nazariyasi va statistikada tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishiga nisbatan qiymatlarining tarqalishining eng keng tarqalgan ko'rsatkichi. Qiymatlar namunalarining cheklangan massivlarida matematik kutish o'rniga namunalar to'plamining o'rtacha arifmetik qiymati qo'llaniladi.

Asoslar

Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchining birliklarida o'lchanadi va o'rtacha arifmetik xatoning standart xatosini hisoblashda, ishonch oraliqlarini qurishda, gipotezalarni statistik tekshirishda, tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi chiziqli munosabatni o'lchashda ishlatiladi. Tasodifiy o'zgaruvchi dispersiyaning kvadrat ildizi sifatida aniqlanadi.

Standart og'ish:

$\backslash \; sigma\; =\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (1)\; (n)\; \backslash \; sum\_\; (i\; =\; 1)\; ^\; n\; \backslash \; chap\; (x\_i-\; \backslash \; bar\; (x)\; \backslash \; o\text{'}ng)\; ^\; 2).$

Standart og'ish(tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash x uning dispersiyasini xolis baholashga asoslangan matematik kutishga nisbatan) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash chap(x\_i-\backslash bar)\; (x)\backslash o\text{'}ng)^2);$

Uch sigma qoidasi

Uch sigma qoidasi ($3\backslash sigma$) - normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining deyarli barcha qiymatlari intervalda yotadi $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash o\text{'}ng)$. Qat'iyroq - taxminan 0,9973 ehtimollik bilan, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati belgilangan oraliqda yotadi (agar qiymat $\backslash bar(x)$ rost va namunani qayta ishlash natijasida olinmagan).

Agar haqiqiy qiymat bo'lsa $\backslash bar(x)$ noma'lum, keyin foydalanmaslik kerak $\backslash sigma$, A s. Shunday qilib, uchta sigma qoidasi uchta qoidaga aylanadi s .

Standart og'ish qiymatini talqin qilish

Kattaroq standart og'ish qiymati taqdim etilgan to'plamdagi qiymatlarning to'plamning o'rtacha qiymati bilan ko'proq tarqalishini ko'rsatadi; kichikroq qiymat, mos ravishda, to'plamdagi qiymatlar o'rtacha qiymat atrofida guruhlanganligini ko'rsatadi.

Masalan, bizda uchta raqam to'plami mavjud: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) va (6, 6, 8, 8). Barcha uchta to'plamning o'rtacha qiymati 7 ga teng va standart og'ishlar mos ravishda 7, 5 va 1 ga teng. Oxirgi to'plam kichik standart og'ishlarga ega, chunki to'plamdagi qiymatlar o'rtacha qiymat atrofida guruhlangan; birinchi to'plam eng katta standart og'ish qiymatiga ega - to'plam ichidagi qiymatlar o'rtacha qiymatdan sezilarli darajada farq qiladi.

Umumiy ma'noda standart og'ish noaniqlik o'lchovi deb hisoblanishi mumkin. Misol uchun, fizikada standart og'ish qandaydir miqdorning ketma-ket o'lchovlari xatosini aniqlash uchun ishlatiladi. Ushbu qiymat o'rganilayotgan hodisaning nazariya tomonidan bashorat qilingan qiymatga nisbatan ishonchliligini aniqlash uchun juda muhimdir: agar o'lchovlarning o'rtacha qiymati nazariya tomonidan bashorat qilingan qiymatlardan sezilarli darajada farq qilsa (katta standart og'ish), keyin olingan qiymatlarni yoki ularni olish usulini qayta tekshirish kerak.

Amaliy dastur

Amalda, standart og'ish to'plamdagi qiymatlar o'rtacha qiymatdan qanchalik farq qilishi mumkinligini taxmin qilish imkonini beradi.

Iqtisodiyot va moliya

Portfel daromadining standart og'ishi $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ portfel xavfi bilan aniqlanadi.

Iqlim

Aytaylik, bir xil o'rtacha maksimal kunlik haroratga ega ikkita shahar bor, lekin biri qirg'oqda, ikkinchisi tekislikda joylashgan. Ma'lumki, qirg'oqda joylashgan shaharlarda kunduzgi harorat ko'p turli xil maksimal haroratga ega, ular quruqlikda joylashgan shaharlarga qaraganda pastroqdir. Shuning uchun, qirg'oq bo'yidagi shahar uchun maksimal sutkalik haroratning standart og'ishi, bu qiymatning o'rtacha qiymati bir xil bo'lishiga qaramay, ikkinchi shaharga qaraganda kamroq bo'ladi, bu amalda maksimal havo haroratining yuqori bo'lishi ehtimolini anglatadi. yilning istalgan kuni o'rtacha qiymatdan yuqori bo'ladi, ichki qismida joylashgan shahar uchun yuqoriroq bo'ladi.

Sport

Faraz qilaylik, ba'zi bir parametrlar to'plami bo'yicha baholangan bir nechta futbol jamoalari bor, masalan, urilgan va o'tkazib yuborilgan gollar soni, gol urish imkoniyatlari va boshqalar. Bu guruhdagi eng yaxshi jamoa yaxshiroq qiymatga ega bo'lishi mumkin. ko'proq parametrlar bo'yicha. Taqdim etilgan parametrlarning har biri uchun jamoaning standart og'ishi qanchalik kichik bo'lsa, jamoaning natijasi shunchalik muvozanatli bo'ladi; Boshqa tomondan, standart og'ishi katta bo'lgan jamoani natijani oldindan aytish qiyin, bu esa o'z navbatida muvozanatning buzilishi bilan izohlanadi, masalan, kuchli himoya, ammo zaif hujum.

Jamoa parametrlarining standart og'ishidan foydalanish u yoki bu darajada ikki jamoa o'rtasidagi o'yin natijasini taxmin qilish, jamoalarning kuchli va zaif tomonlarini, shuning uchun tanlangan kurash usullarini baholash imkonini beradi.

Shuningdek qarang

"Ildiz o'rtacha kvadrat og'ish" maqolasi haqida sharh yozing

Adabiyot

• Borovikov V. STATISTIKA. Kompyuterda ma'lumotlarni tahlil qilish san'ati: Professionallar uchun / V. Borovikov. - Sankt-Peterburg. : Piter, 2003. - 688 p. - ISBN 5-272-00078-1..

Statistik ko'rsatkichlar Ta'riflovchi statistika Statistik chiqish va imtihon farazlar Umumiy reyting Korrelyatsiya va regressiya Grafika usullari

Standart chetlanishni tavsiflovchi parcha

Va tezda eshikni ochib, u hal qiluvchi qadamlar bilan balkonga chiqdi. Suhbat birdan to'xtadi, shlyapalar va qalpoqlar yechib tashlandi, hammaning ko'zlari chiqqan grafga qaradi.
- Salom, bolalar! - dedi graf tez va baland ovozda. - Kelganingiz uchun rahmat. Men hozir sizning oldingizga chiqaman, lekin birinchi navbatda yovuz odam bilan kurashishimiz kerak. Biz Moskvani o'ldirgan yovuz odamni jazolashimiz kerak. Meni kuting! "Va graf eshikni mahkam yopib, xonasiga qaytib keldi.
Olomon orasidan zavq-shavq shovqini yugurdi. “Bu degani, u barcha yovuzlarni boshqaradi! Siz esa frantsuzcha deyapsiz... u sizga butun masofani beradi! – deyishdi odamlar bir-birlarini iymonsizligi uchun qoralagandek.
Bir necha daqiqadan so'ng bir ofitser shoshilinch ravishda old eshikdan chiqdi, nimadir buyurdi va ajdarlar o'rnidan turishdi. Balkondagi olomon ishtiyoq bilan ayvon tomon harakatlandi. Ayvonga g'azablangan, tez qadamlar bilan chiqib, Rostopchin kimnidir qidirganday, shoshib atrofga qaradi.
-U qayerda? – dedi graf va shu gapni aytayotib, uyning bir chetidan ikki ajdar orasidan uzun bo‘yinli, ozg‘in bo‘yni, boshi qirqib ketgan, o‘sib ketgan yigitni ko‘rdi. Bu yigit bir paytlar yam-yashil, ko'k mato bilan qoplangan, eskirgan tulki qo'y terisidan va iflos mahbusning haram shimini kiygan, tozalanmagan, eskirgan yupqa etiklarga tiqilgan edi. Kishanlar uning ozg‘in, zaif oyoqlariga og‘ir osilib, yigitning qat’iyatsiz yurishini qiyinlashtirardi.
- A! – dedi Rastopchin shosha-pisha nigohini tulki terisidan tikilgan yigitdan burib, ayvonning pastki zinapoyasiga ishora qildi. - Bu yerga qo'ying! “Yigit kishanlarini qichqirarkan, ko‘rsatilgan zinapoyaga og‘ir qadam tashladi, barmog‘i bilan bosgan po‘stinining yoqasidan ushlab, uzun bo‘ynini ikki marta burdi va xo‘rsinib, ishlamaydigan nozik qo‘llarini qo‘lining oldiga bukdi. uning qorniga itoatkor ishora bilan.
Yigit zinapoyada turgancha bir necha soniya sukunat davom etdi. Faqat bir joyda siqib chiqqan odamlarning orqa qatorlarida ingrash, ingrash, titroq va harakatlanuvchi oyoqlarning qaltirashi eshitildi.
Rastopchin uning ko'rsatilgan joyda to'xtashini kutib, qovog'ini chimirib, yuzini qo'li bilan ishqaladi.
- Bolalar! - dedi Rastopchin metall qo'ng'iroq ovozida, - bu Vereshchagin - Moskva halok bo'lgan o'sha yaramas.
Tulki qo‘y po‘stini kiygan yigit qo‘lini qorni oldida birlashtirib, bir oz egilib, itoatkor holatda turardi. Uning ozg'in, umidsiz qiyofasi, soqollangan boshi tufayli buzilib ketgan edi. Sanoqning birinchi so‘zlari bilan u sekin boshini ko‘tardi va unga nimadir demoqchi bo‘lgandek yoki hech bo‘lmaganda uning nigohini uchratmoqchi bo‘lgandek grafga qaradi. Ammo Rastopchin unga qaramadi. Yigitning arqondek uzun ingichka bo'ynida quloq orqasidagi tomir taranglashib, ko'karib ketdi va birdan yuzi qizarib ketdi.
Hamma nigohlar unga qadaldi. U olomonga qaradi-da, odamlarning yuzlarida o‘qigan ifodadan ruhlangandek, ma’yus va qo‘rqoq jilmayib qo‘ydi va yana boshini pastga tushirib, zinapoyada oyoqlarini rostladi.
"U o'z podshosiga va vataniga xiyonat qildi, o'zini Bonapartga topshirdi, barcha ruslar ichida faqat u rus nomini haqorat qildi va Moskva undan halok bo'ldi", dedi Rastopchin bir tekis va o'tkir ovozda; lekin birdan u o'sha itoatkor holatda turishda davom etgan Vereshchaginga tezda qaradi. Bu qarash uni portlatib yuborgandek, u qo'lini ko'tarib, deyarli baqirdi va odamlarga o'girildi: "U bilan hukm qiling!" Men sizga beraman!
Odamlar jim bo'lib, faqat bir-birlarini bosishdi. Bir-birini ushlab turish, bu kasallangan tiqilinchda nafas olish, harakat qilish uchun kuchga ega bo'lmaslik va noma'lum, tushunarsiz va dahshatli narsani kutish chidab bo'lmas holga aylandi. Oldinda bo‘layotgan hamma narsani ko‘rgan va eshitgan oldingi qatorda turgan odamlar qo‘rqib, ko‘zlarini katta ochib, og‘izlarini ochib, bor kuchini zo‘rg‘a bosib, orqada turganlarning yelkalaridagi bosimini ushlab turdilar.
— Uring!.. Xoin o‘lsin, rus nomini sharmanda qilmasin! - qichqirdi Rastopchin. - Ruby! buyuraman! "So'zlarni emas, balki Rastopchinning g'azablangan tovushlarini eshitib, olomon ingrab, oldinga siljishdi, lekin yana to'xtab qolishdi.
"Garib!.." dedi Vereshchaginning qo'rqoq va bir vaqtning o'zida teatrlashtirilgan ovozi yana bir lahzalik sukunat o'rtasida. "Graf, ustimizda bitta xudo..." dedi Vereshchagin boshini ko'tarib, yana ingichka bo'ynidagi qalin tomir qonga to'ldi va rang tezda paydo bo'lib, yuzidan qochib ketdi. U aytmoqchi bo'lgan gapini tugatmadi.
- Uni kesib tashlang! Buyurtma beraman!.. - qichqirdi Rastopchin, xuddi Vereshchagin kabi birdan oqarib ketdi.
- Sabrlar! - deb qichqirdi ofitser ajdarlarga, qilichini o'zi tortib.
Yana bir kuchli to‘lqin odamlar orasidan o‘tib ketdi va oldingi qatorlarga yetib borarkan, bu to‘lqin oldingi qatorlarni silkitib, ayvonning eng zinapoyasiga olib keldi. Vereshchaginning yonida baland bo'yli, yuzida toshbo'ron va qo'lini ko'targan bir yigit turardi.
- Ruby! - deyarli bir ofitser ajdarlarga shivirladi va askarlardan biri to'satdan g'azabdan yuzi buzilib, Vereshchaginning boshiga to'mtoq qilich bilan urdi.
"A!" - Vereshchagin qisqa va hayratda qichqirdi, qo'rquv bilan atrofga qaradi va go'yo unga nima uchun bunday qilganini tushunmayotgandek. Olomon orasida xuddi shunday hayrat va dahshat nolasi yugurdi.
"Yo Xudo!" – kimningdir g‘amgin nidosi eshitildi.
Ammo Vereshchagin hayratdan qochib ketgan hayqiriqdan so'ng, u og'riqdan achinib qichqirdi va bu faryod uni yo'q qildi. Olomonni ushlab turgan eng yuqori darajada cho'zilgan insoniy tuyg'u to'sig'i bir zumda buzib tashlandi. Jinoyat boshlangan edi, uni tugatish kerak edi. Olomonning qo'rqinchli va g'azabli bo'kirishi ayanchli haqorat nolasini bosdi. So'nggi ettinchi to'lqin, kemalarni sindirish kabi, bu oxirgi to'xtatib bo'lmaydigan to'lqin orqa saflardan ko'tarilib, oldingilarga etib bordi, ularni yiqitdi va hamma narsani o'ziga singdirdi. Urgan ajdar o‘z zarbasini takrorlamoqchi bo‘ldi. Vereshchagin dahshatdan qichqirib, qo'llari bilan qalqon qilib, odamlar tomon yugurdi. U to'qnash kelgan baland bo'yli yigit qo'llari bilan Vereshchaginning ozg'in bo'ynidan ushlab oldi va vahshiy qichqiriq bilan u va u bo'kirgan odamlarning oyoqlari ostiga yiqildi.
Ba'zilar Vereshchaginni urishdi va yirtib tashlashdi, boshqalari baland va kichik edi. Ezilgan odamlarning va baland bo'ylini qutqarishga uringanlarning faryodlari esa olomonning g'azabini qo'zg'atdi. Uzoq vaqt davomida ajdarlar qonga botgan, yarim kaltaklangan zavod ishchisini ozod qila olmadilar. Va uzoq vaqt davomida, olomon boshlangan ishni yakunlashga urinishlariga qaramay, Vereshchaginni kaltaklagan, bo'g'ib o'ldirgan va yirtib tashlagan odamlar uni o'ldira olmadilar; Lekin olomon ularni har tomondan bosdi, o'rtada, xuddi bir massa kabi, u yoqdan bu tomonga chayqalib, na tugatishga, na uni tashlashga imkon bermadi.

№4 dars

Mavzu: “Tavsifiy statistika. Agregatdagi belgilar xilma-xilligi ko'rsatkichlari"

Statistik populyatsiyadagi xarakteristikaning xilma-xilligining asosiy mezonlari: chegara, amplituda, standart og'ish, tebranish koeffitsienti va o'zgaruvchanlik koeffitsienti. Oldingi darsda o'rtacha qiymatlar yig'indida o'rganilayotgan xarakteristikaning faqat umumlashtirilgan tavsifini berishi va uning individual variantlari qiymatlarini hisobga olmasligi muhokama qilindi: minimal va maksimal qiymatlar, o'rtachadan yuqori, past. o'rtacha va boshqalar.

Misol. Ikki xil raqam ketma-ketligining o'rtacha qiymatlari: -100; -20; 100; 20 va 0,1; -0,2; 0,1 mutlaqo bir xil va tengdirHAQIDA.Biroq, bu nisbiy o'rtacha ketma-ketlik ma'lumotlarining tarqalish diapazonlari juda farq qiladi.

Xarakteristikaning xilma-xilligi uchun sanab o'tilgan mezonlarni aniqlash, birinchi navbatda, statistik populyatsiyaning alohida elementlarida uning qiymatini hisobga olgan holda amalga oshiriladi.

Belgilarning o'zgaruvchanligini o'lchash uchun ko'rsatkichlar mutlaq Va qarindosh. Variatsiyaning mutlaq ko'rsatkichlariga quyidagilar kiradi: o'zgaruvchanlik diapazoni, chegara, standart og'ish, dispersiya. Variatsiya koeffitsienti va tebranish koeffitsienti o'zgaruvchanlikning nisbiy o'lchovlariga tegishli.

Limit (lim) - Bu variatsiya qatoridagi variantning ekstremal qiymatlari bilan belgilanadigan mezondir. Boshqacha qilib aytganda, ushbu mezon atributning minimal va maksimal qiymatlari bilan cheklangan:

Amplituda (Am) yoki o'zgaruvchanlik diapazoni - Bu ekstremal variantlar orasidagi farq. Ushbu mezonni hisoblash atributning maksimal qiymatidan uning minimal qiymatini ayirish orqali amalga oshiriladi, bu bizga variantning tarqalish darajasini baholash imkonini beradi:

O'zgaruvchanlik mezonlari sifatida chegara va amplitudaning kamchiliklari shundaki, ular o'zgaruvchanlik qatoridagi xarakteristikaning ekstremal qiymatlariga to'liq bog'liqdir. Bunday holda, ketma-ketlikdagi atribut qiymatlarining o'zgarishi hisobga olinmaydi.

Statistik populyatsiyadagi belgi xilma-xilligining eng to'liq tavsifi tomonidan berilgan standart og'ish(sigma), bu variantning o'rtacha qiymatidan chetlanishining umumiy o'lchovidir. Standart og'ish ko'pincha deyiladi standart og'ish.

Standart og'ish har bir variantni berilgan populyatsiyaning o'rtacha arifmetik qiymati bilan taqqoslashga asoslanadi. Agregatda har doim undan kam va undan ko'p variantlar mavjud bo'lganligi sababli, "" belgisi bilan og'ishlar yig'indisi "" belgisi bilan og'ishlar yig'indisi bilan bekor qilinadi, ya'ni. barcha og'ishlarning yig'indisi nolga teng. Farqlar belgilarining ta'sirini oldini olish uchun o'rtacha arifmetik kvadratdan og'ishlar olinadi, ya'ni. . Kvadrat og'ishlar yig'indisi nolga teng emas. O'zgaruvchanlikni o'lchashga qodir bo'lgan koeffitsientni olish uchun kvadratlar yig'indisining o'rtacha qiymatini oling - bu qiymat deyiladi farqlar:

Aslini olganda, dispersiya xarakteristikaning individual qiymatlarining o'rtacha qiymatidan og'ishlarining o'rtacha kvadratidir. Dispersiya – standart og'ish kvadrati.

Dispersiya - o'lchovli miqdor (nomlangan). Demak, agar raqamlar qatorining variantlari metrlarda ifodalangan bo'lsa, dispersiya kvadrat metrni beradi; agar variantlar kilogrammda ifodalangan bo'lsa, u holda dispersiya bu o'lchovning kvadratini beradi (kg 2) va hokazo.

Standart og'ish- dispersiyaning kvadrat ildizi:

, u holda kasrning maxrajidagi dispersiyani va standart og'ishni hisoblashda, o'rnigaqo'yish kerak.

Standart og'ishlarni hisoblashni olti bosqichga bo'lish mumkin, ular ma'lum bir ketma-ketlikda amalga oshirilishi kerak:

Standart og'ishning qo'llanilishi:

a) variatsion qatorlarning oʻzgaruvchanligini baholash va oʻrtacha arifmetik koʻrsatkichlarning tipikligini (vakilligini) qiyosiy baholash uchun. Bu simptomlarning barqarorligini aniqlashda differentsial tashxisda zarur.

b) variatsion qatorni qayta qurish uchun, ya'ni. asosida uning chastotali javobini tiklash uchta sigma qoidalari. oraliqda (M±3s) Seriyaning barcha variantlarining 99,7% intervalda joylashgan (M±2s) - 95,5% va oralig'ida (M±1s) - 68,3% qatorli variant(1-rasm).

c) "qalqib chiquvchi" variantlarni aniqlash

d) sigma baholari yordamida norma va patologiya parametrlarini aniqlash

e) o'zgaruvchanlik koeffitsientini hisoblash

f) o'rtacha arifmetikning o'rtacha xatosini hisoblash.

Har qanday populyatsiyani tavsiflash uchunnormal tarqatish turi , ikkita parametrni bilish kifoya: o'rtacha arifmetik va standart og'ish.

Shakl 1. Uch Sigma qoidasi

Misol.

Pediatriyada standart og'ish ma'lum bir bolaning ma'lumotlarini mos keladigan standart ko'rsatkichlar bilan taqqoslash orqali bolalarning jismoniy rivojlanishini baholash uchun ishlatiladi. Standart sifatida sog'lom bolalarning jismoniy rivojlanishining o'rtacha arifmetik ko'rsatkichi olinadi. Ko'rsatkichlarni standartlar bilan taqqoslash maxsus jadvallar yordamida amalga oshiriladi, unda standartlar tegishli sigma shkalasi bilan birga keltirilgan. Agar bolaning jismoniy rivojlanishi ko'rsatkichi standart (o'rtacha arifmetik) ±s doirasida bo'lsa, bolaning jismoniy rivojlanishi (ushbu ko'rsatkich bo'yicha) normaga mos keladi, deb ishoniladi. Agar indikator standart ±2s ichida bo'lsa, u holda normadan biroz og'ish bor. Agar ko'rsatkich ushbu chegaralardan oshib ketgan bo'lsa, u holda bolaning jismoniy rivojlanishi normadan keskin farq qiladi (patologiya mumkin).

Statistik tadqiqotlarda mutlaq qiymatlarda ifodalangan o‘zgaruvchanlik ko‘rsatkichlaridan tashqari nisbiy qiymatlarda ifodalangan o‘zgaruvchanlik ko‘rsatkichlari ham qo‘llaniladi. Tebranish koeffitsienti - bu o'zgaruvchanlik diapazonining belgining o'rtacha qiymatiga nisbati. O'zgaruvchanlik koeffitsienti - bu standart og'ishning xarakteristikaning o'rtacha qiymatiga nisbati. Odatda, bu qiymatlar foizlarda ifodalanadi.

Nisbiy o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlarini hisoblash uchun formulalar:

Yuqoridagi formulalardan ko'rinib turibdiki, koeffitsient qanchalik katta bo'lsa V nolga yaqinroq bo'lsa, xarakteristikaning qiymatlari o'zgarishi shunchalik kichik bo'ladi. Ko'proq V, belgi qanchalik o'zgaruvchan bo'lsa.

Statistik amaliyotda ko'pincha o'zgaruvchanlik koeffitsienti qo'llaniladi. U nafaqat o'zgaruvchanlikni qiyosiy baholash uchun, balki populyatsiyaning bir xilligini tavsiflash uchun ham qo'llaniladi. Agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 33% dan oshmasa (normalga yaqin taqsimotlar uchun) populyatsiya bir hil deb hisoblanadi. Arifmetik jihatdan s va o‘rtacha arifmetik nisbat bu xususiyatlarning mutlaq qiymatining ta’sirini neytrallaydi, foiz nisbati esa o‘zgarish koeffitsientini o‘lchovsiz (nomsiz) qiymatga aylantiradi.

O'zgaruvchanlik koeffitsientining natijaviy qiymati belgining xilma-xillik darajasining taxminiy darajalariga muvofiq baholanadi:

Zaif - 10% gacha

O'rtacha - 10 - 20%

Kuchli - 20% dan ortiq

O'zgaruvchanlik koeffitsientidan foydalanish o'lcham va o'lchamdagi farqli xususiyatlarni solishtirish zarur bo'lgan hollarda tavsiya etiladi.

Variatsiya koeffitsienti va boshqa tarqalish mezonlari o'rtasidagi farq aniq ko'rsatilgan misol.

1-jadval

Sanoat korxonalari ishchilarining tarkibi

Misolda keltirilgan statistik belgilarga asoslanib, biz tekshirilayotgan kontingentning past kasbiy barqarorligini hisobga olgan holda, korxona xodimlarining yosh tarkibi va ta'lim darajasining nisbiy bir xilligi haqida xulosa chiqarishimiz mumkin. Ko'rinib turibdiki, ushbu ijtimoiy tendentsiyalarni standart og'ish bo'yicha baholashga urinish noto'g'ri xulosaga olib keladi va buxgalteriya hisobining "ish tajribasi" va "yosh" xususiyatlarini "ma'lumot" buxgalteriya ko'rsatkichi bilan solishtirishga urinish odatda shunday bo'ladi. bu xususiyatlarning heterojenligi tufayli noto'g'ri.

Median va foizlar

Qatorning o'rtasi uchun mezon mediana bo'lgan tartibli (darajali) taqsimotlar uchun standart og'ish va dispersiya variant dispersiyasining xarakteristikasi bo'lib xizmat qila olmaydi.

Xuddi shu narsa ochiq variatsion seriyalar uchun ham amal qiladi. Bu holat dispersiya va s hisoblangan chetlanishlar o‘rtacha arifmetik qiymatdan o‘lchanishi bilan bog‘liq bo‘lib, u ochiq variatsiya qatorlarida va sifat belgilarining taqsimot qatorida hisoblanmaydi. Shuning uchun, taqsimotlarning siqilgan tavsifi uchun boshqa tarqalish parametri ishlatiladi - miqdoriy(sinonim - "foiz"), ularning taqsimlanishining har qanday shaklida sifat va miqdoriy xususiyatlarni tavsiflash uchun mos keladi. Ushbu parametr miqdoriy xususiyatlarni sifatga aylantirish uchun ham ishlatilishi mumkin. Bunday holda, bunday reytinglar ma'lum bir variantning kvantning qaysi tartibiga mos kelishiga qarab belgilanadi.

Biotibbiyot tadqiqotlari amaliyotida ko'pincha quyidagi kvantlar qo'llaniladi:

- median;

, – kvartil (kvartal), bu yerda – pastki kvartil, – yuqori kvartil.

Kvantillar variatsion qatordagi mumkin bo'lgan o'zgarishlar maydonini ma'lum oraliqlarga ajratadi. Median (kvantil) - variatsiya qatorining o'rtasida joylashgan va bu qatorni ikki teng qismga bo'lgan variant ( 0,5 Va 0,5 ). Kvartil qatorni to'rt qismga ajratadi: birinchi qism (pastki kvartil) - bu seriyadagi raqamli qiymatlari mumkin bo'lgan maksimal qiymatning 25% dan oshmaydigan variantlarni ajratuvchi variant; mumkin bo'lgan maksimal miqdorning 50% gacha. Yuqori kvartil () maksimal mumkin bo'lgan qiymatlarning 75% gacha variantlarni ajratadi.

Asimmetrik taqsimot bo'lsa arifmetik o'rtachaga nisbatan o'zgaruvchi, uni tavsiflash uchun mediana va kvartillardan foydalaniladi. Bunday holda, o'rtacha qiymatni ko'rsatishning quyidagi shakli qo'llaniladi - Meh (;). Masalan, o'rganilgan xususiyat - "bola mustaqil yurishni boshlagan davr" - tadqiqot guruhida assimetrik taqsimotga ega. Shu bilan birga, pastki kvartil () yurishning boshlanishiga to'g'ri keladi - 9,5 oy, median - 11 oy, yuqori kvartil () - 12 oy. Shunga ko'ra, ko'rsatilgan atributning o'rtacha trendining xarakteristikasi 11 (9,5; 12) oy sifatida taqdim etiladi.

Tadqiqot natijalarining statistik ahamiyatini baholash

Ma'lumotlarning statistik ahamiyati deganda uning ko'rsatilgan voqelikka mos kelish darajasi tushuniladi, ya'ni. statistik ahamiyatga ega bo'lgan ma'lumotlar ob'ektiv voqelikni buzmaydigan va to'g'ri aks ettiruvchi ma'lumotlardir.

Tadqiqot natijalarining statistik ahamiyatini baholash tanlanma populyatsiyadan olingan natijalarni butun populyatsiyaga qanday ehtimollik bilan o'tkazish mumkinligini aniqlashni anglatadi. Statistik ahamiyatlilikni baholash hodisaning qanchalik ko'pligidan butun hodisani va uning naqshlarini baholash uchun ishlatilishi mumkinligini tushunish uchun zarurdir.

Tadqiqot natijalarining statistik ahamiyatini baholash quyidagilardan iborat:

1. reprezentativlik xatolari (o'rtacha va nisbiy qiymatlar xatosi) - m;

2. o'rtacha yoki nisbiy qiymatlarning ishonch chegaralari;

3. mezon bo'yicha o'rtacha yoki nisbiy qiymatlardagi farqning ishonchliligi t.

O'rtacha arifmetikning standart xatosi yoki vakillik xatosi o'rtachaning tebranishlarini tavsiflaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, tanlov hajmi qanchalik katta bo'lsa, o'rtacha qiymatlarning tarqalishi shunchalik kichik bo'ladi. O'rtachaning standart xatosi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Zamonaviy ilmiy adabiyotlarda arifmetik o'rtacha reprezentativlik xatosi bilan birga yoziladi:

yoki standart og'ish bilan birga:

Misol tariqasida, mamlakatdagi 1500 ta shahar poliklinikalari (umumiy aholi) haqidagi ma'lumotlarni ko'rib chiqing. Poliklinikada xizmat ko‘rsatilayotgan bemorlarning soni o‘rtacha 18150 nafarni tashkil etadi. Saytlarning 10 foizini tasodifiy tanlash (150 ta klinika) bemorlarning o'rtacha sonini 20 051 kishiga tenglashtiradi. Namuna olish xatosi, shubhasiz, barcha 1500 klinikalar namunaga kiritilmaganligi sababli, ushbu o'rtacha ko'rsatkichlar orasidagi farqga teng - umumiy o'rtacha ( M gen) va namunaviy o'rtacha ( M tanlangan). Agar biz populyatsiyamizdan bir xil o'lchamdagi boshqa namuna hosil qilsak, u boshqa xato qiymatini beradi. Yetarlicha katta namunalarga ega bo'lgan ushbu namunaviy vositalarning barchasi umumiy populyatsiyadan bir xil miqdordagi ob'ektlar namunasining etarlicha ko'p takrorlanishi bilan umumiy o'rtacha atrofida normal taqsimlanadi. O'rtachaning standart xatosi m- bu umumiy o'rtacha atrofida namunaviy vositalarning muqarrar tarqalishi.

Tadqiqot natijalari nisbiy miqdorlarda (masalan, foizlarda) taqdim etilganda - hisoblab chiqilgan kasrning standart xatosi:

bu erda P -% dagi ko'rsatkich, n - kuzatishlar soni.

Natija sifatida ko'rsatiladi (P ± m)%. Masalan, bemorlar orasida tuzalib ketish ulushi (95,2±2,5)% ni tashkil etdi.

Aholi elementlari soni bo'lgan taqdirda, u holda kasrning maxrajidagi o'rtacha va kasrning standart xatolarini hisoblashda, o'rnigaqo'yish kerak.

Oddiy taqsimot uchun (namuna vositalarining taqsimlanishi normal), biz populyatsiyaning qaysi qismi o'rtacha qiymat atrofidagi istalgan intervalga to'g'ri kelishini bilamiz. Ayniqsa:

Amalda, muammo shundaki, umumiy aholining xususiyatlari bizga noma'lum va tanlov ularni baholash uchun aniq amalga oshiriladi. Bu shuni anglatadiki, agar biz bir xil o'lchamdagi namunalar qilsak n umumiy populyatsiyadan, keyin 68,3% hollarda interval qiymatini o'z ichiga oladi M(95,5% hollarda u intervalda va 99,7% hollarda - intervalda bo'ladi).

Faqat bitta namuna olinganligi sababli, bu bayonot ehtimollik nuqtai nazaridan tuzilgan: 68,3% ehtimollik bilan, populyatsiyadagi atributning o'rtacha qiymati 95,5% ehtimollik bilan intervalda yotadi. - intervalda va boshqalar.

Amalda, namunaviy qiymat atrofida shunday interval quriladiki, berilgan (etarli darajada yuqori) ehtimollik bilan, ishonch ehtimoli - umumiy populyatsiyada ushbu parametrning haqiqiy qiymatini "qoplaydi". Bu interval deyiladi ishonch oralig'i.

Ishonch ehtimoliP – bu ishonch oralig'i aslida parametrning populyatsiyadagi haqiqiy (noma'lum) qiymatini o'z ichiga olishiga ishonch darajasi.

Misol uchun, agar ishonch ehtimoli R 90% ni tashkil qiladi, bu 100 tadan 90 tasi populyatsiyadagi parametrning to'g'ri bahosini beradi. Shunga ko'ra, xatolik ehtimoli, ya'ni. tanlov uchun umumiy o'rtacha noto'g'ri baho foizda teng: . Bu misol uchun, bu 100 ta namunadan 10 tasi noto'g'ri baho berishini anglatadi.

Shubhasiz, ishonch darajasi (ishonch ehtimoli) intervalning kattaligiga bog'liq: interval qanchalik keng bo'lsa, aholi uchun noma'lum qiymat unga tushishiga ishonch shunchalik yuqori bo'ladi. Amalda, kamida 95,5% ishonchni ta'minlash uchun ishonch oralig'ini qurish uchun kamida ikki marta namuna olish xatosi qo'llaniladi.

O'rtacha va nisbiy qiymatlarning ishonch chegaralarini aniqlash ularning ikkita ekstremal qiymatini topishga imkon beradi - o'rganilayotgan ko'rsatkich butun populyatsiyada bo'lishi mumkin bo'lgan minimal va mumkin bo'lgan maksimal. Shunga asoslanib, ishonch chegaralari (yoki ishonch oralig'i)- bu o'rtacha yoki nisbiy qiymatlar chegaralari bo'lib, ulardan tashqarida tasodifiy tebranishlar tufayli ahamiyatsiz ehtimollik mavjud.

Ishonch oralig'ini quyidagicha qayta yozish mumkin: , bu erda t- ishonch mezoni.

Populyatsiyadagi o'rtacha arifmetikning ishonch chegaralari quyidagi formula bilan aniqlanadi:

M gen = M tanlang + t m M

nisbiy qiymat uchun:

R gen = P tanlang + t m R

Qayerda M gen Va R gen- umumiy aholi uchun o'rtacha va nisbiy qiymatlar qiymatlari; M tanlang Va R tanlang- namunaviy populyatsiyadan olingan o'rtacha va nisbiy qiymatlarning qiymatlari; m M Va m P- o'rtacha va nisbiy qiymatlarning xatolari; t- ishonch mezoni (tadqiqotni rejalashtirishda belgilanadigan va 2 yoki 3 ga teng bo'lishi mumkin bo'lgan aniqlik mezoni); t m- bu ishonch oralig'i yoki D - namunaviy tadqiqotda olingan ko'rsatkichning maksimal xatosi.

Shuni ta'kidlash kerakki, mezonning qiymati t ma'lum darajada xatosiz prognoz (p) ehtimoli bilan bog'liq, % bilan ifodalangan. Uni tadqiqotchining o'zi tanlaydi, natijani kerakli darajada aniqlik bilan olish zaruratidan kelib chiqadi. Shunday qilib, 95,5% xatosiz prognoz ehtimoli uchun mezon qiymati t 2, 99,7% uchun - 3.

Ishonch oralig'ining berilgan baholari faqat kuzatuvlar soni 30 dan ortiq bo'lgan statistik populyatsiyalar uchun maqbuldir. Kichikroq populyatsiya soni bilan (kichik namunalar) t mezonini aniqlash uchun maxsus jadvallardan foydalaniladi. Ushbu jadvallarda kerakli qiymat populyatsiya hajmiga mos keladigan chiziqning kesishmasida joylashgan (n-1), va tadqiqotchi tanlagan xatosiz prognozning (95,5%; 99,7%) ehtimoli darajasiga mos keladigan ustun. Tibbiy tadqiqotlarda har qanday ko'rsatkich uchun ishonch chegaralarini belgilashda xatosiz prognoz ehtimoli 95,5% yoki undan ko'p. Bu shuni anglatadiki, namunaviy populyatsiyadan olingan ko'rsatkichning qiymati kamida 95,5% hollarda umumiy populyatsiyada topilishi kerak.

Dars mavzusi bo'yicha savollar:

Statistik populyatsiyada belgilar xilma-xilligi ko'rsatkichlarining dolzarbligi.

Mutlaq o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlarining umumiy tavsiflari.

Standart og'ish, hisoblash, qo'llash.

O'zgaruvchanlikning nisbiy ko'rsatkichlari.

Median, kvartil ball.

Tadqiqot natijalarining statistik ahamiyatini baholash.

O'rtacha arifmetikning standart xatosi, hisoblash formulasi, foydalanish misoli.

Proporsiyani hisoblash va uning standart xatosi.

Ishonch ehtimoli tushunchasi, foydalanishga misol.

10. Ishonch oralig'i tushunchasi, uning qo'llanilishi.

Standart javoblar bilan mavzu bo'yicha test topshiriqlari:

1. O'ZGARCHILIKNING MUTLAK KO'RSATGANLARIGA MUVOFIQ

1) o'zgaruvchanlik koeffitsienti

2) tebranish koeffitsienti

4) median

2. VARIATSIYALARNING NISSIY KO'RSATMALARI

1) dispersiya

4) o'zgaruvchanlik koeffitsienti

3. VARIATSION SERIALDAGI VARIANTNING EKSTREMAL QIYMATLARI BILAN ANIQLANGAN MEZON.

2) amplituda

3) dispersiya

4) o'zgaruvchanlik koeffitsienti

4. EKSTREM VARIANTLARNING FARQI SHUNDDA

2) amplituda

3) standart og'ish

4) o'zgaruvchanlik koeffitsienti

5. XARAKTERISTIKA INDIVIDUAL QIMMATLARINI UNING O'RTA QIMMATLARIDAN AYISHASINI O'RTA Kvadrati

1) tebranish koeffitsienti

2) median

3) dispersiya

6. O‘ZGARCHILIK KO‘RSATINI BIR XARAKTERNING O‘RTA QIYMATIGA NISBATI.

1) o'zgaruvchanlik koeffitsienti

2) standart og'ish

4) tebranish koeffitsienti

7. O'RTA Kvadrat og'ishining Xarakteristikaning o'rtacha qiymatiga nisbati.

1) dispersiya

2) o'zgaruvchanlik koeffitsienti

3) tebranish koeffitsienti

4) amplituda

8. VARIATSIYA QISMASI O'RTASIDA TURAGAN VA UNNI IKKI TENG QISMGA BO'LGAN VARIANT.

1) median

3) amplituda

9. TIBBIY TADQIQOTLARDA HAR QANDAY KO'RSATKOR UCHUN ISHONCHLIK CHEKORLARI O'RNATISHDA XATOSIZ BASHG'ON ETISH ETILIMI QABUL QILADI.

10. AGAR 100 NAMUNDAN 90 NAMUNA AHOLIDAGI PARAMETRENI TO‘G‘RI BAHOLASA, BU ISHONCH EMVONLIGINI DEGANIYDI. P TENG

11. AGAR 100 NAMUNDAN 10 TA NAMUNA NOGOS BAHO BERSA, XATO ETILIMI TENG.

12. Tasodifiy tebranishlar tufayli kichik ehtimollikka ega bo'lgan chegaradan o'tadigan o'rtacha yoki nisbiy qiymatlar chegaralari - BU

1) ishonch oralig'i

2) amplituda

4) o'zgaruvchanlik koeffitsienti

13. KICHIK NAMUNA QILIB ETILGAN AHOLI.

1) n 100 dan kichik yoki teng

2) n 30 dan kichik yoki teng

3) n 40 dan kichik yoki teng

4) n 0 ga yaqin

14. XATOSIZ PROGNOZ EMASLILIGI UCHUN 95% KRITERION QIYMATI UCHUN t IS

15. XATOSIZ BASHOROT 99% KRITERION QIYMATI UCHUN t IS

16. NORMALGA YAQIN TARQALIMALAR UCHUN, AGAR VARIATSIYA KOFEFISIENTI ORTIB OSHMASA, AXOLIY bir hil deb hisoblanadi.

17. VARIANT, AYRISH VARİANTLARI, SON QIMMATLARI BERILGAN SERTADA MUMKIN MAKSIMALNING 25% OSHISHMAGAN - BU

2) pastki kvartil

3) yuqori kvartil

4) kvartil

18. OBYEKTIV HAQQIYATNI BUZMAGAN VA TO‘G‘RI AKS KETAYOTGAN MA’LUMOTLAR DEYILADI.

1) imkonsiz

2) teng darajada mumkin

3) ishonchli

4) tasodifiy

19. “UCH SIGMA” QOIDAGIGA MUVOFIQ, XUSUSIYATDA XUSUSIYATNING NORMAL TARQATISHI BILAN.
YERGA BO'LADI

1) 68,3% variant

Ushbu maqolada men bu haqda gaplashaman standart og'ish qanday topiladi. Ushbu material matematikani to'liq tushunish uchun juda muhimdir, shuning uchun matematika o'qituvchisi uni o'rganishga alohida yoki hatto bir nechta darsni bag'ishlashi kerak. Ushbu maqolada siz standart og'ish nima ekanligini va uni qanday topishni tushuntiradigan batafsil va tushunarli video darsiga havolani topasiz.

Standart og'ish ma'lum bir parametrni o'lchash natijasida olingan qiymatlarning tarqalishini baholash imkonini beradi. Belgi bilan ko'rsatilgan (yunoncha "sigma" harfi).

Hisoblash formulasi juda oddiy. Standart og'ishni topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini olish kerak. Xo'sh, endi siz so'rashingiz kerak: "Variatsiya nima?"

Variant nima

Dispersiyaning ta'rifi shunday bo'ladi. Dispersiya - qiymatlarning o'rtacha qiymatdan kvadratik og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Farqni topish uchun quyidagi hisob-kitoblarni ketma-ket bajaring:

• O'rtachani aniqlang (qimmatlar qatorining oddiy arifmetik o'rtachasi).
• Keyin har bir qiymatdan o'rtachani olib tashlang va natijada hosil bo'lgan farqni kvadratga aylantiring (siz olasiz kvadrat farq).
• Keyingi qadam, natijada paydo bo'lgan kvadrat farqlarning o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblashdir (Quyida nima uchun aynan kvadratlarni bilib olishingiz mumkin).

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, siz va do'stlaringiz itlaringizning balandligini (millimetrda) o'lchashga qaror qildingiz. O'lchovlar natijasida siz quyidagi balandlik o'lchovlarini oldingiz: 600 mm, 470 mm, 170 mm, 430 mm va 300 mm.

Keling, o'rtacha, dispersiya va standart og'ishni hisoblaylik.

Avval o'rtacha qiymatni topamiz. Siz allaqachon bilganingizdek, buning uchun siz barcha o'lchangan qiymatlarni qo'shishingiz va o'lchovlar soniga bo'lishingiz kerak. Hisoblash jarayoni:

O'rtacha mm.

Shunday qilib, o'rtacha (o'rtacha arifmetik) 394 mm.

Endi biz aniqlashimiz kerak har bir itning balandligining o'rtacha qiymatdan og'ishi:

Nihoyat, dispersiyani hisoblash uchun, biz hosil bo'lgan farqlarning har birini kvadratga aylantiramiz va keyin olingan natijalarning o'rtacha arifmetik qiymatini topamiz:

Dispersiya mm 2 .

Shunday qilib, dispersiya 21704 mm 2 ni tashkil qiladi.

Standart og'ishni qanday topish mumkin

Endi dispersiyani bilgan holda standart og'ishni qanday hisoblashimiz mumkin? Biz eslaganimizdek, uning kvadrat ildizini oling. Ya'ni, standart og'ish quyidagilarga teng:

Mm (mm dagi eng yaqin butun songa yaxlitlangan).

Ushbu usuldan foydalanib, biz ba'zi itlar (masalan, Rottweilers) juda katta itlar ekanligini aniqladik. Ammo juda kichik itlar ham bor (masalan, dachshundlar, lekin ularga buni aytmaslik kerak).

Eng qizig'i shundaki, standart og'ish foydali ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Endi biz olingan balandlikni o'lchash natijalaridan qaysi biri o'rtacha qiymatdan standart og'ish (uning ikkala tomoniga) chizilgan bo'lsa, biz oladigan intervalda ekanligini ko'rsatishimiz mumkin.

Ya'ni, standart og'ishdan foydalanib, biz qiymatlarning qaysi biri normal (statistik jihatdan o'rtacha) va qaysi biri juda katta yoki aksincha, kichik ekanligini aniqlashga imkon beradigan "standart" usulni olamiz.

Standart og'ish nima

Lekin... tahlil qilsak, hammasi biroz boshqacha bo'ladi namuna ma'lumotlar. Bizning misolimizda biz ko'rib chiqdik umumiy aholi. Ya'ni, bizning 5 itimiz bizni qiziqtirgan dunyodagi yagona itlar edi.

Ammo agar ma'lumotlar namuna bo'lsa (katta populyatsiyadan tanlangan qiymatlar), unda hisob-kitoblarni boshqacha qilish kerak.

Agar qiymatlar mavjud bo'lsa, unda:

Boshqa barcha hisob-kitoblar xuddi shunday amalga oshiriladi, shu jumladan o'rtacha qiymatni aniqlash.

Misol uchun, agar bizning beshta itimiz itlar populyatsiyasining namunasi bo'lsa (sayyoradagi barcha itlar), biz quyidagilarga bo'lishimiz kerak. 5 emas, 4, ya'ni:

Namuna dispersiyasi = mm 2.

Bunday holda, namuna uchun standart og'ish tengdir mm (eng yaqin butun songa yaxlitlangan).

Bizning qadriyatlarimiz kichik namuna bo'lgan taqdirda biz ba'zi "tuzatishlar" qildik deb aytishimiz mumkin.

Eslatma. Nima uchun aniq kvadrat farqlar?

Lekin nega biz dispersiyani hisoblashda aynan kvadrat farqlarni olamiz? Aytaylik, ba'zi parametrlarni o'lchashda siz quyidagi qiymatlar to'plamini oldingiz: 4; 4; -4; -4. Agar biz shunchaki o'rtacha (farqlar) dan mutlaq og'ishlarni qo'shsak ... salbiy qiymatlar ijobiy bilan bekor qilinadi:

.

Ma'lum bo'lishicha, bu variant foydasiz. Ehtimol, og'ishlarning mutlaq qiymatlarini (ya'ni, ushbu qiymatlarning modullari) sinab ko'rishga arziydimi?

Bir qarashda, bu yaxshi chiqadi (natijadagi qiymat, aytmoqchi, o'rtacha mutlaq og'ish deb ataladi), lekin hamma hollarda emas. Keling, boshqa misolni ko'rib chiqaylik. O'lchov natijasida quyidagi qiymatlar to'plami paydo bo'lsin: 7; 1; -6; -2. Keyin o'rtacha mutlaq og'ish:

Voy-buy! Yana 4 ta natijaga erishdik, garchi farqlar ancha kengroq tarqaldi.

Keling, agar farqlarni kvadratga aylantirsak (va keyin ularning yig'indisining kvadrat ildizini olsak) nima bo'lishini ko'rib chiqamiz.

Birinchi misol uchun shunday bo'ladi:

.

Ikkinchi misol uchun shunday bo'ladi:

Endi bu butunlay boshqa masala! Farqlarning tarqalishi qanchalik ko'p bo'lsa, standart og'ish shunchalik katta bo'ladi ... biz maqsad qilgan narsa edi.

Aslida, bu usul nuqtalar orasidagi masofani hisoblashda bir xil fikrdan foydalanadi, faqat boshqa usulda qo'llaniladi.

Matematik nuqtai nazardan, kvadrat va kvadrat ildizlardan foydalanish mutlaq og'ish qiymatlaridan ko'ra ko'proq foyda keltiradi va standart og'ish boshqa matematik muammolar uchun qo'llaniladi.

Sergey Valerievich sizga standart og'ishni qanday topishni aytdi