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기능적 행. 파워 시리즈.
시리즈의 수렴 범위

이유 없는 웃음은 달랑베르의 상징이다

따라서 기능적 행의 시간이 도래했습니다. 주제, 특히 이 단원을 성공적으로 마스터하려면 일반적인 숫자 시리즈에 정통해야 합니다. 급수가 무엇인지 잘 이해하고 있어야 하며, 수렴을 위한 급수를 연구하기 위해 비교 기호를 적용할 수 있어야 합니다. 따라서 이제 막 주제를 공부하기 시작했거나 고등 수학의 찻주전자라면, 필요한세 가지 수업을 순서대로 진행합니다. 찻주전자 행,달랑베르의 간판. 코시의 징후그리고 교대 행. 라이프니츠 기호. 무조건 셋다! 수열 문제 해결에 대한 기본 지식과 기술이 있다면 새로운 자료가별로 없기 때문에 기능 계열을 다루는 것은 매우 쉬울 것입니다.

이번 강의에서는 함수 급수의 개념(일반적으로 무엇인가)을 살펴보고, 실제 작업의 90%에서 발견되는 거듭제곱 급수에 대해 알아보고, 수렴을 찾는 일반적인 일반적인 문제를 해결하는 방법을 배웁니다. 반지름, 수렴 간격 및 거듭제곱 급수의 수렴 영역. 또한 다음 자료를 고려하는 것이 좋습니다. 기능을 거듭제곱 계열로 확장, 그리고 초보자에게 구급차가 제공됩니다. 약간의 휴식 후 다음 단계로 이동합니다.

또한 기능 시리즈 섹션에는 수많은 근사 계산을 위한 응용, 그리고 일반적으로 교육 문헌에서 별도의 장으로 할당되는 푸리에 시리즈는 약간 다릅니다. 기사가 하나뿐이지만 길고 많고 많은 추가 예가 있습니다!

이제 랜드마크가 설정되었습니다.

기능 계열과 전원 계열의 개념

극한에서 무한대를 얻으면, 그러면 솔루션 알고리즘도 작업을 완료하고 작업에 대한 최종 답변을 제공합니다. "시리즈 수렴"(또는 둘 중 하나)입니다. 이전 단락의 사례 #3을 참조하십시오.

한계에서 0이 아니고 무한대가 아닌 것으로 판명되면, 그렇다면 우리는 실제로 1 번에서 가장 일반적인 경우가 있습니다. 시리즈는 특정 간격으로 수렴합니다.

이 경우 한도는 입니다. 시리즈의 수렴 간격을 찾는 방법은 무엇입니까? 우리는 불평등을 만듭니다:

에 이 유형의 모든 작업불평등의 왼쪽에 있어야합니다 한계 계산 결과, 그리고 부등식의 오른쪽에 엄격하게 단위. 왜 이 불평등이 왜 오른쪽에 있고 왜 불평등이 있는지 설명하지 않겠습니다. 수업은 실용적이고 일부 정리가 내 이야기에서 더 명확 해졌다는 것은 이미 매우 좋습니다.

모듈로 작업하고 이중 불평등을 해결하는 기술은 기사의 첫 해에 자세히 고려되었습니다. 기능 범위,하지만 편의를 위해 모든 작업에 대해 가능한 한 자세히 설명하려고 노력할 것입니다. 우리는 학교 규칙에 따라 모듈로 불평등을 나타냅니다 . 이 경우:

반쯤 뒤에.

두 번째 단계에서는 발견된 구간의 끝에서 급수의 수렴을 조사할 필요가 있습니다.

먼저 구간의 왼쪽 끝을 가져와 거듭제곱 급수에 대입합니다.

~에

숫자 시리즈가 수신되었으며 수렴에 대해 검토해야 합니다(이전 수업에서 이미 익숙한 작업).

1) 계열은 부호 교대입니다.
2) – 급수의 항은 모듈로 감소합니다. 또한 시리즈의 각 다음 항은 모듈러스에서 이전 항보다 작습니다. , 그래서 감소는 단조롭다.
결론: 시리즈가 수렴합니다.

모듈로 구성된 시리즈의 도움으로 다음과 같은 방법을 정확히 알아낼 것입니다.
– 수렴(일반화된 고조파 계열의 "참조" 계열).

따라서 결과 숫자 시리즈는 절대적으로 수렴됩니다.

~에 - 수렴합니다.

! 나는 상기시킨다 모든 수렴하는 양수 급수도 절대적으로 수렴한다는 것입니다.

따라서 거듭제곱 급수는 수렴하고 절대적으로 발견된 구간의 양 끝에서 수렴합니다.

대답:연구된 거듭제곱 급수의 수렴 영역:

그것은 생명의 권리와 대답의 또 다른 디자인을 가지고 있습니다. 시리즈는 다음과 같은 경우 수렴합니다.

때때로 문제의 조건에서 수렴 반경을 지정해야 합니다. 고려 된 예에서 .

실시예 2

거듭제곱 급수의 수렴 영역 찾기

해결책:우리는 시리즈의 수렴 간격을 찾습니다 사용하여달랑베르의 상징 (그러나 속성에 따른 것은 아닙니다! - 기능 시리즈에는 그러한 속성이 없습니다):

시리즈는 에 수렴합니다.

왼쪽우리는 떠날 필요가 뿐, 그래서 우리는 부등식의 양쪽에 3을 곱합니다:

– 계열은 부호 교대입니다.
– – 급수의 항은 모듈로 감소합니다. 시리즈의 각 다음 항은 절대값이 이전 항보다 작습니다. , 그래서 감소는 단조롭다.

결론: 시리즈가 수렴합니다.

우리는 수렴의 본질에 대해 그것을 조사합니다:

이 계열을 분기 계열과 비교합니다.
우리는 비교의 극한 기호를 사용합니다.

0이 아닌 유한 수가 얻어지며, 이는 급수가 급수와 함께 발산함을 의미합니다.

따라서 급수는 조건부로 수렴합니다.

2) 언제 – 발산(증명된 대로).

대답:연구된 거듭제곱 급수의 수렴 영역: . 의 경우 급수는 조건부로 수렴합니다.

고려된 예에서 거듭제곱 급수의 수렴 영역은 반구간이고 모든 지점에서 거듭제곱 급수 절대적으로 수렴, 그리고 그 시점에서 밝혀진 바와 같이, 조건부로.

실시예 3

거듭제곱 급수의 수렴 구간을 찾고 찾은 구간의 끝에서 수렴을 조사합니다.

이것은 DIY의 예입니다.

드물지만 발생하는 몇 가지 예를 고려하십시오.

실시예 4

시리즈의 수렴 영역을 찾으십시오.

해결책: d'Alembert 테스트를 사용하여 이 급수의 수렴 구간을 찾습니다.

(1) 시리즈의 다음 멤버와 이전 멤버의 비율을 구성합니다.

(2) 4층 분수를 없애라.

(3) 큐브 및 거듭제곱 연산 규칙에 따라 단일 차수로 요약됩니다. 분자에서 우리는 학위를 영리하게 분해합니다. 다음 단계에서 분수를 줄이는 방식으로 확장합니다. 팩토리얼에 대해 자세히 설명합니다.

(4) 입방체 아래에서 분자를 분모로 나눈 항을 항으로 나누어 . 한 마디로 줄일 수 있는 모든 것을 줄입니다. 승수는 제한 기호에서 꺼내고 "동적"변수 "en"에 의존하는 것이 없기 때문에 빼낼 수 있습니다. "x"에 대해 음수가 아닌 값을 취하기 때문에 모듈 기호는 그려지지 않습니다.

극한에서 0이 얻어지며 이는 최종 답을 줄 수 있음을 의미합니다.

대답:시리즈는 에 수렴합니다.

그리고 처음에는 "끔찍한 스터핑"이 있는 이 행을 해결하기 어려울 것 같았습니다. 솔루션이 눈에 띄게 줄어들기 때문에 극한의 0 또는 무한대는 거의 선물입니다!

실시예 5

급수의 수렴 영역 찾기

이것은 DIY의 예입니다. 조심하세요 ;-) 풀 솔루션은 강의 마지막에 나오는 답입니다.

기술 사용 측면에서 참신한 요소를 포함하는 몇 가지 예를 더 고려하십시오.

실시예 6

급수의 수렴 구간을 찾고 찾은 구간의 끝에서 수렴을 조사합니다.

해결책:거듭제곱의 일반적인 용어에는 교번을 보장하는 인자가 포함됩니다. 솔루션 알고리즘은 완전히 보존되지만 한계를 컴파일할 때 모듈이 모든 "빼기"를 파괴하기 때문에 이 요소를 무시(작성하지 않음)합니다.

d'Alembert 테스트를 사용하여 계열의 수렴 구간을 찾습니다.

우리는 표준 부등식을 구성합니다.
시리즈는 에 수렴합니다.
왼쪽우리는 떠날 필요가 모듈만, 그래서 우리는 부등식의 양쪽에 5를 곱합니다.

이제 친숙한 방식으로 모듈을 확장합니다.

이중 부등식의 중간에 "x"만 남겨야 합니다. 이를 위해 부등식의 각 부분에서 2를 뺍니다.

는 연구된 거듭제곱 급수의 수렴 간격입니다.

발견된 구간의 끝에서 계열의 수렴을 조사합니다.

1) 거듭제곱 계열의 값을 대체합니다. :

매우 조심하십시오. 승수는 자연적인 "en"에 대해 교대를 제공하지 않습니다. (상수 승수와 마찬가지로) 숫자 계열의 수렴 또는 발산에 어떤 식으로든 영향을 미치지 않기 때문에 우리는 시리즈에서 결과 빼기를 제거하고 잊어버립니다.

다시 공지그 값을 거듭제곱 급수의 공통 항에 대입하는 과정에서 인수를 줄였습니다. 이것이 발생하지 않으면 제한을 잘못 계산했거나 모듈을 잘못 확장했음을 의미합니다.

따라서 수치 급수의 수렴을 조사할 필요가 있다. 여기에서 한계 비교 기준을 사용하고 이 계열을 발산 고조파 계열과 비교하는 것이 가장 쉽습니다. 그러나 솔직히 말해서, 나는 비교의 한계 표시에 몹시 지쳤으므로 솔루션에 약간의 다양성을 추가할 것입니다.

따라서 급수는 다음과 같이 수렴됩니다.

부등식의 양쪽에 9를 곱합니다.

우리는 구식 농담을 기억하면서 두 부분에서 루트를 추출합니다.

모듈 확장:

모든 부분에 하나를 추가합니다.

는 연구된 거듭제곱 급수의 수렴 간격입니다.

우리는 발견된 구간의 끝에서 거듭제곱 급수의 수렴을 조사합니다.

1) 이면 다음 수열을 얻습니다.

승수는 "en"의 자연 값 때문에 흔적도 없이 사라졌습니다.

전원 다음 형식의 기능 계열이라고 합니다.

여기 엑스 실제 변수입니다. 번호 ㅏ N (N = 0, 1, 2, … ) ~라고 불리는 시리즈 계수. 다음에서 우리는 모든 경우에 자신을 제한합니다. ㅏ N 그리고 규모 엑스 0 실수입니다. 거듭제곱 급수(9.5)라고도 합니다. 차이의 힘 다음엑스  엑스 0 .

만약 엑스 0 = 0 , 다음 형식의 거듭제곱 급수를 얻습니다.

, (9.6)

라고 불리는 가까운 정도엑스 .

거듭제곱 급수(9.5)는 간단한 변환을 사용하여 형식(9.6)으로 축소됩니다. 엑스  엑스 0 = 티 (숫자 축에서 원점 전송). 이 때문에 권력 이론은

시리즈 (9.5) 및 (9.6)은 공통입니다. 따라서 다음에서 우리는 형식(9.6)의 계열의 주요 속성을 고려하는 것으로 제한합니다.

전력 계열을 고려할 때 주요 문제는 전력 계열을 결정하는 것입니다. 수렴 영역, 즉 해당 값의 집합 엑스 시리즈가 수렴하는 것입니다.

이 문제는 기반으로 해결됩니다. 아벨의 정리 .

거듭제곱 급수(9.6)가 어떤 값으로 수렴하는 경우엑스 = 엑스 1  0 , 모든 값에 대해 절대적으로 수렴합니다.엑스 불평등을 만족시키는  엑스  <  엑스 1  .

계열이 특정 값에서 발산하는 경우 엑스 = 엑스 2 , 그러면 모두에 대해 분기됩니다.엑스 ,불평등을 만족시키는  엑스  >  엑스 2 .

Abel의 정리는 거듭제곱 급수의 수렴 및 발산 지점의 위치를 판단하는 것을 가능하게 합니다(9.6).

정말로, 만약 엑스 1 는 수렴점이고 전체 간격(   엑스 1  ,  엑스 1 )는 절대 수렴점으로 채워져 있습니다.

만약 엑스 2 는 발산점이고 간격(   ,   엑스 2 ) 및 ( 엑스 2  , +  ) 분기점으로 구성됩니다.

이것으로부터 우리는 숫자가 있다는 결론을 내릴 수 있습니다. 아르 자형 ,  엑스  < 아르 자형 거듭제곱 급수는 절대적으로 수렴하고  엑스  > 아르 자형 - 갈라진다.

간격 (  아르 자형 , 아르 자형 )라고 한다 수렴구간 전력 시리즈(9.6). 숫자 아르 자형 ~라고 불리는 수렴 반경 파워 시리즈.

일부 시리즈의 수렴 간격은 전체 실수 라인입니다(이 경우 아르 자형 =  ), 다른 사람들에게는 한 점으로 퇴화합니다(경우 아르 자형 = 0 ). ~에 엑스 =  아르 자형 즉, 수렴 구간의 끝에서 계열은 절대적으로, 조건부로 수렴하거나 발산할 수 있습니다. 끝점에서 계열의 동작을 알아내려면 다음 대신 계열을 식으로 대체해야 합니다. 엑스 가치  아르 자형 수렴에 대한 결과 두 개의 숫자 계열을 조사합니다. 이 질문은 각 특정 행에 대해 개별적으로 해결됩니다.

(9.5) 형식의 거듭제곱 급수에 적용하면 수렴의 중심이 점에 있다는 점에서만 얻은 결과가 수정됩니다. 엑스 = 엑스 0 , 시점이 아니라 엑스 = 0 , 즉, 거듭제곱 급수(9.5)의 수렴 구간은 점에 대해 대칭입니다. 엑스 = 엑스 0 그리고 간격은 엑스 0  아르 자형 < 엑스 < 엑스 0 + 아르 자형 .

거듭제곱 급수(9.6)의 수렴 구간을 찾기 위해 급수를 연구할 수 있습니다.

, (9.7)

이 계열의 수렴 간격이 일치하기 때문에 주어진 계열의 구성원 모듈로 구성됩니다.

항이 양수인 급수(9.7)의 수렴을 결정하기 위해 일반적으로 d'Alembert 또는 Cauchy 수렴 검정이 사용됩니다.

한계가 있다고 하자
.

그런 다음 d'Alembert 검정에 의해 급수(9.7)가 수렴합니다.
, 즉
, 그리고 에서 발산
, 즉
. 따라서 이 급수는 구간 내에서 수렴합니다.
외부로 발산합니다. 즉, 수렴 반경은 다음과 같습니다.
.

비고.

1) 만약 ㅏ = 0 , 원래 시리즈는 모든 숫자 값에 대해 절대적으로 수렴합니다. 엑스 ,  엑스   ㅏ = 0 < 1 누구에게나 엑스 . 이 경우 수렴 반경은 아르 자형 =  .

2) 만약 ㅏ =  , 그 다음에 원래 시리즈는 한 점에서 수렴 엑스 = 0 . 이전에는 이 경우 아르 자형 = 0 .

3) 유사하게 수렴 구간을 결정하기 위해 존재하는 경우 Cauchy 기준을 사용할 수 있습니다.
. 이 경우
.

4) 수렴 구간은 d'Alembert 또는 Cauchy 검정을 사용하여 직접 찾을 수 있습니다.

예 9.11. 계열의 수렴 영역 결정
.

해결책.여기
. 그렇기 때문에,

그래서 간격
는 주어진 계열의 수렴 구간입니다.

수렴 구간의 끝에서 급수의 거동을 연구합시다. ~에
시리즈는 형식을 취할 것입니다
. 이것은 고조파 시리즈이며 발산합니다. ~에
시리즈는 형식을 취할 것입니다
. 이 교대 급수는 조건부로 수렴하는데, 이는 라이프니츠 검정의 조건이 만족하는지 확인하기 쉽고 모듈의 계열이 갈라진다.

그래서, 에
시리즈는 절대적으로 수렴
급수는 조건부로 수렴하고 급수는 다른 모든 점에서 발산합니다.

예 9.12. 급수의 수렴 영역 찾기
.

해결책.코시 기호를 사용합시다. 우리는

따라서 급수는 다음에 대해서만 절대적으로 수렴합니다. 엑스 =  1 , 그리고 시리즈는 실제 축의 다른 모든 점에서 발산합니다. 수렴 반경 아르 자형 = 0 .

실시예 1거듭제곱 급수의 수렴 영역을 찾으십시오.

ㅏ) ; 비) ;

안에) ; G)
;

이자형)
.

ㅏ)수렴 반경을 구하자 아르 자형. 왜냐하면
,
, 그 다음에

엑스
, 즉, 급수의 수렴 구간
.

~에
우리는 숫자 시리즈를 얻습니다 . 이 급수는 일반화된 고조파 급수이므로 수렴합니다. ~에
.

~에
우리는 숫자 시리즈를 얻습니다
. 이 계열은 절대 수렴하는 계열이므로 구성원의 절대값으로 구성된 계열이므로 , 수렴.

비)수렴 반경을 구하자 아르 자형. 왜냐하면
, 그 다음에
.

따라서 급수의 수렴구간은
.

수렴 구간의 끝에서 수렴에 대해 이 계열을 조사합니다.

~에
우리는 숫자 시리즈가 있습니다

.

~에
우리는 숫자 시리즈가 있습니다
. 이 시리즈는 다양하기 때문에
존재하지 않는다.

따라서 이 급수의 수렴영역은
.

안에)수렴 반경을 구하자 아르 자형. 왜냐하면
,
그 다음에
.

따라서 수렴구간
. 이 계열의 수렴 영역은 수렴 간격과 일치합니다. 즉, 계열은 변수의 모든 값에 대해 수렴합니다. 엑스.

G)수렴 반경을 구하자 아르 자형. 왜냐하면
,
그 다음에
.

왜냐하면
, 그런 다음 시리즈는 점에서만 수렴합니다.
. 따라서 이 급수의 수렴영역은 1점이다.
.

이자형)수렴 반경을 구하자 아르 자형.

왜냐하면
,
, 그 다음에

따라서 시리즈는 모두에 대해 절대적으로 수렴됩니다. 엑스불평등을 만족시키는
, 그건
.

여기에서
- 수렴 간격,
- 수렴 반경.

수렴 구간의 끝에서 수렴에 대해 이 시리즈를 조사해 보겠습니다.

~에
우리는 숫자 시리즈를 얻습니다

발산하는 것(고조파 시리즈).

~에
우리는 숫자 시리즈를 얻습니다
, 조건부로 수렴합니다(계열은 라이프니츠 기준에 따라 수렴하고 구성 요소의 절대값으로 구성된 계열은 조화이기 때문에 발산합니다).

따라서 계열의 수렴 영역은
.

2.3. 테일러와 맥클로린 시리즈.

전원 계열의 기능 확장.

근사 계산을 위한 거듭제곱 급수의 적용

문제 해결의 예

실시예 1강력한 기능 시리즈로 확장:

ㅏ)
; 비)
;

안에)
; G)
.

ㅏ)공식에서 바꾸기
엑스에
, 원하는 확장을 얻습니다.

어디에

비)동등하게 대체

어디에
엑스에
, 원하는 확장을 얻습니다.

안에)이 함수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
. 원하는 시리즈를 찾으려면 확장하면 충분합니다.

어디에
대리자
. 그런 다음 우리는 다음을 얻습니다.

G)이 함수는 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

기능
이항 급수를 넣어 거듭제곱 급수로 확장할 수 있습니다.
, 우리는 .

어디에
.

원하는 확장을 얻으려면 결과 시리즈를 곱하는 것으로 충분합니다(이 시리즈의 절대 수렴을 고려하여).

따라서,

, 어디
.

실시예 2이 함수의 대략적인 값을 찾으십시오.

ㅏ)
0.0001까지 정확합니다.

비)
0.00001의 정확도로.

ㅏ)왜냐하면
, 다음 함수의 확장으로, 여기서
대리자
:

또는

왜냐하면
, 그러면 얻은 확장의 처음 두 항으로만 제한하면 필요한 정확도가 보장됩니다.

우리는 이항 시리즈를 사용합니다.

어디에
.

가정
그리고
, 우리는 다음 확장을 얻습니다.

마지막 교대 시리즈에서 처음 두 항만 고려하고 나머지는 무시하면 계산 오류
절대값이 0.000006을 초과하지 않습니다. 그런 다음 계산 오류
초과하지 않습니다. 따라서,

실시예 3가장 가까운 0.001로 계산:

ㅏ)
; 비)
.

ㅏ)
.

피적분 함수를 거듭제곱 급수로 확장해 보겠습니다. 이를 위해 이항 급수로 대체합니다.
그리고 교체 엑스에 :

통합 간격 이후
결과 계열의 수렴 영역에 속합니다.
, 그러면 표시된 한도 내에서 용어를 통합합니다.

결과 교대 급수에서 네 번째 항은 절대값이 0.001보다 작습니다. 따라서 시리즈의 처음 세 항만 고려하면 필요한 정확도가 제공됩니다.

삭제된 용어 중 첫 번째 항목에 빼기 기호가 있으므로 결과 근사값이 초과됩니다. 따라서 0.001 이내의 답은 0.487입니다.

비)먼저 피적분을 거듭제곱 급수로 나타냅니다. 함수의 확장으로 바꾸자

어디에

엑스에
, 우리는 다음을 얻습니다.

그 다음에
.

결과 교대 급수는 라이프니츠 검정의 조건을 충족합니다. 계열의 네 번째 항은 절대값이 0.001보다 작습니다. 필요한 정확도를 보장하려면 처음 세 항의 합을 찾는 것으로 충분합니다.

따라서,
.

기능 계열 중에서 가장 중요한 자리는 전원 계열이 차지하고 있습니다.

거듭제곱 계열을 계열이라고 합니다.

그 구성원은 음이 아닌 정수 거듭제곱으로 배열된 거듭제곱 함수입니다. 엑스, ㅏ 씨0 , 씨 1 , 씨 2 , 씨 N 상수 값입니다. 번호 씨1 , 씨 2 , 씨 N - 계열 구성원의 계수, 씨0 - 무료 회원. 거듭제곱의 항은 전체 숫자 라인에 정의됩니다.

개념에 대해 알아보자 거듭제곱 급수의 수렴 영역. 이것은 변수 값의 집합입니다. 엑스시리즈가 수렴하는 것입니다. 거듭제곱 급수에는 상당히 단순한 수렴 영역이 있습니다. 변수의 실제 값 엑스수렴 영역은 단일 점으로 구성되거나 특정 간격(수렴 간격)이거나 전체 축과 일치합니다. 황소 .

거듭제곱 급수에 대입할 때 값은 엑스= 0 당신은 숫자 시리즈를 얻습니다

씨0 +0+0+...+0+... ,

수렴하는 것.

따라서 에서 엑스= 0은 모든 거듭제곱 급수를 수렴하므로, 그 융합 영역 빈 집합일 수 없습니다. 모든 급수 수렴 영역의 구조는 동일합니다. 다음 정리를 사용하여 설정할 수 있습니다.

정리 1(아벨의 정리). 거듭제곱 급수가 어떤 값으로 수렴하는 경우 엑스 = 엑스 0 , 0과 다른 경우 수렴하고 또한 절대적으로 모든 값에 대해 |엑스| < |엑스 0 | . 참고: 시작 값 "x는 0입니다" 및 시작 값과 비교되는 "x" 값은 모두 부호를 고려하지 않고 모듈로 사용됩니다.

결과. 만약 전력 계열 발산 어떤 가치에서 엑스 = 엑스 1 , 모든 값에 대해 발산합니다. |엑스| > |엑스 1 | .

앞서 알아낸 것처럼 모든 거듭제곱 급수는 값으로 수렴됩니다. 엑스= 0. 다음에 대해서만 수렴하는 거듭제곱 급수가 있습니다. 엑스= 0이고 다른 값에 대해 발산 엑스. 이 경우를 고려에서 제외하고 멱급수가 어떤 값으로 수렴한다고 가정합니다. 엑스 = 엑스 0 , 0과 다릅니다. 그러면 Abel의 정리에 의해 구간의 모든 지점에서 수렴됩니다. ]-| 엑스0 |, |엑스 0 |[ (간격, 왼쪽과 오른쪽 경계는 x의 값으로, 거듭제곱 계열이 수렴하며, 각각 빼기 기호와 더하기 기호로 사용), 원점에 대해 대칭입니다.

거듭제곱 계열이 특정 값에서 발산하는 경우 엑스 = 엑스 1 , 그런 다음 Abel의 정리의 결과에 따라 세그먼트 [-| 엑스1 |, |엑스 1 |] . 모든 거듭제곱 급수에는 원점에 대해 대칭인 간격이 있습니다. 수렴구간 , 계열이 수렴하는 각 지점에서 경계에서 수렴하거나 분기할 수 있으며 반드시 동시에는 아니지만 세그먼트 외부에서 계열이 분기합니다. 숫자 아르 자형거듭제곱 급수의 수렴 반경이라고 합니다.

특별한 경우 거듭제곱 급수 수렴 구간 점으로 변질될 수 있습니다(그런 다음 시리즈는 다음에 대해서만 수렴합니다. 엑스= 0이고 다음과 같이 가정합니다. 아르 자형= 0) 또는 전체 숫자 라인을 나타냅니다(그런 다음 시리즈는 숫자 라인의 모든 점에서 수렴하며 이라고 가정합니다).

따라서, 거듭제곱 급수의 수렴 영역의 정의는 다음을 결정하는 것입니다. 수렴 반경 아르 자형및 수렴 구간의 경계에 대한 급수의 수렴에 대한 연구(용).

정리 2.특정 계수부터 시작하여 거듭제곱 계열의 모든 계수가 0이 아닌 경우 수렴 반경은 계열의 일반적인 다음 구성원 계수의 절대 값 비율의 한계와 같습니다. 즉.

예 1. 거듭제곱 급수의 수렴 영역 찾기

해결책. 여기

공식 (28)을 사용하여 이 급수의 수렴 반경을 찾습니다.

수렴 구간의 끝에서 급수의 수렴을 연구합시다. 예 13은 이 급수가 에 대해 수렴함을 보여줍니다. 엑스= 1이고 에서 발산 엑스= -1. 따라서 수렴 영역은 반구간입니다.

예제 2. 거듭제곱 급수의 수렴 영역 찾기

해결책. 계열의 계수는 양수이고,

이 비율의 한계, 즉 거듭제곱 급수 수렴 반경:

우리는 구간의 끝에서 계열의 수렴을 조사합니다. 값 대체 엑스= -1/5 및 엑스이 시리즈의 = 1/5는 다음을 제공합니다.

이러한 시리즈의 첫 번째는 수렴합니다(예제 5 참조). 그러나 "절대 수렴"단락의 정리에 의해 두 번째 계열도 수렴하고 수렴 영역은 세그먼트

예제 3. 거듭제곱 급수의 수렴 영역 찾기

해결책. 여기

공식 (28)을 사용하여 급수의 수렴 반경을 찾습니다.

값에 대한 급수의 수렴을 연구합시다. 이 시리즈에서 각각 대입하면 다음을 얻습니다.

두 급수 모두 필요한 수렴 조건이 충족되지 않기 때문에 발산합니다(공통 항이 로 0이 되는 경향이 없음). 따라서 수렴 구간의 양 끝에서 이 급수는 분기하고 수렴하는 영역은 구간입니다.

예제 5. 거듭제곱 급수의 수렴 영역 찾기

해결책. 우리는 관계를 , 어디서 , 그리고 :

공식 (28)에 따르면, 이 급수의 수렴 반경은

즉, 시리즈는 다음 경우에만 수렴합니다. 엑스= 0이고 다른 값에 대해 발산 엑스.

예제는 수렴 구간의 끝에서 계열이 다르게 동작함을 보여줍니다. 예 1에서 급수는 수렴 구간의 한쪽 끝에서 수렴하고 다른 쪽 끝에서 발산합니다. 예 2에서는 양쪽 끝에서 수렴하고, 예 3에서는 양쪽 끝에서 발산합니다.

거듭제곱 급수의 수렴 반경에 대한 공식은 일부에서 시작하여 급수 항의 모든 계수가 0이 아니라는 가정 하에 얻어집니다. 따라서 식 (28)의 적용은 이러한 경우에만 허용됩니다. 이 조건이 위반되면 다음을 사용하여 거듭제곱 급수의 수렴 반경을 구해야 합니다. 달랑베르의 상징, 또는 변수를 변경하여 계열을 지정된 조건이 충족되는 형식으로 변환합니다.

예제 6. 거듭제곱 급수의 수렴 구간 구하기