Линейным (векторным) пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам \mathbf{u} и {\mathbf{v}} поставлен в соответствие вектор \mathbf{u}+\mathbf{v} , называемый суммой векторов \mathbf{u} и {\mathbf{v}} , любому вектору {\mathbf{v}} и любому числу \lambda из поля действительных чисел \mathbb{R} поставлен в соответствие вектор \lambda \mathbf{v} , называемый произведением вектора \mathbf{v} на число \lambda ; так что выполняются следующие условия:

1. \mathbf{u}+ \mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V (коммутативность сложения);
2. \mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})=(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент \mathbf{o}\in V , называемый нулевым вектором, что \mathbf{v}+\mathbf{o}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V ;
4. для каждого вектора {\mathbf{v}} существует такой вектор , называемый противоположным вектору \mathbf{v} , что \mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\mathbf{o} ;
5. \lambda(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\lambda \mathbf{u}+\lambda \mathbf{v}\,~\forall \mathbf{u},\mathbf{v}\in V,~\forall \lambda\in \mathbb{R} ;
6. (\lambda+\mu)\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}+\mu \mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R} ;
7. \lambda(\mu \mathbf{v})=(\lambda\mu)\mathbf{v}\,~ \forall \mathbf{v}\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb{R} ;
8. 1\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

Условия 1-8 называются аксиомами линейного пространства . Знак равенства, поставленный между векторами, означает, что в левой и правой частях равенства представлен один и тот же элемент множества V , такие векторы называются равными.

В определении линейного пространства операция умножения вектора на число введена для действительных чисел. Такое пространство называют линейным пространством над полем действительных (вещественных) чисел , или, короче, вещественным линейным пространством . Если в определении вместо поля \mathbb{R} действительных чисел взять поле комплексных чисел \mathbb{C} , то получим линейное пространство над полем комплексных чисел , или, короче, комплексное линейное пространство . В качестве числового поля можно выбрать и поле \mathbb{Q} рациональных чисел, при этом получим линейное пространство над полем рациональных чисел. Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться вещественные линейные пространства. В некоторых случаях для краткости будем говорить о пространстве, опуская слово линейное, так как все пространства, рассматриваемые ниже - линейные.

Замечания 8.1

1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.

2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.

3. Линейное пространство - это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.

4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.

5. Разностью векторов \mathbf{u} и \mathbf{v} называется сумма вектора \mathbf{u} с противоположным вектором (-\mathbf{v}) и обозначается: \mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v}) .

6. Два ненулевых вектора \mathbf{u} и \mathbf{v} называются коллинеарными (пропорциональными), если существует такое число \lambda , что \mathbf{v}=\lambda \mathbf{u} . Понятие коллинеарности распространяется на любое конечное число векторов. Нулевой вектор \mathbf{o} считается коллинеарным с любым вектором.

Следствия аксиом линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В линейном пространстве для любого вектора \mathbf{v}\in V существует единственный противоположный вектор (-\mathbf{v})\in V .

3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. 0\cdot \mathbf{v}=\mathbf{o}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е для любого числа \lambda .

5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. (-\mathbf{v})=(-1)\mathbf{v}\,~\forall \mathbf{v}\in V .

6. В выражениях вида \mathbf{a+b+\ldots+z} (сумма конечного числа векторов) или \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf{v} (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если \mathbf{o} и \mathbf{o}" - два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства: \mathbf{o}"+\mathbf{o}=\mathbf{o}" или \mathbf{o}+\mathbf{o}"=\mathbf{o} , левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. \mathbf{o}=\mathbf{o}" . Единственность противоположного вектора. Если вектор \mathbf{v}\in V имеет два противоположных вектора (-\mathbf{v}) и (-\mathbf{v})" , то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:

(-\mathbf{v})"=(-\mathbf{v})"+\underbrace{\mathbf{v}+(-\mathbf{v})}_{\mathbf{o}}= \underbrace{(-\mathbf{v})"+\mathbf{v}}_{\mathbf{o}}+(-\mathbf{v})=(-\mathbf{v}).

Остальные свойства доказываются аналогично.

Примеры линейных пространств

1. Обозначим \{\mathbf{o}\} - множество, содержащее один нулевой вектор, с операциями \mathbf{o}+ \mathbf{o}=\mathbf{o} и \lambda \mathbf{o}=\mathbf{o} . Для указанных операций аксиомы 1-8 выполняются. Следовательно, множество \{\mathbf{o}\} является линейным пространством над любым числовым полем. Это линейное пространство называется нулевым.

2. Обозначим V_1,\,V_2,\,V_3 - множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества V_1,\,V_2,\,V_3 являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма \mathbf{v}+\mathbf{v} не принадлежит рассматриваемому множеству.

3. Обозначим \mathbb{R}^n - множество матриц-столбцов размеров n\times1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором в этом множестве служит нулевой столбец o=\begin{pmatrix}0&\cdots&0\end{pmatrix}^T . Следовательно, множество \mathbb{R}^n является вещественным линейным пространством. Аналогично, множество \mathbb{C}^n столбцов размеров n\times1 с комплексными элементами является комплексным линейным пространством. Множество матриц-столбцов с неотрицательными действительными элементами, напротив, не является линейным пространством, так как не содержит противоположных векторов.

4. Обозначим \{Ax=o\} - множество решений однородной системы Ax=o линейных алгебраических уравнений с и неизвестными (где A - действительная матрица системы), рассматриваемое как множество столбцов размеров n\times1 с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Заметим, что эти операции действительно определены на множестве \{Ax=o\} . Из свойства 1 решений однородной системы (см. разд. 5.5) следует, что сумма двух решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы, т.е. принадлежат множеству \{Ax=o\} . Аксиомы линейного пространства для столбцов выполняются (см. пункт 3 в примерах линейных пространств). Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством.

Множество \{Ax=b\} решений неоднородной системы Ax=b,~b\ne o , напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержит нулевого элемента (x=o не является решением неоднородной системы).

5. Обозначим M_{m\times n} - множество матриц размеров m\times n с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица O соответствующих размеров. Следовательно, множество M_{m\times n} является линейным пространством.

6. Обозначим P(\mathbb{C}) - множество многочленов одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции сложения много членов и умножения многочлена на число, рассматриваемое как многочлен нулевой степени, определены и удовлетворяют аксиомам 1-8 (в частности, нулевым вектором является многочлен, тождественно равный нулю). Поэтому множество P(\mathbb{C}) является линейным пространством над полем комплексных чисел. Множество P(\mathbb{R}) многочленов с действительными коэффициентами также является линейным пространством (но, разумеется, над полем действительных чисел). Множество P_n(\mathbb{R}) многочленов степени не выше, чем n , с действительными коэффициентами также является вещественным линейным пространством. Заметим, что операция сложения много членов определена на этом множестве, так как степень суммы многочленов не превышает степеней слагаемых.

Множество многочленов степени n не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.

7. Обозначим C(\mathbb{R}) - множество действительных функций, определенных и непрерывных на \mathbb{R} . Сумма (f+g) функций f,g и произведение \lambda f функции f на действительное число \lambda определяются равенствами:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) для всех x\in \mathbb{R}

Эти операции действительно определены на C(\mathbb{R}) , так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями, т.е. элементами C(\mathbb{R}) . Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Из коммутативности сложения действительных чисел следует справедливость равенства f(x)+g(x)=g(x)+f(x) для любого x\in \mathbb{R} . По этому f+g=g+f , т.е. аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 следует аналогично из ассоциативности сложения. Нулевым вектором служит функция o(x) , тождественно равная нулю, которая, разумеется, является непрерывной. Для любой функции f выполняется равенство f(x)+o(x)=f(x) , т.е. справедлива аксиома 3. Противоположным вектором для вектора f будет функция (-f)(x)=-f(x) . Тогда f+(-f)=o (аксиома 4 выполняется). Аксиомы 5, 6 следуют из дистрибутивности операций сложения и умножения действительных чисел, а аксиома 7 - из ассоциативности умножения чисел. Последняя аксиома выполняется, так как умножение на единицу не изменяет функцию: 1\cdot f(x)=f(x) для любого x\in \mathbb{R} , т.е. 1\cdot f=f . Таким образом, рассматриваемое множество C(\mathbb{R}) с введенными операциями является вещественным линейным пространством. Аналогично доказывается, что C^1(\mathbb{R}),C^2(\mathbb{R}), \ldots, C^m(\mathbb{R}) - множества функций, имеющих непрерывные производные первого, второго.и т.д. порядков соответственно, также являются линейными пространствами.

Обозначим - множество тригонометрических двучленов (часто ты \omega\ne0 ) с действительными коэффициентами, т.е. множество функций вида f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t , где a\in \mathbb{R},~b\in \mathbb{R} . Сумма таких двучленов и про изведение двучлена на действительное число являются тригонометрическим двучленом. Аксиомы линейного пространства для рассматриваемого множества выполняются (так как T_{\omega}(\mathbb{R})\subset C(\mathbb{R}) ). Поэтому множество T_{\omega}(\mathbb{R}) с обычными для функций операциями сложения и умножения на число является вещественным линейным пространством. Нулевым элементом служит двучлен o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t , тождественно равный нулю.

Множество действительных функций, определенных и монотонных на \mathbb{R} , не является линейным пространством, так как разность двух монотонных функций может оказаться немонотонной функцией.

8. Обозначим \mathbb{R}^X - множество действительных функций, определенных на множестве X , с операциями:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Оно является вещественным линейным пространтвом (доказательство такое же, как в предыдущем примере). При этом множество X может быть выбрано произвольно. В частности, если X=\{1,2,\ldots,n\} , то f(X) - упорядоченный набор чисел f_1,f_2,\ldots,f_n , где f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Такой набор можно считать матрицей-столбцом размеров n\times1 , т.е. множество \mathbb{R}^{\{1,2,\ldots,n\}} совпадает с множеством \mathbb{R}^n (см. пункт 3 примеров линейных пространств). Если X=\mathbb{N} (напомним, что \mathbb{N} - множество натуральных чисел), то получаем линейное пространство \mathbb{R}^{\mathbb{N}} - множество числовых последовательностей \{f(i)\}_{i=1}^{\infty} . В частности, множество сходящихся числовых последовательностей также образует линейное пространство, так как сумма двух сходящихся последовательностей сходится, и при умножении всех членов сходящейся последовательности на число получаем сходящуюся последовательность. Напротив, множество расходящихся последовательностей не является линейным пространством, так как, например, сумма расходящихся последовательностей может иметь предел.

9. Обозначим \mathbb{R}^{+} - множество положительных действительных чисел, в котором сумма a\oplus b и произведение \lambda\ast a (обозначения в этом примере отличаются от обычных) определены равенствами: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^{\lambda} , другими словами, сумма элементов понимается как произведение чисел, а умножение элемента на число - как возведение в степень. Обе операции действительно определены на множестве \mathbb{R}^{+} , так как произведение положительных чисел есть положительное число и любая действительная степень положительного числа есть положительное число. Проверим справедливость аксиом. Равенства

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

показывают, что аксиомы 1, 2 выполняются. Нулевым вектором данного множества является единица, так как a\oplus1=a\cdot1=a , т.е. o=1 . Противоположным для a вектором является вектор \frac{1}{a} , который определен, так как a\ne o . В самом деле, a\oplus\frac{1}{a}=a\cdot\frac{1}{a}=1=o . Проверим выполнение аксиом 5, 6,7,8:

\begin{gathered} \mathsf{5)}\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^{\lambda}= a^{\lambda}\cdot b^{\lambda}= \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf{6)}\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^{\lambda+\mu}=a^{\lambda}\cdot a^{\mu}=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf{7)} \quad \lambda\ast(\mu\ast a)=(a^{\mu})^{\lambda}=a^{\lambda\mu}=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf{8)}\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end{gathered}

Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.

10. Пусть V - вещественное линейное пространство. Рассмотрим множество определенных на V линейных скалярных функций, т.е. функций f\colon V\to \mathbb{R} , принимающих действительные значения и удовлетворяющих условиям:

f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V (аддитивность);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R} (однородность).

Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма f+g и произведение \lambda\cdot f определяются равенствами:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb{R}.

Выполнение аксиом линейного пространства подтверждается также, как в пункте 8. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве V , является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным к пространству V и обозначается V^{\ast} . Его элементы называют ковекторами.

Например, множество линейных форм n переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству \mathbb{R}^n .

Глава 3. Линейные векторные пространства

Тема 8. Линейные векторные пространства

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств

В §2.1 определены операция сложения свободных векторов из R 3 и операция умножения векторов на действительные числа, а также перечислены свойства этих операций. Распространение этих операций и их свойств на множество объектов (элементов) произвольной природы приводит к обобщению понятия линейного пространства геометрических векторов из R 3 , определенного в §2.1. Сформулируем определение линейного векторного пространства.

Определение 8.1. Множество V элементов х , у , z ,... называется линейным векторным пространством , если:

имеется правило, которое каждым двум элементам x и у из V ставит в соответствие третий элемент из V , называемый суммой х и у и обозначаемый х + у ;

имеется правило, которое каждому элементу x и любому действительному числу ставит в соответствие элемент из V , называемый произведением элемента х на число и обозначаемый x .

При этом сумма любых двух элементов х + у и произведение x любого элемента на любое число должны удовлетворять следующим требованиям – аксиомам линейного пространства :

1°. х + у = у + х (коммутативность сложения).

2°. (х + у ) + z = х + (у + z ) (ассоциативность сложения).

3°. Существует элемент 0 , называемый нулевым , такой, что

х + 0 = х , x .

4°. Для любого x существует элемент (– х ), называемый противоположным для х , такой, что

х + (– х ) = 0 .

5°. (x ) = ()x , x , , R .

6°. x = x , x .

7°. ()x = x + x , x , , R .

8°. (х + у ) = x + y , x , y , R .

Элементы линейного пространства будем называть векторами независимо от их природы.

Из аксиом 1°–8° следует, что в любом линейном пространстве V справедливы следующие свойства:

1) существует единственный нулевой вектор;

2) для каждого вектора x существует единственный противоположный вектор (– х ) , причем (– х ) = (– l)х ;

3) для любого вектора х справедливо равенство 0×х = 0 .

Докажем, например, свойство 1). Допустим, что в пространстве V существуют два нуля: 0 1 и 0 2 . Положив в аксиоме 3° х = 0 1 , 0 = 0 2 , получим 0 1 + 0 2 = 0 1 . Аналогично, если х = 0 2 , 0 = 0 1 , то 0 2 + 0 1 = 0 2 . Учитывая аксиому 1°, получаем 0 1 = 0 2 .

Приведем примеры линейных пространств.

1. Множество действительных чисел образует линейное пространство R . Аксиомы 1°–8° в нем, очевидно, выполняются.

2. Множество свободных векторов трехмерного пространства, как показано в §2.1, также образует линейное пространство, обозначаемое R 3 . Нулем этого пространства служит нулевой вектор.

Множество векторов на плоскости и на прямой также являются линейными пространствами. Будем обозначать их R 1 и R 2 соответственно.

3. Обобщением пространств R 1 , R 2 и R 3 служит пространство R n , n N , называемое арифметическим n-мерным пространством , элементами (векторами) которого являются упорядоченные совокупности n произвольных действительных чисел (x 1 ,…, x n ), т. е.

R n = {(x 1 ,…, x n ) | x i R , i = 1,…, n }.

Удобно использовать обозначение x = (x 1 ,…, x n ), при этом x i называется i-й координатой (компонентой ) вектора x .

Для х , у R n и R определим сложение и умножение на число следующими формулами:

х + у = (x 1 + y 1 ,…, x n + y n );

x = (x 1 ,…, x n ).

Нулевым элементом пространства R n является вектор 0 = (0,…, 0). Равенство двух векторов х = (x 1 ,…, x n ) и у = (y 1 ,…, y n ) из R n , по определению, означает равенство соответствующих координат, т. е. х = у Û x 1 = y 1 &… & x n = y n .

Выполнение аксиом 1°–8° здесь очевидно.

4. Пусть C [ a ; b ] – множество вещественных непрерывных на отрезке [a ; b ] функций f : [a ; b ] R .

Суммой функций f и g из C [ a ; b ] называется функция h = f + g , определяемая равенством

h = f + g Û h (x ) = (f + g )(x ) = f (х ) + g (x ), " x Î [a ; b ].

Произведение функции f Î C [ a ; b ] на число a Î R определяется равенством

u = f Û u (х ) = (f )(х ) = f (x ), " x Î [a ; b ].

Так введенные операции сложения двух функций и умножения функции на число превращают множество C [ a ; b ] в линейное пространство, векторами которого являются функции. Аксиомы 1°–8° в этом пространстве, очевидно, выполняются. Нулевым вектором этого пространства является тождественно нулевая функция, а равенство двух функций f и g означает, по определению, следующее:

f = g f (x ) = g (x ), " x Î [a ; b ].

4.3.1 Определение линейного пространства

Пусть ā , , - элементы некоторого множества ā , , L и λ , μ - действительные числа, λ , μ R ..

Множество L называется линейным или векторным пространством, если определены две операции:

1 0 . Сложение. Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие элемент того же множества, называемый их суммой

ā + =

2°. Умножение на число. Любому действительному числу λ и элементу ā L ставится в соответствие элемент того же множества λ ā L и выполняются следующие свойства:

1. ā+ = + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. существуетнулевой элемент
, такой, что ā +=ā ;

4. существуетпротивоположный элемент -
такой, что ā +(-ā )=.

Если λ , μ - действительные числа, то:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Элементы линейного пространства ā, , ... называют векторами.

Упражнение. Покажите самостоятельно, что данные множества образуют линейные пространства:

1) Множество геометрических векторов на плоскости;

2) Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве;

3) Множество многочленов некоторой степени;

4) Множество матриц одинаковой размерности.

4.3.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства

Линейной комбинацией векторов ā 1 , ā 2 , …, ā n L называется вектор того же пространства вида:

,

где λ i - действительные числа.

Векторы ā 1 , .. , ā n называются линейно независимыми, если их линейная комбинация будет нулевым вектором в том и только в том случае, когда все λ i равны нулю, то есть

λ i =0

Если же линейная комбинация будет нулевым вектором и хотя бы один из λ i отличен от нуля, то эти векторы называются линейно-зависимыми. Последнее означает, что хотя бы один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Действительно, пусть и, например,
. тогда,
, где

.

Максимально линейно-независимая упорядоченная система векторов называется базисом пространства L . Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Допустим, что существует n линейно-независимых векторов, тогда пространство называют n -мерным. Другие векторы пространства могут быть представлены как линейная комбинация n векторов базиса. За базис n - мерного пространства можно взять любые n линейно-независимых векторов этого пространства.

Пример 17. Найти базис и размерность данных линейных пространств:

а) множества векторов, лежащих на прямой (коллинеарных некоторой прямой)

б) множество векторов, принадлежащих плоскости

в) множество векторов трёхмерного пространства

г) множество многочленов степени не выше второй.

Решение.

а) Любые два вектора, лежащие на прямой будут линейно-зависимыми, так как вектора коллинеарные
, то
, λ - скаляр. Следовательно, базисом данного пространства является только один (любой) вектор, отличный от нулевого.

Обычно это пространство обозначают R , размерность его равна 1.

б) любые два неколлинеарные векторы
будут линейно-независимы, а любые три вектора на плоскости - линейно-зависимы. Для любого вектора , существуют числа  и  такие, что
. Пространство называют двумерным, обозначают R 2 .

Базис двумерного пространства образуют любые два неколлинеарных вектора.

в) Любые три некомпланарные векторы будут линейно независимые, они образуют базис трехмерного пространства R 3 .

г) В качестве базиса пространства многочленов степени не выше второй можно выбрать такие три вектора: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x ; ē 3 =1 .

(1 - это многочлен, тождественно равный единице). Данное пространство будет трехмерным.

Соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

N {\displaystyle n} -мерное евклидово пространство обычно обозначается E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} ; также часто используется обозначение , когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на парах векторов которого задана вещественнозначная функция (⋅ , ⋅) , {\displaystyle (\cdot ,\cdot),} обладающая следующими тремя свойствами:

Пример евклидова пространства - координатное пространство R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел (x 1 , x 2 , … , x n) , {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),} скалярное произведение в котором определяется формулой (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора u {\displaystyle u} определяется как (u , u) {\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}} и обозначается | u | . {\displaystyle |u|.} Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что | a u | = | a | | u | , {\displaystyle |au|=|a||u|,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} определяется по формуле φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . {\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен π 2 . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}.}

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) {\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)} был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство | (x , y) | x | | y | | ⩽ 1. {\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши - Буняковского - Шварца . Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника : | u + v | ⩽ | u | + | v | . {\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.} Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d (x , y) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} координатного пространства R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор x {\displaystyle x} евклидова пространства задаёт линейный функционал x ∗ {\displaystyle x^{*}} на этом пространстве, определяемый как x ∗ (y) = (x , y) . {\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).} Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной .

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства - это преобразования , сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения - параллельный перенос на вектор v {\displaystyle v} , переводящий точку p {\displaystyle p} в точку p + v {\displaystyle p+v} . Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как

ГЛАВА 8. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. Определение линейного пространства

Обобщая известное из школьной геометрии понятие вектора, мы определим алгебраические структуры (линейные пространства), в которых можно построить n-мерную геометрию, частным случаем которой будет аналитическая геометрия.

Определение 1. Задано некоторое множество L={a,b,c,…} и поле P={ ,…}. Пусть в L определена алгебраическая операция сложения и определено умножение элементов из L на элементы поля P:

Множество L называется линейным пространством над полем P , если выполняются следующие требования (аксиомы линейного пространства):

1. L коммутативная группа по сложению;

2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;

3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;

4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;

5. a L справедливо следующее равенство: 1 a=a (где 1- единица поля Р).

Элементы линейного пространства L называются векторами (еще раз отметим, что их будем обозначать латинскими буквами a, b, c,…), а элементы поля P - числами (их обозначаем греческими буквами α,

Замечание 1. Мы видим, что в качестве аксиом линейного пространства берутся хорошо известные свойства «геометрических» векторов.

Замечание 2. В некоторых известных учебниках по алгебре используются другие обозначения чисел и векторов.

Основные примеры линейных пространств

1. R 1 множество всех векторов на некоторой прямой.

В дальнейшем такие векторы будем называть векторами-отрезками на прямой. Если в качестве P взять R, то, очевидно, R1 – линейное пространство над полем R.

2. R 2 , R3 – векторы-отрезки на плоскости и в трехмерном пространстве. Нетрудно видеть, что R2 и R3 линейные пространства над R.

3. Пусть P - произвольное поле. Рассмотрим множество P (n) всех упорядоченных наборов по n элементов поля P:

P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, i=1,2,..,n .

Набор а=(α1 ,α2 ,…,αn ) будем называть n-мерным вектором-строкой. Числа i назовем компонентами

вектора а.

Для векторов из P(n) , по аналогии с геометрией, естественным образом вводим операции сложения и умножения на число, полагая для любых (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) и (β1 ,β2 ,...,βn ) P(n) :

(α1 ,α2 ,…,αn )+(β1 ,β2 ,...,βn )=(α1 +β1 ,α2 +b2 ,...,αn +βn ),
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) Р.

Из определения сложения векторов-строк видно, что оно производится покомпонентно. Легко проверить, что P(n) – линейное пространство над P.

Вектор 0=(0,…,0) является нулевым вектором (a+0=a а P(n) ), а вектор -a=(-α1 ,-α2 ,…,-αn ) – противоположным а (т.к. а+(-а)=0).

Линейное пространство P (n) называют n-мерным пространством векторов-строк, или n-мерным арифметическим пространством.

Замечание 3. Иногда через P(n) мы будем обозначать также n-мерное арифметическое пространство векторов-столбцов, отличающееся от P(n) только способом записи векторов.

4. Рассмотрим множество М n (P) всех матриц n-го порядка с элементами из поля P. Это – линейное пространство над P, где нулевая матрица это матрица, у которой все элементы нули.

5. Рассмотрим множество P[x] всех многочленов от переменной х с коэффициентами из поля P. Нетрудно проверить, что P[x] - линейное пространство над P. Назовем его пространством многочленов.

6. Пусть P n [x]={ 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n} множество всех многочленов степени не выше n вместе с

0. Оно является линейным пространством над полем Р. P n [x] будем называть пространством многочленов степени не выше n .

7. Обозначим через Ф множество всех функций действительного переменного с одной и той же областью определения. Тогда Ф – линейное пространство над R.

В этом пространстве можно найти другие линейные пространства, например пространство линейных функций, дифференцируемых функций, непрерывных функций и т.п.

8. Всякое поле является линейным пространством над самим собой.

Некоторые следствия из аксиом линейного пространства

Следствие 1. Пусть L – линейное пространство над полем Р. В L содержится нулевой элемент 0 и а L (-а) L (т.к. L – группа по сложению).

В дальнейшем нулевой элемент поля Р и линейного пространства L будем обозначать одинаково через

0. Путаницы это обычно не вызывает.

Следствие 2. 0 a=0 a L (в левой части 0 P, в правой 0 L).

Доказательство. Рассмотрим α a, где α - любое число из Р. Имеем: α a=(α+0)a=α a+0 a, откуда 0 a= α a +(-α a)=0.

Следствие 3. α 0=0 α P.

Доказательство. Рассмотрим α a=α(a+0)=α a+α 0; отсюда α 0=0. Следствие 4. α a=0 тогда и только тогда, когда либо α=0, либо а=0.

Доказательство. Достаточность доказана в следствиях 2 и 3 .

Докажем необходимость . Пусть α a=0 (2). Предположим, что α 0. Тогда, т.к.α P, то существует α-1 P. Домножая (2) на α-1 , получаем:

α-1 (α a)=α-1 0. По следствию 2 α-1 0=0, т.е. α-1 (α a)=0. (3)

С другой стороны, пользуясь аксиомами 2 и 5 линейного пространства, имеем: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.

Из (3) и (4) следует, что а=0. Следствие доказано.

Следующие утверждения приведем без доказательства (их справедливость легко проверяется).

Следствие 5. (-α) a=-α a α P, a L. Следствие 6. α (-a)=-α a α P, a L. Следствие 7. α (a–b)=α a–α b α P, a,b L.

§ 2. Линейная зависимость векторов

Пусть L – линейное пространство над полем P и a1 ,a2 ,…as (1) – некоторое конечное множество векторов из L.

Множество a1 ,a2 ,…as будем называть системой векторов.

Если b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs as , (αi P), то говорят, что вектор b линейно выражается через систему (1), или является линейной комбинацией векторов системы (1).

Как и в аналитической геометрии, в линейном пространстве можно ввести понятия линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Сделаем это двумя способами.

Определение I. Конечная система векторов (1) при s 2 называется линейно зависимой, если хотя бы один ее вектор является линейной комбинацией остальных. В противном случае (т.е. когда ни один ее вектор не является линейной комбинацией остальных), она называется линейно независимой.

Определение II. Конечная система векторов (1) называется линейно зависимой , если существует набор чисел α1 ,α2 ,…,αs , αi P, хотя бы одно из которых не равно 0 (такой набор называют ненулевым ), что выполняется равенство: α1 a1 +…+αs as =0 (2).

Из определения II можно получить несколько равносильных определений линейно независимой системы:

Определение 2.

a) система (1) линейно независима , если из (2) следует, что α1 =…=αs =0.

b) система (1) линейно независима , если равенство (2) выполняется только при всех αi =0 (i=1,…,s).

c) система (1) линейно независима , если любая нетривиальная линейная комбинация векторов этой системы отлична от 0, т.е. если β1 , …,βs – любой ненулевой набор чисел, то β1 a1 +…βs as 0.

Теорема 1. При s 2 определения линейной зависимости I и II равносильны.

Доказательство.

I) Пусть (1) линейно зависима по определению I. Тогда можно считать, не нарушая общности, что as =α1 a1 +…+αs-1 as-1 . Прибавим к обеим частям этого равенства вектор (-as ). Получим:

0= α1 a1 +…+αs-1 as-1 +(-1) as (3) (так как по следствию 5

(–as ) =(-1) as ). В равенстве (3) коэффициент (-1) 0, и потому система (1) линейно зависима и по определению

II) Пусть система (1) линейно зависима по определению II, т.е. существует ненулевой набор α1 ,…,αs , что выполняется (2). Не нарушая общности, можно считать, что αs 0. В (2) к обеим частям прибавим (-αs as ). Получим:

α1 a1 +α2 a2 +…+αs as - αs as = -αs as , откуда α1 a1 +…+αs-1 as-1 = -αs as .

Т.к. αs 0, то существует αs -1 P. Умножим обе части равенства (4) на (-αs -1 ) и воспользуемся некоторыми аксиомами линейного пространства. Получаем:

(-αs -1 ) (-αs as )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 as-1 ), откуда следует: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs -1 ) αs-1 as-1 =as .

Введем обозначения β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Тогда полученное выше равенство перепишется в виде:

as = β1 a1 +…+ βs-1 as-1 .

Так как s 2, то в правой части будет хотя бы один вектор ai . Мы получили, что система (1) линейно зависима по определению I.

Теорема доказана.

В силу теоремы 1 при необходимости при s 2 мы можем применять любое из данных выше определений линейной зависимости.

Замечание 1. Если система состоит только из одного вектора а1 , то к ней применимо только определение

Пусть а1 =0; тогда 1а1 =0. Т.к. 1 0, то а1 =0 линейно зависимая система.

Пусть а1 0; тогда α1 а1 ≠0, при любом α1 0. Значит, ненулевой вектор а1 – линейно независимая

Существуют важные связи между линейной зависимостью системы векторов и ее подсистем.

Теорема 2. Если некоторая подсистема (т.е. часть) конечной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство этой теоремы нетрудно провести самостоятельно. Его можно найти в любом учебнике по алгебре или аналитической геометрии.

Следствие 1. Все подсистемы линейно независимой системы линейно независимы. Получается из теоремы 2 методом от противного.

Замечание 2. Нетрудно видеть, что у линейно зависимых систем подсистемы могут быть как линейно

Следствие 2. Если система содержит 0 или два пропорциональных (равных) вектора, то она линейно зависима (так как подсистема из 0 или двух пропорциональных векторов линейно зависима).

§ 3. Максимальные линейно независимые подсистемы

Определение 3. Пусть a1 , a2 ,…,ak ,…. (1) – конечная или бесконечная система векторов линейного пространства L. Ее конечная подсистема ai1 , ai2 , …, air (2) называется базисом системы (1) или максимальной линейно независимой подсистемой этой системы, если выполняются следующие два условия:

1) подсистема (2) линейно независима;

2) если к подсистеме (2) приписать любой вектор аj системы (1), то получаем линейно зависимую

систему ai1 , ai2 , …, air , aj (3).

Пример 1. В пространстве Рn [x] рассмотрим систему многочленов 1,x1 , …, xn (4). Докажем, что (4) линейно независима. Пусть α0 , α1 ,…, αn – такие числа из Р, что α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Тогда по определению равенства многочленов α0 =α1 =…=αn =0. Значит, система многочленов (4) линейно независима.

Докажем теперь, что система (4) – базис линейного пространства Pn [x].

Для любого f(x) Pn [x] имеем: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; следовательно, f(x) является линейной комбинацией векторов (4); тогда система 1,x1 , …, xn ,f(x) линейно зависима (по определению I). Таким образом, (4) – базис линейного пространства Pn [x].

Пример 2 . На рис. 1 a1 , a3 и a2 , a3 – базисы системы векторов a1 ,a2 ,a3 .

Теорема 3. Подсистема (2) ai1 ,…, air конечной или бесконечной системы (1) a1 , a2 ,…,as ,… является максимальной линейно независимой подсистемой (базисом) системы (1) тогда и только тогда, когда

а) (2) линейно независима; б) любой вектор из (1) линейно выражается через (2).

Необходимость . Пусть (2) – максимальная линейно независимая подсистема системы (1). Тогда выполняются два условия из определения 3:

1) (2) линейно независима.

2) Для любого вектора a j из (1) система ai1 ,…, ais ,aj (5) линейно зависима. Надо доказать, что выполняются утверждения а) и б).

Условие а) совпадает с 1); следовательно, а) выполняется.

Далее, в силу 2) существует ненулевой набор α1 ,...,αr ,β P (6) такой, что α1 ai1 +…+αr air +βaj =0 (7). Докажем, что β 0 (8). Предположим, что β=0 (9). Тогда из (7) получаем: α1 ai1 +…+αr air =0 (10). Из того, что набор (6) ненулевой, а β=0 следует, что α1 ,...,αr ненулевой набор. А тогда из (10) вытекает, что (2) линейно зависима, что противоречит условию а). Этим доказано (8).

Прибавив к обеим частям равенств (7) вектор (-βaj ), получим: -βaj = α1 ai1 +…+αr air . Так как β 0, то

существует β-1 Р; умножим обе части последнего равенства на β-1 : (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )air =aj . Введем

обозначения: (β-1 α1 )= 1 ,…, (β-1 αr )= r ; таким образом, мы получили: 1 ai1 +…+ r air =aj ; следовательно, доказана выполнимость условия б).

Необходимость доказана.

Достаточность . Пусть выполняются условия а) и б) из теоремы 3. Нужно доказать, что выполняются условия 1) и 2) из определения 3.

Так как условие а) совпадает с условием 1), то 1) выполняется.

Докажем, что выполняется 2). По условию б), любой вектор aj (1) линейно выражается через (2). Следовательно, (5) линейно зависима (по определению 1), т.е. 2) выполняется.

Теорема доказана.

Замечание. Не в любом линейном пространстве существует базис. Например, нет базиса в пространстве Р[x] (в противном случае, степени всех многочленов из Р[x] были бы, как следует из пункта б) теоремы 3, ограничены в совокупности).

§ 4. Основная теорема о линейной зависимости. Ее следствия

Определение 4. Пусть даны две конечные системы векторов линейного пространства L:a1 ,a2 ,…,al (1) и

b1 ,b2 ,…,bs (2).

Если каждый вектор системы (1) линейно выражается через (2), то будем говорить, что система (1)

линейно выражается через (2). Примеры:

1. Любая подсистема системы a 1 ,…,ai ,…,ak линейно выражается через всю систему, т.к.

ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ak .

2. Любая система векторов-отрезков из R2 линейно выражается через систему, состоящую из двух неколлинеарных векторов плоскости.

Определение 5. Если две конечные системы векторов линейно выражаются друг через друга, то они называются эквивалентными.

Замечание 1. Число векторов в двух эквивалентных системах может быть разным, что видно из следующих примеров.

3. Каждая система эквивалентна своему базису (это следует из теоремы 3 и примера 1).

4. Любые две системы векторов-отрезков из R2 , в каждой из которых есть два неколлинеарных вектора, эквивалентны.

Следующая теорема является одним из важнейших утверждений теории линейных пространств. Основная теорема о линейной зависимости. Пусть в линейном пространстве L над полем P заданы две

системы векторов:

a1 ,a2 ,…,al (1) и b1 ,b2 ,…,bs (2), причем (1) линейно независима и линейно выражается через (2). Тогда l s (3). Доказательство. Нам надо доказать неравенство (3). Предположим противное, пусть l>s (4).

По условию каждый вектор ai из (1) линейно выражается через систему (2):

a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs

…………………... (5)

al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .

Составим следующее уравнение: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), где xi - неизвестные, принимающие значения из поля Р (i=1,…,s).

Умножим каждое из равенств (5), соответственно на x1 ,x2 ,…,xl , подставим в (6) и соберем вместе слагаемые, содержащие b1 , затем b2 и, наконец, bs . Получим:

x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1	+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0.
Постараемся найти ненулевое решение	уравнения (6). Для этого приравняем в (7) к нулю все
коэффициенты при bi (i=1, 2,…,s) и составим следующую систему уравнений:
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0
α12 x1 +α22 x2 +…+αl2 xl =0
…………………….

α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.

(8) однородная система s уравнений относительно неизвестных x 1 ,…,xl . Она всегда совместна.

В силу неравенства (4) в этой системе число неизвестных больше числа уравнений, и потому, как следует из метода Гаусса, она приводится к трапецеидальному виду. Значит, существуют ненулевые

решения системы (8). Обозначим одно из них через x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).

Подставив числа (9) в левую часть (7), получим: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)

Итак, (9) – ненулевое решение уравнения (6). Поэтому система (1) линейно зависима, а это противоречит условию. Следовательно, наше предположение (4) неверно и l s.

Теорема доказана.

Следствия из основной теоремы о линейной зависимости Следствие 1. Две конечные эквивалентные линейно независимые системы векторов состоят из

одинакового числа векторов.

Доказательство. Пусть системы векторов (1) и (2) эквивалентны и линейно независимы. Для доказательства применим два раза основную теорему.

Т.к. система (2) линейно независима и линейно выражается через (1), то по основной теореме l s (11).

С другой стороны, (1) линейно независима и линейно выражается через (2), и по основной теореме s l (12).

Из (11) и (12) следует, что s=l. Утверждение доказано.

Следствие 2. Если в некоторой системе векторов a1 ,…,as ,… (13) (конечной или бесконечной) существует два базиса, то они состоят из одинакового количества векторов.

Доказательство. Пусть ai1 ,…,ail (14) и aj1 ,..ajk (15) – базисы системы (13). Покажем, что они эквивалентны.

По теореме 3 каждый вектор системы (13) линейно выражается через ее базис (15), в частности, любой вектор системы (14) линейно выражается через систему (15). Аналогично система (15) линейно выражается через (14). Значит, системы (14) и (15) эквивалентны и по следствию 1 имеем: l=k.

Утверждение доказано.

Определение 6. Число векторов в произвольном базисе конечной (бесконечной) системы векторов называют рангом этой системы (если базисов нет, то ранга системы не существует).

В силу следствия 2, если система (13) имеет хотя бы один базис, ее ранг единственен.

Замечание 2. Если система состоит только из нулевых векторов, то полагаем, что ее ранг равен 0. Пользуясь понятием ранга, можно усилить основную теорему.

Следствие 3. Даны две конечные системы векторов (1) и (2), причем (1) линейно выражается через (2). Тогда ранг системы (1) не превосходит ранга системы (2).

Доказательство . Обозначим ранг системы (1) через r1 , ранг системы (2) - через r2 . Если r1 =0, то утверждение верно.

Пусть r1 0. Тогда и r2 0, т.к. (1) линейно выражается через (2). Значит, в системах (1) и (2) существуют базисы.

Пусть a1 ,…,ar1 (16) – базис системы (1) и b1 ,…,br2 (17) – базис системы (2). Они линейно независимы по определению базиса.

Т.к. (16) линейно независима, то к паре систем (16), (17) можно применить основную теорему. По этой

теореме r1 r2 . Утверждение доказано.

Следствие 4. Две конечные эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги. Для доказательства этого утверждения надо два раза применить следствие 3.

Замечание 3. Отметим, что ранг линейно независимой системы векторов равен числу ее векторов (ибо в линейно независимой системе ее единственный базис совпадает с самой системой). Поэтому следствие 1- это частный случай следствия 4. Но без доказательства этого частного случая мы не смогли бы доказать следствие 2, ввести понятие ранга системы векторов и получить следствие 4.

§ 5. Конечномерные линейные пространства

Определение 7. Линейное пространство L над полем P называется конечномерным , если в L существует хотя бы один базис.

Основные примеры конечномерных линейных пространств:

1. Векторы-отрезки на прямой, плоскости и в пространстве (линейные пространства R1 , R2 , R3 ).

2. n-мерное арифметическое пространство P(n) . Покажем, что в P(n) существует следующий базис: e1 =(1,0,…,0)

e2 =(0,1,…,0) (1)

en =(0,0,…1).

Докажем сначала, что (1) – линейно независимая система. Составим уравнение x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).

Используя вид векторов (1), уравнение (2) перепишем так: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…,1)=(x1 , x2 , …,xn )=(0,0,…,0).

По определению равенства векторов-строк отсюда следует:

x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Следовательно, (1) – линейно независимая система. Докажем, что (1) – базис пространства P(n) , пользуясь теоремой 3 о базисах.

Для любого a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn имеем:

а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n en .

Значит, любой вектор пространства P(n) линейно выражается через (1). Следовательно,(1) – базис пространства P(n) , и потому P(n) – конечномерное линейное пространство.

3. Линейное пространство Pn [x]={α0 xn +...+αn | αi P}.

Нетрудно проверить, что базисом пространства Pn [x] является система многочленов 1,x,…,xn . Значит, Pn

[x] – конечномерное линейное пространство.

4. Линейное пространство M n (P). Можно проверить, что множество матриц вида Eij , в которых единственный ненулевой элемент 1 стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца (i,j=1,…,n), составляют базис Mn (P).

Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств

Наряду со следствиями из основной теоремы о линейной зависимости 1–4, из этой теоремы можно получить еще несколько важных утверждений.

Следствие 5. Любые два базиса конечномерного линейного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Это утверждение – частный случай следствия 2 из основной теоремы о линейной зависимости, примененного ко всему линейному пространству.

Определение 8. Число векторов в произвольном базисе конечномерного линейного пространства L называют размерностью этого пространства и обозначают dim L.

В силу следствия 5 всякое конечномерное линейное пространство имеет единственную размерность. Определение 9. Если линейное пространство L имеет размерность n, то его называют n-мерным

линейным пространством. Примеры:

1. dim R 1 =1;

2. dimR 2 =2;

3. dimP (n) =n, т.е. P(n) – n–мерное линейное пространство, т.к. выше, в примере 2 показано, что (1) – базис

P (n);

4. dimP n [x]=(n+1), ибо, как нетрудно проверить, 1,x,x2 ,…,xn базис из n+1 векторов этого пространства;

5. dimM n (P)=n2 , ибо матриц вида Eij , указанных в примере 4, ровно n2 .

Следствие 6. В n-мерном линейном пространстве L любые n+1 векторов a1 ,a2 ,…,an+1 (3) составляют линейно зависимую систему.

Доказательство. По определению размерности пространства в L существует базис из n векторов: e1 ,e2 ,…,en (4). Рассмотрим пару систем (3) и (4).

Предположим, что (3) линейно независима. Т.к. (4) – базис L, то любой вектор пространства L линейно выражается через (4) (по теореме 3 из §3). В частности, система (3) линейно выражается через (4). По предположению (3) линейно независима; тогда к паре систем (3) и (4) можно применить основную теорему о линейной зависимости. Получаем: n+1 n, что невозможно. Противоречие доказывает, что (3) линейно зависима.

Следствие доказано.

Замечание 1. Из следствия 6 и теоремы 2 из §2 получаем, что в n-мерном линейном пространстве любая конечная система векторов, содержащая больше n векторов, линейно зависима.

Из этого замечания вытекает

Следствие 7 . В n-мерном линейном пространстве любая линейно независимая система содержит не более n векторов.

Замечание 2. С помощью этого утверждения можно установить, что некоторые линейные пространства не являются конечномерными.

Пример. Рассмотрим пространство многочленов P[x] и докажем, что оно не является конечномерным. Предположим, что dim P[x]=m, m N. Рассмотрим 1, x,…, xm – множество из (m+1) векторов из P[x]. Эта система векторов, как отмечено выше, линейно независима, что противоречит предположению, что размерность P[x] равна m.

Нетрудно проверить (используя P[x]), что конечномерными линейными пространствами не являются пространства всех функций действительной переменной, пространства непрерывных функций и т.д.

Следствие 8. Любую конечную линейно независимую систему векторов a1 , a2 ,…,ak (5) конечномерного линейного пространства L можно дополнить до базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть n=dim L. Рассмотрим два возможных случая.

1. Если k=n, тогда a 1 , a2 ,…,ak – линейно независимая система из n векторов. В силу следствия 7, для любого b L система a1 , a2 ,…,ak , b линейно зависима, т.е. (5) – базис L.

2. Пусть k n. Тогда система (5) не является базисом L, а значит, существует вектор a k+1 L, что a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) линейно независимая система. Если (k+1)

В силу следствия 7 этот процесс заканчивается через конечное число шагов. Получаем базис a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an линейного пространства L, содержащий (5).

Следствие доказано.

Из следствия 8 вытекает

Следствие 9. Любой ненулевой вектор конечномерного линейного пространства L содержится в некотором базисе L (т.к. такой вектор является линейно независимой системой).

Отсюда следует, если Р – бесконечное поле, то в конечномерном линейном пространстве над полем Р существует бесконечно много базисов (т.к. в L бесконечно много векторов вида a, a 0, P\0).

§ 6. Изоморфизм линейных пространств

Определение 10. Два линейных пространства L и L`над одним полем Р называются изоморфными , если существует биекция: L L`, удовлетворяющая следующим условиям:

1. (a+b)= (a)+ (b) a, b L,

2. (a)= (a) P, a L.

Само такое отображение называется изоморфизмом или изоморфным отображением .

Свойства изоморфизмов.

1. При изоморфизме нулевой вектор переходит в нулевой.

Доказательство. Пусть a L и: L L` – изоморфизм. Так как a=a+0, то (a)= (a+0)= (a)+ (0).

Т.к. (L)=L` то из последнего равенства видно, что (0) (обозначим его через 0`) – это нулевой вектор из

2. При изоморфизме линейно зависимая система переходит в линейно зависимую систему. Доказательство. Пусть a1 , a2 ,…,as (2) – некоторая линейно зависимая система из L. Тогда существует

ненулевой набор чисел 1 ,…, s (3) из Р, что 1 a1 +…+ s as =0. Подвергнем обе части этого равенства изоморфному отображению. Учитывая определение изоморфизма, получим:

1 (a1 )+…+ s (as )= (0)=0` (мы использовали свойство 1). Т.к. набор (3) ненулевой, то из последнего равенства следует, что (1 ),…, (s ) – линейно зависимая система.

3. Если: L L` изоморфизм, то -1 : L` L – тоже изоморфизм.

Доказательство. Так как – биекция, то существует биекция -1 : L` L. Требуется доказать, что если a`,

Так как - изоморфизм, то a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). Отсюда следует:

a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)).

Из (5) и (6) имеем -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`).

Аналогично проверяется, что -1 (a`)= -1 (a`). Итак, -1 – изоморфизм.

Свойство доказано.

4. При изоморфизме линейно независимая система переходит в линейно независимую систему. Доказательство. Пусть: L L` изоморфизм и a1 , a2 ,…,as (2) – линейно независимая система. Требуется

доказать, что (a1 ), (a2 ),…, (as ) (7) также линейно независима.

Предположим, что (7) линейно зависима. Тогда при отображении -1 она переходит в систему a1 , …,as .

По свойству 3 -1 – изоморфизм, а тогда по свойству 2 система (2) будет также линейно зависимой, что противоречит условию. Следовательно, наше предположение неверно.

Свойство доказано.

5. При изоморфизме базис любой системы векторов переходит в базис системы ее образов. Доказательство. Пусть a1 , a2 ,…,as ,… (8) – конечная или бесконечная система векторов линейного

пространства L, : L L` – изоморфизм. Пусть система (8) имеет базис ai1 , …,air (9). Покажем, что система

(a1 ),…, (aк ),… (10) имеет базис (ai1 ), …, (air ) (11).

Так как (9) линейно независима, то по свойству 4 система (11) линейно независима. Припишем к (11) любой вектор из (10); получим: (ai1 ), …, (air ), (aj ) (12). Рассмотрим систему ai1 , …,air , aj (13). Она линейно зависима, так как (9) – базис системы (8). Но (13) при изоморфизме переходит в (12). Так как (13) линейно зависима, то по свойству 2 система (12) тоже линейно зависима. Значит, (11) есть базис системы (10).

Применяя свойство 5 ко всему конечномерному линейному пространству L, получим

Утверждение 1. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем P, : L L` изоморфизм. Тогда L` – также конечномерное пространство и dim L`= dim L = n.

В частности, справедливо Утверждение 2. Если конечномерные линейные пространства изоморфны, то их размерности равны.

Замечание. В §7 будет установлена справедливость и обратного к этому утверждения.

§ 7. Координаты вектора

Пусть L – конечномерное линейное пространство над полем Р и e1 ,…,en (1) – некоторый базис L.

Определение 11. Пусть а L. Выразим вектор а через базис (1), т.е. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). Столбец (1 ,…, n )т (3) называется координатным столбцом вектора а в базисе (1).

Координатный столбец вектора а в базисе е обозначается также через [a], [a]e или [ 1 ,.., n ].

Как и в аналитической геометрии, доказывается единственность выражения вектора через базис, т.е. единственность координатного столбца вектора в данном базисе.

Замечание 1. В некоторых учебниках вместо координатных столбцов рассматривают координатные строки (например, в книге ). В таком случае получаемые там формулы на языке координатных столбцов выглядят иначе.

Теорема 4 . Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем Р и (1) – некоторый базис L. Рассмотрим отображение: a (1 ,…, n )т , ставящее в соответствие любому вектору а из L его координатный столбец в базисе (1). Тогда – изоморфизм пространств L и P(n) (P(n) – n-мерное арифметическое пространство векторов-столбцов).

Доказательство . Отображение однозначно в силу единственности координат вектора. Легко проверяется, что – биекция и (a)= (a), (a)+ (b)= (a+b). Значит изоморфизм.

Теорема доказана.

Следствие 1. Система векторов a1 ,a2 ,…,as конечномерного линейного пространства L тогда и только тогда линейно зависима, когда линейно зависима система, состоящая из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе пространства L.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 1 и второго и четвертого свойств изоморфизма. Замечание 2. Следствие 1 позволяет изучение вопроса о линейной зависимости систем векторов в

конечномерном линейном пространстве свести к решению такого же вопроса для столбцов некоторой матрицы.

Теорема 5 (критерий изоморфизма конечномерных линейных пространств). Два конечномерных линейных пространства L и L` над одним полем P тогда и только тогда изоморфны, когда имеют одну и ту же размерность.

Необходимость. Пусть L L` В силу утверждения 2 из §6 размерность L совпадает с размерностью L1 .

Достаточность. Пусть dim L = dim L`= n. Тогда в силу теоремы 4 имеем: L P(n)		и L` P(n) . Отсюда
нетрудно получить, что L L`.
Теорема доказана.
Примечание. В дальнейшем через Ln мы часто будет обозначать n-мерное линейное пространство.
§ 8. Матрица перехода
Определение 12. Пусть в линейном пространстве Ln	заданы два базиса:
е= (е1 , … еn ) и e`=(e1 `,…,e`n ) (старый и новый).
Разложим векторы базиса е` по базису е:
e`1 =t11 e1 +…+tn1 en
…………………..

e`n =t1n e1 +…+tnn en .

t11 ………t1n

Т= ……………

tn1 ………tnn

называют матрицей перехода от базиса е к базису е`.

Отметим, что равенства (1) в матричном виде удобно записать так: е`=еТ (2). Это равенство равносильно определению матрицы перехода.

Замечание 1. Сформулируем правило построения матрицы перехода: для построения матрицы перехода от базиса е к базису е` нужно для всех векторов ej ` нового базиса e` найти их координатные столбцы в старом базисе е и записать их в качестве соответствующих столбцов матрицы Т.

Замечание 2. В книге матрица перехода составляется по строкам (из координатных строк векторов нового базиса в старом).

Теорема 6. Матрица перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства Ln над полем P к другому его базису является невырожденной матрицей n-го порядка с элементами из поля Р.

Доказательство. Пусть Т матрица перехода от базиса е к базису e`. Столбцы матрицы Т по определению 12 это координатные столбцы векторов базиса е` в базисе е. Так как е` линейно независимая система, то по следствию 1 теоремы 4 столбцы матрицы Т линейно независимы, и потому |T|≠0.

Теорема доказана.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 7. Любая невырожденная квадратная матрица n-го порядка с элементами из поля Р служит матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства Ln над полем Р к некоторому другому базису Ln .

Доказательство . Пусть даны базис е=(е1 , …, еn ) линейного пространства L и невырожденная квадратная матрица

Т= t11 ………t1n

tn1 ………tnn

n-го порядка с элементами из поля Р. В линейном пространстве Ln рассмотрим упорядоченную систему векторов e`=(e1 `,…,e`n ), для которых столбцы матрицы Т являются координатными столбцами в базисе е.

Система векторов е` состоит из n векторов и является в силу следствия 1 теоремы 4 линейно независимой, так как у невырожденной матрицы Т столбцы линейно независимы. Поэтому эта система – базис линейного пространства Ln , причем в силу выбора векторов системы e` выполняется равенство e`=eT. Это означает, что Т– матрица перехода от базиса е к базису e`.

Теорема доказана.

Связь координат вектора а в разных базисах

Пусть в линейном пространстве Ln заданы базисы е=(е1 , … еn ) и e`=(e1 `,…,e`n ) с матрицей перехода Т от базиса е к базису е`, т.е. верно (2). Вектор а имеет в базисах е и е` координаты [a]e =(1 ,…, n )T и [a]e` =(1 `,…,

n `)T , т.е. a=e[a]e и a=e`[a]e` .

Тогда, с одной стороны, a=e[a]e , а с другой a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (мы использовали равенство (2)). Из этих равенств получим: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису

е вытекает равенство [a]e =Т[a]e` (3), или

	n ` .

Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства. Они выражают старые координаты вектора через новые. Эти формулы можно разрешить относительно новых координат вектора, умножив (4) слева на Т-1 (такая матрица существует, так как Т невырожденная матрица).

Тогда получим: [a]e` =T-1 [a]e . По этой формуле, зная координаты вектора в старом базисе е линейного пространства Ln , можно найти его координаты в новом базисе, e`.

§ 9. Подпространства линейного пространства

Определение 13. Пусть L – линейное пространство над полем Р и H L. Если H также является линейным пространством над Р относительно тех же операций, что и L, то H называют подпространством линейного пространства L.

Утверждение 1. Подмножество Н линейного пространства L над полем Р является подпространством L, если выполняются следующие условия:

1. h 1 +h2 H для любых h1 , h2 H;

2. h H для любого h H и P.

Доказательство. Если в Н выполняются условия 1 и 2, то в Н заданы сложение и умножение на элементы поля Р. Выполнимость большинства аксиом линейного пространства для Н следует из их справедливости для L. Проверим некоторые из них:

а) 0 h=0 H (в силу условия 2);

b) h H имеем: (-h)=(-1)h H (в силу условия 2).

Утверждение доказано.

1. Подпространствами любого линейного пространства L являются 0 и L.

2. R 1 – подпространство пространства R2 векторов-отрезков на плоскости.

3. Пространство функций действительной переменной имеет, в частности, следующие подпространства:

а) линейных функций вида ax+b;

б) непрерывных функций; в) дифференцируемых функций.

Один универсальный способ выделения подпространств любого линейного пространства связан с понятием линейной оболочки.

Определение 14. Пусть a1 ,…as (1) – произвольная конечная система векторов линейного пространства L. Назовем линейной оболочкой этой системы множество { 1 a1 +…+ s as | i P} = . Линейную оболочку системы (1) обозначают также L(a1 ,…,as ).

Теорема 8. Линейная оболочка Н любой конечной системы векторов (1) линейного пространства L является конечномерным подпространством линейного пространства L. Базис системы (1) является и базисом Н, и размерность Н равна рангу системы (1).

Доказательство. Пусть Н=. Из определения линейной оболочки легко следует выполнимость условий 1 и 2 утверждения 1. В силу этого утверждения, Н – подпространство линейного пространства L. Пусть ai1 ,….,air (2) – базис системы (1). Тогда имеем: любой вектор h H линейно выражается через (1) – по определению линейной оболочки, а (1) линейно выражается через свой базис (2). Так как (2) – линейно независимая система, то она является базисом Н. Но число векторов в (2) равно рангу системы (1). Значит, dimH=r.

Теорема доказана.

Замечание 1. Если Н – конечномерное подпространство линейного пространства L и h1 ,…,hm – базис Н, то легко видеть, что H=

. Значит, линейные оболочки – это универсальный способ построения конечномерных подпространств линейных пространств.

Определение 15. Пусть А и В – два подпространства линейного пространства L над полем Р. Назовем их суммой А+В следующее множество: А+В={a+b| a A, b B}.

Пример . R2 является суммой подпространств OX (векторы оси OX) и OY. Легко доказать следующее

Утверждение 2. Сумма и пересечение двух подпространств линейного пространства L являются подпространствами L (достаточно проверить выполнимость условий 1 и 2 утверждения 1).

Справедлива

Теорема 9. Если А и В – два конечномерных подпространства линейного пространства L, то dim(A+B)=dimA+ dimB–dim A B.

Доказательство этой теоремы можно посмотреть, например, в .

Замечание 2. Пусть А и В – два конечномерных подпространства линейного пространства L. Для нахождения их суммы А+В удобно использовать задание А и В линейными оболочками. Пусть А=, В=. Тогда нетрудно показать, что А+В= . Размерность А+В по доказанной выше теореме 7 равна рангу системы a1 ,…,am , b1 ,…,bs . Поэтому, если найти базис этой системы, то найдем и dim (A+B).