Каждый человек это индивидуальность с различными параметрами, которые словно компьютерная начинка, может выполнять различные операции за разное время. Человек конечно не компьютер, он намного круче, даже если это самый современный комп.

В каждом человеке заложено определенное зерно, это называется зерно истины, если человек будет ухаживать и лелеять за зерном внутри себя, то вырастет превосходный урожай, который будет радовать его!

Вы понимаете что зерно – это наша душа, что бы чувствовать душу, нужно обладать какими либо сверхчувственными способностями.

Другой пример — Человек ежедневно вырабатывает породу, оставляя только драгоценные камни. Если конечно знает как выглядят драгоценные камни, а если же перебирает только руду, пропуская алмазы и другие драгоценные камни, считая что это просто камни, то этот человек имеет проблемы по жизни.

Жизнь такая штука, она подобно человеку, который перелопачивает руду, что бы найти алмазы! Что такое алмазы? Это мотивация которая дает нам действовать в этом мире, но запалы мотивации постоянно тают, нужно заправлять свою мотивацию, что бы продолжать действовать эффективно. Из чего рождается мотивация? Краеугольный камень – это информация, правильная информация это подобно сжатой пружине, если ее принимаем правильно, пружина разжимается и выстреливает точно в цель и мы очень быстро добегаем до цели. Если мы относимся неправильно к мотивации, то почему, то пружина выстреливает в лоб. Почему так происходит? Потому что наше внутреннее намерение, является основой, для чего мы действуем, что мы хотим получить и не принесет ли вред окружающим наши мотивированные действия!

Я в данной статье собрал самые мотивационные цитаты и статусы, как говорится всех времен и народов. Но конечно делать выбор Вам, что Вас больше всего зацепит. А пока устраиваемся поудобнее, делаем очень умное лицо, отключаем все средства коммуникации и просто наслаждаемся мудростью поэтов, артистов и просто сантехников возможно!

У
мные и мудрые цитаты и высказывания о жизни

Обладать знанием не достаточно, необходимо его применять. Желать – не достаточно, необходимо действовать.

А я стою на правильном пути. Стою. А надо бы идти.

Работа над собой - самая тяжелая работа, поэтому ей занимаются немногие.

Жизненные обстоятельства формируются не только конкретными поступками, но и характером мыслей человека. Если вы настроены враждебно по отношению к миру, он будет отвечать вам тем же. Если вы постоянно выражаете свое недовольство, поводов для этого будет все больше. Если в вашем отношении к действительности преобладает негативизм, тогда мир будет поворачиваться к вам своей худшей стороной. И напротив, позитивное отношение будет самым натуральным образом изменять вашу жизнь к лучшему. Человек получает то, что выбирает. Такова реальность, нравится вам это или нет.

Из того, что вы обижены, еще не следует, что вы правы.Рикки Жерве

Год за годом, месяц за месяцем, день за днем, час за часом, минута за минутой и даже секунда за секундой – время бежит, не останавливаясь ни на мгновенье. Никакая сила не способна прервать этот бег, это не в нашей власти. Все, что мы можем – проводить время с пользой, конструктивно, или же тратить его впустую, во вред. Этот выбор за нами; решение в наших руках.

Ни при каких обстоятельствах не следует терять надежду. Чувство отчаяния - вот истинная причина неудач. Помните вы можете преодолеть любую трудность.

Человек устроен так, что когда что-то зажигает его душу - всё становится возможным. Жан де Лафонтен

Всё что сейчас с вами происходит, вы создали когда-то сами. Вадим Зеланд

Внутри нас есть много ненужных привычек и дел, на которые мы тратим время, мысли, энергию и которые не дают нам расцвести. Если мы будем регулярно отбрасывать все лишнее, то освободившееся время и энергия помогут нам в достижении истинных желаний и целей. Удаляя все старое и бесполезное в своей жизни, мы даем возможность расцвести сокрытым в нас талантам и чувствам.

Мы – рабы своих привычек. Измени свои привычки, изменится твоя жизнь.Роберт Кийосаки

Человек, которым вам суждено стать – это только тот человек, которым вы сами решите стать.Ральф Уолдо Эмерсон

Волшебство – это вера в себя. И когда тебе это удается, то удается и все остальное.

В паре каждый должен развить в себе способность ощущать вибрации другого, у них должны появиться общие ассоциации и общие ценности, умение слышать то, что важно для другого, и какая-то взаимная договоренность о том, как поступать, когда те или иные ценности у них не совпадают.Сальвадор Минухин

Каждый человек может быть магнетически привлекателен и невероятно красив. Истинная красота – это внутренне сияние Души человека.

Я очень ценю две вещи - душевную близость и способность доставлять радость.Ричард Бах

Борьба с другими только уловка, чтобы избежать внутренней борьбы.Ошо

Когда человек начинает жаловаться или придумывать оправдание своим неудачам, он начинает постепенно деградировать.

Хороший жизненный девиз – помоги себе сам.

Мудр не тот, кто знает много, а тот, чьи знания полезны.Эсхил

Некоторые люди улыбаются потому, что улыбаешься ты. А некоторые - для того, чтобы ты улыбнулся.

Кто царствует внутри самого себя и управляет своими страстями, желаниями и опасениями, тот более чем царь. Джон Мильтон

Каждый мужчина в итоге выбирает ту женщину, которая верит в него больше, чем он сам.

Ты однажды присядь и послушай, что же хочет твоя душа?

Мы так часто не слушаем душу, по привычке куда-то спеша.

Вы там, где вы есть, и тот, кто вы есть, из-за того, как вы себя воспринимаете. Измените мнение о себе, и вы измените вашу жизнь. Брайан Трейси

Жизнь - это три дня вчера, сегодня и завтра. Вчера уже прошло и ты ничего в нем не изменишь, завтра еще не наступило. Поэтому постарайся сегодня поступить достойно, чтобы не сожалеть.

Истинно благородный человек не рождается с великой душой, но сам себя делает таковым великолепными своими делами.Франческо Петрарка

Всегда подставляйте свое лицо солнечному свету и тени будут позади Вас, Уолт Уитмен

Единственный, кто поступал разумно, был мой портной. Он снимал с меня мерку заново каждый раз, когда видел меня. Бернард Шоу

Люди никогда полностью не используют своих собственных сил для достижения блага в жизни, потому что надеются на некоторую внешнюю для себя силу – надеются, что она сделает то, за что они сами ответственны.

Никогда не возвращайся в прошлое. Оно убивает твое драгоценное время. Не стой на месте. Люди, которым ты нужен, тебя догонят.

Пора вытряхивать плохие мысли из головы.

Если ты ищешь плохое, ты обязательно найдешь его, и не будешь замечать ничего хорошего. Поэтому если всю свою жизнь ты будешь ждать и готовиться к худшему – оно обязательно произойдет, и ты не будешь разочарован в своих страхах и опасениях, находя им все новые и новые подтверждения. Но если ты будешь надеяться и готовиться к лучшему, ты не будешь притягивать плохое в свою жизнь, а просто рискуешь всего лишь иногда быть разочарованным – жизнь невозможна без разочарований.

Ожидая худшее, ты его и получаешь, упуская из жизни все то хорошее, что в ней на самом деле есть. И наоборот ты можешь приобрести такую силу духа, благодаря которой в любой стрессовой, критической ситуации в жизни, ты будешь видеть ее положительные стороны.

Как часто, по глупости или лени, упускают люди свое счастье.

Многие привыкли существовать, откладывая жизнь на завтра. Они держат в уме грядущие года, когда они будут творить, созидать, делать, познавать. Они думают, что у них впереди полно времени. Это самая грандиозная ошибка, которую только можно совершить. Времени, на самом деле, у нас крайне мало.

Запомните чувство, которое вы испытываете, делая первый шаг, каким бы он ни оказался, в любом случае будет намного лучше, чем то чувство, которое вы испытываете, просто сидя на месте. Так что вставайте и сделайте хоть что-нибудь. Сделайте первый шаг – просто крохотный шаг вперед.

Обстоятельства не имеют никакого значения. Бриллиант, брошенный в грязь не перестает быть бриллиантом. Сердце, наполненное красотой и величием способно пережить голод, холод, предательства и всевозможные потери, но остаться собой, оставаться любящим и стремящимся к великим идеалам. Не верь обстоятельствам. Верь в свою мечту.

Будда описывал три вида лени Первая - та лень, о которой мы все знаем. Когда у нас нет желания что-либо делать.Вторая - это лень неправильного ощущения самого себя - лень мышления. «Я никогда ничего не сделаю в жизни», «У меня ничего не получается, не стоит и пробовать».Третья - постоянная занятость несущественными делами. У нас всегда есть возможность заполнить вакуум нашего времени поддерживая свою «занятость». Но, обычно, это просто способ избежать встречи с самим собой.

Как бы ни были прекрасны ваши слова, оценивать вас будут по вашим поступкам.

Не зацикливайтесь на прошлом, вас там больше не будет.

Да будет тело твоё в движении, ум твой – в покое, а душа прозрачна, как горное озеро.

Кто не мыслит позитивно - тому в жизни жить противно.

Не приходит счастье в дом, там, где ноют день за днем.

Иногда, тебе просто нужно отдохнуть и напомнить себе, кто ты есть и кем ты хочешь быть.

Главное в жизни - научиться все повороты судьбы превращать в зигзаги удачи.

Не позволяй выходить из тебя тому, что может причинить вред другим. Не впускай в себя то, что может причинить вред тебе.

Из всякого трудного положения сейчас же выйдешь, если только вспомнишь, что живешь не телом, а душою, вспомнишь, что в тебе есть то, что сильнее всего на свете. Лев Толстой

Статусы про жизнь. Мудрые высказывания.

Будь честен даже наедине с собою. Честность делает человека цельным. Когда человек думает, говорит и делает одно и то же, то его силы утраиваются.

В жизни главное – найти себя, своё и своих.

В ком правды нет, в том и добра мало.

В молодости ищем красивое тело, с годами - родную душу. Вадим Зеланд

Важно то, что человек делает, а не то, что он хотел сделать.Вильям Джеймс

Все в этой жизни возвращается бумерангом, не сомневайся.

Все препятствия и трудности – это ступени, по которым мы растем ввысь.

Все умеют любить, ибо получают этот дар при рождении.

Все, чему ты уделяешь внимание – растет.

Все, что человек как ему кажется, говорит о других, – он на самом деле говорит о себе.

Входя дважды в одну и ту же воду, не забывайте о том, что заставило вас выйти оттуда в первый раз.

Вы думаете, что это всего лишь очередной день вашей жизни. Это не просто очередной день это и есть тот самый единственный день, который вам дан сегодня.

Выйди из орбиты времени и войди в орбиту любви. Гуго Винклер

Даже несовершенства могут нравиться, если в них проявилась душа.

Даже разумный человек будет глупеть, если он не будет самосовершенствоваться.

Дай нам силы утешать, а не быть утешаемыми; понимать, а не быть понятыми; любить, а не быть любимыми. Ибо, когда отдаем, получаем мы. И, прощая, обретаем себе прощение.

Двигаясь по дороге жизни, вы сами творите свою вселенную.

Девиз дня у меня все хорошо, а будет еще лучше! Джулиана Вильсон

Дороже твоей души нет ничего на свете.Дэниел Шеллабаргер

Если внутри — агрессия, жизнь будет «нападать» на вас.

Если внутри у вас желание бороться, вы получите соперников.

Если внутри у вас обида, жизнь будет давать поводы обижаться еще больше.

Если внутри у вас страх, жизнь будет пугать вас.

Если внутри у вас чувство вины, жизнь найдет способ вас «наказать».

Если плохо мне, то это не причина, чтобы доставлять страдания другим.

Если тебе когда-нибудь захочется найти такого человека, который сможет одолеть любую, даже самую тяжелую беду и сделать тебя счастливым, когда этого не может больше никто, ты просто посмотри в зеркало и скажи «Привет».

Если тебе что-то не нравится - измени это. Если тебе не хватает времени - перестань пялиться в телевизор.

Если ты ищешь Любовь своей жизни - перестань. Она найдет тебя тогда, когда ты будешь заниматься только тем, что ты любишь. Открой свою голову, руки и сердце для нового. Не бойся спрашивать. И не бойся отвечать. Не бойся делиться мечтой. Многие возможности появляются лишь однажды. Жизнь - это люди на твоем пути и то, что ты создаешь вместе с ними. Так что начни создавать. Жизнь - это очень быстро. Самое время начать.

Если ты движешься в правильном направлении, то ты почувствуешь это сердцем.

Если ты зажжешь свечу для кого-то, это осветит и твой путь тоже.

Если ты хочешь, чтобы вокруг тебя были хорошие, добрые люди, - попробуй относиться к ним внимательно, ласково, вежливо - увидишь, что все станут лучше. Все в жизни зависит от тебя самого, поверь мне.

Если человек захочет, гору на гору поставит

Жизнь вечное движение, постоянное обновление и развитие, из поколения в поколение, от младенчества до мудрости, движение разума и сознания.

Жизнь видит вас таким, какой вы изнутри.

Зачастую человек, потерпевший поражение, узнает о том, как побеждать больше, чем тот, к кому успех приходит сразу.

Злость – самая бесполезная из эмоций. Разрушает мозг и вредит сердцу.

Злых людей я почти совсем не знаю. Однажды я встретил одного, которого я испугался и подумал, что он злой; но когда я его внимательнее рассмотрел, он всего лишь был несчастным.

И все это с одной целью показать вам то, чем вы являетесь, что носите в душе.

Каждый раз когда вы хотите отреагировать привычным старым способом, спросите себя, хотите ли вы быть пленником прошлого или пионером будущего.

Каждый является звездой и заслуживает право на сияние.

Какова бы ни была ваша проблема, ее причина кроется в вашем стереотипе мышления, а любой стереотип можно изменить.

Когда не знаешь как поступить – поступи по-человечески.

Любая трудность дарит мудрость.

Любой вид взаимоотношений – как песок, который вы держите в руке. Держите свободно, в открытой руке – и песок остается в ней. В тот момент, когда вы сожмете крепко руку, песок начнет высыпаться сквозь ваши пальцы. Таким образом вы можете удержать немного песка, но большая часть просыплется. Во взаимоотношениях – точно так же. Относитесь к другому человеку и его свободе бережно и с уважением, оставаясь близкими. Но если сожмете слишком сильно и с претензией на обладание другим человеком – взаимоотношения испортятся и рассыплются.

Мера душвного здоровья – это готовность во всем находить хорошее.

Мир полон подсказок, будьте внимательны к знакам.

Мне не понятно лишь одно, как я, как мы все, умудряемся заполнить свою жизнь таким количеством хлама, сомнениями, сожалениями, прошлым, которого уже нет, и будущим, которое еще не случилось, страхами, которые, скорее всего, никогда не сбудутся, если все настолько очевидно просто.

Много говорить и много сказать не есть одно и то же.

Мы видим все не таким, каким оно есть – мы видим все таким, какие мы есть.

Мысли положительно, если не получается положительно – не мысли. Мэрилин Монро

Найдите тихий мир в своей голове и любовь в вашем сердце. И независимо от того, что происходит вокруг, не позволяйте ничему изменить эти две вещи.

Не все наши приводят к положительным изменениям в нашей жизни, но безусловно нельзя добиться счастья ничего не делая.

Не позволяйте шуму чужих мнений перебивать ваш внутренний голос. Имейте храбрость следовать сердцу и интуиции.

Не превращайте свою книгу жизни в жалобную.

Не спеши прогонять от себя моменты одиночества. Быть может, это самый большой дар Вселенной – оградить тебя ненадолго от всего лишнего, чтобы позволить тебе стать самим собой.

Невидимой красной нитью соединены те, кому суждено встретиться, несмотря на время, место и обстоятельства. Нить может растянуться или спутаться, но никогда не порвется.

Нельзя отдать то, чего не имеешь. Нельзя сделать других людей счастливыми, если ты сам несчастен.

Нельзя победить того, кто не сдается.

Нет иллюзий – нет и разочарований. Нужно поголодать, чтобы оценить пищу, испытать холод, чтобы понять благо тепла, и побывать ребенком, чтобы увидеть ценность родителей.

Нужно уметь прощать. Многие считают, что прощение – это признак слабости. Но слова «я прощаю тебя» вовсе не означают - «я слишком мягкий человек, поэтому не могу обижаться и ты и дальше можешь портить мою жизнь, я не скажу тебе ни единого слова», они означают – «я не позволю прошлому портить свое будущее и настоящее, поэтому прощаю тебя и отпускаю все обиды.»

Обиды – как камни. Не копи их в себе. Иначе упадешь под их тяжестью.

Однажды на уроке социальных проблем наш профессор поднял черную книгу и сказал эта книга красная.

Одной из главных причин апатии является отсутствие цели в жизни. Когда не к чему стремиться, наступает упадок сил, сознание погружается в сонное состояние. И напротив, когда есть желание чего-то добиться, энергия намерения активизируется и жизненный тонус повышается. Для начала за цель можно взять самого себя – заняться собой. Что может принести вам самоуважение и удовлетворение? Есть много путей самосовершенствования. Можно поставить себе цель добиваться улучшения в каком-либо одном или нескольких аспектах. Вам лучше знать, что принесет удовлетворение. Тогда и вкус к жизни появится, и все остальное наладится автоматически.

Он повернул книгу, а её задняя обложка оказалась красной. И тогда он сказал «Не говорите кому-то, что он не прав, до того момента, пока не посмотрите на ситуацию с его точки зрения».

Пессимист – это человек, который жалуется на шум, когда к нему в дверь стучится удача. Петр Мамонов

Подлинная духовность не навязывается - ей очаровываются.

Помните, иногда тишина - самый лучший ответ на вопросы.

Портит людей не бедность или богатство, а зависть и жадность.

Правильность пути, который ты выбираешь, определяется тем, насколько ты счастлив, идя по нему.

Мотивирующие цитаты

Прощение не меняет прошлого, но освобождает будущее.

Речь человека - зеркало его самого. Всё фальшивое и лживое, как бы мы ни пытались скрыть это от других, вся пустота, черствость или грубость прорываются в речи с такой же силой и очевидностью, с какой проявляются искренность и благородство, глубина и тонкость мыслей и чувств.

Самое главное – это гармония в твоей душе, ибо она способна создавать счастье из ничего.

Слово «невозможно» блокирует ваш потенциал, в то время как вопрос «Как мне это сделать?» заставляет мозг работать на полную катушку.

Слово должно быть верным, действие должно быть решительным.

Смысл жизни в силе стремления к цели, и нужно, чтобы каждый момент бытия имел свою высокую цель.

Суета ещё никого и никогда не приводила к успеху. Чем больше покоя в душе, тем легче и быстрее решаются все вопросы.

Существует достаточно света для тех, кто хочет видеть, и достаточно мрака для тех, кто не хочет.

Существует один способ учиться – реальное действие. Праздные разговоры бессмысленны.

Счастье – не одежда, которую можно купить в магазине или пошить в ателье.

Счастье – это внутренняя гармония. Добиться её извне невозможно. Только изнутри.

Тёмные тучи превращаются в небесные цветы, когда их поцелует свет.

То, что вы говорите о других, характеризует не их, а вас.

То, что есть в человеке, несомненно, важнее того, что есть у человека.

Тот, кто может быть нежным, обладает большой внутренней силой.

Ты волен делать что угодно - только не забывай о последствиях.

У него всё получится’ – тихо сказал Бог.

У него нет шансов – громко заявили обстоятельства.Уильям Эдвард Хартпол Леки

Хочешь жить в этом мире - живи и радуйся, а не ходи с недовольным лицом, что мир несовершенен. Мир создаешь ты - в своей голове.

Человек может все. Только ему обычно мешают лень, страх и низкая самооценка.

Человек способен изменить свою жизнь, меняя всего лишь свою точку зрения.

Что мудрец делает в начале, то глупый делает в конце.

Чтобы стать счастливым, надо избавиться от всего лишнего. От лишних вещей, лишней суеты, а самое главное – от лишних мыслей.

Я - не тело, наделенное душой, я - душа, часть которой видима и называется телом.

Дорогие друзья, рады видеть вас на этой страничке! Дорогой посетитель, не исключено, что ты ищешь Простые цитаты с рисунками по этой тематике. Классно! Ты нашёл, что искал. Мы желаем тебе умопомрачительного чтения и самосовершенствования!

Те, кто упорно испытывает свою жизнь на прочность, рано или поздно добиваются своего эффектно оканчивают ее.

Я понял, что для того, чтобы понять смысл жизни, надо прежде всего, чтобы жизнь была не бессмысленна и зла, а потом уже разум для того, чтобы понять ее. Толстой Л. Н.

Чем сильнее любовь, тем она беззащитнее. Герцогиня Диана (Мари де Босак)

Раз в жизни фортуна стучится в дверь каждого человека, но человек в это время нередко сидит в ближайшей пивной и никакого стука не слышит. Марк Твен

Я не боюсь того, кто изучает 10,000 различных ударов. Я боюсь того, кто изучает один удар 10,000 раз.

Я ежедневно о тебе мечтаю, я думаю ночами о тебе!

Тот, кто не может располагать 2/3 дня лично для себя, должен быть назван рабом. Фридрих Ницше

Я был из тех, кто соглашается беседовать о смысле жизни для того, чтоб быть готовым править верстку на эту тему. Эко У.

Desinit in piscem mulier formosa superne — прекрасная сверху женщина оканчивается рыбьим хвостом.

Мы — рабы своих привычек. Измени свои привычки, изменится твоя жизнь. Роберт Кийосаки

Ты бы мог протянуть руку вперед и схватить счастье. Оно ведь рядом совсем! Но ты всегда смотришь только назад

Ошибки всегда можно себе простить, если только найдется смелость признать их. Брюс Ли

Первый вздох любви — это последний вздох мудрости. Антони Брет.

Дружба — это любовь без крыльев. Байрон

Если человек может сказать, что такое любовь, значит, он никого не любил.

Во что влюбился, то и целуй.

из-за не скольких людей я могу переступить через свою гордость и свой страх…

Наша любовь началась с первого взгляда.

Ревность — это измена подозрением в измене. В. Кротов

С неповторимым мужчиной — хочется повторить!

Романтически настроенной женщине претит секс без любви. Поэтому она спешит влюбиться с первого взгляда. Лидия Ясиньская

Любовь — внутри каждого, но показать её стоит лишь тем, кто открыт Вам.

Тайна любви к человеку начинается в тот момент, когда мы на него смотрим без желания им обладать, без желания над ним властвовать, без желания каким бы то ни было образом воспользоваться его дарами или его личностью — только глядим и изумляемся той красоте, что нам открылась. Антоний, митрополит Сурожский

Хотелось бы оказаться в первобытном обществе. Не нужно думать о деньгах, об армии, о каких-то званиях и научных степенях. Важны только самки, скот и рабы.

Когда человеку лежать на одном боку неудобно, он переворачивается на другой, а когда ему жить неудобно он только жалуется. А ты сделай усилие перевернись. Максим Горький

Медленная рука времени сглаживает горы. Вольтер

У женщин — все сердце, даже голова. Жан Поль

Твой поцелуй так сладок был, что я от счастья просто окрылилась!

Человек тянется, будто росток, к Светилу и становится выше. Мечтая о несбыточных грезах, достигает заоблачных высот.

Лучше настоящая дружба, чем поддельная любовь!

Нас невозможно лишить самоуважения, если только мы сами его не отдадим Ганди

Любовь — это эгоизм вдвоем.

Знания делают человека весомее, а поступки придают ему блеск. Но многие люди склонны взглянуть, но не взвесить. Т. Карлейль

Только в России любимых называют… Горе ты мое!

Безответная любовь — это не любовь, а пытка!

Адекватность умение делать две вещи: вовремя молчать и вовремя говорить.

Счастье приходит с правильными суждениями, правильные суждения приходят с опытом, а опыт приходит с ошибочными суждениями.

Не жди, что станет легче, проще, лучше. Не станет. Трудности будут всегда. Учись быть счастливым прямо сейчас. Иначе не успеешь.

Жизнь, счастливая или несчастливая, удачная или неудачная, все же исключительно интересна. Б. Шоу

Не считай себя мудрым: иначе гордостию вознесется душа твоя, и ты впадешь в руки врагов твоих. Антоний Великий

Ухаживать за своей женой ему казалось столь же нелепым, как охотиться за жареной дичью. Эмиль Кроткий

Письма, и подарки, и глянцевые картинки, выражающие нежность, важны. Но еще важнее слушать друг друга лицом к лицу, это большое и редкостное искусство. Т. Янссон.

Жизнь устроена так дьявольски искусно, что, не умея ненавидеть, невозможно искренне любить. М. Горький

Приятно,когда просто так любимый дарит тебе огромный букет, ведь приятно же, черт!

Без страха люди превращаются в безрассудных глупцов, которые часто расстаются с жизнью. Айзек Азимов Фантастическое путешествие II

Друг это одна душа, живущая в двух телах. Аристотрель

Быть человеком думающим только о себе не значит делать все, что вздумается. Это значит хотеть, чтоб весь мир жил так, как хочется тебе. — О. Уайльд

Каждая мать должна выкроить для себя несколько минут свободного времени, чтобы помыть посуду.

Простые и сложные высказывания, логиче­ские переменные и логические константы, логическое отрицание, логическое умноже­ние, логическое сложение, таблицы истин­ности для логических операций

Для автоматизации информационных процессов необходимо уметь не только единообразно представ­лять информацию различных видов (числовую, текс­товую, графическую, звуковую) в виде последова­тельностей нулей и единиц, но и определять дейст­вия, которые можно выполнять над информацией. Выполнение таких действий производится в соответ­ствии с правилами, которым подчиняется процесс мышления. Говоря иначе, в соответствии с законами логики. Термин «логика» образован от древнегрече­ского слова 1 о§ 08 , означающего «мысль, рассуждение, закон». Наука логика изучает законы и формы мыш­ления, способы доказательств.

Для описания рассуждений и правил выполне­ния действий с информацией используют специаль­ный язык, принятый в математической логике. В осно­ве рассуждений содержатся специальные предложе­ния, называемые высказываниями. В высказываниях всегда что-либо утверждается или отрицается об объ­ектах, их свойствах и отношениях между объекта­ми. Высказыванием является любое суждение, отно­сительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Высказываниями могут быть только повест­вовательные предложения. Вопросительные или по­будительные предложения высказываниями не явля­ются.

Высказывание - суждение, сформулированное в виде по­вествовательного предложения, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, вопросительные предложения «В каком году было первое летописное упоминание о Москве?» и «Что является внешней памятью компьютера?» или побудительное предло­жение «Соблюдайте правила техники безопасности в компью­терном классе» высказываниями не являются. Повествователь­ные предложения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1812 г.», «Оперативное запоминающее устройство являет­ся внешней памятью компьютера» и «В компьютерном классе не надо соблюдать правила техники безопасности» являются выска­зываниями, поскольку это суждения, о каждом из которых мож­но сказать, что оно ложно. Истинными высказываниями будут суждения «Первое летописное упоминание о Москве было в 1147 г.», «Жесткий магнитный диск является внешней памятью компьютера».

Каждому высказыванию соответствует только одно из двух значений: или «истина», или «ложь», которые являются логиче­скими константами. Истинное значение принято обозначать цифрой 1, а ложное значение - цифрой 0. Высказывания можно обозначать с помощью логических переменных, в качестве кото­рых используются заглавные латинские буквы. Логические пере­менные могут принимать только одно из двух возможных значе­ний: «истина» или «ложь». Например, высказывание «Информа­ция в компьютере кодируется с помощью двух знаков» можно обозначить логической переменной А, а высказывание «Прин­тер является устройством хранения информации» можно обо­значить логической переменной В. Поскольку первое выска­зывание соответствует действительности, то А = 1. Такая запись означает, что высказывание А истинно. Так как второе высказы­вание не соответствует действительности, то В = 0. Такая запись означает, что высказывание в ложно.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Высказывание называется простым, если никакая его часть не является высказыванием. До сих пор были приведены примеры простых высказываний, которые обозначались логическими перемены ми. Выстраивая цепочку рассуждений, человек с помощью логических операций объединяет простые высказывания в сложнее" высказывания. Чтобы узнать значение сложного высказывания нет необходимости вдумываться в его содержание. Достаточно знать значение простых высказываний, составляющих сложное высказывание, и правила выполнения логических операций.

Логическая операция - действие, позволяющее составлять сложное высказывание из простых высказываний.

Все рассуждения человека, а также работа современных тех­нических устройств основываются на типовых действиях с ин­формацией - трех логических операциях: логическом отрица­нии (инверсии), логическом умножении (конъюнкции) и логи­ческом сложении (дизъюнкции).

Логическое отрицание простого высказывания получают до­бавлением слов «Неверно, что» в начале простого высказывания.

■ ПРИМЕР 1. Имеется простое высказывание «Крокодилы уме­ют летать». Результатом логического отрицания будет высказы­вание «Неверно, что крокодилы умеют летать». Значение ис­ходного высказывания - «ложь», а значение нового - «истина».

■ ПРИМЕР 2. Имеется простое высказывание «Файл должен иметь имя». Результатом логического отрицания будет высказы­вание «Неверно, что файл должен иметь имя». Значение исход­ного высказывания - «истина», а значение нового высказыва­ния - «ложь».

Можно заметить, что логическое отрицание высказывания истинно, когда исходное высказывание ложно, и наоборот, ло­гическое отрицание высказывания ложно, когда исходное вы­сказывание истинно.

Логическое отрицание (инверсия) - логическая операция, ставящая в соответствие простому высказыванию новое высказывание, значение которого противоположно значе­нию исходного высказывания.

Обозначим простое высказывание логической переменной А. Тогда логическое отрицание этого высказывания будем обозначать НЕ А. Запишем все возможные значения логической переменной А и соответствующие результаты логического отрицания НЕ А в виде таблицы, которая называется таблицей истинности для логичес­кого отрицания (табл. 40).

Можно заметить, что в таблице истинности для логическо­го отрицания ноль меняется на единицу, а единица меняется на ноль.

Логическое умножение двух простых высказываний получа­ют объединением этих высказываний с помощью союза и. Разбе­рем на примерах 3-6, что будет являться результатом логическо­го умножения.

■ ПРИМЕР 3. Имеются два простых высказывания. Одно выска­зывание - «Карлсон живет в подвале». Другое высказывание - «Карлсон лечится мороженым».

Результатом логического умножения этих простых высказы­ваний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подвале, и Карлсон лечится мороженым». Можно сформулировать новое высказывание более кратко: «Карлсон живет в подвале и лечится мороженым». Оба исходных высказывания ложны. Значение но­вого сложного высказывания также «ложь».

■ ПРИМЕР 4. Имеются два простых высказывания. Первое вы­сказывание - «Карлсон живет в подвале». Второе высказыва­ние - «Карлсон лечится вареньем».

Результатом логического умножения этих простых выска­зываний будет сложное высказывание «Карлсон живет в подва­ле и лечится вареньем». Первое исходное высказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания - «ложь».

■ ПРИМЕР 5. Имеются два простых высказывания. Первое вы­сказывание - «Карлсон живет на крыше». Второе высказыва­ние - «Карлсон лечится мороженым».

Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится мороженым». Первое исходное высказывание истин но, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания «ложь».

* ПРИМЕР б . Имеются два простых высказывания. Одно высказывание - «Карлсон живет на крыше». Другое высказывание «Карлсон лечится вареньем».

Результатом логического умножения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Карлсон живет на крыше и лечится вареньем». Оба исходных высказывания истинны. Зпачение нового сложного высказывания также «истина».

Можно заметить, что логическое умножение двух высказываний истинно только в одном случае - когда оба исходных высказывания истинн ы.

Логическое умножение (конъюнкция) - логическая опера­ция, ставящая в соответствие двум простым высказывани­ям новое высказывание, значение которого истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ЛОГИЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ

Таблица 41

Если А = 0, В =0, то А И В- 0 (см. пример 3). Если А = 0, 7? = 1, то А И В - 0 (см. пример 4). Если/1 = 1, В = 0, то А И й=0 (см. пример 5). Если Л = \, В = \, то А\\ В = \ (см. пример 6).

Можно заметить, что результаты логического умножения сов­падают с результатами обычного умножения нулей и единиц.

Логическое сложение двух простых высказываний получают объединением этих высказываний с помощью союза или. Разбе­рем на примерах 7-10, что будет являться результатом логиче­ского сложения.

ПРИМЕР 7 . Имеются два простых высказывания. Одно высказы­вание - «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов». Другое высказывание - «Комедию «Ревизор» написал И. А. Крылов».

Результатом логического сложения этих простых высказыва­ний будет сложное высказывание «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов или И. А. Крылов». Оба исходных высказыва­ний ложны. Значение нового сложного высказывания также «ложь».

ПРИМЕР 8. Имеются два простых высказывания. Первое выска­зывание - «Комедию «Ревизор» написал М. Ю. Лермонтов». Вто­рое высказывание - «Комедию «Ревизор» написал Н. В. Гоголь».

Результатом логического сложения этих простых высказыва­ ний будет сложное высказывание «Комедию «Ревизор» написал М, К). Лермонтов или Н. В. Гоголь». Первое исходное вы ысказывание ложно, а второе истинно. Значение нового сложного высказывания - «истина» .

ПРИМЕР 9 . Имеются два простых высказывания. Первое высказывание - «Поэму «Мцыри» написал М. Ю. Лермонтов». Второе высказывание - «Поэму «Мцыри» написал Н. В. Гоголь» . Результатом логического сложения этих простых высказываний будет сложное высказывание «Поэму «Мцыри» написал М. Ю. Лермонтов или Н. В. Гоголь». Первое исходное высказывание истинно, а второе ложно. Значение нового сложного высказывания - «истина» .

ПРИМЕР 10 . Имеются два простых высказывания. Одно высказывание - «А. С. Пушкин писал стихи» Другое высказывание -«А. С. Пушкин писал прозу». Результатом логического сложения этих простых высказываний будет сложное высказывание «А. С. Пушкин писал стихи или прозу». Оба исходных высказывания истинны. Значение нового сложного высказывания также «истина» .

Можно заметить, что логическое сложение двух высказываний ложно только в одном случае - когда оба исходных высказывания ложны.

Логическое сложение (дизъюнкция) - логическая операция, ставящая в соответствие двум простым высказываниям новое высказывание, значение которого ложно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Обозначим одно простое высказывание логической переменной А, а другое простое высказывание логической переменной В.

Тогда логическое сложение этих высказываний будем обозначать А ИЛИ В

Запишем все возможные значения логических переменных A , B , а так же соответствующий результат логического сложения А ИЛИ В в виде таблицы которая называется таблицей истинности.

Действия с двоичными знаками выполняются в соответствии с таблицами истинности для логического сложения

Можно заметить, что результаты логического сложения, кроме последней строки, совпадают с результатами обычного сложения нулей и единиц.

Таким образом, используя язык логики, рассуждения можно заменить действиями с высказываниями. Высказываниям, в свою очередь, можно поставить в соответствие двоичный знак - 0 или 1. Действия с двоичными знаками выполняются в соответствии с таблицами истинности для основных логических операций логического отрицания, логического умножения и логического сложения (см. табл. 40-42)

23. Высказывания. Логические операции

Логическое сложение (дизъюнкция) двух высказываний ложно

1) тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны

2) тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны

3) когда хотя бы одно высказывание истинно

4) когда хотя бы одно высказывание ложно

Логические выражения. Выполнение логических операций

Запись логических выражений, приоритет выполнения логических операций, нахождение значения логического выражения, выполнение логических операций с информацией различного вида Логическое отрицание, логическое умножение и логическое сложение образуют полную систему логических операций, с помощью которой можно составить любое сложное высказывание и определить его истинность. При описании рассуждений с помощью языка математической логики простые высказывания обозначаются логическими переменными (латинскими буквами), значения высказываний обозначаются логическими константами (нулями или единицами), а логические операции обозначаются специальными связками (НЕ, И, ИЛИ). Запись, составляемая с помощью таких переменных, констант и связок, получила название логического выражения.

Логическое выражение - символическая запись на языке математической логики, составленная из логических переменных или логических констант, объединенных логическими операциями (связками).

При нахождении значения логического выражения логические операции выполняются в определенном порядке, согласно их приоритету - вначале логическое отрицание, потом логическое умножение и лишь затем логическое сложение. Логические операции, имеющие один и тот же приоритет, выполняются слева направо. Для изменения порядка выполнения логических операций используются скобки.

■ ПРИМЕР 1. Дано простое истинное высказывание А = «Аристотель - древнегреческий философ» и простое ложное высказывание В = «Аристотель - древнерусский философ».

Действия над информацией. Основные операции

значения сложных высказываний, которые соответствуют следующим логическим выражениям:

1) НЕ А;

2) А ИЛИ В;

3) А И (НЕВ).

Решение. 1) Результатом логического отрицания высказывания А будет высказывание «Неверно, что Аристотель - древнегреческий философ». Поскольку значение исходного высказывания «истина» А = 1, то значение логического отрицания этого высказывания «ложь» НЕ А =0 (см. табл. 40). 2) Результатом логического сложения двух высказываний будет высказывание «Аристотель - древнегреческий или Аристотель -древнерусский философ». Поскольку значение первого исходного высказывания «истина» А = 1, а значение второго исходного высказывания «ложь» В = 0, то значение логического сложения этих высказываний «истина» А ИЛИ В =1 (см. табл. 42). 3) Результатом логического умножения высказывания А и логического отрицания высказывания В будет высказывание «Аристотель - древнегреческий философ, и неверно, что Аристотель - древнерусский философ». Вначале выполняем логическое отрицание высказывания В. Поскольку значение исходного высказывания «ложь» В = 0, то значение логического отрицания этого высказывания «истина» НЕ В = 1 (см. табл. 40). Поскольку значение первого исходного высказывания «истина» А = 1 и значение логического отрицания второго исходного высказывания «истина» НЕ В =1, то значение логического умножения этих высказываний «истина» А И (НЕ В) =1

(см. табл. 41)

Ответ. 1) «Ложь»; 2) «истина»; 3) «истина». Для нахождения значения сложного высказывания достаточно знать значения простых высказываний, входящих в сложное высказывание, и правила выполнения логических операций, которые объединяют эти простые высказывания.

■ ПРИМЕР 2. Найти значение логического выражения НЕ А ИЛИ (0 ИЛИ 1) И (НЕ В И 1), если значения логических переменных А =1, В =0.

Решение . 1) Заменим в логическом выражении логические переменные логическими константами. НЕАИЛИ(0ИЛИ 1)И(НЕВИ 1)= =НЕ1ИЛИ(0ИЛИ1)И(НЕ0И1).

2) Определим последовательность выполнения логических операций в соответствии с их приоритетом. НЕ4 1 ИЛИ6 (0 ИЛИ1 1) И5 (НЕг 0 И3 1).

Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на более простые части мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».

Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

Понятие высказывания - одно из исходных, ключевых понятий современной логики. Как таковое оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах.

Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются «истинностными значениями высказываний».

Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Например, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т.п.

Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.

Высказывание называется сложным, если оно получено с помощью логических связок из других более простых высказываний.

Рассмотрим наиболее важные способы построения сложных высказываний.

Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).

Обозначим высказывания буквами А, В, С, ... Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание А истинно, его отрицание ложно, и если А ложно, его отрицание истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» - истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» - ложно, а так как «1 есть простое число» - ложно, его отрицание «1 не есть простое число» - истинно.

Соединение двух высказываний при помощи слова «и» дает сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким образом, называются «членами конъюнкции».

Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто, и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число и Москва - большой город», поскольку составляющие се высказывания не связаны между собой по смыслу. Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более определенным.

Соединение двух высказываний с помощью слова «или» дает дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются «членами дизъюнкции».

Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Например, высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на «Пиковую даму» или на «Аиду» допускает возможность двукратного посещения онеры. В высказывании же «Он учится в Московском или в Ярославском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает, что, по крайней мере, одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или пет. Взятая во втором, исключающему или строгом, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из высказываний истинно, а второе - ложно.

Неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны.

Исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.

В логике и математике слово «или» почти всегда употребляется в неисключающем значении.

Условное высказывание - сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если..., то...» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого.

Например: «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, оно делится на 3» и т.п.

Условное высказывание слагается из двух более простых высказываний. То из них, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим), высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).

Утверждая условное высказывание, мы прежде всего имеем в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в его основании, имело место, а то, о чем говорится в следствии, отсутствовало. Иными словами, не может случиться, чтобы антецедент был истинным, а консеквент - ложным.

В терминах условного высказывания обычно определяются понятия достаточного и необходимого условия: антецедент (основание) есть достаточное условие для консеквента (следствия), а консеквент - необходимое условие для антецедента. Например, истинность условного высказывания «Если выбор рационален, то выбирается лучшая из имеющихся альтернатив» означает, что рациональность - достаточное основание для избрания лучшей из имеющихся возможностей и что выбор такой возможности есть необходимое условие его рациональности.

Типичной функцией условного высказывания является обоснование одного высказывания ссылкой на другое высказывание. Например, то, что серебро электропроводно, можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: «Если серебро - металл, оно электропроводно».

Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия) трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа се относительно ясна. Эта связь может быть, во-первых, связью логического следования, имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны, а медуза является таким существом, то она смертна»); во-вторых, законом природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться»); в-третьих, причинной связью («Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, наступает солнечное затмение»); в-четвертых, социальной закономерностью, правилом, традицией и т.п. («Если меняется общество, меняется и человек», «Если совет разумен, он должен быть выполнен»).

Со связью, выражаемой условным высказыванием, обычно соединяется убеждение, что следствие с определенной необходимостью «вытекает» из основания и что имеется некоторый общий закон, сумев сформулировать который, мы могли бы логически вывести следствие из основания.

Например, условное высказывание «Если висмут - металлом пластичен» как бы предполагает общий закон "Нес металлы пластичны», делающий консеквент данного высказывания логическим следствием его антецедента.

И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание кроме функции обоснования может выполнять также ряд других задач: формулировать условие, не связанное с каким-либо подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»); фиксировать какую-либо последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»); выражать в своеобразной форме неверие («Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма»); противопоставление («Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька») и т.п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняет его анализ.

Употребление условного высказывания связано с определенными психологическими факторами. Так, обычно мы формулируем такое высказывание, только если не знаем с определенностью, истинны или нет его антецедент и консеквент. В противном случае его употребление кажется неестественным («Если вата - металл, она электропровод на»).

Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или импликации. При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление «если..., то...», освобождает его от влияния психологических факторов.

Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для условного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться с помощью нс только «если..., то...», но и других языковых средств. Например, «Так как вода жидкость, она передает давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен», «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводным» и т.п. Эти и подобные им высказывания представляются в языке логики посредством импликации, хотя употребление в них «если..., то...» было бы не совсем естественным.

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание имело место, а следствие - отсутствовало. Иными словами, импликация является ложной только в том случае, когда се основание истинно, а следствие ложно.

Это определение предполагает, как и предыдущие определения связок, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений составляющих его высказываний и от способа их связи.

Импликация истинна, когда и ее основание, и ее следствие истинны или ложны; она истинна, если ее основание ложно, а следствие истинно. Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, импликация ложна.

Импликацией не предполагается, что высказывания А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.

Например, истинным считаются высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре», «Если Волга - озеро, то Токио - большая деревня» и т.п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с А или нет. К истинным относятся высказывания: «Если Солнце - куб, то Земля - треугольник», «Если дважды два равно пять, то Токио - маленький город» и т.п.

В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.

Хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты логического поведения условного высказывания, но она не является вместе с тем достаточно адекватным его описанием.

В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении наряду с ним другого понятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.

С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность - сложное высказывание «Л, если и только если В», образованное из высказываний Ли В и разлагающееся на две импликации: «если А, то В», и «если В, то А». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «..., если и только если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «если и только если» для этой цели могут использоваться «в том и только в том случае, когда», «тогда и только тогда, когда» и т.п.

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющих ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т.е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.

Математическая логика (ЧАСТЬ 1)

Что такое логический вывод?

Пусть дано два утверждения:

1. Фрукты могут расти на деревьях.

2. Яблоко это фрукт.

Так как оба эти утверждения истинны, то можно сказать, что утверждение «Яблоки могут расти на деревьях» также истинно. Это третье утверждение никак не содержится в двух первых, оно из них следует. Или, иначе говоря, третье утверждение является логическим выводом из первых двух.

Это был простой пример. Сейчас рассмотрим пример посложнее. Попробуем решить задачу из книги профессора Р.М. Смаллиана, «Принцесса или тигр».

Условие. В этой задаче необходимо выяснить: в какой из двух комнат находится принцесса, а в какой тигр. На дверях каждой из комнат есть таблички с некоторыми утверждениями, кроме того, дополнительно известно, что на одной табличке написана правда, а на другой нет, но на какой правда, а на какой ложь не известно. И ещё известно, что в каждой комнате кто-то есть.

Решение. Утверждения на табличках не могут быть одновременно истинными или ложными. Следовательно, возможны только две ситуации. Первая: первое истинно, а второе ложно и вторая: первое ложно, а второе истинно. Рассмотрим их.

Ситуация 1. Из истинности первого утверждения следует, что принцесса находится в первой комнате, а тигр во второй. В это же время из ложности второго утверждения следует, что нет комнаты, в которой находится принцесса и нет комнаты в которой сидит тигр. Следовательно, истинность первого утверждения и ложность второго невозможны одновременно.

Ситуация 2. Из истинности второго утверждения следует только то, что и тигр и принцесса имеются в наличии. Из ложности же первого следует, что принцесса находится во второй комнате, а тигр в первой. Анализируя вторую ситуацию, мы не получили противоречия, следовательно ситуация 2 и есть решение задачи.

Решение данной задачи есть пример более сложного рассуждения. Однако нетрудно заметить общий принцип. В этом рассуждении, так же как и в первом примере есть элементарные утверждения из истинности, которых следует истинность или ложность других утверждений. А цель логического вывода как раз и заключается в установлении истинности или ложности различных утверждений.

Логический вывод опирается на вроде бы очевидное утверждение, что при истинных исходных утверждениях и правильном логическом выводе, утверждение которое получается в результате такого вывода также истинно.

Остается выяснить, что такое правильный логический вывод. А это уже очень сложный вопрос. Чтобы на него ответить и нужна целая наука, называемая математической логикой. А сейчас нам нужно несколько определений.

Понятие высказывания

У всех утверждений, которые мы использовали выше в качестве примеров, есть одно общее свойство. Независимо от их смысла они могут быть либо истинными, либо ложными. Утверждения, обладающие таким свойством, называются высказываниями. Не всякое утверждение может быть высказыванием. К примеру, следующее утверждение: «Малахит самый красивый камень из всех известных самоцветов» высказыванием быть не может, так как это вопрос вкуса.

Бывают утверждения истинность или ложность, которых в принципе проверить можно, но только в принципе, реально же это невозможно. Например, невозможно проверить истинность следующего утверждения: «На планете Земля в настоящее время есть одно и только одно дерево, на котором растет ровно 10000 листьев». Теоретически это проверить можно, но только теоретически, так как для такой проверки придётся использовать слишком большое количество проверяющих, значительно большее чем проживает на планете людей.

Таким образом, математическая логика изучает только высказывания, и только то, как определять их истинность или ложность. Математическая логика не исследует смысл высказываний, из чего следует, что формулировка высказывания роли не играет и для высказывания достаточно ввести простое обозначение.

Собственно так и происходит. Высказывания обозначают просто буквами: А, В, С и т.д. и говорят о них только то, что они истинны или ложны.

Сложные высказывания. Логические операции

Ранее, мы говорили только о простых высказываниях, высказывания же могут быть и сложными состоящими из нескольких простых. Приведем пример:

Помидор может быть красным и помидор может быть круглым.

Это высказывание состоит из двух простых: «Помидор может быть красным», «Помидор может быть круглым» соединённых логической связкой «И». Объединение двух и более простых высказываний логической связкой «И» называется логической операцией конъюнкции. Результатом конъюнкции является сложное высказывание, истинность которого зависит от истинности входящих в него простых высказываний и определяется следующим правилом: Конъюнкция является истинной тогда и только тогда, когда истинны все входящие в неё высказывания.

В математической логике есть общепринятое обозначение конъюнкции – Ù. Если в конъюнкции участвуют два простых высказывания A и B, то это записывается так A Ù B.

Правило истинности для конъюнкции можно представить в виде следующей таблицы:

Истинность в этой таблице записывается единицей, а ложность нулем. Если A имеет значение 0 и B имеет значение 1, то конъюнкция будет такая: 0 and 1 = 0, то есть ложь.

Конечно, конъюнкция не единственная логическая операция позволяющая строить из простых высказываний сложные. Дадим определение ещё нескольких:

Дизъюнкция. Сложное высказывание являющееся дизъюнкцией двух простых истинно, если истинно хотя бы одно простое высказывание, входящее в дизъюнкцию. Обозначается дизъюнкция следующим образом:

A Ú B. Её таблица истинности:

Эквиваленция. Сложное высказывание, построенное с помощью операции эквиваленции истинно в том случае, когда оба входящие в него высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Обозначается эквиваленция так: A ~ B. Таблица истинности приведена ниже.

С помощью логических операций можно строить логические выражения любой степени сложности, истинность которых также можно определять с помощью таблицы истинности. Возьмём в качестве примера следующее выражение: (A Ù B) ® (A Ú B) и построим для него таблицу истинности:

Из таблицы истинности данного выражения видно, что оно принимает истинное значение при любых значениях простых высказываний A и B. Такие выражения называются тождественно истинными. Выражения, принимающие всегда значение ложь, называются тождественно ложными.

Проверка истинности с помощью таблиц истинности не всегда проста. Логические выражения могут включать в себя много операций, количество элементарных высказываний, обозначаемых буквами, также может быть велико, а при достаточно большом количестве элементарных высказываний, таблица истинности может быть настолько велика, что построить её окажется просто невозможным.

Из таблиц приведённых выше видно, что, для их построения необходимо перебрать все возможные комбинации истинности и ложности элементарных высказываний. Для двух высказываний возможны четыре комбинации. Для трех, количество комбинаций равно 8. Для N высказываний количество комбинаций равно числу 2 N . То есть, например для N=10 2 N = 2 10 = 1024. Это уже слишком много.

В таких ситуациях уже нужны специальные приёмы для выяснения истинности и ложности выражения. Эти приёмы заключаются в упрощении исходного выражения, приведения его к стандартному, более простому виду. Под более простым видом, обычно понимается более короткое выражение, однако сократить логическое выражение может не получиться. Однако всегда можно уменьшить количество логических операций и всегда можно упростить форму логического выражения.

Существуют две стандартные формы, к которым можно привести любое логическое выражение.

Дизъюнктивная нормальная форма. Это логическое выражение представляющее собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, в которые входят элементарные высказывания или их отрицания.

Пример

(AÙBÙC)Ú(AÙùBÙùC)Ú(AÙBÙùC)

Конъюнктивная нормальная форма. Это логическое выражение представляющее собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, в которые входят элементарные высказывания или их отрицания.

(AÚùBÚC) Ù(AÚùBÚC)Ù (AÚBÚùC)

Истинность выражения представленного в нормальной форме проверяется значительно проще. Дизъюнктивная нормальная форма истинна если истинна хотя бы одна элементарная конъюнкция. Конъюнктивная нормальная форма ложна если ложна хотя бы одна элементарная дизъюнкция. Элементарная дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно элементарное высказывание в неё входящее. Элементарная конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно элементарное высказывание в неё входящее (Отрицание высказывания элементарным не является).

Для того чтобы привести логическое выражение к одной из указанных выше форм применятся правила подстановки, переводящие логическое выражение в равнозначное (то есть имеющее точно такую же таблицу истинности). Ниже приведен список таких правил.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-11