Funksiyaning statsionar nuqtalar mavjudligini tekshirish hamda ularni topish jarayoni funksiya grafigini qurishning muhim elementlaridan biridir. Agar sizda ma'lum matematik bilimlar to'plami bo'lsa, funktsiyaning statsionar nuqtalarini topishingiz mumkin.

Sizga kerak bo'ladi

• - statsionar nuqtalar mavjudligi uchun tekshiriladigan funktsiya;
• - statsionar nuqtalarning ta'rifi: funksiyaning statsionar nuqtalari birinchi tartibli funktsiyaning hosilasi yo'qolib ketadigan nuqtalardir (argument qiymatlari).

Ko'rsatma

• Hosilalar jadvali va funksiyalarni differentsiallash formulalaridan foydalanib, funksiyaning hosilasini topish kerak. Ushbu bosqich vazifani bajarishda eng qiyin va mas'uliyatli hisoblanadi. Agar siz ushbu bosqichda xatoga yo'l qo'ysangiz, keyingi hisob-kitoblar mantiqiy bo'lmaydi.
• Funktsiyaning hosilasi argumentga bog'liqligini tekshiring. Agar topilgan hosila argumentga bog'liq bo'lmasa, ya'ni bu raqam bo'lsa (masalan, f "(x) \u003d 5), u holda bu holda funktsiya statsionar nuqtalarga ega emas. Bunday yechim faqat mumkin. agar o'rganilayotgan funksiya birinchi tartibli chiziqli funksiya bo'lsa (to Masalan, f(x) = 5x+1) Agar funktsiyaning hosilasi argumentga bog'liq bo'lsa, u holda oxirgi bosqichga o'ting.
• f "(x) \u003d 0 tenglamasini tuzing va uni yeching. Tenglamaning yechimlari bo'lmasligi mumkin - bu holda, funktsiyaning statsionar nuqtalari yo'q. Agar tenglamada echimlar bo'lsa, u holda bu topilgan argument qiymatlari. bu funksiyaning statsionar nuqtalari bo'ladi.Bu haqda keyingi bosqichda tenglamaning yechimini argumentlarni almashtirish usuli bilan tekshirish kerak.

Kritik nuqtalar funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar. Agar hosila 0 bo'lsa, bu nuqtadagi funktsiyani oladi mahalliy minimal yoki maksimal. Bunday nuqtalardagi grafikda funktsiya gorizontal asimptotaga ega, ya'ni tangens Ox o'qiga parallel.

Bunday nuqtalar deyiladi statsionar. Agar siz uzluksiz funktsiya diagrammasida "teshik" yoki "teshik" ni ko'rsangiz, maksimal yoki minimal darajaga kritik nuqtada erishilganligini unutmang. Misol sifatida quyidagi vazifani ko'rib chiqing.

1-misol y=2x^3-3x^2+5 funksiyaning kritik nuqtalarini toping.
Yechim. Kritik nuqtalarni topish algoritmi quyidagicha:

Shunday qilib, funktsiya ikkita muhim nuqtaga ega.

Bundan tashqari, agar siz funktsiyani o'rganishingiz kerak bo'lsa, unda biz kritik nuqtaning chap va o'ng tomonidagi lotin belgisini aniqlaymiz. Agar lotin kritik nuqtadan o'tganda ishorani "-" dan "+" ga o'zgartirsa, u holda funktsiyani oladi mahalliy minimal. Agar "+" dan "-" gacha bo'lsa mahalliy maksimal.

Ikkinchi turdagi tanqidiy nuqtalar bu kasr va irratsional funktsiyalarning maxrajining nollari

Bu nuqtalarda aniqlanmagan logarifm va trigonometrik funksiyalar


Uchinchi turdagi tanqidiy nuqtalar qismlarga bo'lingan uzluksiz funktsiyalar va modullarga ega.
Masalan, har qanday modul funksiyasi uzilish nuqtasida minimal yoki maksimal qiymatga ega.

Masalan, y = | moduli x -5 | nuqtada x = 5 minimal (kritik nuqta) ga ega.
Unda hosila mavjud emas, lekin o'ng va chap tomonda mos ravishda 1 va -1 qiymatini oladi.

Funktsiyalarning muhim nuqtalarini aniqlashga harakat qiling

1)
2)
3)
4)
5)

Agar javoban siz qiymatni olasiz
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
keyin siz allaqachon bilasiz kritik nuqtalarni qanday topish mumkin va oddiy nazorat yoki testlarni engish imkoniyatiga ega bo'lish.

Ta'riflar:

ekstremum berilgan to‘plamdagi funksiyaning maksimal yoki minimal qiymatini ayting.

ekstremal nuqta funksiyaning maksimal yoki minimal qiymatiga erishilgan nuqtadir.

Maksimal nuqta funksiyaning maksimal qiymatiga erishilgan nuqtadir.

Past nuqta funksiyaning minimal qiymatiga erishilgan nuqtadir.

Tushuntirish.

Rasmda x = 3 nuqtaga yaqin joyda funktsiya o'zining maksimal qiymatiga etadi (ya'ni, bu aniq nuqtaga yaqin joyda undan yuqori nuqta yo'q). X = 8 atrofida u yana maksimal qiymatga ega (yana aniqlik kiritamiz: bu mahallada yuqorida hech qanday nuqta yo'q). Bu nuqtalarda o'sish pasayish bilan almashtiriladi. Ular maksimal ball:

xmax = 3, xmax = 8.

x = 5 nuqtaga yaqin joyda funksiyaning minimal qiymatiga erishiladi (ya'ni x = 5 ga yaqin joyda pastda nuqta yo'q). Bu vaqtda pasayish o'sish bilan almashtiriladi. Bu minimal nuqta:

Maksimal va minimal nuqtalar funktsiyaning ekstremal nuqtalari, va bu nuqtalardagi funktsiyaning qiymatlari uning ekstremal.

Funktsiyaning kritik va statsionar nuqtalari:

Ekstremum uchun zarur shart:

Ekstremum uchun etarli shart:

Segmentda, funksiya y = f(x) o'zining minimal yoki maksimal qiymatiga kritik nuqtalarda yoki segmentning oxirida erishishi mumkin.

Uzluksiz funktsiyani o'rganish algoritmiy = f(x) monotonlik va ekstremallik uchun:

§ 3 STATSION NOKTALAR VA DIFFERENTIAL HISOBLAR 369

ko'rinib turibdiki, umuman olganda, ko'rib chiqilayotgan oilaning l to'g'ri chiziqqa teguvchi ikkita doirasi bor: ularning markazlari P Q segmentining qarama-qarshi tomonlarida joylashgan. Aloqa nuqtalaridan biri mutlaq maksimalni beradi. j, ikkinchisi esa faqat "nisbiy" maksimalni beradi: bu j ning ushbu nuqtadagi qiymatlari ko'rib chiqilayotgan nuqtaning ba'zi bir yaqinidagi qiymatlardan katta ekanligini anglatadi. Ikki maksimaldan kattasi - mutlaq maksimal - l chizig'i va P Q segmentining davomi bilan hosil bo'lgan o'tkir burchakda joylashgan aloqa nuqtasi, kichiki esa kontakt nuqtasi bilan beriladi. , bu chiziqlardan hosil bo'lgan o'tmas burchakda joylashgan. (L chiziqning P Q segmentining davomi bilan kesishish nuqtasi j burchakning minimal qiymatini, ya'ni j = 0 ni beradi.)

Guruch. 190. P Q kesma qaysi l nuqtadan eng katta burchak ostida ko'rinadi?

Ko'rib chiqilgan masalani umumlashtirib, l chizig'ini qandaydir C egri chiziqqa almashtirib, C egri chizig'ida R nuqtalarini izlashimiz mumkin, undan C ni kesib o'tmaydigan berilgan P Q segmenti eng katta yoki eng kichik burchakda ko'rinadi. Bu masalada, avvalgidek, P , Q va R dan o'tuvchi aylana R nuqtadagi C egri chizig'iga tegishi kerak.

§ 3. Statsionar nuqtalar va differentsial hisoblash

1. Ekstremal va statsionar nuqtalar. Yuqoridagi mulohazalarda biz differentsial hisoblashning texnik usullaridan umuman foydalanmadik.

Bizning elementar usullarimiz tahlilga qaraganda sodda va to'g'ridan-to'g'ri ekanligini tan olmaslik qiyin. Umuman olganda, ma'lum bir ilmiy muammo bilan shug'ullanayotganda, uning individual xususiyatlaridan foydalanish yaxshiroqdir

Boshqa tomondan, qo'llanilishi kerak bo'lgan maxsus tartib-qoidalarni anglatuvchi umumiy tamoyil, albatta, har doim etakchi rol o'ynashi kerak bo'lsa-da, faqat umumiy usullarga tayanishdan ko'ra o'ziga xos xususiyatlar. Ekstremal masalalarni hal qilishda differensial hisoblash usullarining ahamiyati aynan shunday. Zamonaviy fanda kuzatilgan umumiylikka intilish masalaning faqat bir tomonini ifodalaydi, chunki matematikada chinakam muhim bo'lgan narsa, shubhasiz, ko'rib chiqilayotgan muammolarning individual xususiyatlari va qo'llaniladigan usullar bilan belgilanadi.

Differensial hisob o'zining tarixiy rivojlanishida katta va katta miqdorlarning eng kichik qiymatlarini topish bilan bog'liq individual muammolarga ta'sir ko'rsatdi. Ekstremal masalalar va differensial hisoblash o'rtasidagi bog'liqlikni quyidagicha tushunish mumkin. VIII bobda f(x) funksiyaning f0 (x) hosilasi va uning geometrik ma’nosini batafsil o‘rganamiz. U yerda qisqacha aytganda, f0 (x) hosilasi (x, y) nuqtadagi y = f(x) egri chiziqqa tangensning qiyaligi ekanligini ko‘ramiz. Geometrik jihatdan ravshanki, silliq egri chiziqning maksimal yoki minimal nuqtalarida y = f(x) egri chiziqqa tangens albatta gorizontal boʻlishi kerak, yaʼni qiyalik nolga teng boʻlishi kerak. Shunday qilib, ekstremal nuqtalar uchun f0 (x) = 0 shartini olamiz.

f0 (x) hosilasining yo'qolishi nimani anglatishini tushunish uchun 191-rasmda ko'rsatilgan egri chiziqni ko'rib chiqing. Biz bu erda beshta A, B, C, D, E nuqtalarni ko'ramiz, bunda egri chiziqqa teginish gorizontaldir; f(x) ning ushbu nuqtalardagi mos qiymatlarini a, b, c, d, e bilan belgilaymiz. f(x) ning eng katta qiymatiga (chizmada ko'rsatilgan maydon ichida) D nuqtada, eng kichigiga - A nuqtada erishiladi. B nuqtada esa nuqtaning qaysidir qo'shnisining barcha nuqtalarida maksimal bo'ladi. B, f(x) ning qiymati b dan kichik, garchi D ga yaqin nuqtalarda f(x) qiymati hali ham b dan katta. Shu sababli, B nuqtada f(x) funksiyaning nisbiy maksimali, D nuqtada esa absolyut maksimal borligini aytish odat tusiga kirgan. Xuddi shunday, S nuqta nisbiy minimumga, A nuqta esa mutlaq minimumga ega. Nihoyat, E nuqtaga kelsak, u f0 (x) = 0 tengligi saqlanib qolsa-da, na maksimal, na minimumga ega. Bundan kelib chiqadiki, f0 (x) hosilasining yo'qolishi zarur, lekin f(x) silliq funksiya ekstremumining paydo bo'lishi uchun yetarli shart yo'q; boshqacha qilib aytganda, ekstremum (mutlaq yoki nisbiy) mavjud bo'lgan har qanday nuqtada f0 (x) = 0 tengligi albatta sodir bo'ladi, lekin f0 (x) = 0 bo'lgan har qanday nuqtada emas, ekstremum bo'lishi kerak. f0 (x) hosilasi yo'q bo'lib ketadigan nuqtalar - ekstremumga ega bo'lishidan qat'iy nazar - statsionar deyiladi. Keyingi tahlil ko'proq yoki kamroq olib keladi

§ 3 STATSION NOKTALAR VA DIFFERENTIAL HISOBLAR 371.

f(x) funksiyaning yuqori hosilalariga taalluqli va maksimal, minimal va boshqa statsionar nuqtalarni to‘liq tavsiflovchi murakkab shartlar.

Guruch. 191. Funktsiyaning statsionar nuqtalari

2. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyalarning maksimal va minimallari. egar nuqtalari. Bitta o‘zgaruvchining f(x) funksiyasi orqali ifodalab bo‘lmaydigan ekstremal muammolar mavjud. Eng oddiy bog’liq misol ikkita mustaqil o’zgaruvchida z = f(x, y) funksiyaning ekstremalini topish masalasidir.

Biz har doim f(x, y) funksiyani x, y tekislik ustidagi sirtning z balandligi deb tasavvur qilishimiz mumkin va biz bu rasmni, aytaylik, tog 'manzarasi sifatida izohlaymiz. f(x, y) funksiyaning maksimali tog‘ cho‘qqisiga, minimali chuqur yoki ko‘l tubiga to‘g‘ri keladi. Ikkala holatda ham, agar sirt silliq bo'lmasa, sirtga teguvchi tekislik majburiy ravishda gorizontal bo'ladi. Ammo, tog'larning cho'qqilari va chuqurlarning eng past nuqtalaridan tashqari, teginish tekisligi gorizontal bo'lgan boshqa nuqtalar ham bo'lishi mumkin: bu tog' dovonlariga mos keladigan "egar" nuqtalari. Keling, ularni batafsilroq ko'rib chiqaylik. Faraz qilaylik (192-rasm) tog' tizmasida ikkita A va B cho'qqilari va tog' tizmasining turli yon bag'irlarida ikkita C va D nuqtalari mavjud bo'lsin; deylik, biz C dan D ga borishimiz kerak. Avvalo C dan D ga olib boradigan yo'llarni ko'rib chiqaylik, ular sirtni C va D dan o'tuvchi tekisliklar bilan kesishgan holda olinadi. Bunday yo'llarning har biri eng yuqori nuqtaga ega. Kesuvchi tekislikning o'rnini o'zgartirganda, yo'l ham o'zgaradi va eng yuqori nuqtasi bo'lgan yo'lni topish mumkin bo'ladi.

mumkin bo'lgan eng past pozitsiya. Bu yo'lda eng baland E nuqtasi - bizning landshaftimizdagi tog' dovonining nuqtasi; uni egar nuqtasi deb ham atash mumkin. Ko'rinib turibdiki, E nuqtada na maksimal, na minimal yo'q, chunki o'zboshimchalik bilan E ga yaqin bo'lgan sirtda E dan yuqori va E dan past bo'lgan nuqtalar mavjud. Oldingi argumentda, biri mumkin edi. faqat sirtni tekisliklar kesib o'tganda paydo bo'ladigan yo'llarni ko'rib chiqish bilan cheklanib qolmaslik va C va Dni bog'laydigan har qanday yo'llarni ko'rib chiqish. E nuqtasiga biz bergan xarakteristika bundan o'zgarmaydi.

Xuddi shunday, agar biz A cho'qqisidan B cho'qqisiga borishni istasak, u holda biz boradigan har bir yo'l eng past nuqtaga ega bo'lar edi; hech bo'lmaganda faqat tekislik kesimlarini hisobga olsak, biz eng kichik nuqta eng baland bo'lgan AB yo'lini topamiz va biz yana bir xil E nuqtasini olamiz. Shunday qilib, bu egar nuqtasi E eng yuqori minimal yoki eng yuqori nuqtani etkazib berish xususiyatiga ega. eng past maksimal: bu erda "maksimal" yoki "minimal" - qisqartirilgan minimaks mavjud. E nuqtadagi teginish tekisligi gorizontal; haqiqatdan ham, E AB yo'lining eng past nuqtasi bo'lganligi sababli, E da AB ga tegish gorizontaldir va shunga o'xshash, E CD yo'lining eng yuqori nuqtasi bo'lgani uchun E da CD ga tegish gorizontaldir. Shuning uchun, bu ikki tangens chiziqdan majburiy ravishda o'tadigan tangens tekislik gorizontaldir. Shunday qilib, biz gorizontal tangens tekisliklari bilan uch xil turdagi nuqtalarni topamiz: maksimal nuqtalar, minimal nuqtalar va nihoyat egar nuqtalari; Shunga ko'ra, funktsiyaning statsionar qiymatlarining uch xil turi mavjud.

f(x, y) funksiyani geometrik tarzda ifodalashning yana bir usuli tekislik chiziqlarini chizishdir - kartografiyada erdagi balandliklarni ko'rsatish uchun xuddi shunday chiziqlar (308-betga qarang). Darajali chiziq x, y tekislikdagi egri chiziq bo'lib, uning bo'ylab f(x, y) funksiyasi bir xil qiymatga ega bo'ladi; boshqacha aytganda, sath chiziqlari f(x, y) = c oilasining egri chiziqlari bilan bir xil. Oddiy orqali

Guruch. 194. Steysi ikki marta bog'langan domendagi onar nuqtalar

§ 3 STATSION NOKTALAR VA DIFFERENTSIAL HISOBLAR 373.

tekislikning nuqtasi aniq bir darajali chiziqdan o'tadi; maksimal va minimal nuqtalar yopiq darajadagi chiziqlar bilan o'ralgan, egar nuqtalarida ikkita (yoki undan ko'p) darajali chiziqlar kesishadi. Shaklda. Shaklda tasvirlangan landshaftga mos keladigan 193 darajali chiziqlar chizilgan. 192.

Bunday holda, E nuqtasining ajoyib xususiyati ayniqsa aniq bo'ladi: A va B ni bog'laydigan va E dan o'tmaydigan har qanday yo'l qisman f(x, y) joylashgan mintaqada joylashgan.< f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Minimaks nuqtalari va topologiyasi. Statsionar nuqtalarning umumiy nazariyasi va topologik g'oyalar o'rtasida chuqur bog'liqlik mavjud. Shu oʻrinda biz bu yerda faqat qisqacha maʼlumot berib, bitta misol bilan cheklanib qolamiz.

Ikkita qirg'oq konturlari C va C0 bo'lgan halqa shaklidagi B orolidagi tog' landshaftini ko'rib chiqing; agar avvalgidek dengiz sathidan balandlikni u = f(x, y) bilan belgilab, C va C0 konturlarida f(x, y) = 0 va f(x, y) > 0 deb faraz qilsak.

ichida, keyin orolda kamida bitta tog 'dovoni bo'lishi kerak: rasmda. 194 bunday dovon ikki darajali chiziq kesishgan nuqtada joylashgan. Belgilangan bayonotning asosliligi aniq bo'ladi, es-

biz o'z oldimizga shunday yo'lni topish, bog'lash vazifasini qo'ydikmi

ing C va C0 , bu kattaroq balandlikka ko'tarilmaydi bundan muqarrar. Har C dan C0 gacha bo'lgan yo'l eng yuqoriga ega

eng yuqori nuqta va agar biz eng yuqori nuqtasi eng past bo'lgan yo'lni tanlasak, u holda bu usulda olingan eng yuqori nuqta u = f(x, y) funktsiyaning egar nuqtasi bo'ladi. (Biz qandaydir gorizontal tekislik yopiq egri chiziq bo'ylab halqa shaklidagi tog' tizmasiga tegsa, istisno bo'lgan arzimas holatni eslatib o'tishimiz kerak.) p yopiq egri chiziqlar bilan chegaralangan mintaqada, umuman olganda, hech bo'lmaganda bo'lishi kerak. p - 1 minimal maksimal nuqta. Marston Morse tomonidan o'rnatilgan bir xil turdagi munosabatlar ko'p o'lchovli mintaqalar uchun ham amal qiladi.

lekin statsionar nuqtalarning topologik imkoniyatlari va turlarining xilma-xilligi bu holatda ancha katta. Bu munosabatlar statsionar nuqtalarning zamonaviy nazariyasining asosini tashkil qiladi.

4. Nuqtaning sirtdan masofasi. Nuqta masofalari uchun P

yopiq egri chiziqning turli nuqtalaridan (kamida) ikkita statsionar qiymat mavjud: minimal va maksimal. Uch o'lchamga o'tishda, topologik jihatdan sferaga (masalan, ellipsoid) ekvivalent bo'lgan S sirtini ko'rib chiqish bilan cheklansak, yangi faktlar aniqlanmaydi. Ammo agar sirt 1 yoki undan yuqori turdagi bo'lsa, unda vaziyat boshqacha. Torusning sirtini ko'rib chiqing C. P nuqtasi nima bo'lishidan qat'i nazar, albatta, torusda har doim P dan eng katta va eng kichik masofani beradigan nuqtalar mavjud va mos keladigan segmentlar sirtning o'ziga perpendikulyar. Ammo endi biz bu holatda minimax nuqtalari mavjudligini aniqlaymiz. Torusda L "meridian" doiralaridan birini tasavvur qiling (195-rasm) va bu L aylanada P ga eng yaqin Q nuqtani topamiz. Keyin, L aylanani torus bo'ylab harakatlantiramiz, biz uning o'rnini topamiz, shunda masofa P Q bo'ladi: a) minimal - keyin biz P ga eng yaqin C nuqtani olamiz; b) maksimal - keyin siz statsionar minimaks nuqtasini olasiz. Xuddi shu tarzda, biz L ning P dan eng uzoqda joylashgan nuqtasini topib, L ning eng katta masofani topadigan o'rnini izlashimiz mumkin: c) maksimal (biz C nuqtasini P dan eng uzoqda olamiz), d ) eng kam. Shunday qilib, biz torus nuqtasining P nuqtasidan C masofasi uchun to'rt xil statsionar qiymatni olamiz.

Guruch. 195–196. Nuqtadan sirtgacha bo'lgan masofa

Mashq qilish. Xuddi shu argumentni C ustidagi yopiq egri chiziqning boshqa turi L0 uchun takrorlang, uni ham biror nuqtaga qisqartirib bo'lmaydi (196-rasm).

Yuqoridagi mulohazalarda biz differentsial hisoblashning texnik usullaridan umuman foydalanmadik.

Bizning elementar usullarimiz tahlilga qaraganda sodda va to'g'ridan-to'g'ri ekanligini tan olmaslik qiyin. Umuman olganda, ma'lum bir ilmiy muammo bilan shug'ullanayotganda, faqat umumiy usullarga tayangandan ko'ra, uning individual xususiyatlaridan kelib chiqqan ma'qul, lekin boshqa tomondan, qo'llaniladigan maxsus protseduralarning ma'nosini aniqlaydigan umumiy tamoyil, albatta. , har doim etakchi rol o'ynashi kerak. Ekstremal masalalarni hal qilishda differensial hisoblash usullarining ahamiyati aynan shunday. Zamonaviy fanda kuzatilgan umumiylikka intilish masalaning faqat bir tomonini ifodalaydi, chunki matematikada chinakam muhim bo'lgan narsa, shubhasiz, ko'rib chiqilayotgan muammolarning individual xususiyatlari va qo'llaniladigan usullar bilan belgilanadi.

Differensial hisob o'zining tarixiy rivojlanishida katta va katta miqdorlarning eng kichik qiymatlarini topish bilan bog'liq individual muammolarga ta'sir ko'rsatdi. Ekstremal masalalar va differensial hisoblash o'rtasidagi bog'liqlikni quyidagicha tushunish mumkin. VIII bobda f (x) funksiyaning f "(x) hosilasi va uning geometrik ma'nosini batafsil o'rganamiz. U erda qisqacha aytganda, f "(x) hosilasi tangensning qiyaligi ekanligini ko'ramiz. egri chiziqqa y = f(x)(x, y) nuqtada. Bu silliq egri chiziqning maksimal yoki minimal nuqtalarida ekanligi geometrik jihatdan aniq y = f(x) egri chiziqqa tangens albatta gorizontal bo'lishi kerak, ya'ni qiyalik nolga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz ekstremal nuqtalar uchun shartni olamiz f"(x) = 0.

f "(x) hosilasi nolga nisbatan nimani anglatishini tushunish uchun 191-rasmda ko'rsatilgan egri chiziqni ko'rib chiqamiz. Biz bu erda beshta nuqtani ko'ramiz A, B, C, D, ?, bunda egri chiziqqa tegish gorizontal bo'ladi; f(x) ning tegishli qiymatlarini shu nuqtalarda belgilaymiz a, b, c, d, e. f(x) ning eng katta qiymatiga (chizmada ko'rsatilgan maydon ichida) D nuqtada, eng kichigiga - A nuqtada erishiladi. B nuqtada maksimal - barcha nuqtalarda degan ma'noda erishiladi. ba'zi mahalla B nuqtasida f(x) ning qiymati b dan kichik, garchi D ga yaqin nuqtalarda f(x) qiymati hali ham b dan katta. Shu sababli, B nuqtasida borligini aytish odatiy holdir funksiyaning nisbiy maksimali f(x), D nuqtasida esa - mutlaq maksimal. Xuddi shunday, bizda C nuqtada mavjud nisbiy minimal, va A nuqtada mutlaq minimal. Nihoyat, E nuqtasiga kelsak, tenglik bo'lsa ham, unda na maksimal, na minimal mavjud f"(x) = Q, Bundan kelib chiqadiki, f "(x) hosilasining yo'qolishi zarur, lekin hech qanday tarzda yetarli silliq funksiyaning ekstremumining paydo bo'lish sharti f(x); boshqacha qilib aytganda, ekstremum (mutlaq yoki nisbiy) mavjud bo'lgan har qanday nuqtada tenglik f"(x) = 0, lekin hech qanday nuqtada emas f"(x) = 0, ekstremum bo'lishi kerak. f "(x) hosilasi, ekstremumga ega bo'lishidan qat'i nazar, yo'q bo'lib ketadigan nuqtalar deyiladi. statsionar. Keyingi tahlil f(x) funksiyaning yuqori hosilalari bilan bog'liq va maksimal, minimal va boshqa statsionar nuqtalarni to'liq tavsiflovchi ko'proq yoki kamroq murakkab shartlarga olib keladi.