ساده ترین معادلات مثلثاتی حل معادلات مثلثاتی معرفی زاویه کمکی

من یک بار شاهد گفتگو بین دو متقاضی بودم:

- چه زمانی باید 2πn اضافه کنید و چه زمانی باید πn اضافه کنید؟ فقط یادم نمیاد!

- و من هم همین مشکل را دارم.

فقط می خواستم به آنها بگویم: "نیازی به حفظ کردن ندارید، اما درک کنید!"

این مقاله در درجه اول به دانش آموزان دبیرستانی می پردازد و امیدوارم به آنها کمک کند ساده ترین معادلات مثلثاتی را با "درک" حل کنند:

دایره اعداد

در کنار مفهوم خط عددی، مفهوم دایره عددی نیز وجود دارد. همانطور که می دانیم، در یک سیستم مختصات مستطیلی، دایره ای با مرکز در نقطه (0;0) و شعاع 1 دایره واحد نامیده می شود.بیایید خط عددی را به عنوان یک نخ نازک تصور کنیم و آن را به دور این دایره بپیچیم: مبدا (نقطه 0) را به نقطه "راست" دایره واحد وصل می کنیم، نیم محور مثبت را در خلاف جهت عقربه های ساعت و نیمه منفی را می پیچیم. -محور در جهت (شکل 1). چنین دایره واحدی دایره عددی نامیده می شود.

خواص دایره اعداد

• هر عدد واقعی در یک نقطه از دایره اعداد قرار دارد.
• در هر نقطه از دایره اعداد بی نهایت تعداد واقعی وجود دارد. از آنجایی که طول دایره واحد 2π است، تفاوت بین هر دو عدد در یک نقطه از دایره برابر با یکی از اعداد ±2π است. ± 4π ; ± 6π ; ...

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد نقطه A می توانیم تمام اعداد نقطه A را پیدا کنیم.

بیایید قطر AC را رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که x_0 یکی از اعداد نقطه A است، پس اعداد x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... و فقط آنها اعداد نقطه C خواهند بود. بیایید یکی از این اعداد را انتخاب کنیم، مثلا x_0+π، و از آن برای نوشتن تمام اعداد نقطه C استفاده کنیم: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ز. توجه داشته باشید که اعداد در نقاط A و C را می توان در یک فرمول ترکیب کرد: x_(A ; C)=x_0+πk,k∈Z (برای k = 0; ±2; ±4; ... ما اعداد نقطه A، و برای k = 1±؛ ± 3؛ ± 5؛ ... - اعداد نقطه C).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا C قطر AC، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

• دو عدد متضاد در نقاطی از دایره قرار دارند که نسبت به محور آبسیسا متقارن هستند.

بیایید یک وتر عمودی AB رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که نقاط A و B در مورد محور Ox متقارن هستند، عدد -x_0 در نقطه B قرار دارد و بنابراین، تمام اعداد نقطه B با فرمول: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z داده می‌شوند. اعداد را در نقاط A و B با استفاده از یک فرمول می نویسیم: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. اجازه دهید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا B وتر عمودی AB، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. بیایید وتر افقی AD را در نظر بگیریم و اعداد نقطه D را پیدا کنیم (شکل 2). از آنجایی که BD یک قطر است و عدد -x_0 متعلق به نقطه B است، پس -x_0 + π یکی از اعداد نقطه D است و بنابراین، تمام اعداد این نقطه با فرمول x_D=-x_0+π+ به دست می‌آیند. 2πk،k∈Z. اعداد در نقاط A و D را می توان با استفاده از یک فرمول نوشت: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk,k∈Z. (برای k= 0؛ ± 2؛ ± 4؛ … اعداد نقطه A و برای k = 1±؛ ± 3؛ ± 5؛ … – اعداد نقطه D را بدست می آوریم).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا D وتر افقی AD، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

شانزده نقطه اصلی دایره اعداد

در عمل، حل بیشتر ساده ترین معادلات مثلثاتی شامل شانزده نقطه روی یک دایره است (شکل 3). این نقطه ها چیست؟ نقاط قرمز، آبی و سبز دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم می کنند. از آنجایی که طول نیم دایره π است، پس طول قوس A1A2 π/2، طول قوس A1B1 π/6 و طول قوس A1C1 π/3 است.

اکنون می توانیم هر بار یک عدد را نشان دهیم:

π/3 در C1 و

رئوس مربع نارنجی وسط قوس های هر ربع است، بنابراین، طول کمان A1D1 برابر π/4 است و بنابراین، π/4 یکی از اعداد نقطه D1 است. با استفاده از ویژگی های دایره اعداد، می توانیم از فرمول ها برای نوشتن تمام اعداد در تمام نقاط علامت گذاری شده دایره خود استفاده کنیم. مختصات این نقاط نیز در شکل مشخص شده است (از شرح کسب آنها صرف نظر می کنیم).

با آموختن موارد فوق، اکنون آمادگی کافی برای حل موارد خاص (برای نه مقدار از عدد) داریم آ)ساده ترین معادلات

حل معادلات

1)sinx=1⁄(2).

- چه چیزی از ما خواسته می شود؟

– تمام اعداد x را که سینوس آنها برابر با 1/2 است پیدا کنید.

بیایید تعریف سینوس را به خاطر بسپاریم: sinx - ترتیب نقطه روی دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد. روی دایره دو نقطه داریم که مختصات آنها برابر با 1/2 است. اینها انتهای وتر افقی B1B2 هستند. این بدان معناست که شرط «حل معادله sinx=1⁄2» معادل شرط «همه اعداد در نقطه B1 و همه اعداد در نقطه B2 را بیابید» است.

2)sinx=-√3⁄2 .

ما باید تمام اعداد را در نقاط C4 و C3 پیدا کنیم.

3) sinx=1. روی دایره فقط یک نقطه با مختص 1 داریم - نقطه A2 و بنابراین باید فقط تمام اعداد این نقطه را پیدا کنیم.

پاسخ: x=π/2+2πk، k∈Z.

4)sinx=-1 .

فقط نقطه A_4 دارای 1- است. تمام اعداد این نقطه، اسب های معادله خواهند بود.

پاسخ: x=-π/2+2πk، k∈Z.

5) sinx=0 .

روی دایره دو نقطه با مختصات 0 داریم - نقاط A1 و A3. می توانید اعداد را در هر یک از نقاط به طور جداگانه نشان دهید، اما با توجه به اینکه این نقاط به طور قطری مخالف هستند، بهتر است آنها را در یک فرمول ترکیب کنید: x=πk,k∈Z.

پاسخ: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

بیایید تعریف کسینوس را به خاطر بسپاریم: cosx ابسیسا نقطه روی دایره عددی است که عدد x روی آن قرار دارد.روی دایره دو نقطه با آبسیسا √2⁄2 داریم - انتهای وتر افقی D1D4. ما باید تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. بیایید آنها را بنویسیم و آنها را در یک فرمول ترکیب کنیم.

پاسخ: x=±π/4+2πk، k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

باید اعداد را در نقاط C_2 و C_3 پیدا کنیم.

پاسخ: x=±2π/3+2πk، k∈Z .

10) cosx=0 .

فقط نقاط A2 و A4 دارای ابسیسا 0 هستند، به این معنی که تمام اعداد در هر یک از این نقاط حل معادله خواهند بود.
.

راه حل های معادله سیستم اعداد در نقاط B_3 و B_4 هستند.به نابرابری cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
پاسخ: x=-5π/6+2πk، k∈Z.

توجه داشته باشید که برای هر مقدار مجاز x، عامل دوم مثبت است و بنابراین، معادله معادل سیستم است.

راه حل های معادله سیستم تعداد نقاط D_2 و D_3 است. اعداد نقطه D_2 نابرابری sinx≤0.5 را برآورده نمی کنند، اما اعداد نقطه D_3 را برآورده می کنند.

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

روش های اصلی برای حل معادلات مثلثاتی عبارتند از: کاهش معادلات به ساده ترین (با استفاده از فرمول های مثلثاتی)، معرفی متغیرهای جدید و فاکتورگیری. بیایید با مثال به کاربرد آنها نگاه کنیم. به فرمت حل معادلات مثلثاتی توجه کنید.

شرط لازم برای حل موفقیت آمیز معادلات مثلثاتی، آگاهی از فرمول های مثلثاتی است (مبحث 13 از کار 6).

مثال ها.

1. معادلات کاهش یافته به ساده ترین.

1) معادله را حل کنید

راه حل:

پاسخ:

2) ریشه های معادله را بیابید

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx، متعلق به بخش.

راه حل:

پاسخ:

2. معادلاتی که به درجه دوم تقلیل می یابند.

1) معادله 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 را حل کنید.

راه حل:با استفاده از فرمول sin 2 x = 1 – cos 2 x دریافت می کنیم

پاسخ:

2) معادله cos 2x = 1 + 4 cosx را حل کنید.

راه حل:با استفاده از فرمول cos 2x = 2 cos 2 x – 1 می گیریم

پاسخ:

3) معادله tgx – 2ctgx + 1 = 0 را حل کنید

راه حل:

پاسخ:

3. معادلات همگن

1) معادله 2sinx – 3cosx = 0 را حل کنید

راه حل: اجازه دهید cosx = 0، سپس 2sinx = 0 و sinx = 0 - تناقض با این واقعیت است که sin 2 x + cos 2 x = 1. این به معنای cosx ≠ 0 است و می توانیم معادله را بر cosx تقسیم کنیم. ما گرفتیم

پاسخ:

2) معادله 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x را حل کنید

راه حل:

ما از فرمول های 1 = sin 2 x + cos 2 x و sin 2x = 2 sinxcosx استفاده می کنیم.

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

اجازه دهید cosx = 0، سپس sin 2 x = 0 و sinx = 0 - تناقض با این واقعیت است که sin 2 x + cos 2 x = 1.
این یعنی cosx ≠ 0 و می توانیم معادله را بر cos 2 x تقسیم کنیم . ما گرفتیم

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
اجازه دهید tgx = y را نشان دهیم
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
الف) tgx = 4، x = arctan4 + 2 ک, ک
ب) tgx = 2، x = arctan2 + 2 ک, ک .

پاسخ: arctg4 + 2 ک, arctan2 + 2 k,k

4. معادلات فرم آ sinx + ب cosx = اس، س≠ 0.

1) معادله را حل کنید.

راه حل:

پاسخ:

5. معادلات حل شده با فاکتورسازی.

1) معادله sin2x – sinx = 0 را حل کنید.

ریشه معادله f (ایکس) = φ ( ایکس) فقط می تواند به عنوان عدد 0 باشد. بیایید این را بررسی کنیم:

cos 0 = 0 + 1 - برابری درست است.

عدد 0 تنها ریشه این معادله است.

پاسخ: 0.

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد در ریاضیات با 60-65 امتیاز است. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و ماژول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.