Regressiya koeffitsientining qiymati o'rtacha o'zgarishni ko'rsatadi. Regressiya modellarining turlari

Omil va natijaviy belgilar o'rtasidagi bog'liqlik mavjud bo'lganda, shifokorlar ko'pincha tadqiqotchining o'zi tomonidan umumiy qabul qilingan yoki o'rnatilgan o'lchov birligi bilan o'zgartirilganda bir belgining qiymati qanday miqdorda o'zgarishi mumkinligini aniqlashlari kerak.

Masalan, 1-sinf (qiz yoki o'g'il bolalar) maktab o'quvchilarining bo'yi 1 sm ga oshsa tana vazni qanday o'zgaradi.Bu maqsadda regressiya tahlili usuli qo'llaniladi.

Ko'pincha regression tahlil usuli jismoniy rivojlanish uchun me'yoriy o'lchovlar va standartlarni ishlab chiqish uchun ishlatiladi.

1. Regressiya ta'rifi. Regressiya - bu bitta atributning o'rtacha qiymatiga asoslanib, birinchisi bilan bog'liq bo'lgan boshqa atributning o'rtacha qiymatini aniqlashga imkon beradigan funktsiya.

   Buning uchun regressiya koeffitsienti va boshqa bir qator parametrlardan foydalaniladi. Masalan, siz kuz-qish davrida o'rtacha oylik havo haroratining ma'lum qiymatlarida o'rtacha sovuqlar sonini hisoblashingiz mumkin.

2. Regressiya koeffitsientining ta'rifi. Regressiya koeffitsienti mutlaq qiymat bo'lib, u bilan bog'liq bo'lgan boshqa atribut belgilangan o'lchov birligi bilan o'zgarganda, bitta atributning qiymati o'rtacha o'zgaradi.
3. Regressiya koeffitsienti formulasi. R y / x \u003d r xy x (s y / s x)
   bu erda R y / x - regressiya koeffitsienti;
   r xy - x va y xususiyatlar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti;
   (s y va s x) - x va y xususiyatlarning standart og'ishlari.

   Bizning misolimizda;
   s x = 4,6 (kuz-qish davrida havo haroratining me'yoriy og'ishi;
   s y = 8,65 (yuqumli sovuqlar sonining standart og'ishi).
   Shunday qilib, R y / x - regressiya koeffitsienti.
   R y / x \u003d -0,96 x (4,6 / 8,65) \u003d 1,8, ya'ni. o'rtacha oylik havo haroratining (x) 1 darajaga pasayishi bilan, kuz-qish davrida yuqumli shamollash (y) o'rtacha soni 1,8 holatga o'zgaradi.

4. Regressiya tenglamasi. y \u003d M y + R y / x (x - M x)
   bu erda y - atributning o'rtacha qiymati, boshqa atributning o'rtacha qiymati (x) o'zgarganda aniqlanishi kerak;
   x - boshqa xususiyatning ma'lum o'rtacha qiymati;
   R y/x - regressiya koeffitsienti;
   M x, M y - x va y xususiyatlarining ma'lum o'rtacha qiymatlari.

   Misol uchun, yuqumli sovuqlarning o'rtacha soni (y) o'rtacha oylik havo haroratining (x) har qanday o'rtacha qiymatida maxsus o'lchovlarsiz aniqlanishi mumkin. Shunday qilib, agar x \u003d - 9 °, R y / x \u003d 1,8 kasallik, M x \u003d -7 °, M y \u003d 20 kasallik, keyin y \u003d 20 + 1,8 x (9-7) \u003d 20 + 3 .6 = 23.6 kasalliklar.
   Bu tenglama ikkita xususiyat (x va y) o'rtasida to'g'ri chiziqli munosabat bo'lgan taqdirda qo'llaniladi.

5. Regressiya tenglamasining maqsadi. Regressiya tenglamasi regressiya chizig'ini chizish uchun ishlatiladi. Ikkinchisi, agar boshqa atributning qiymati (x) o'zgargan bo'lsa, maxsus o'lchovlarsiz bitta atributning har qanday o'rtacha qiymatini (y) aniqlash imkonini beradi. Ushbu ma'lumotlarga asoslanib, grafik tuziladi - regressiya chizig'i, bu shamollashlar sonining hisoblangan qiymatlari oralig'ida o'rtacha oylik haroratning har qanday qiymatida o'rtacha shamollash sonini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.
6. Regressiya sigmasi (formula).
   bu erda s Ru/x - regressiyaning sigmasi (standart og'ishi);
   s y - y xususiyatning standart og'ishi;
   r xy - x va y xususiyatlar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti.

   Demak, agar s y sovuqlar sonining standart og'ishi = 8,65; r xy - shamollashlar soni (y) va kuz-qish davridagi o'rtacha oylik havo harorati (x) o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti - 0,96, keyin

   

7. Sigma regressiyasining maqsadi. Hosil bo'lgan xususiyatning xilma-xilligi o'lchovining xarakteristikasi (y) beradi.

   Masalan, kuz-qish davridagi o'rtacha oylik havo haroratining ma'lum bir qiymatida sovuqlar sonining xilma-xilligini tavsiflaydi. Shunday qilib, havo harorati x 1 \u003d -6 ° da shamollashning o'rtacha soni 15,78 kasallikdan 20,62 kasallikgacha bo'lishi mumkin.
   X 2 = -9 ° da, sovuqlarning o'rtacha soni 21,18 kasallikdan 26,02 kasallikgacha va hokazo bo'lishi mumkin.

   Regressiya sigmasi regressiya shkalasini qurishda qo'llaniladi, bu regressiya chizig'ida belgilangan o'rtacha qiymatdan samarali atribut qiymatlarining og'ishini aks ettiradi.

8. Regressiya shkalasini hisoblash va chizish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar
   • regressiya koeffitsienti - Ry/x;
   • regressiya tenglamasi - y \u003d M y + R y / x (x-M x);
   • regressiya sigmasi - s Rx/y
9. Hisoblash ketma-ketligi va regressiya shkalasining grafik tasviri.
   • formula bo'yicha regressiya koeffitsientini aniqlang (3-bandga qarang). Misol uchun, agar o'rtacha balandlik 1 sm ga o'zgargan bo'lsa, tana vaznining o'rtacha (jinsga qarab ma'lum bir yoshda) qanchalik o'zgarishini aniqlash kerak.
   • regressiya tenglamasining formulasiga ko'ra (4-bandga qarang), ma'lum bir o'sish qiymati uchun o'rtacha, masalan, tana vazni (y, y 2, y 3 ...) * nima bo'lishini aniqlang (x, x 2, x 3 ...).
     ________________
     * "Y" qiymati "x" ning kamida uchta ma'lum qiymati uchun hisoblanishi kerak.

     Shu bilan birga, ma'lum bir yosh va jins uchun tana vazni va bo'yining o'rtacha qiymatlari (M x va M y) ma'lum.

   • s y va r xy ning mos qiymatlarini bilib, ularning qiymatlarini formulaga almashtirgan holda regressiya sigmasini hisoblang (6-bandga qarang).
   • ma'lum bo'lgan x 1, x 2, x 3 qiymatlari va ularning mos keladigan o'rtacha qiymatlari y 1, y 2 y 3, shuningdek, eng kichik (y - s ru / x) va eng katta (y + s ru) asosida / x) qiymatlar (y) regressiya shkalasini yaratadi.

     Regressiya shkalasining grafik tasviri uchun x, x 2, x 3 (y o'qi) qiymatlari birinchi navbatda grafikda belgilanadi, ya'ni. regressiya chizig'i quriladi, masalan, tana vaznining (y) balandlikka (x) bog'liqligi.

     Keyin, mos keladigan y 1, y 2, y 3 nuqtalarida regressiya sigmaning raqamli qiymatlari belgilanadi, ya'ni. grafikda y 1 , y 2 , y 3 ning eng kichik va eng katta qiymatlarini toping.

10. Regressiya shkalasidan amaliy foydalanish. Normativ shkalalar va standartlar, xususan, jismoniy rivojlanish uchun ishlab chiqilmoqda. Standart shkalaga ko'ra, bolalarning rivojlanishiga individual baho berish mumkin. Shu bilan birga, jismoniy rivojlanish, masalan, ma'lum bir balandlikda bolaning tana vazni tana vaznining o'rtacha hisoblangan birligiga - (y) ma'lum bir balandlikda (x) bir regressiya sigmasida bo'lsa, uyg'un deb baholanadi. y ± 1 s Ry / x).

    Agar bolaning ma'lum balandlikdagi tana vazni ikkinchi regressiya sigmasi doirasida bo'lsa, jismoniy rivojlanish tana vazni bo'yicha disharmonik hisoblanadi: (y ± 2 s Ry / x)

    Agar ma'lum bir balandlikdagi tana vazni regressiyaning uchinchi sigmasi (y ± 3 s Ry / x) ichida bo'lsa, jismoniy rivojlanish tana vaznining ortiqcha va etarli emasligi tufayli keskin nomutanosib bo'ladi.

5 yoshli o'g'il bolalarning jismoniy rivojlanishini statistik o'rganish natijalariga ko'ra, ularning o'rtacha bo'yi (x) 109 sm, o'rtacha tana vazni (y) 19 kg ekanligi ma'lum. Bo'y va tana vazni o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti +0,9, standart og'ishlar jadvalda keltirilgan.

Majburiy:

• regressiya koeffitsientini hisoblash;
• regressiya tenglamasidan foydalanib, x1 = 100 sm, x2 = 110 sm, x3 = 120 sm ga teng bo'lgan 5 yoshli o'g'il bolalarning kutilayotgan tana vazni qanday bo'lishini aniqlang;
• regressiya sigmasini hisoblash, regressiya shkalasini qurish, uni yechish natijalarini grafik tarzda taqdim etish;
• tegishli xulosalar chiqaring.

Muammoning holati va uni hal qilish natijalari umumlashtirilgan jadvalda keltirilgan.

1-jadval

Muammoning shartlari				Muammoni hal qilish natijalari
				regressiya tenglamasi			sigma regressiyasi	regressiya shkalasi (kutilgan tana vazni (kg))
	M	σ	r xy	R y/x	X	Da	sRx/y	y - s Ru/x	y + s Ru/x
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Balandligi (x)	109 sm	± 4,4 sm	+0,9	0,16	100 sm	17,56 kg	± 0,35 kg	17,21 kg	17,91 kg
Tana vazni (y)	19 kg	± 0,8 kg			110 sm	19,16 kg		18,81 kg	19,51 kg
					120 sm	20,76 kg		20,41 kg	21,11 kg

Yechim.

Xulosa. Shunday qilib, tana vaznining hisoblangan qiymatlari doirasidagi regressiya shkalasi uni o'sishning boshqa har qanday qiymati uchun aniqlash yoki bolaning individual rivojlanishini baholash imkonini beradi. Buning uchun regressiya chizig'iga perpendikulyarni tiklang.

1. Vlasov V.V. Epidemiologiya. - M.: GEOTAR-MED, 2004. - 464 b.
2. Lisitsin Yu.P. Jamoat salomatligi va sog'liqni saqlash. Oliy maktablar uchun darslik. - M.: GEOTAR-MED, 2007. - 512 b.
3. Medik V.A., Yuriev V.K. Aholi salomatligi va sog'lig'ini saqlash bo'yicha ma'ruzalar kursi: 1-qism. Jamoat salomatligi. - M .: Tibbiyot, 2003. - 368 b.
4. Minyaev V.A., Vishnyakov N.I. va boshqalar.Ijtimoiy tibbiyot va sog'liqni saqlash tashkiloti (2 jildli qo'llanma). - Sankt-Peterburg, 1998. -528 b.
5. Kucherenko V.Z., Agarkov N.M. va boshqalar.Ijtimoiy gigiena va sog'liqni saqlashni tashkil etish (O'quv qo'llanma) - Moskva, 2000. - 432 b.
6. S. Glants. Tibbiy-biologik statistika. Ingliz tilidan Per. - M., Amaliyot, 1998. - 459 p.

Grafik usuldan foydalanish.
Bu usul o'rganilayotgan iqtisodiy ko'rsatkichlar o'rtasidagi aloqa shaklini tasavvur qilish uchun ishlatiladi. Buning uchun to'rtburchaklar koordinatalar tizimida grafik chiziladi, natijada Y atributining individual qiymatlari ordinatalar o'qi bo'ylab, X omil atributining individual qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab chiziladi.
Effektiv va omil belgilarining nuqtalari to'plami deyiladi korrelyatsiya maydoni.
Korrelyatsiya maydoniga asoslanib, (umumiy aholi uchun) X va Y ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari o'rtasidagi munosabatlar chiziqli ekanligini taxmin qilish mumkin.

Chiziqli regressiya tenglamasi y = bx + a + e ko'rinishiga ega
Bu erda e - tasodifiy xato (og'ish, tebranish).
Tasodifiy xatoning mavjudligi sabablari:
1. Regressiya modeliga muhim izohli o'zgaruvchilarni kiritmaslik;
2. O‘zgaruvchilarning yig‘indisi. Masalan, jami iste'mol funktsiyasi - bu shaxslarning shaxsiy xarajatlar qarorlari yig'indisini umumiy ifodalashga urinish. Bu faqat turli xil parametrlarga ega bo'lgan individual munosabatlarning taxminiy ko'rinishi.
3. Model tuzilmasining noto'g'ri tavsifi;
4. Noto'g'ri funktsional spetsifikatsiya;
5. O'lchov xatolari.
Har bir aniq kuzatish i uchun e i og'ishlar tasodifiy va ularning namunadagi qiymatlari noma'lum bo'lganligi sababli:
1) x i va y i kuzatuvlariga ko'ra, faqat a va b parametrlarining taxminlarini olish mumkin
2) Regressiya modelining a va b parametrlarining baholari mos ravishda tabiatda tasodifiy bo'lgan a va b qiymatlaridir, chunki tasodifiy namunaga mos keladi;
Keyin taxmin qilingan regressiya tenglamasi (namunaviy ma'lumotlardan tuzilgan) y = bx + a + e ga o'xshaydi, bu erda e i - mos ravishda e i va va b xatolarining kuzatilgan qiymatlari (baxmalari) topilishi kerak bo'lgan regressiya modelining a va b parametrlari.
a va b parametrlarini baholash uchun - LSM (eng kichik kvadratlar) dan foydalaning.
Oddiy tenglamalar tizimi.

Bizning ma'lumotlarimiz uchun tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:

10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485

Birinchi tenglamadan a-ni ifodalang va uni ikkinchi tenglamaga almashtiring
Biz b = 68,16, a = 11,17 ni olamiz

Regressiya tenglamasi:
y = 68,16 x - 11,17

1. Regressiya tenglamasining parametrlari.
Namuna vositalari.



Namuna farqlari.


standart og'ish

1.1. Korrelyatsiya koeffitsienti
Biz aloqaning yaqinligi ko'rsatkichini hisoblaymiz. Bunday ko'rsatkich selektiv chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti bo'lib, u quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan +1 gacha bo'lgan qiymatlarni oladi.
Xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlar zaif yoki kuchli (yaqin) bo'lishi mumkin. Ularning mezonlari Chaddock shkalasi bo'yicha baholanadi:
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
Bizning misolimizda Y omil X xususiyati o'rtasidagi bog'liqlik juda yuqori va to'g'ridan-to'g'ri.

1.2. Regressiya tenglamasi(regressiya tenglamasini baholash).

Chiziqli regressiya tenglamasi y = 68,16 x -11,17
Chiziqli regressiya tenglamasining koeffitsientlariga iqtisodiy ma'no berilishi mumkin. Regressiya tenglama koeffitsienti qancha birlik ekanligini ko'rsatadi omil 1 birlikka o'zgarganda natija o'zgaradi.
Koeffitsient b = 68,16 samarali indikatorning o'rtacha o'zgarishini (y birliklarida) uning o'lchov birligi uchun x omil qiymatining oshishi yoki kamayishi bilan ko'rsatadi. Ushbu misolda 1 birlik o'sishi bilan y o'rtacha 68,16 ga oshadi.
a = -11.17 koeffitsienti rasmiy ravishda y ning bashorat qilingan darajasini ko'rsatadi, lekin faqat x=0 namunaviy qiymatlarga yaqin bo'lsa.
Ammo agar x = 0 x namunaviy qiymatlardan uzoq bo'lsa, so'zma-so'z talqin qilish noto'g'ri natijalarga olib kelishi mumkin va hatto regressiya chizig'i kuzatilgan namunaning qiymatlarini aniq tasvirlagan bo'lsa ham, bu ham bo'lishiga kafolat yo'q. chapga yoki o'ngga ekstrapolyatsiya qilish holati.
X ning mos keladigan qiymatlarini regressiya tenglamasiga almashtirish orqali har bir kuzatish uchun y(x) samarali indikatorining moslashtirilgan (bashorat qilingan) qiymatlarini aniqlash mumkin.
Y va x o'rtasidagi bog'liqlik regressiya koeffitsienti b belgisini aniqlaydi (agar > 0 - to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik, aks holda - teskari). Bizning misolimizda aloqa to'g'ridan-to'g'ri.

1.3. elastiklik koeffitsienti.
Effektiv atributga omillarning ta'sirini to'g'ridan-to'g'ri baholash uchun regressiya koeffitsientlaridan (b misolida) foydalanish maqsadga muvofiq emas, agar samarali ko'rsatkich y va omil atributi x o'lchov birliklarida farq mavjud bo'lsa.
Ushbu maqsadlar uchun elastiklik koeffitsientlari va beta koeffitsientlari hisoblanadi. Elastiklik koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha topiladi:


U omil atributi x 1% ga o'zgarganda samarali atribut y o'rtacha necha foizga o'zgarishini ko'rsatadi. U omillarning tebranish darajasini hisobga olmaydi.
Bizning misolimizda elastiklik koeffitsienti 1 dan katta. Demak, agar X 1% ga o'zgarsa, Y 1% dan ko'proq o'zgaradi. Boshqacha qilib aytganda, X Y ga sezilarli darajada ta'sir qiladi.
Beta koeffitsienti faktor atributi doimiy darajada o'rnatilgan qolgan mustaqil o'zgaruvchilar qiymati bilan standart og'ish qiymatiga o'zgarganda, samarali atributning qiymati o'rtacha qiymatning qaysi qismiga o'zgarishini ko'rsatadi:

Bular. x ning ushbu ko'rsatkichning standart og'ish qiymatiga oshishi o'rtacha Y ning ushbu ko'rsatkichning standart og'ishining 0,9796 ga oshishiga olib keladi.

1.4. Taxminan xato.
Absolyut yaqinlashish xatosi yordamida regressiya tenglamasining sifatini baholaylik.


Xato 15% dan katta bo'lganligi sababli, bu tenglamani regressiya sifatida ishlatish maqsadga muvofiq emas.

1.6. Aniqlash koeffitsienti.
(Ko'p) korrelyatsiya koeffitsientining kvadrati determinatsiya koeffitsienti deb ataladi, bu omil atributining o'zgarishi bilan izohlangan natijaviy atributning o'zgarishining nisbatini ko'rsatadi.
Ko'pincha, determinatsiya koeffitsientini talqin qilgan holda, u foiz sifatida ifodalanadi.
R2 = 0,982 = 0,9596
bular. 95,96% hollarda x ning o'zgarishi y ning o'zgarishiga olib keladi. Boshqacha aytganda, regressiya tenglamasini tanlashning aniqligi yuqori. Y ning qolgan 4,04% o'zgarishi modelda hisobga olinmagan omillarga bog'liq.

x	y	x2	y2	x y	y(x)	(y i -y cp) 2	(y-y(x)) 2	(x i -x cp) 2	|y - y x |:y
0.371	15.6	0.1376	243.36	5.79	14.11	780.89	2.21	0.1864	0.0953
0.399	19.9	0.1592	396.01	7.94	16.02	559.06	15.04	0.163	0.1949
0.502	22.7	0.252	515.29	11.4	23.04	434.49	0.1176	0.0905	0.0151
0.572	34.2	0.3272	1169.64	19.56	27.81	87.32	40.78	0.0533	0.1867
0.607	44.5	.3684	1980.25	27.01	30.2	0.9131	204.49	0.0383	0.3214
0.655	26.8	0.429	718.24	17.55	33.47	280.38	44.51	0.0218	0.2489
0.763	35.7	0.5822	1274.49	27.24	40.83	61.54	26.35	0.0016	0.1438
0.873	30.6	0.7621	936.36	26.71	48.33	167.56	314.39	0.0049	0.5794
2.48	161.9	6.17	26211.61	402	158.07	14008.04	14.66	2.82	0.0236
7.23	391.9	9.18	33445.25	545.2	391.9	16380.18	662.54	3.38	1.81

2. Regressiya tenglamasining parametrlarini baholash.
2.1. Korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati.

Muhimlik darajasi a=0,05 va erkinlik darajasi k=7 bo'lgan Student jadvaliga ko'ra biz t kritikni topamiz:
t krit = (7; 0,05) = 1,895
bu erda m = 1 - tushuntirish o'zgaruvchilar soni.
Agar t obs > t kritik bo'lsa, u holda korrelyatsiya koeffitsientining olingan qiymati muhim deb tan olinadi (korrelyatsiya koeffitsienti nolga teng degan nol gipoteza rad etiladi).
t obl > t krit ekan, korrelyatsiya koeffitsienti 0 ga teng degan gipotezani rad qilamiz. Boshqacha qilib aytganda, korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega
Juftlangan chiziqli regressiyada t 2 r = t 2 b, keyin esa regressiya va korrelyatsiya koeffitsientlarining ahamiyati haqidagi farazlarni tekshirish chiziqli regressiya tenglamasining ahamiyati haqidagi gipotezani tekshirishga teng.

2.3. Regressiya koeffitsientlari baholarini aniqlashning to'g'riligini tahlil qilish.
Buzilishlar dispersiyasining xolis bahosi quyidagi qiymat hisoblanadi:


S 2 y = 94,6484 - tushuntirilmagan dispersiya (regressiya chizig'i atrofida bog'liq o'zgaruvchining tarqalishi o'lchovi).
S y = 9.7287 - taxminning standart xatosi (regressiyaning standart xatosi).
S a - tasodifiy miqdorning standart og'ishi a.


S b - tasodifiy miqdorning standart og'ishi b.

2.4. Bog'liq o'zgaruvchi uchun ishonch oraliqlari.
Tuzilgan modelga asoslangan iqtisodiy prognozlash o'zgaruvchilarning oldindan mavjud bo'lgan munosabatlari etakchi davr uchun ham saqlanib qolishini nazarda tutadi.
Natija atributining qaram o'zgaruvchisini bashorat qilish uchun modelga kiritilgan barcha omillarning bashoratli qiymatlarini bilish kerak.
Omillarning bashoratli qiymatlari modelga almashtiriladi va o'rganilayotgan ko'rsatkichning nuqta bashoratli baholari olinadi. (a + bx p ± e)
Qayerda

Keling, Y ning mumkin bo'lgan qiymatlarining 95% cheksiz ko'p kuzatuvlar va X p = 1 (-11,17 + 68,16*1 ± 6,4554) bilan to'plangan oraliq chegaralarini hisoblaylik.
(50.53;63.44)

Shaxsiy ishonch oraliqlari uchunYberilgan qiymatdaX.
(a + bx i ± e)
Qayerda

x i	y = -11,17 + 68,16x i	e i	ymin	ymax
0.371	14.11	19.91	-5.8	34.02
0.399	16.02	19.85	-3.83	35.87
0.502	23.04	19.67	3.38	42.71
0.572	27.81	19.57	8.24	47.38
0.607	30.2	19.53	10.67	49.73
0.655	33.47	19.49	13.98	52.96
0.763	40.83	19.44	21.4	60.27
0.873	48.33	19.45	28.88	67.78
2.48	158.07	25.72	132.36	183.79

95% ehtimollik bilan cheksiz ko'p kuzatuvlar bilan Y qiymati topilgan intervallar chegarasidan tashqariga chiqmasligini kafolatlash mumkin.

2.5. Chiziqli regressiya tenglamasining koeffitsientlari bo'yicha gipotezalarni tekshirish.
1) t-statistika. Talaba mezoni.
Ayrim regressiya koeffitsientlarining nolga tengligi haqidagi H 0 gipotezasini (muqobil H 1 teng bo'lmagan holda) a=0,05 ahamiyatlilik darajasida tekshirib ko'raylik.
t krit = (7; 0,05) = 1,895


12,8866 > 1,895 dan boshlab regressiya koeffitsienti b ning statistik ahamiyati tasdiqlanadi (biz bu koeffitsient nolga teng degan gipotezani rad qilamiz).


2,0914 > 1,895 dan boshlab a regressiya koeffitsientining statistik ahamiyati tasdiqlanadi (biz bu koeffitsient nolga teng degan gipotezani rad qilamiz).

Regressiya tenglamasining koeffitsientlari uchun ishonch oralig'i.
Keling, 95% ishonchliligi bilan quyidagi regressiya koeffitsientlarining ishonch oraliqlarini aniqlaylik:
(b - t krit S b; b + t krit S b)
(68.1618 - 1.895 5.2894; 68.1618 + 1.895 5.2894)
(58.1385;78.1852)
95% ehtimollik bilan, ushbu parametrning qiymati topilgan intervalda yotadi, deb bahslashish mumkin.
(a - t a)
(-11.1744 - 1.895 5.3429; -11.1744 + 1.895 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
95% ehtimollik bilan, ushbu parametrning qiymati topilgan intervalda yotadi, deb bahslashish mumkin.

2) F-statistika. Fisher mezoni.
Regressiya modelining ahamiyati Fisher F-testi yordamida tekshiriladi, uning hisoblangan qiymati o'rganilayotgan ko'rsatkichning kuzatuvlarining dastlabki qatorlari dispersiyasining nisbati va qoldiq ketma-ketligi dispersiyasining xolis bahosi sifatida topiladi. bu model.
Agar lang=EN-US>n-m-1) erkinlik darajalari bilan hisoblangan qiymat berilgan ahamiyatlilik darajasida jadvalli qiymatdan katta bo'lsa, model muhim hisoblanadi.

bu yerda m – modeldagi omillar soni.
Juftlangan chiziqli regressiyaning statistik ahamiyatini baholash quyidagi algoritm bo'yicha amalga oshiriladi:
1. Tenglama yaxlit statistik jihatdan ahamiyatsiz degan nol gipoteza ilgari suriladi: H 0: R 2 =0 a ahamiyatlilik darajasida.
2. Keyin F-mezonining haqiqiy qiymatini aniqlang:


bu yerda juft regressiya uchun m=1.
3. Jadval qiymati kvadratlarning umumiy yig'indisi (kattaroq dispersiya) uchun erkinlik darajalari soni 1 ga va qoldiq yig'indisi uchun erkinlik darajalari soniga teng ekanligini hisobga olgan holda, berilgan muhimlik darajasi uchun Fisher taqsimot jadvallaridan aniqlanadi. chiziqli regressiyada kvadratlar (pastki dispersiya) n-2 ga teng.
4. Agar F-mezonining haqiqiy qiymati jadval qiymatidan kichik bo'lsa, unda ular nol gipotezani rad etishga hech qanday sabab yo'qligini aytishadi.
Aks holda, nol gipoteza rad etiladi va butun tenglamaning statistik ahamiyati haqidagi muqobil gipoteza (1-a) ehtimollik bilan qabul qilinadi.
Erkinlik darajalari k1=1 va k2=7 bo'lgan mezonning jadval qiymati, Fkp = 5,59
F > Fkp ning haqiqiy qiymati bo'lgani uchun aniqlash koeffitsienti statistik ahamiyatga ega (Regressiya tenglamasining topilgan bahosi statistik jihatdan ishonchli).

Qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasini tekshiring.
LSM-dan foydalangan holda sifatli regressiya modelini yaratishning muhim sharti bu tasodifiy og'ishlar qiymatlarining boshqa barcha kuzatishlardagi og'ish qiymatlaridan mustaqilligi. Bu har qanday og'ishlar va, xususan, qo'shni og'ishlar o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'qligini ta'minlaydi.
Avtokorrelyatsiya (ketma-ket korrelyatsiya) vaqt (vaqt seriyalari) yoki fazoda (o'zaro seriyalar) tartiblangan kuzatilgan o'lchovlar o'rtasidagi korrelyatsiya sifatida aniqlanadi. Vaqt seriyalari ma'lumotlaridan foydalanganda regressiya tahlilida qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasi (chiqibiy ko'rsatkichlar) odatda, kesma ma'lumotlardan foydalanganda juda kam uchraydi.
Iqtisodiy vazifalarda u ancha keng tarqalgan ijobiy avtokorrelyatsiya dan salbiy avtokorrelyatsiya. Ko'pgina hollarda ijobiy avtokorrelyatsiya modelda hisobga olinmagan ba'zi omillarning yo'naltirilgan doimiy ta'siridan kelib chiqadi.
Salbiy avtokorrelyatsiya aslida ijobiy og'ishdan keyin salbiy va aksincha, degan ma'noni anglatadi. Mavsumiy ma'lumotlarga (qish-yoz) ko'ra, alkogolsiz ichimliklarga bo'lgan talab va daromadlar o'rtasidagi bir xil bog'liqlik hisobga olinsa, bunday holat yuz berishi mumkin.
Orasida avtokorrelyatsiyani keltirib chiqaradigan asosiy sabablar, quyidagilarni ajratib ko'rsatish mumkin:
1. Spetsifikatsiyadagi xatolar. Modeldagi biron bir muhim tushuntirish o'zgaruvchisini hisobga olmaslik yoki bog'liqlik shaklini noto'g'ri tanlash odatda kuzatuv nuqtalarining regressiya chizig'idan tizimli og'ishlariga olib keladi, bu esa avtokorrelyatsiyaga olib kelishi mumkin.
2. Inertsiya. Ko'pgina iqtisodiy ko'rsatkichlar (inflyatsiya, ishsizlik, yalpi ichki mahsulot va boshqalar) tadbirkorlik faoliyatining to'lqinli bo'lishi bilan bog'liq bo'lgan ma'lum bir tsikliklikka ega. Shuning uchun ko'rsatkichlarning o'zgarishi bir zumda sodir bo'lmaydi, lekin ma'lum bir inertsiyaga ega.
3. Web effekti. Ko'pgina sanoat va boshqa sohalarda iqtisodiy ko'rsatkichlar iqtisodiy sharoitlarning o'zgarishiga kechikish (vaqtning kechikishi) bilan ta'sir qiladi.
4. Ma'lumotlarni tekislash. Ko'pincha, ma'lum bir uzoq vaqt uchun ma'lumotlar uning tarkibiy oraliqlari bo'yicha ma'lumotlarni o'rtacha hisoblash yo'li bilan olinadi. Bu ko'rib chiqilayotgan davrda mavjud bo'lgan tebranishlarning ma'lum bir tekislanishiga olib kelishi mumkin, bu esa o'z navbatida avtokorrelyatsiyani keltirib chiqarishi mumkin.
Avtokorrelyatsiyaning oqibatlari heteroskedastiklik natijalariga o'xshaydi: regressiya koeffitsienti va aniqlash koeffitsientining ahamiyatini aniqlaydigan t- va F-statistika bo'yicha xulosalar noto'g'ri bo'lishi mumkin.

Avtokorrelyatsiyani aniqlash

1. Grafik usul
Avtokorrelyatsiyani grafik jihatdan aniqlashning bir qancha variantlari mavjud. Ulardan biri chetlanishlarni e i ularni olish i momentlari bilan bog'laydi. Shu bilan birga, abscissalar o'qi bo'ylab statistik ma'lumotlarni olish vaqti yoki kuzatuvning seriya raqami va ordinatalar o'qi bo'ylab e i (yoki og'ishlarning taxminiy baholari) chiziladi.
Agar og'ishlar o'rtasida ma'lum munosabat mavjud bo'lsa, u holda avtokorrelyatsiya sodir bo'ladi, deb taxmin qilish tabiiydir. Qaramlikning yo'qligi, ehtimol, avtokorrelyatsiyaning yo'qligini ko'rsatadi.
Agar siz e i ga qarshi e i-1 ni chizsangiz, avtokorrelyatsiya aniqroq bo'ladi.

Durbin-Watson testi.
Ushbu mezon avtokorrelyatsiyani aniqlash uchun eng mashhur hisoblanadi.
Regressiya tenglamalarini statistik tahlil qilishda, dastlabki bosqichda, ko'pincha bitta asosning maqsadga muvofiqligi tekshiriladi: bir-biridan chetlanishlarning statistik mustaqilligi shartlari. Bunday holda, qo'shni qiymatlarning o'zaro bog'liqligi e i tekshiriladi.

y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
15.6	14.11	1.49	2.21	0
19.9	16.02	3.88	15.04	5.72
22.7	23.04	-0.3429	0.1176	17.81
34.2	27.81	6.39	40.78	45.28
44.5	30.2	14.3	204.49	62.64
26.8	33.47	-6.67	44.51	439.82
35.7	40.83	-5.13	26.35	2.37
30.6	48.33	-17.73	314.39	158.7
161.9	158.07	3.83	14.66	464.81
			662.54	1197.14

Og'ishlarning korrelyatsiyasini tahlil qilish uchun Durbin-Uotson statistikasi qo'llaniladi:

kritik qiymatlar d 1 va d 2 zaruriy ahamiyat darajasi a, kuzatishlar soni n = 9 va tushuntirish o'zgaruvchilari soni m = 1 uchun maxsus jadvallar asosida aniqlanadi.
Agar quyidagi shart to'g'ri bo'lsa, avtokorrelyatsiya bo'lmaydi:
d1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Jadvallarga murojaat qilmasdan, biz taxminiy qoidadan foydalanishimiz mumkin va agar 1,5 bo'lsa, qoldiqlarning avtokorrelyatsiyasi yo'q deb taxmin qilishimiz mumkin.< DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

Regressiya koeffitsienti mutlaq qiymat bo'lib, u bilan bog'liq bo'lgan boshqa atribut belgilangan o'lchov birligi bilan o'zgarganda, bitta atributning qiymati o'rtacha o'zgaradi. Regressiya ta'rifi. Y va x o'rtasidagi bog'liqlik regressiya koeffitsienti b belgisini aniqlaydi (agar > 0 - to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik, aks holda - teskari). Chiziqli regressiya modeli ekonometriyada eng ko'p qo'llaniladigan va eng ko'p o'rganiladi.

1.4. Taxminlash xatosi.Regressiya tenglamasining sifatini absolyut yaqinlashish xatosidan foydalanib baholaylik. Omillarning bashoratli qiymatlari modelga almashtiriladi va o'rganilayotgan ko'rsatkichning nuqta bashoratli baholari olinadi. Shunday qilib, regressiya koeffitsientlari samarali ko'rsatkich darajasini oshirish uchun individual omillarning ahamiyatlilik darajasini tavsiflaydi.

Regressiya koeffitsienti

Endi betda berilgan regressiya tahlili topshiriqlarining 1-muammosini ko'rib chiqing. 300-301. Chiziqli regressiya nazariyasining matematik natijalaridan biri shuni ko'rsatadiki, N bahosi barcha chiziqli xolis baholar sinfidagi minimal dispersiyaga ega xolis bahodir. Masalan, siz kuz-qish davrida o'rtacha oylik havo haroratining ma'lum qiymatlarida o'rtacha sovuqlar sonini hisoblashingiz mumkin.

Regressiya chizig'i va regressiya tenglamasi

Regressiya sigmasi regressiya shkalasini qurishda qo'llaniladi, bu regressiya chizig'ida belgilangan o'rtacha qiymatdan samarali atribut qiymatlarining og'ishini aks ettiradi. 1, x2, x3 va ularning mos keladigan o'rtacha qiymatlari y1, y2 y3, shuningdek, regressiya shkalasini qurish uchun eng kichik (y - sry/x) va eng katta (y + sry/x) qiymatlari (y). Xulosa. Shunday qilib, tana vaznining hisoblangan qiymatlari doirasidagi regressiya shkalasi uni o'sishning boshqa har qanday qiymati uchun aniqlash yoki bolaning individual rivojlanishini baholash imkonini beradi.

Matritsa shaklida regressiya tenglamasi (ER) quyidagicha yoziladi: Y=BX+U(\displaystyle Y=BX+U), bu yerda U(\displaystyle U) xato matritsasi. "Regressiya" so'zining statistik ishlatilishi ser Frensis Galton (1889) tomonidan aytilgan o'rtachaga regressiya deb nomlanuvchi hodisadan kelib chiqqan.

Juftlik chiziqli regressiya bir nechta mustaqil o‘zgaruvchilarni qamrab olish uchun kengaytirilishi mumkin; bu holda u ko'p regressiya deb nomlanadi. Chet ko'rsatkichlar uchun ham, "ta'sirli" kuzatuvlar (nuqtalar) uchun ham modellar qo'llaniladi, ular bilan ham, ularsiz ham smeta o'zgarishiga e'tibor bering (regressiya koeffitsientlari).

Chiziqli munosabatlar tufayli va biz uning o'zgarishi bilan o'zgarishini kutamiz va biz bu o'zgarishni regressiya tufayli yoki tushuntirilgan deb ataymiz. Agar shunday bo'lsa, u holda o'zgarishlarning aksariyati regressiya bilan izohlanadi va nuqtalar regressiya chizig'iga yaqin joylashgan bo'ladi, ya'ni. chiziq ma'lumotlarga yaxshi mos keladi. Farqi regressiya bilan izohlab bo'lmaydigan dispersiya foizidir.

Bu usul o'rganilayotgan iqtisodiy ko'rsatkichlar o'rtasidagi aloqa shaklini tasavvur qilish uchun ishlatiladi. Korrelyatsiya maydoniga asoslanib, (umumiy aholi uchun) X va Y ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari o'rtasidagi munosabatlar chiziqli ekanligini taxmin qilish mumkin.

Tasodifiy xatoning mavjudligi sabablari: 1. Regressiya modeliga muhim izohli o'zgaruvchilar kiritilmaganligi; 2. O‘zgaruvchilarning yig‘indisi. Oddiy tenglamalar tizimi. Bizning misolimizda aloqa to'g'ridan-to'g'ri. Natija atributining qaram o'zgaruvchisini bashorat qilish uchun modelga kiritilgan barcha omillarning bashoratli qiymatlarini bilish kerak.

Korrelyatsiya va regressiya koeffitsientlarini solishtirish

95% ehtimollik bilan cheksiz ko'p kuzatuvlar bilan Y qiymati topilgan intervallar chegarasidan tashqariga chiqmasligini kafolatlash mumkin. Agar lang=EN-US>n-m-1) erkinlik darajalari bilan hisoblangan qiymat berilgan ahamiyatlilik darajasida jadvalli qiymatdan katta bo'lsa, model muhim hisoblanadi. Bu har qanday og'ishlar va, xususan, qo'shni og'ishlar o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'qligini ta'minlaydi.

Regressiya koeffitsientlari va ularning talqini

Ko'pgina hollarda ijobiy avtokorrelyatsiya modelda hisobga olinmagan ba'zi omillarning yo'naltirilgan doimiy ta'siridan kelib chiqadi. Salbiy avtokorrelyatsiya, aslida, ijobiy og'ishdan keyin salbiy va aksincha.

Regressiya nima?

2. Inertsiya. Ko'pgina iqtisodiy ko'rsatkichlar (inflyatsiya, ishsizlik, yalpi ichki mahsulot va boshqalar) tadbirkorlik faoliyatining to'lqinli bo'lishi bilan bog'liq bo'lgan ma'lum bir tsikliklikka ega. Ko'pgina sanoat va boshqa sohalarda iqtisodiy ko'rsatkichlar iqtisodiy sharoitlarning o'zgarishiga kechikish (vaqtning kechikishi) bilan ta'sir qiladi.

Agar omil ko'rsatkichlarini dastlabki standartlashtirish amalga oshirilgan bo'lsa, u holda b0 agregatdagi samarali ko'rsatkichning o'rtacha qiymatiga teng. Regressiya koeffitsientlarining o'ziga xos qiymatlari empirik ma'lumotlardan eng kichik kvadratlar usuli bo'yicha aniqlanadi (normal tenglamalar tizimini echish natijasida).

Chiziqli regressiya tenglamasi y = bx + a + e ko'rinishga ega Bu yerda e - tasodifiy xato (og'ish, tebranish). Xato 15% dan katta bo'lganligi sababli, bu tenglamani regressiya sifatida ishlatish maqsadga muvofiq emas. Tegishli x qiymatlarini regressiya tenglamasiga qo'yish orqali har bir kuzatish uchun y(x) samarali ko'rsatkichining moslashtirilgan (prognoz qilingan) qiymatlarini aniqlash mumkin.

Regressiya nima?

Ikkita uzluksiz o'zgaruvchini ko'rib chiqing x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).

Keling, nuqtalarni 2D tarqalish grafigiga joylashtiramiz va bizda bor deylik chiziqli munosabat agar ma'lumotlar to'g'ri chiziq bilan yaqinlashsa.

Agar shunday deb taxmin qilsak y ga bog'liq x, va dagi o'zgarishlar y dagi oʻzgarishlar natijasida yuzaga keladi x, biz regressiya chizig'ini aniqlashimiz mumkin (regressiya y yoqilgan x), bu ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi to'g'ri chiziqli munosabatni eng yaxshi tavsiflaydi.

"Regressiya" so'zining statistik ishlatilishi ser Frensis Galton (1889) tomonidan aytilgan o'rtachaga regressiya deb nomlanuvchi hodisadan kelib chiqqan.

U baland bo'yli otalar odatda uzun bo'yli o'g'illarga ega bo'lishsa-da, o'g'illarning o'rtacha bo'yi baland bo'yli otalarinikidan kichikroq ekanligini ko'rsatdi. O'g'illarning o'rtacha bo'yi aholining barcha otalarining o'rtacha bo'yi darajasiga "regress" va "orqaga ko'chdi". Shunday qilib, o'rtacha, baland bo'yli otalarning o'g'illari pastroq (lekin baribir uzun bo'yli), past bo'yli otalarning esa uzunroq (lekin hali ham ancha past) o'g'illari bor.

regressiya chizig'i

Oddiy (juftlik) chiziqli regressiya chizig'ini baholovchi matematik tenglama:

x mustaqil o'zgaruvchi yoki bashoratchi deb ataladi.

Y qaram yoki javob o'zgaruvchisidir. Bu biz kutgan qiymatdir y(o'rtacha) agar biz qiymatni bilsak x, ya'ni. bashorat qilingan qiymatdir y»

• a- baholash chizig'ining erkin a'zosi (kesish); bu qiymat Y, Qachon x=0(1-rasm).
• b- taxminiy chiziqning qiyaligi yoki gradienti; bu qancha miqdorda Y ko'paytirsak o'rtacha ortadi x bir birlik uchun.
• a Va b taxminiy chiziqning regressiya koeffitsientlari deb ataladi, garchi bu atama ko'pincha faqat uchun ishlatiladi b.

Juftlik chiziqli regressiya bir nechta mustaqil o‘zgaruvchilarni qamrab olish uchun kengaytirilishi mumkin; bu holda u sifatida tanilgan ko'p regressiya.

1-rasm. a va qiyalik b ning kesishishini ko'rsatadigan chiziqli regressiya chizig'i (x bir birlikka oshganida Y ning o'sish miqdori)

Eng kichik kvadrat usuli

Biz kuzatuvlar namunasi yordamida regressiya tahlilini o'tkazamiz a Va b- populyatsiyada (umumiy populyatsiyada) chiziqli regressiya chizig'ini aniqlaydigan haqiqiy (umumiy) parametrlarning namunaviy baholari, a va b .

Koeffitsientlarni aniqlashning eng oddiy usuli a Va b hisoblanadi eng kichik kvadrat usuli(MNK).

Moslik qoldiqlarni hisobga olgan holda baholanadi (har bir nuqtaning chiziqdan vertikal masofasi, masalan, qoldiq = kuzatiladigan y- bashorat qilingan y, Guruch. 2).

Eng yaxshi mos keladigan chiziq qoldiq kvadratlarining yig'indisi minimal bo'lishi uchun tanlanadi.

Guruch. 2. Har bir nuqta uchun tasvirlangan qoldiqlar (vertikal nuqtali chiziqlar) bilan chiziqli regressiya chizig'i.

Chiziqli regressiya taxminlari

Demak, har bir kuzatilgan qiymat uchun qoldiq farq va mos keladigan bashorat qilingan qiymatga teng bo'ladi.Har bir qoldiq ijobiy yoki manfiy bo'lishi mumkin.

Chiziqli regressiya ortidagi quyidagi taxminlarni tekshirish uchun qoldiqlardan foydalanishingiz mumkin:

• Qoldiqlar odatda nol o'rtacha bilan taqsimlanadi;

Agar chiziqlilik, normallik va/yoki doimiy dispersiyaning taxminlari shubhali bo'lsa, biz ushbu taxminlar qondiriladigan yangi regressiya chizig'ini o'zgartirishimiz yoki hisoblashimiz mumkin (masalan, logarifmik o'zgartirishdan foydalaning va hokazo).

Anormal qiymatlar (chiqibiy qiymatlar) va ta'sir nuqtalari

"Ta'sirli" kuzatuv, agar o'tkazib yuborilsa, bir yoki bir nechta model parametrlarini o'zgartiradi (ya'ni, qiyalik yoki kesishish).

Chiqib ketish (ma'lumotlar to'plamidagi aksariyat qiymatlarga zid bo'lgan kuzatuv) "ta'sirli" kuzatuv bo'lishi mumkin va 2D tarqalish yoki qoldiq chizmalarini ko'rib chiqishda vizual tarzda yaxshi aniqlanishi mumkin.

Chet ko'rsatkichlar uchun ham, "ta'sirli" kuzatuvlar (nuqtalar) uchun ham modellar qo'shilgan holda ham, ularsiz ham qo'llaniladi, smetadagi o'zgarishlarga (regressiya koeffitsientlari) e'tibor bering.

Tahlil o'tkazayotganda, avtomatik ravishda chetlab o'tish yoki ta'sir nuqtalarini tashlamang, chunki ularni e'tiborsiz qoldirish natijalarga ta'sir qilishi mumkin. Har doim bu cheklashlarning sabablarini o'rganing va ularni tahlil qiling.

Chiziqli regressiya gipotezasi

Chiziqli regressiyani qurishda regressiya chizig'ining b umumiy qiyaligi nolga teng degan nol gipoteza tekshiriladi.

Agar chiziqning qiyaligi nolga teng bo'lsa, va o'rtasida chiziqli bog'liqlik yo'q: o'zgarish ta'sir qilmaydi

Haqiqiy qiyalik nolga teng degan nol gipotezani tekshirish uchun siz quyidagi algoritmdan foydalanishingiz mumkin:

Koeffitsientning standart xatosi erkinlik darajasi bilan taqsimlanishga bo'ysunadigan nisbatga teng test statistikasini hisoblang.

,

- qoldiqlarning dispersiyasini baholash.

Odatda, agar ahamiyatlilik darajasi erishilgan bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi.

bu erda ikki dumli sinov ehtimolini beradigan erkinlik darajalari bilan taqsimlanishning foiz nuqtasi

Bu 95% ehtimollik bilan umumiy nishabni o'z ichiga olgan oraliq.

Katta namunalar uchun biz 1,96 qiymatini taxmin qilishimiz mumkin (ya'ni, test statistikasi odatda taqsimlanadi)

Chiziqli regressiya sifatini baholash: aniqlash koeffitsienti R 2

Chiziqli munosabatlar tufayli va biz bu o'zgarishlar sifatida o'zgarishini kutamiz , va biz buni regressiya bilan bog'liq yoki tushuntirilgan o'zgarish deb ataymiz. Qolgan o'zgarish imkon qadar kichik bo'lishi kerak.

Agar shunday bo'lsa, u holda o'zgarishlarning aksariyati regressiya bilan izohlanadi va nuqtalar regressiya chizig'iga yaqin joylashgan bo'ladi, ya'ni. chiziq ma'lumotlarga yaxshi mos keladi.

Regressiya bilan izohlanadigan umumiy dispersiyaning ulushi deyiladi aniqlash koeffitsienti, odatda foiz sifatida ifodalanadi va belgilanadi R2(juftlangan chiziqli regressiyada bu qiymat r2, korrelyatsiya koeffitsientining kvadrati), regressiya tenglamasining sifatini sub'ektiv baholash imkonini beradi.

Farqi regressiya bilan izohlab bo'lmaydigan dispersiya foizidir.

Baholash uchun rasmiy test mavjud bo'lmaganda, biz regressiya chizig'ining muvofiqligi sifatini aniqlash uchun sub'ektiv mulohazaga tayanishga majburmiz.

Prognozga regressiya chizig'ini qo'llash

Siz kuzatilgan diapazondagi qiymatdan qiymatni bashorat qilish uchun regressiya chizig'idan foydalanishingiz mumkin (hech qachon bu chegaralardan tashqariga ekstrapolyatsiya qilmang).

Biz ma'lum qiymatga ega bo'lgan kuzatilishi mumkin bo'lgan o'rtacha qiymatni regressiya chizig'i tenglamasiga almashtirish orqali taxmin qilamiz.

Shunday qilib, agar bashorat qilsak, biz ushbu bashorat qilingan qiymatdan va uning standart xatosidan haqiqiy populyatsiya o'rtacha ishonch oralig'ini baholash uchun foydalanamiz.

Ushbu protsedurani turli qiymatlar uchun takrorlash ushbu chiziq uchun ishonch chegaralarini yaratishga imkon beradi. Bu, masalan, 95% ishonchlilik darajasi bilan, haqiqiy chiziqni o'z ichiga olgan tarmoqli yoki maydon.

Oddiy regressiya rejalari

Oddiy regressiya dizaynlarida bitta doimiy bashoratchi mavjud. Agar 7, 4 va 9 kabi bashorat qiluvchi qiymatlari P bo'lgan 3 ta holat mavjud bo'lsa va dizayn birinchi darajali effekt P ni o'z ichiga olsa, X dizayn matritsasi bo'ladi.

va X1 uchun P dan foydalangan holda regressiya tenglamasi o'xshaydi

Y = b0 + b1 P

Agar oddiy regressiya dizayni P ga kvadratik effekt kabi yuqori tartibli effektni o'z ichiga olsa, u holda dizayn matritsasidagi X1 ustunidagi qiymatlar ikkinchi darajaga ko'tariladi:

va tenglama shaklni oladi

Y = b0 + b1 P2

Sigma-cheklangan va ortiqcha parametrlangan kodlash usullari oddiy regressiya dizaynlari va faqat uzluksiz bashorat qiluvchilarni o'z ichiga olgan boshqa dizaynlarga taalluqli emas (chunki toifali bashorat qiluvchilar mavjud emas). Tanlangan kodlash usulidan qat'i nazar, uzluksiz o'zgaruvchilarning qiymatlari tegishli quvvat bilan oshiriladi va X o'zgaruvchilari uchun qiymatlar sifatida ishlatiladi. Bunday holda, konvertatsiya amalga oshirilmaydi. Bundan tashqari, regressiya rejalarini tavsiflashda siz X reja matritsasiga e'tibor bermaslik va faqat regressiya tenglamasi bilan ishlashingiz mumkin.

Misol: Oddiy regressiya tahlili

Ushbu misol jadvalda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanadi:

Guruch. 3. Dastlabki ma'lumotlar jadvali.

Ma'lumotlar tasodifiy tanlangan 30 ta okrugda 1960 va 1970 yillardagi aholini ro'yxatga olish natijalarini taqqoslashga asoslangan. Tuman nomlari kuzatish nomlari sifatida ifodalanadi. Har bir o'zgaruvchiga oid ma'lumotlar quyida keltirilgan:

Guruch. 4. O'zgaruvchan spetsifikatsiyalar jadvali.

Tadqiqot maqsadi

Ushbu misol uchun qashshoqlik darajasi va kambag'allik chegarasidan past bo'lgan oilalar foizini bashorat qiluvchi kuch o'rtasidagi bog'liqlik tahlil qilinadi. Shuning uchun biz 3 o'zgaruvchiga (Pt_Poor ) qaram o'zgaruvchi sifatida qaraymiz.

Farazni ilgari surish mumkin: aholi sonining o'zgarishi va qashshoqlik chegarasidan past bo'lgan oilalar foizi o'zaro bog'liq. Qashshoqlik aholining chiqib ketishiga olib keladi, deb kutish o'rinli ko'rinadi, shuning uchun kambag'allik chegarasidan past bo'lgan odamlar foizi va aholi o'zgarishi o'rtasida salbiy bog'liqlik bo'ladi. Shuning uchun biz 1 o'zgaruvchini (Pop_Chng) bashorat qiluvchi o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqamiz.

Natijalarni ko‘rish

Regressiya koeffitsientlari

Guruch. 5. Pop_Chng bo'yicha Pt_Poor regressiya koeffitsientlari.

Pop_Chng qatori va Param kesishmasida. Pop_Chng bo'yicha Pt_Poor regressiyasi uchun standartlashtirilmagan koeffitsient -0,40374 ni tashkil qiladi. Demak, aholining har bir birligi kamayishi uchun qashshoqlik darajasi .40374 ga oshadi. Ushbu standartlashtirilmagan koeffitsient uchun yuqori va pastki (standart) 95% ishonch chegaralari nolni o'z ichiga olmaydi, shuning uchun regressiya koeffitsienti p darajasida muhim ahamiyatga ega.<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

O'zgaruvchilarni taqsimlash

Agar ma'lumotlarda katta chegaralar mavjud bo'lsa, korrelyatsiya koeffitsientlari sezilarli darajada oshirib yuborilishi yoki kam baholanishi mumkin. Pt_Poor bog'liq o'zgaruvchining okruglar bo'yicha taqsimlanishini ko'rib chiqamiz. Buning uchun biz Pt_Poor o'zgaruvchisining gistogrammasini tuzamiz.

Guruch. 6. Pt_Poor o'zgaruvchisining gistogrammasi.

Ko'rib turganingizdek, bu o'zgaruvchining taqsimlanishi normal taqsimotdan sezilarli darajada farq qiladi. Biroq, hatto ikkita okrug (o'ngdagi ikkita ustun) odatdagi taqsimotda kutilganidan kambag'allik chegarasidan pastroq bo'lgan oilalarning yuqori foiziga ega bo'lsa-da, ular "diapazon ichida" ko'rinadi.

Guruch. 7. Pt_Poor o'zgaruvchisining gistogrammasi.

Bu hukm biroz sub'ektivdir. Asosiy qoida shundan iboratki, agar kuzatuv (yoki kuzatuvlar) intervalga to'g'ri kelmasa (o'rtacha ± 3 baravar standart og'ish). Bunday holda, ular aholi a'zolari o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikka jiddiy ta'sir qilmasligiga ishonch hosil qilish uchun tahlilni chetlab o'tilgan va ularsiz takrorlash arziydi.

Tarqalish chizmasi

Agar gipotezalardan biri berilgan o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlik to'g'risida apriori bo'lsa, u holda uni mos keladigan tarqalish sxemasi bo'yicha tekshirish foydali bo'ladi.

Guruch. 8. Tarqalish sxemasi.

Tarqalish sxemasi ikkita o'zgaruvchi o'rtasida aniq salbiy korrelyatsiyani (-.65) ko'rsatadi. Bundan tashqari, regressiya chizig'i uchun 95% ishonch oralig'ini ko'rsatadi, ya'ni 95% ehtimollik bilan regressiya chizig'i ikkita chiziqli egri chiziq orasidan o'tadi.

Muhimlik mezonlari

Guruch. 9. Muhimlik mezonlarini o'z ichiga olgan jadval.

Pop_Chng regressiya koeffitsienti testi Pop_Chng ning Pt_Poor, p bilan kuchli bog'liqligini tasdiqlaydi.<.001 .

Natija

Ushbu misol oddiy regressiya rejasini qanday tahlil qilishni ko'rsatdi. Shuningdek, standartlashtirilmagan va standartlashtirilgan regressiya koeffitsientlarining talqini taqdim etildi. Bog'liq o'zgaruvchining javob taqsimotini o'rganishning ahamiyati muhokama qilinadi va bashoratchi va qaram o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatlarning yo'nalishi va kuchini aniqlash texnikasi ko'rsatiladi.

O'qish davomida talabalar ko'pincha turli xil tenglamalarga duch kelishadi. Ulardan biri - regressiya tenglamasi - ushbu maqolada ko'rib chiqiladi. Ushbu turdagi tenglama matematik parametrlar orasidagi bog'lanish xususiyatlarini tavsiflash uchun maxsus qo'llaniladi. Tenglikning bu turi statistika va ekonometriyada qo'llaniladi.

Regressiya ta'rifi

Matematikada regressiya deganda ma'lumotlar to'plamining o'rtacha qiymatining boshqa miqdorning qiymatlariga bog'liqligini tavsiflovchi ma'lum miqdor tushuniladi. Regressiya tenglamasi ma'lum bir xususiyatning funktsiyasi sifatida boshqa xususiyatning o'rtacha qiymatini ko'rsatadi. Regressiya funktsiyasi y \u003d x oddiy tenglama ko'rinishiga ega, unda y bog'liq o'zgaruvchi rolini o'ynaydi va x mustaqil o'zgaruvchidir (xususiyat omili). Aslida regressiya y = f (x) shaklida ifodalanadi.

O'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarning turlari qanday

Umuman olganda, munosabatlarning ikki qarama-qarshi turi farqlanadi: korrelyatsiya va regressiya.

Birinchisi shartli o'zgaruvchilarning tengligi bilan tavsiflanadi. Bunday holda, qaysi o'zgaruvchining boshqasiga bog'liqligi aniq ma'lum emas.

Agar o'zgaruvchilar o'rtasida tenglik bo'lmasa va shartlar qaysi o'zgaruvchining tushuntirish va qaysi bog'liqligini aytsa, ikkinchi turdagi bog'lanish mavjudligi haqida gapirish mumkin. Chiziqli regressiya tenglamasini qurish uchun qanday turdagi munosabatlar kuzatilayotganligini aniqlash kerak bo'ladi.

Regressiya turlari

Bugungi kunga kelib regressiyaning 7 xil turi mavjud: giperbolik, chiziqli, ko'p, chiziqli bo'lmagan, juftlik, teskari, logarifmik chiziqli.

Giperbolik, chiziqli va logarifmik

Lineer regressiya tenglamasi statistikada tenglamaning parametrlarini aniq tushuntirish uchun ishlatiladi. y = c + m * x + E ga o'xshaydi. Giperbolik tenglama muntazam giperbola y \u003d c + m / x + E ko'rinishiga ega. Logarifmik chiziqli tenglama logarifmik funktsiyadan foydalangan holda munosabatni ifodalaydi: In y \u003d In c + m * In x + In E.

Ko'p va chiziqli bo'lmagan

Regressiyaning yana ikkita murakkab turi ko'p va chiziqli bo'lmagan. Ko'p regressiya tenglamasi y \u003d f (x 1, x 2 ... x c) + E funktsiyasi bilan ifodalanadi. Bunday vaziyatda y bog'liq o'zgaruvchi va x tushuntirish o'zgaruvchisidir. E o'zgaruvchisi stokastik bo'lib, tenglamadagi boshqa omillarning ta'sirini o'z ichiga oladi. Chiziqli bo'lmagan regressiya tenglamasi biroz mos kelmaydi. Bir tomondan, hisobga olingan ko'rsatkichlarga nisbatan, u chiziqli emas, ikkinchi tomondan, ko'rsatkichlarni baholash rolida chiziqli.

Teskari va juft regressiyalar

Teskari funktsiya chiziqli shaklga aylantirilishi kerak bo'lgan funktsiyadir. Eng an'anaviy amaliy dasturlarda u y \u003d 1 / c + m * x + E funksiyasi ko'rinishiga ega. Juftlangan regressiya tenglamasi y = f(x) + E funksiyasi sifatida ma’lumotlar o‘rtasidagi munosabatni ko‘rsatadi. Xuddi boshqa tenglamalar singari, y ham x ga bog‘liq va E stokastik parametrdir.

Korrelyatsiya tushunchasi

Bu ikki hodisa yoki jarayon o'rtasida bog'liqlik mavjudligini ko'rsatadigan ko'rsatkichdir. Aloqaning mustahkamligi korrelyatsiya koeffitsienti sifatida ifodalanadi. Uning qiymati [-1;+1] oralig'ida o'zgarib turadi. Salbiy ko'rsatkich teskari aloqa mavjudligini, ijobiy ko'rsatkich to'g'ridan-to'g'ri ekanligini ko'rsatadi. Agar koeffitsient 0 ga teng qiymatni qabul qilsa, unda hech qanday bog'liqlik yo'q. Qiymat 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa - parametrlar o'rtasidagi bog'liqlik qanchalik kuchli bo'lsa, 0 ga yaqinroq - zaifroq.

Usullari

Korrelyatsiya parametrik usullari munosabatlarning mustahkamligini baholashi mumkin. Oddiy taqsimot qonuniga bo'ysunadigan parametrlarni o'rganish uchun ular taqsimot baholari asosida qo'llaniladi.

Chiziqli regressiya tenglamasining parametrlari bog'liqlik turini, regressiya tenglamasining funktsiyasini aniqlash va tanlangan munosabatlar formulasining ko'rsatkichlarini baholash uchun zarurdir. Korrelyatsiya maydoni munosabatlarni aniqlash usuli sifatida ishlatiladi. Buning uchun barcha mavjud ma'lumotlar grafik ko'rinishda ifodalanishi kerak. To'rtburchaklar ikki o'lchovli koordinatalar tizimida barcha ma'lum ma'lumotlar chizilgan bo'lishi kerak. Korrelyatsiya maydoni shunday shakllanadi. Ta'riflovchi omilning qiymati abscissa bo'ylab, qaram omilning qiymatlari esa ordinat bo'ylab belgilanadi. Parametrlar o'rtasida funksional bog'liqlik mavjud bo'lsa, ular chiziq shaklida joylashgan.

Agar bunday ma'lumotlarning korrelyatsiya koeffitsienti 30% dan kam bo'lsa, biz ulanishning deyarli to'liq yo'qligi haqida gapirishimiz mumkin. Agar u 30% dan 70% gacha bo'lsa, bu o'rtacha zichlikdagi bog'lanishlar mavjudligini ko'rsatadi. 100% ko'rsatkich funktsional ulanishning dalilidir.

Chiziqli bo'lmagan regressiya tenglamasi, xuddi chiziqli kabi, korrelyatsiya indeksi (R) bilan to'ldirilishi kerak.

Ko'p regressiya uchun korrelyatsiya

Determinatsiya koeffitsienti ko'p korrelyatsiya kvadratining ko'rsatkichidir. U taqdim etilgan ko'rsatkichlar to'plamining o'rganilayotgan belgi bilan bog'liqligi haqida gapiradi. Parametrlarning natijaga ta'sirining tabiati haqida ham gapirish mumkin. Ko'p regressiya tenglamasi ushbu ko'rsatkich yordamida baholanadi.

Ko'p korrelyatsiya indeksini hisoblash uchun uning indeksini hisoblash kerak.

Eng kichik kvadrat usuli

Bu usul regressiya omillarini baholash usulidir. Uning mohiyati omilning funktsiyaga bog'liqligi tufayli olingan kvadrat og'ishlar yig'indisini minimallashtirishdan iborat.

Juftlangan chiziqli regressiya tenglamasini shunday usul yordamida baholash mumkin. Ushbu turdagi tenglamalar juft chiziqli munosabatlarning ko'rsatkichlari o'rtasida aniqlanganda qo'llaniladi.

Tenglama variantlari

Chiziqli regressiya funktsiyasining har bir parametri o'ziga xos ma'noga ega. Juftlangan chiziqli regressiya tenglamasi ikkita parametrni o'z ichiga oladi: c va m.. Parametr t y funksiyaning yakuniy ko'rsatkichining o'rtacha o'zgarishini ko'rsatadi, x o'zgaruvchisi bitta shartli birlikka kamayishi (o'sish) sharti bilan. Agar x o'zgaruvchisi nolga teng bo'lsa, u holda funktsiya c parametriga teng bo'ladi. Agar x o'zgaruvchisi nolga teng bo'lmasa, u holda c omil iqtisodiy ma'noga ega emas. Funksiyaga faqat c omil oldidagi belgi ta'sir qiladi. Agar minus bo'lsa, unda omilga nisbatan natijaning sekin o'zgarishi haqida aytishimiz mumkin. Agar ortiqcha bo'lsa, bu natijaning tezlashtirilgan o'zgarishini ko'rsatadi.

Regressiya tenglamasining qiymatini o'zgartiruvchi har bir parametr tenglama orqali ifodalanishi mumkin. Masalan, c omil c = y - mx ko'rinishga ega.

Guruhlangan ma'lumotlar

Vazifaning shunday shartlari mavjudki, unda barcha ma'lumotlar x atributiga ko'ra guruhlanadi, lekin shu bilan birga, ma'lum bir guruh uchun bog'liq ko'rsatkichning mos keladigan o'rtacha qiymatlari ko'rsatiladi. Bunday holda, o'rtacha qiymatlar indikatorning x ga bog'liqligini tavsiflaydi. Shunday qilib, guruhlangan ma'lumotlar regressiya tenglamasini topishga yordam beradi. U munosabatlar tahlili sifatida ishlatiladi. Biroq, bu usul o'zining kamchiliklariga ega. Afsuski, o'rtacha ko'rsatkichlar ko'pincha tashqi tebranishlarga duchor bo'ladi. Bu tebranishlar munosabatlar naqshlarining aksi emas, ular shunchaki uning "shovqinini" niqoblaydi. O'rtachalar chiziqli regressiya tenglamasidan ko'ra yomonroq munosabatlar naqshlarini ko'rsatadi. Biroq, ular tenglamani topish uchun asos sifatida ishlatilishi mumkin. Muayyan populyatsiyaning hajmini mos keladigan o'rtacha ko'rsatkichga ko'paytirish orqali siz guruh ichidagi y ning yig'indisini olishingiz mumkin. Keyinchalik, siz barcha olingan miqdorlarni nokaut qilishingiz va yakuniy ko'rsatkichni topishingiz kerak y. Xy yig'indisi ko'rsatkichi bilan hisob-kitob qilish biroz qiyinroq. Agar intervallar kichik bo'lsa, shartli ravishda barcha birliklar (guruh ichidagi) uchun x ko'rsatkichini bir xil qabul qilishimiz mumkin. X va y ko‘paytmalarining yig‘indisini topish uchun uni y yig‘indisiga ko‘paytiring. Keyinchalik, barcha summalar bir-biriga uriladi va umumiy xy yig'indisi olinadi.

Ko'p juftlik tenglamalari regressiyasi: munosabatlarning ahamiyatini baholash

Yuqorida aytib o'tilganidek, ko'p regressiya y = f (x 1 ,x 2 ,…,x m)+E ko'rinishidagi funktsiyaga ega. Ko'pincha bunday tenglama mahsulotga bo'lgan talab va taklif, qayta sotib olingan aktsiyalardan foiz daromadlari, ishlab chiqarish xarajatlari funktsiyasining sabablari va turlarini o'rganish uchun ishlatiladi. U turli xil makroiqtisodiy tadqiqotlar va hisob-kitoblarda faol qo'llaniladi, ammo mikroiqtisodiyot darajasida bu tenglama biroz kamroq qo'llaniladi.

Ko'p regressiyaning asosiy vazifasi har bir omilning alohida va ularning jamiligida modellashtiriladigan ko'rsatkichga va uning koeffitsientlariga qanday ta'sir qilishini aniqlash uchun katta hajmdagi ma'lumotlarni o'z ichiga olgan ma'lumotlar modelini yaratishdir. Regressiya tenglamasi turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bunday holda, munosabatlarni baholash uchun odatda ikki turdagi funktsiyalar qo'llaniladi: chiziqli va chiziqli bo'lmagan.

Chiziqli funktsiya shunday munosabat ko'rinishida tasvirlangan: y \u003d a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2, + ... + a m x m. Bunda a2, a m lar «sof» regressiya koeffitsientlari hisoblanadi. Ular y parametrining o'rtacha o'zgarishini har bir mos keladigan x parametrning bir birlikka o'zgarishi (kamayishi yoki ortishi) bilan, boshqa ko'rsatkichlarning barqaror qiymati sharti bilan tavsiflash uchun zarurdir.

Nochiziqli tenglamalar, masalan, y=ax 1 b1 x 2 b2 ...x m bm quvvat funksiyasi shakliga ega. Bunda b 1, b 2 ..... b m - ko'rsatkichlar elastiklik koeffitsientlari deb ataladi, ular tegishli ko'rsatkich x 1% ga oshishi (kamayishi) bilan natija qanday o'zgarishini (qancha% ga) ko'rsatadi. va boshqa omillarning barqaror ko'rsatkichi bilan.

Ko'p regressiyani qurishda qanday omillarni hisobga olish kerak

Ko'p regressiyani to'g'ri qurish uchun qaysi omillarga alohida e'tibor berish kerakligini aniqlash kerak.

Iqtisodiy omillar va modellashtirilgan munosabatlar o'rtasidagi munosabatlarning mohiyatini biroz tushunish kerak. Kiritilgan omillar quyidagi mezonlarga javob berishi kerak:

• O'lchanadigan bo'lishi kerak. Ob'ektning sifatini tavsiflovchi omildan foydalanish uchun har qanday holatda, unga miqdoriy shakl berilishi kerak.
• Faktorlarning o'zaro bog'liqligi yoki funktsional aloqasi bo'lmasligi kerak. Bunday harakatlar ko'pincha qaytarib bo'lmaydigan oqibatlarga olib keladi - oddiy tenglamalar tizimi shartsiz bo'lib qoladi va bu uning ishonchsizligi va noaniq baholarini keltirib chiqaradi.
• Katta korrelyatsiya ko'rsatkichi bo'lsa, indikatorning yakuniy natijasiga omillarning izolyatsiya qilingan ta'sirini aniqlashning hech qanday usuli yo'q, shuning uchun koeffitsientlar izohlanmaydi.

Qurilish usullari

Tenglama uchun omillarni qanday tanlash mumkinligini tushuntirishning juda ko'p usullari va usullari mavjud. Biroq, bu usullarning barchasi korrelyatsiya indeksidan foydalangan holda koeffitsientlarni tanlashga asoslangan. Ular orasida:

• Cheklash usuli.
• Usulni yoqish.
• Bosqichli regressiya tahlili.

Birinchi usul jami to'plamdan barcha koeffitsientlarni saralashni o'z ichiga oladi. Ikkinchi usul ko'plab qo'shimcha omillarni kiritishni o'z ichiga oladi. Xo'sh, uchinchisi, tenglamaga ilgari qo'llaniladigan omillarni yo'q qilish. Ushbu usullarning har biri mavjud bo'lish huquqiga ega. Ularning ijobiy va salbiy tomonlari bor, lekin ular keraksiz ko'rsatkichlarni tekshirish masalasini o'zlari hal qilishlari mumkin. Qoida tariqasida, har bir individual usul bilan olingan natijalar juda yaqin.

Ko'p o'lchovli tahlil usullari

Faktorlarni aniqlashning bunday usullari o'zaro bog'liq xususiyatlarning individual birikmalarini hisobga olishga asoslangan. Bularga diskriminant tahlili, naqshni aniqlash, asosiy komponentlar tahlili va klaster tahlili kiradi. Bundan tashqari, omil tahlili ham mavjud, ammo u komponent usulini ishlab chiqish natijasida paydo bo'ldi. Ularning barchasi muayyan sharoitlarda, ma'lum shartlar va omillar ostida qo'llaniladi.