حل معادلات مثلثاتی. ساده ترین معادلات مثلثاتی روش های حل معادلات مثلثاتی

روش های اصلی برای حل معادلات مثلثاتی عبارتند از: کاهش معادلات به ساده ترین (با استفاده از فرمول های مثلثاتی)، معرفی متغیرهای جدید و فاکتورگیری. بیایید با مثال به کاربرد آنها نگاه کنیم. به فرمت حل معادلات مثلثاتی توجه کنید.

شرط لازم برای حل موفقیت آمیز معادلات مثلثاتی، آگاهی از فرمول های مثلثاتی است (مبحث 13 از کار 6).

مثال ها.

1. معادلات کاهش یافته به ساده ترین.

1) معادله را حل کنید

راه حل:

پاسخ:

2) ریشه های معادله را بیابید

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx، متعلق به بخش.

راه حل:

پاسخ:

2. معادلاتی که به درجه دوم تقلیل می یابند.

1) معادله 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 را حل کنید.

راه حل:با استفاده از فرمول sin 2 x = 1 – cos 2 x دریافت می کنیم

پاسخ:

2) معادله cos 2x = 1 + 4 cosx را حل کنید.

راه حل:با استفاده از فرمول cos 2x = 2 cos 2 x – 1 می گیریم

پاسخ:

3) معادله tgx – 2ctgx + 1 = 0 را حل کنید

راه حل:

پاسخ:

3. معادلات همگن

1) معادله 2sinx – 3cosx = 0 را حل کنید

راه حل: اجازه دهید cosx = 0، سپس 2sinx = 0 و sinx = 0 - تناقض با این واقعیت است که sin 2 x + cos 2 x = 1. این به معنای cosx ≠ 0 است و می توانیم معادله را بر cosx تقسیم کنیم. ما گرفتیم

پاسخ:

2) معادله 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x را حل کنید

راه حل:

ما از فرمول های 1 = sin 2 x + cos 2 x و sin 2x = 2 sinxcosx استفاده می کنیم.

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

اجازه دهید cosx = 0، سپس sin 2 x = 0 و sinx = 0 - تناقض با این واقعیت است که sin 2 x + cos 2 x = 1.
این یعنی cosx ≠ 0 و می توانیم معادله را بر cos 2 x تقسیم کنیم . ما گرفتیم

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
اجازه دهید tgx = y را نشان دهیم
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
الف) tgx = 4، x = arctan4 + 2 ک, ک
ب) tgx = 2، x = arctan2 + 2 ک, ک .

پاسخ: arctg4 + 2 ک, arctan2 + 2 k، k

4. معادلات فرم آ sinx + ب cosx = اس، س≠ 0.

1) معادله را حل کنید.

راه حل:

پاسخ:

5. معادلات حل شده با فاکتورسازی.

1) معادله sin2x – sinx = 0 را حل کنید.

ریشه معادله f (ایکس) = φ ( ایکس) فقط می تواند به عنوان عدد 0 باشد. بیایید این را بررسی کنیم:

cos 0 = 0 + 1 - برابری درست است.

عدد 0 تنها ریشه این معادله است.

پاسخ: 0.

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد در ریاضیات با 60-65 امتیاز است. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

ساده ترین معادلات مثلثاتی معمولاً با استفاده از فرمول حل می شود. به شما یادآوری می کنم که ساده ترین معادلات مثلثاتی عبارتند از:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x زاویه ای است که باید پیدا شود،
a هر عددی است.

و در اینجا فرمول هایی وجود دارد که با آنها می توانید بلافاصله جواب این ساده ترین معادلات را یادداشت کنید.

برای سینوس:

برای کسینوس:

x = ± arccos a + 2π n، n ∈ Z

برای مماس:

x = آرکتان a + π n، n ∈ Z

برای کوتانژانت:

x = arcctg a + π n، n ∈ Z

در واقع، این بخش تئوری حل ساده ترین معادلات مثلثاتی است. علاوه بر این، همه چیز!) هیچ چیز در همه. با این حال، تعداد خطاها در این موضوع به سادگی خارج از نمودار است. به خصوص اگر مثال کمی از الگو منحرف شود. چرا؟

بله، زیرا بسیاری از مردم این نامه ها را یادداشت می کنند، بدون اینکه اصلاً معنی آنها را بفهمم!او با احتیاط می نویسد، مبادا اتفاقی بیفتد...) این باید حل شود. مثلثات برای مردم، یا مردم برای مثلثات، بالاخره!؟)

بیایید آن را بفهمیم؟

یک زاویه برابر خواهد بود arccos a، دومین: -arccos a.

و همیشه به این ترتیب کار خواهد کرد.برای هرچی آ.

اگر باور ندارید، ماوس خود را روی تصویر نگه دارید یا تصویر را در رایانه لوحی خود لمس کنید.) شماره را تغییر دادم آ به چیزی منفی به هر حال یک گوشه گرفتیم arccos a، دومین: -arccos a.

بنابراین، پاسخ را همیشه می توان به صورت دو سری ریشه نوشت:

x 1 = arccos a + 2π n، n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n، n ∈ Z

بیایید این دو سری را با هم ترکیب کنیم:

x= ± arccos a + 2π n، n ∈ Z

و این همه است. ما یک فرمول کلی برای حل ساده ترین معادله مثلثاتی با کسینوس به دست آورده ایم.

اگر می فهمید که این نوعی حکمت فوق علمی نیست، اما فقط یک نسخه کوتاه شده از دو سری پاسخ،شما همچنین می توانید وظایف "C" را انجام دهید. با نابرابری ها، با انتخاب ریشه ها از یک بازه معین... در آنجا جواب مثبت/منفی کار نمی کند. اما اگر پاسخ را به روشی تجاری برخورد کنید و آن را به دو پاسخ جداگانه تقسیم کنید، همه چیز حل خواهد شد.) در واقع، به همین دلیل است که ما در حال بررسی آن هستیم. چه، چگونه و کجا.

در ساده ترین معادله مثلثاتی

sinx = a

ما همچنین دو سری ریشه دریافت می کنیم. همیشه. و این دو سریال هم قابل ضبط هستند در یک خط فقط این خط پیچیده تر خواهد بود:

x = (-1) n arcsin a + π n، n ∈ Z

اما ماهیت همان است. ریاضیدانان به سادگی فرمولی را طراحی کردند که به جای دو ورودی برای سری ریشه ها، یک ورودی ایجاد می کند. همین!

بیایید ریاضیدانان را بررسی کنیم؟ و هرگز نمیدانی...)

در درس قبل، حل (بدون هیچ فرمولی) یک معادله مثلثاتی با سینوس به طور مفصل مورد بحث قرار گرفت:

پاسخ به دو سری ریشه منجر شد:

x 1 = π / 6 + 2π n، n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n، n ∈ Z

اگر همین معادله را با استفاده از فرمول حل کنیم به جواب می رسیم:

x = (-1) n آرکسین 0.5 + π n، n ∈ Z

در واقع، این یک پاسخ ناتمام است.) دانش آموز باید این را بداند arcsin 0.5 = π / 6.پاسخ کامل این خواهد بود:

x = (-1)n π /6+ π n، n ∈ Z

این یک سوال جالب را ایجاد می کند. پاسخ از طریق x 1; x 2 (این پاسخ صحیح است!) و از طریق تنهایی ایکس (و این پاسخ صحیح است!) - آیا آنها یکسان هستند یا نه؟ اکنون خواهیم فهمید.)

ما در پاسخ با x 1 ارزش های n =0; 1 2 و غیره، حساب می کنیم، یک سری ریشه می گیریم:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 و غیره

با همان تعویض در پاسخ با x 2 ، ما گرفتیم:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 و غیره

حالا بیایید مقادیر را جایگزین کنیم n (0؛ 1؛ 2؛ 3؛ 4...) به فرمول کلی برای تک ایکس . یعنی منهای یک را به توان صفر می بریم سپس به اول و دوم و غیره. خوب، البته، ما 0 را جایگزین ترم دوم می کنیم. 1 2 3; 4 و غیره و حساب می کنیم. ما سریال را دریافت می کنیم:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 و غیره

این همه چیزی است که می توانید ببینید.) فرمول کلی به ما می دهد دقیقا همین نتایجهمانطور که این دو پاسخ جداگانه هستند. فقط همه چیز به یکباره، به ترتیب. ریاضیدانان فریب نخوردند.)

فرمول های حل معادلات مثلثاتی با مماس و کوتانژانت را نیز می توان بررسی کرد. اما ما این کار را نمی کنیم.) آنها از قبل ساده هستند.

من تمام این تعویض و بررسی را به طور خاص نوشتم. در اینجا درک یک چیز ساده مهم است: فرمول هایی برای حل معادلات مثلثاتی ابتدایی وجود دارد. فقط خلاصه ای کوتاه از پاسخ هابرای این اختصار، باید مثبت/منفی را در محلول کسینوس و (-1) n را در محلول سینوس وارد کنیم.

این درج ها به هیچ وجه در کارهایی که فقط باید پاسخ یک معادله ابتدایی را یادداشت کنید، دخالت نمی کنند. اما اگر نیاز به حل یک نابرابری دارید، یا باید کاری را با پاسخ انجام دهید: ریشه‌ها را در یک بازه انتخاب کنید، ODZ را بررسی کنید، و غیره، این درج‌ها می‌توانند به راحتی فرد را ناراحت کنند.

پس من باید چه کار کنم؟ بله، یا جواب را در دو سری بنویسید، یا معادله/نابرابری را با استفاده از دایره مثلثاتی حل کنید. سپس این درج‌ها ناپدید می‌شوند و زندگی آسان‌تر می‌شود.)

می توانیم خلاصه کنیم.

برای حل ساده ترین معادلات مثلثاتی، فرمول های پاسخی آماده وجود دارد. چهار قطعه. آنها برای نوشتن فوری جواب یک معادله خوب هستند. به عنوان مثال، شما باید معادلات را حل کنید:

sinx = 0.3

به آسانی: x = (-1) n آرکسین 0.3 + π n، n ∈ Z

cosx = 0.2

مشکلی نیست: x = ± آرکوس 0.2 + 2π n، n ∈ Z

tgx = 1.2

به آسانی: x = آرکتان 1،2 + π n، n ∈ Z

ctgx = 3.7

یکی مانده: x= arcctg3,7 + π n، n ∈ Z

cos x = 1.8

اگر از دانش می درخشید، فوراً پاسخ را بنویسید:

x= ± arccos 1.8 + 2π n، n∈ Z

پس شما از قبل می درخشید، این است... آن... از یک گودال.) پاسخ صحیح: هیچ راه حلی وجود ندارد نمی فهمی چرا؟ بخوانید کسینوس قوسی چیست. علاوه بر این، اگر در سمت راست معادله اصلی مقادیر جدولی سینوس، کسینوس، مماس، کوتانژانت وجود داشته باشد، - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 و غیره - پاسخ از طریق طاق ها ناتمام خواهد بود. قوس ها باید به رادیان تبدیل شوند.

و اگر با نابرابری مواجه شدید، لایک کنید

سپس پاسخ این است:

x πn، n∈ Z

مزخرفات نادری وجود دارد، بله...) در اینجا باید با استفاده از دایره مثلثاتی حل کنید. کاری که در تاپیک مربوطه انجام خواهیم داد.

برای کسانی که قهرمانانه این سطرها را می خوانند. من به سادگی نمی توانم از تلاش های بزرگ شما قدردانی کنم. پاداش برای شما.)

جایزه:

هنگام نوشتن فرمول ها در یک موقعیت جنگی هشدار دهنده، حتی افراد باتجربه اغلب در مورد مکان سردرگم می شوند πn و کجا 2π n. در اینجا یک ترفند ساده برای شما وجود دارد. که در هر کسارزش فرمول ها πn. به جز تنها فرمول با کسینوس قوس. آنجا ایستاده است 2πn. دوپست کردن کلمه کلیدی - دودر همین فرمول وجود دارد دودر ابتدا امضا کنید مثبت و منفی. اینجا و آنجا - دو

پس اگر نوشتی دوقبل از کسینوس قوس علامت بزنید، به یاد آوردن آنچه در پایان اتفاق می افتد آسان تر است دوپست کردن و برعکس هم اتفاق می افتد. شخص علامت را از دست خواهد داد ± ، به آخر می رسد، درست می نویسد دوپین، و او به خود خواهد آمد. چیزی در پیش است دوامضا کردن! فرد به اول باز می گردد و اشتباه را اصلاح می کند! مثل این.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تساوی حاوی یک مجهول تحت علامت یک تابع مثلثاتی ("sin x، cos x، tan x" یا "ctg x") معادله مثلثاتی نامیده می‌شود و فرمول‌های آن‌ها است که در ادامه بررسی خواهیم کرد.

ساده ترین معادلات عبارتند از: sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a». اجازه دهید فرمول های ریشه را برای هر یک از آنها بنویسیم.

1. معادله `sin x=a`.

برای `|a|>1` هیچ راه حلی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. معادله «cos x=a».

برای `|a|>1` - مانند سینوس، هیچ راه حلی در بین اعداد حقیقی ندارد.

زمانی که `|a| \leq 1` دارای بی نهایت راه حل است.

فرمول ریشه: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

موارد ویژه برای سینوس و کسینوس در نمودارها.

3. معادله `tg x=a`

تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. معادله «ctg x=a».

همچنین تعداد بی نهایت راه حل برای هر مقدار «a» دارد.

فرمول ریشه: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

فرمول های ریشه معادلات مثلثاتی در جدول

برای سینوس:
برای کسینوس:
برای مماس و کتانژانت:
فرمول های حل معادلات حاوی توابع مثلثاتی معکوس:

روش های حل معادلات مثلثاتی

حل هر معادله مثلثاتی شامل دو مرحله است:

• با کمک تبدیل آن به ساده ترین.
• ساده ترین معادله به دست آمده را با استفاده از فرمول های ریشه و جداول نوشته شده در بالا حل کنید.

بیایید با استفاده از مثال به روش های اصلی راه حل نگاه کنیم.

روش جبری.

این روش شامل جایگزینی یک متغیر و جایگزینی آن با یک برابری است.

مثال. معادله را حل کنید: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`،

جایگزینی ایجاد کنید: «cos(x+\frac \pi 6)=y»، سپس «2y^2-3y+1=0»،

ما ریشه ها را پیدا می کنیم: `y_1=1, y_2=1/2` که دو حالت از آن پیروی می کنند:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

پاسخ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

فاکتورسازی

مثال. معادله "sin x+cos x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید تمام شرایط برابری را به سمت چپ منتقل کنیم: `sin x+cos x-1=0`. با استفاده از، سمت چپ را تبدیل و فاکتورسازی می کنیم:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

"2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0"،

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. «cos x/2-sin x/2=0»، «tg x/2=1»، «x/2=arctg 1+ \pi n»، «x/2=\pi/4+ \pi n» ، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

پاسخ: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

کاهش به یک معادله همگن

ابتدا باید این معادله مثلثاتی را به یکی از دو شکل کاهش دهید:

«a sin x+b cos x=0» (معادله همگن درجه اول) یا «a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0» (معادله همگن درجه دوم).

سپس هر دو قسمت را بر «cos x \ne 0» - برای مورد اول و بر «cos^2 x \ne 0» - برای مورد دوم تقسیم کنید. ما معادلاتی را برای «tg x» به دست می‌آوریم: «a tg x+b=0» و «a tg^2 x + b tg x +c =0» که باید با استفاده از روش‌های شناخته شده حل شوند.

مثال. معادله "2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1" را حل کنید.

راه حل. بیایید سمت راست را به صورت `1=sin^2 x+cos^2 x` بنویسیم:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -`` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

این یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است، سمت چپ و راست آن را بر 'cos^2 x \ne 0' تقسیم می کنیم، به دست می آوریم:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

«tg^2 x+tg x — 2=0». بیایید جایگزین «tg x=t» را معرفی کنیم که نتیجه آن «t^2 + t - 2=0» است. ریشه های این معادله «t_1=-2» و «t_2=1» هستند. سپس:

1. «tg x=-2»، «x_1=arctg (-2)+\pi n»، «n \in Z»
2. «tg x=1»، «x=arctg 1+\pi n»، «x_2=\pi/4+\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`، `n \in Z`، `x_2=\pi/4+\pi n`، `n \in Z`.

حرکت به نیم زاویه

مثال. معادله را حل کنید: '11 sin x - 2 cos x = 10'.

راه حل. بیایید فرمول‌های زاویه دوتایی را اعمال کنیم و به این نتیجه می‌رسیم: `22 sin (x/2) cos (x/2) -`` 2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

با استفاده از روش جبری که در بالا توضیح داده شد، به دست می آوریم:

1. «tg x/2=2»، «x_1=2 arctg 2+2\pi n»، «n \در Z»،
2. «tg x/2=3/4»، «x_2=arctg 3/4+2\pi n»، «n \in Z».

پاسخ. `x_1=2 arctg 2+2\pi n، n \in Z`، `x_2=arctg 3/4+2\pi n`، `n \in Z`.

معرفی زاویه کمکی

در معادله مثلثاتی "a sin x + b cos x =c" که در آن a,b,c ضرایب هستند و x یک متغیر است، هر دو طرف را بر "sqrt (a^2+b^2) تقسیم کنید:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

ضرایب سمت چپ دارای ویژگی های سینوس و کسینوس هستند، یعنی مجموع مربع های آنها برابر با 1 است و ماژول های آنها بزرگتر از 1 نیست. اجازه دهید آنها را به صورت زیر نشان دهیم: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، سپس:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر بیندازیم:

مثال. معادله "3 sin x+4 cos x=2" را حل کنید.

راه حل. هر دو طرف تساوی را بر 'sqrt (3^2+4^2)' تقسیم کنید، به دست می آوریم:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

«3/5 گناه x+4/5 cos x=2/5».

بیایید "3/5 = cos \varphi"، "4/5=sin \varphi" را نشان دهیم. از آنجایی که `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، پس "\varphi=arcsin 4/5" را به عنوان یک زاویه کمکی در نظر می گیریم. سپس برابری خود را به شکل زیر می نویسیم:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

با اعمال فرمول مجموع زوایای سینوس، تساوی خود را به شکل زیر می نویسیم:

`sin (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

پاسخ. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

معادلات مثلثاتی گویا کسری

اینها تساوی با کسری هستند که صورت و مخرج آنها دارای توابع مثلثاتی هستند.

مثال. معادله را حل کنید. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

راه حل. سمت راست تساوی را ضرب و تقسیم بر «(1+cos x)» کنید. در نتیجه دریافت می کنیم:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

با توجه به اینکه مخرج نمی تواند برابر با صفر باشد، «1+cos x \ne 0»، «cos x \ne -1»، «x \ne \pi+2\pi n، n \in Z» به دست می‌آید.

بیایید عدد کسر را با صفر برابر کنیم: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. سپس «sin x=0» یا «1-sin x=0».

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. «1-sin x=0»، «sin x=-1»، «x=\pi /2+2\pi n، n \in Z».

با توجه به اینکه `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، راه حل ها عبارتند از `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `n \ در Z`.

پاسخ. «x=2\pi n»، «n \in Z»، «x=\pi /2+2\pi n»، «n \in Z».

مثلثات و به طور خاص معادلات مثلثاتی تقریباً در تمام زمینه های هندسه، فیزیک و مهندسی استفاده می شود. مطالعه از کلاس دهم شروع می شود، همیشه وظایفی برای آزمون یکپارچه دولتی وجود دارد، بنابراین سعی کنید تمام فرمول های معادلات مثلثاتی را به خاطر بسپارید - آنها قطعا برای شما مفید خواهند بود!

با این حال، شما حتی نیازی به حفظ آنها ندارید، نکته اصلی این است که ماهیت را درک کنید و بتوانید آن را استخراج کنید. آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست. خودتان با تماشای ویدیو ببینید.