शोध कार्य "मोबियस लीफ"। एक मोएबियस पट्टी क्या है? मोबियस पट्टी - हमारे समय का एक रहस्य वैज्ञानिक जिज्ञासा या उपयोगी खोज

वैज्ञानिक ज्ञान और घटनाएं हैं जो हमारे रोजमर्रा के जीवन में रहस्य और पहेली लाती हैं। मोबियस पट्टी पूर्ण माप में उन पर लागू होती है।

आधुनिक गणित अपने सभी गुणों और विशेषताओं का पूरी तरह से सूत्र की मदद से वर्णन करता है। लेकिन सामान्य लोग, स्थूल रूप से और अन्य ज्यामितीय ज्ञान में निपुण, लगभग हर दिन उसकी छवि और समानता में बनाई गई वस्तुओं के बारे में जानते हैं, इसके बारे में भी जानने के बिना।

यह क्या है? इसे किसने और कब खोला?

मोबियस स्ट्रिप, जिसे लूप, सरफेस या शीट भी कहा जाता है, टोपोलॉजी के रूप में इस तरह के गणितीय अनुशासन में अध्ययन का एक उद्देश्य है, जो आंकड़े के सामान्य गुणों की जांच करता है जो ऐसे निरंतर परिवर्तनों के तहत संरक्षित होते हैं जैसे कि घुमा, खींच, संपीड़न, झुकने और अन्य अखंडता के उल्लंघन से संबंधित नहीं हैं। ... इस तरह के टेप की एक अद्भुत और अनूठी विशेषता यह है कि इसमें केवल एक तरफ और किनारे हैं और अंतरिक्ष में इसके स्थान से कोई लेना-देना नहीं है। मोबियस पट्टी सामयिक है, जो कि साधारण यूक्लिडियन स्पेस (3-आयामी) में एक सीमा के साथ सबसे सरल एक तरफा सतह के साथ एक निरंतर वस्तु है, जहां इस तरह की सतह के एक बिंदु से, किनारे को पार किए बिना, किसी भी अन्य को प्राप्त करना संभव है।

मोबिअस स्ट्रिप के रूप में इस तरह की एक जटिल वस्तु और एक असामान्य तरीके से खोजी गई थी। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि दो गणितज्ञ, अपने शोध में एक-दूसरे से पूरी तरह से असंबंधित, एक ही समय में - 1858 में इसकी खोज की थी। एक और दिलचस्प तथ्य यह है कि अलग-अलग समय में ये दोनों वैज्ञानिक एक ही महान गणितज्ञ - जोहान कार्ल फ्रेडरिक के कारण थे। इसलिए, 1858 तक, यह माना जाता था कि किसी भी सतह के दो पहलू होने चाहिए। हालांकि, जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग और अगस्त फर्डिनेंड मोबियस ने एक ज्यामितीय वस्तु की खोज की जिसमें केवल एक ही पक्ष था और इसके गुणों का वर्णन किया। टेप का नाम मॉबियस के नाम पर रखा गया था, लेकिन टोपोलॉजिस्ट लिस्टिंग और उनके काम को "टोपोलॉजी में प्रारंभिक जांच" मानते हैं, जो "रबर ज्यामिति" के संस्थापक पिता हैं।

गुण

मोबियस स्ट्रिप में निम्नलिखित गुण होते हैं जो संकुचित होने पर नहीं बदलते हैं, साथ में कटते हैं या बढ़ जाते हैं:

1. एक पक्ष की उपस्थिति। ए। मोएबियस ने अपने काम में "पॉलीहेड्रा की मात्रा पर" एक ज्यामितीय सतह का वर्णन किया, जिसका नाम उनके नाम पर रखा गया, केवल एक तरफ। यह जांचना काफी सरल है: हम एक टेप या मोएबियस पट्टी लेते हैं और एक तरफ के रंग के साथ आंतरिक पक्ष को चित्रित करने की कोशिश करते हैं, और दूसरे के साथ बाहरी। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पेंटिंग किस स्थान और दिशा में शुरू की गई थी, पूरे आकार को उसी रंग के साथ चित्रित किया जाएगा।

2. निरंतरता इस तथ्य में व्यक्त की जाती है कि इस ज्यामितीय आकृति के किसी भी बिंदु को मोबियस सतह की सीमाओं को पार किए बिना इसके किसी भी अन्य बिंदु से जोड़ा जा सकता है।

3. कनेक्टिविटी, या द्वि-आयामीता का मतलब है कि जब टेप को लंबाई में काटते हैं, तो कई अलग-अलग आकृतियां इसमें से बाहर नहीं निकलती हैं, और यह ठोस रहता है।

4. इसमें अभिविन्यास जैसी महत्वपूर्ण संपत्ति का अभाव है। इसका मतलब यह है कि इस आकृति के साथ चलने वाला व्यक्ति अपने रास्ते की शुरुआत में लौट आएगा, लेकिन केवल खुद की दर्पण छवि में। इस प्रकार, एक अंतहीन मोएबियस पट्टी एक अनन्त यात्रा का कारण बन सकती है।

5. एक विशेष रंगीन संख्या, जो मोबिअस सतह पर क्षेत्रों की अधिकतम संभव संख्या दिखाती है, आप बना सकते हैं ताकि उनमें से किसी की भी अन्य सभी के साथ एक आम सीमा हो। मोबियस स्ट्रिप में एक गुणात्मक संख्या है - 6, लेकिन एक पेपर रिंग - 5।

वैज्ञानिक उपयोग

आज मोबियस पट्टी और इसके गुणों का व्यापक रूप से विज्ञान में उपयोग किया जाता है, नए परिकल्पना और सिद्धांतों के निर्माण, अनुसंधान और प्रयोगों का संचालन करने, नए तंत्र और उपकरण बनाने के लिए आधार के रूप में कार्य करता है।

तो, एक परिकल्पना है जिसके अनुसार ब्रह्मांड एक विशाल मोबियस लूप है। आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत भी अप्रत्यक्ष रूप से इस बात की गवाही देते हैं, जिसके अनुसार यहां तक \u200b\u200bकि सीधे उड़ान भरने वाला जहाज भी उसी समय और अंतरिक्ष बिंदु पर लौट सकता है जहां से यह शुरू हुआ था।

एक अन्य सिद्धांत डीएनए को मोबियस सतह के हिस्से के रूप में देखता है, जो आनुवंशिक कोड को पढ़ने और डिक्रिप्ट करने में कठिनाई की व्याख्या करता है। अन्य बातों के अलावा, इस तरह की संरचना जैविक मौत के लिए एक तार्किक व्याख्या प्रदान करती है - स्वयं पर बंद एक सर्पिल वस्तु के आत्म-विनाश की ओर जाता है।

भौतिकविदों के अनुसार, कई ऑप्टिकल कानून मोएबियस पट्टी के गुणों पर आधारित हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, दर्पण छवि समय में एक विशेष स्थानांतरण है और एक व्यक्ति अपने सामने अपने दर्पण को दोगुना देखता है।

व्यवहार में क्रियान्वयन

मोबियस पट्टी ने लंबे समय तक विभिन्न उद्योगों में आवेदन पाया है। सदी की शुरुआत में महान आविष्कारक निकोला टेस्ला ने मोबियस अवरोधक का आविष्कार किया, जिसमें दो मुड़ 1800 संवाहक सतहें थीं, जो विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप बनाए बिना विद्युत प्रवाह का सामना कर सकती हैं।

मोबियस पट्टी की सतह और इसके गुणों के अध्ययन के आधार पर, कई उपकरणों और उपकरणों का निर्माण किया गया है। इसका आकार प्रिंटर में कन्वेयर बेल्ट और स्याही रिबन के निर्माण के लिए दोहराया जाता है, उपकरणों को तेज करने और स्वचालित हस्तांतरण के लिए घर्षण बेल्ट। इससे उन्हें अपने सेवा जीवन में काफी वृद्धि करने की अनुमति मिलती है, क्योंकि पहनने के लिए और भी अधिक है।

इतना समय पहले नहीं, मोबियस स्ट्रिप की अद्भुत विशेषताओं ने एक वसंत का निर्माण करना संभव बना दिया, जो कि विपरीत दिशा में काम करने वाले पारंपरिक लोगों के विपरीत, ऑपरेशन की दिशा नहीं बदलता है। इसका उपयोग स्टीयरिंग व्हील ड्राइव के स्टेबलाइजर में किया जाता है, जो स्टीयरिंग व्हील को उसकी मूल स्थिति में लौटाता है।

इसके अलावा, विभिन्न ब्रांडों और लोगो में मोबियस स्ट्रिप मार्क का उपयोग किया जाता है। इनमें से सबसे प्रसिद्ध रीसाइक्लिंग के लिए अंतरराष्ट्रीय प्रतीक है। यह माल की पैकेजिंग के लिए या तो बाद के प्रसंस्करण के लिए उपयुक्त है या पुनर्नवीनीकरण संसाधनों से बनाया गया है।

रचनात्मक प्रेरणा का स्रोत

मोबियस पट्टी और उसके गुणों ने कई कलाकारों, लेखकों, मूर्तिकारों और फिल्म निर्माताओं के काम का आधार बनाया। सबसे प्रसिद्ध कलाकार जो इस तरह के अपने कार्यों में "मोबियस स्ट्रिप II (लाल चींटियों"), "राइडर्स" और "नॉट्स" के रूप में काम करता है, टेप और इसकी विशेषताएं - मौरिट्स कॉर्नेलिस एचर।

मोबियस स्ट्रिप्स, या जैसा कि उन्हें भी कहा जाता है, न्यूनतम ऊर्जा सतहों, गणितीय कलाकारों और ब्रेंट कॉलिन्स और मैक्स बिल जैसे मूर्तिकारों के लिए प्रेरणा का स्रोत बन गए हैं। मोबियस पट्टी के लिए सबसे प्रसिद्ध स्मारक वाशिंगटन संग्रहालय के इतिहास और प्रौद्योगिकी के प्रवेश द्वार पर स्थित है।

रूसी कलाकार भी इस विषय से दूर नहीं रहे और अपनी रचनाएँ कीं। मूर्तियां "मोबियस स्ट्रिप" मास्को और येकातेरिनबर्ग में स्थापित हैं।

साहित्य और टोपोलॉजी

Moebius सतहों के असामान्य गुणों ने कई लेखकों को शानदार और असली काम करने के लिए प्रेरित किया है। मोबिलेस लूप, आर। ज़ेलाज़नी के उपन्यास "डोर्स इन द सैंड" में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं और बी। लुमले द्वारा उपन्यास "नेक्रोस्कोप" के नायक के लिए अंतरिक्ष और समय के माध्यम से आंदोलन के साधन के रूप में कार्य करते हैं।

एम। क्लिफ्टन की "आर्थर क्लार्क की" ऑन द मोबियस स्ट्रिप "और ए जे। डिक्शनरी की" मोबियस लीफ "की कहानियों में भी यह दिखाई देता है। उत्तरार्द्ध के आधार पर, शानदार फिल्म "मोबियस" को निर्देशक गुस्तावो मोस्क्यूरा द्वारा फिल्माया गया था।

हम इसे स्वयं करते हैं, अपने हाथों से!

यदि आप मोबियस स्ट्रिप में रुचि रखते हैं, तो एक छोटा निर्देश आपको बताएगा कि इसका मॉडल कैसे बनाया जाए:

1. उसके मॉडल बनाने के लिए आपको आवश्यकता होगी:

सादे कागज की एक शीट;

कैंची;

शासक।

2. कागज की एक शीट से एक पट्टी काट लें ताकि इसकी चौड़ाई इसकी लंबाई से 5-6 गुना कम हो।

3. परिणामस्वरूप पेपर स्ट्रिप को समतल सतह पर बिछाया जाता है। हम अपने हाथ से एक छोर पकड़ते हैं, और दूसरे को 1800 से मोड़ते हैं ताकि पट्टी मुड़ जाए और गलत साइड सामने की तरफ हो जाए।

4. मुड़ पट्टी के सिरों को गोंद करें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

मोबियस स्ट्रिप तैयार है।

5. एक पेन या मार्कर लें और टेप के बीच में एक ट्रैक बनाना शुरू करें। यदि आपने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो आप उसी बिंदु पर लौटेंगे जहां से आपने रेखा खींचना शुरू किया था।

दृश्य पुष्टिकरण प्राप्त करने के लिए कि मोबियस पट्टी एक तरफा वस्तु है, इसे एक तरफ से पेंसिल या पेन से पेंट करने का प्रयास करें। थोड़ी देर के बाद, आप देखेंगे कि आपने इसे पूरी तरह से चित्रित किया है।

बुदरिना स्वेतलाना

साल। मोबियस स्ट्रिप मॉडल आसानी से बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक पर्याप्त लम्बी कागज की पट्टी लेने और पट्टी के सिरों को जोड़ने की जरूरत है, पहले उनमें से एक को मोड़ दिया गया था। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, दो प्रकार के मोबियस धारियां होती हैं, जो घुमा की दिशा पर निर्भर करती है: दाएं हाथ और बाएं हाथ।

मोबियस पट्टी को कभी-कभी अनन्तता के प्रतीक का जनक कहा जाता है, क्योंकि मोबियस पट्टी की सतह पर होने के कारण, कोई भी हमेशा के लिए इसके साथ चल सकता है। यह सच नहीं है, क्योंकि मोबियस पट्टी की खोज से पहले प्रतीक का उपयोग दो शताब्दियों के लिए अनन्तता को दर्शाने के लिए किया गया था। (अनंत प्रतीक देखें)।

गुण

मोबियस स्ट्रिप में दिलचस्प गुण हैं। यदि आप दो मोबिअस स्ट्रिप्स के बजाय किनारों से एक रेखा के समान दूरी पर रिबन को काटने की कोशिश करते हैं, तो आपको एक लंबा डबल साइडेड (मोबियस रिबन से दोगुना मुड़) मिलता है, जिसे जादूगर "अफगान रिबन" कहते हैं। यदि अब इस टेप को बीच में से काट दिया जाता है, तो दो टेप प्राप्त होते हैं, एक दूसरे के ऊपर घाव होता है। यदि आप मोबियस स्ट्रिप को काटते हैं, तो किनारे से इसकी चौड़ाई का एक तिहाई भाग पीछे हट जाता है, तो दो रिबन प्राप्त होते हैं, एक पतली मोबियस स्ट्रिप होती है, दूसरी दो हाफ-टर्न (अफगान रिबन) वाली लंबी पट्टी होती है। बैंड के अन्य दिलचस्प संयोजन मोबियस बैंड से दो या अधिक अर्ध-मोड़ के साथ प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप तीन हाफ-टर्न के साथ एक रिबन काटते हैं, तो आपको एक रिबन मिलता है जिसे ट्रेफ़िल नॉट में कर्ल किया जाता है। अतिरिक्त मोड़ के साथ मोबियस पट्टी का एक कट अप्रत्याशित आंकड़े देता है जिसे पैराड्रोमिक रिंग कहा जाता है।

ज्यामिति और टोपोलॉजी

मोबियस स्ट्रिप का पैरामीट्रिक विवरण।

स्क्वायर को मोबियस स्ट्रिप में बदलने के लिए, किनारों को मिलाएं ताकि तीर की दिशा मेल खाए।

एक सबसेट के रूप में मोबीस स्ट्रिप का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है मानकीकरण:

और कहां। ये सूत्र चौड़ाई 1 की मोबीस पट्टी को परिभाषित करते हैं, जिसके मध्य वृत्त की त्रिज्या 1 है, विमान में स्थित है एक्स - y पर केंद्रित है। पैरामीटर यू टेप के साथ चलता है, जबकि v किनारे से दूरी तय करता है।

मोबीस पट्टी एक खंड फाइबर के साथ एक सर्कल में एक nontrivial बंडल का स्थान भी है।

समान वस्तुएं

एक करीबी "अजीब" ज्यामितीय वस्तु क्लेन बोतल है। किनारों के चारों ओर दो मोबियस स्ट्रिप्स को देखकर एक क्लेन बोतल प्राप्त की जा सकती है। साधारण त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, स्व-चौराहों को बनाए बिना ऐसा करना असंभव है।

एक और समान सेट एक फिल्म के साथ एक क्षेत्र है। यदि आप एक फिल्म के साथ एक गोले में छेद करते हैं, तो एक मोबियस शीट क्या रहेगी। दूसरी ओर, यदि आप मोबियस स्ट्रिप को डिस्क को गोंद करते हैं, तो उनकी सीमाओं को संरेखित करते हुए, परिणाम एक फिल्म के साथ एक क्षेत्र होगा। यह कल्पना करने के लिए, मोबियस स्ट्रिप को विकृत करने में मददगार है ताकि इसकी सीमा एक नियमित सर्कल बन जाए। इस तरह के एक आंकड़े को "पार किया हुआ ढक्कन" कहा जाता है (एक पार किया हुआ ढक्कन भी एक सरेस से जोड़ा हुआ डिस्क के साथ एक ही आकृति का मतलब हो सकता है, अर्थात् प्रक्षेप्य विमान का विसर्जन)।

एक आम गलतफहमी है कि स्व-प्रतिच्छेदन सतह के बिना एक पार किए गए ढक्कन को तीन आयामों में नहीं बनाया जा सकता है। यह वास्तव में संभव है कि एक मोबिअस स्ट्रिप को सीमा के साथ एक पूर्ण चक्र के रूप में रखा जाए। विचार इस प्रकार है - जाने दो सी विमान में एक इकाई चक्र होगा एक्सy पर। एंटीपोडल बिंदुओं को जोड़ने पर सी , जो, कोणों पर बिंदु θ और π + an एक वृत्त का एक चाप हैं, हम इसे 0 और θ / 2 के बीच that के लिए प्राप्त करते हैं, चाप विमान के ऊपर स्थित होते हैं। एक्सy , और नीचे अन्य (के लिए (और दो स्थानों पर चाप विमान में झूठ बोलते हैं एक्सy ).

यह ध्यान दिया जा सकता है कि यदि डिस्क को सीमा सर्कल से चिपकाया जाता है, तो एक फिल्म के साथ परिणामी क्षेत्र का आत्म-चौराहा तीन-आयामी स्थान में अपरिहार्य है। वर्ग के पक्षों को निर्दिष्ट करने के संदर्भ में, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, एक फिल्म के साथ एक गोला दो शेष पक्षों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है संरक्षण उन्मुखीकरण।

समस्याओं को खोलें

उत्तर: असीम रूप से ऐसे कई सूत्र हैं, उदाहरण के लिए, देखें।

ऐसी आकृति खोजना अधिक कठिन है जो लोचदार झुकने वाली ऊर्जा को कम करता है। यह समस्या, पहले सदोव्स्की द्वारा पेश की गई ( एम। सडॉस्की) 1930 में, हाल ही में हल किया गया था, देखें। हालाँकि, समाधान का वर्णन एक बीजगणितीय सूत्र द्वारा नहीं किया जाता है, और यह संभावना नहीं है कि ऐसा कोई सूत्र बिल्कुल मौजूद हो। पेपर मोबीस पट्टी की स्थानिक संतुलन आकृति को खोजने के लिए, अंतर-बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक सीमा मूल्य समस्या को हल करना आवश्यक है।

कला और प्रौद्योगिकी

रीसाइक्लिंग के लिए अंतरराष्ट्रीय प्रतीक मोबियस लीफ है।

मोबियस लीफ ने मूर्तिकला और ग्राफिक कला के लिए प्रेरणा का काम किया है। एस्चर उन कलाकारों में से एक थे, जो विशेष रूप से उनसे प्यार करते थे और इस गणितीय वस्तु के लिए अपने कई लिथोग्राफ को समर्पित किया था। प्रसिद्ध में से एक - मोबियस पत्ती II, मोबियस पट्टी की सतह पर चींटियों को रेंगते हुए दिखाता है।

मोबिअस लीफ़ भी विज्ञान कथा में एक आवर्ती विशेषता है, जैसे कि आर्थर क्लार्क द्वारा लघु कहानी में। "अंधेरे की दीवार"... कभी-कभी विज्ञान कथा कहानियां (सैद्धांतिक भौतिकविदों का अनुसरण करते हुए) सुझाव देती हैं कि हमारा ब्रह्मांड किसी प्रकार का सामान्यीकृत मोबियस पट्टी हो सकता है। इसके अलावा, मोबियस की अंगूठी का उल्लेख लगातार यूराल लेखक व्लादिस्लाव क्रैपिविन, "इन द ग्रेट क्रिस्टल की गहराई" (उदाहरण के लिए, "लंगर पोल पर चौकी। टेल") के कार्यों में किया गया है। AJ Deutsch की कहानी "मोबियस लीफ" में, बोस्टन मेट्रो एक नई लाइन का निर्माण करती है, जिसका मार्ग इतना भ्रामक हो जाता है कि वह मोबियस स्ट्रिप में बदल जाती है, जिसके बाद उस लाइन पर ट्रेनें गायब होने लगती हैं।

मोबियस स्ट्रिप के तकनीकी अनुप्रयोग हैं। बेल्ट कन्वेयर का बेल्ट मोबियस बेल्ट के रूप में बनाया गया है, जो इसे लंबे समय तक काम करने की अनुमति देता है, क्योंकि बेल्ट की पूरी सतह समान रूप से पहनती है। निरंतर टेप रिकॉर्डिंग सिस्टम भी Mobius टेप का उपयोग करते हैं (रिकॉर्डिंग समय को दोगुना करने के लिए)। कई डॉट मैट्रिक्स प्रिंटर में, रिबन अपने संसाधन को बढ़ाने के लिए मोबियस स्ट्रिप भी है।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010।

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देखें कि "मोबियस स्ट्रिप" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

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मोबियस पट्टी - मोबीस स्ट्रिप ए मोबियस स्ट्रिप (मोबियस स्ट्रिप) एक सामयिक वस्तु है, एक किनारे के साथ सबसे सरल गैर-उन्मुख सतह, सामान्य तीन आयामी यूक्लिडियन स्पेस आर 3 में एक तरफा। आप इस सतह के एक बिंदु से किसी भी अन्य तक पहुंच सकते हैं, ... विकिपीडिया पर नहीं

MOBIUS STRIP - समूह का गठन 29 मार्च, 1996 को निकोलाई मार्कोनोव (गायक, गिटार, गीत) द्वारा किया गया था। एलेक्सी शूबेंको (बास), (जीआर। मोटो-गुंडे), वालेरी बिस्ट्रो (एकल, (जीआर। बुश बिल्डिंग), ओलेग बुरोबिन (ड्रम), (जीआर। ओल्ड मैन ...) रूसी चट्टान। छोटा सा विश्वकोश

मोबियस पट्टी - मोबीस स्ट्रिप (मोबीस स्ट्रिप, मोबियस लूप) सामयिक वस्तु, एक किनारे के साथ सबसे सरल गैर-उन्मुख सतह, ओडोनोस ... विकिपीडिया

मोबियस स्ट्रिप (मोबियस लूप, मोबियस स्ट्रिप) एक साधारण दिखने वाली आकृति है, लेकिन एक गणितज्ञ यह कहेगा कि यह एक दो आयामी सतह है जिसमें अद्भुत गुण हैं: इसकी एक तरफ और एक किनारे है, एक नियमित रिंग के विपरीत, जिसे मोबीस स्ट्रिप के समान पट्टी से मोड़ा जा सकता है, लेकिन इसमें है दो पक्ष और दो किनारे होंगे। यह देखने के लिए आसान है कि क्या आप कागज से पेंसिल उठाए बिना टेप के बीच में एक रेखा खींचते हैं जब तक आप प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आते। हैरानी की बात है, लेकिन सच है: पट्टी के आधे मोड़ के कारण, इसके ऊपरी और निचले किनारे एक निरंतर रेखा में विलीन हो गए, और दोनों पक्ष एक पूरे में बदल गए और एक तरफ हो गए। और यहां परिणाम है: आप किनारे पर जा रहे बिना किसी भी अन्य के लिए मोबियस स्ट्रिप के एक बिंदु से प्राप्त कर सकते हैं।

मोबियस स्ट्रिप पर चल रहा है

बाहर के पर्यवेक्षक के लिए, मोबियस स्ट्रिप के साथ यात्रा करना एक "सर्कल रन" है जो आश्चर्य से भरा है। उन्हें डच ग्राफिक कलाकार मौरिट्स एचर (1898-1972) द्वारा स्पष्ट रूप से चित्रित किया गया था। पेंटिंग "मोबियस स्ट्रिप II" में चींटियां दौड़ते लोगों की भूमिका निभाती हैं। उनके आंदोलन का अनुसरण करके, एक दिलचस्प खोज की जा सकती है। टेप के साथ एक चक्कर पूरा करने के बाद, प्रत्येक चींटी शुरुआती बिंदु पर होगी, लेकिन पहले से ही एंटीपोड की स्थिति में - नेत्रहीन, यह टेप के "दूसरी तरफ" उल्टा होगा। मोबिअस स्ट्रिप के साथ एक दो-आयामी प्राणी क्या होता है? सतह को दरकिनार करते हुए, यह अपनी दर्पण छवि में बदल जाएगा (यह कल्पना करना आसान है कि क्या टेप को पारदर्शी माना जाता है)। खुद बनने के लिए, 2 डी प्राणी को एक और सर्कल बनाना होगा। तो चींटी को अपनी शुरुआती स्थिति में लौटने के लिए मोबियस पट्टी के साथ दो बार चलना पड़ता है।

वैज्ञानिक जिज्ञासा या उपयोगी खोज

मोबियस स्ट्रिप को अक्सर गणितीय जिज्ञासा कहा जाता है। और इसकी उपस्थिति को मौका के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। किंवदंती के अनुसार, एक जर्मन वैज्ञानिक ने रिबन का आविष्कार किया जब उसने नौकरानी पर एक अनुचित तरीके से बंधे हुए नेकरचप को देखा। यह एक प्रसिद्ध गणितज्ञ और खगोलशास्त्री, कार्ल फ्रेडरिक गॉस का छात्र था। उन्होंने 1858 की शुरुआत में एक किनारे के साथ एक-तरफा सतह का वर्णन किया, लेकिन उनके जीवनकाल के दौरान लेख प्रकाशित नहीं हुआ था। उसी वर्ष, मोबियस के स्वतंत्र रूप से, गॉस के एक अन्य छात्र, जोहान लिस्टिंग द्वारा इसी तरह की खोज की गई थी।

इस टेप का नाम मोबियस के नाम पर रखा गया था। यह टोपोलॉजी की पहली वस्तुओं में से एक बन गया - एक विज्ञान जो आंकड़ों के सबसे सामान्य गुणों का अध्ययन करता है, अर्थात् वे जो निरंतर (बिना कट और ग्लूइंग) परिवर्तनों के तहत संरक्षित होते हैं: खींचना, निचोड़ना, झुकना, मुड़ना, आदि। ये परिवर्तन रबर से बने आंकड़ों के सुधार से मिलते जुलते हैं। इसलिए टोपोलॉजी को अन्यथा "रबर ज्यामिति" कहा जाता है। कुछ सामयिक समस्याओं को लियोनार्ड यूलर द्वारा 18 वीं शताब्दी के प्रारंभ में हल किया गया था। गणित के एक नए क्षेत्र की शुरुआत लिस्टिंग के काम "टोपोलॉजी इन टॉपोलॉजी" (1847) द्वारा की गई थी - इस विज्ञान पर पहला व्यवस्थित कार्य। उन्होंने "टोपोलॉजी" शब्द का भी आविष्कार किया (ग्रीक शब्दों से τόπος - जगह और - λόγος - शिक्षण)।

मोबियस पट्टी को एक वैज्ञानिक जिज्ञासा माना जा सकता है, गणितज्ञों की एक और क्विक, अगर इसे व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं मिला और कला के लोगों को प्रेरित नहीं किया। कलाकारों द्वारा उन्हें एक से अधिक बार चित्रित किया गया है, मूर्तिकारों ने उनके लिए स्मारक बनाए हैं और लेखकों ने उनकी कृतियों को समर्पित किया है। इस असामान्य सतह ने आर्किटेक्ट, डिजाइनर, ज्वैलर्स और यहां तक \u200b\u200bकि कपड़े और फर्नीचर निर्माताओं को भी आकर्षित किया है। अन्वेषकों, डिजाइनरों, इंजीनियरों ने इस पर ध्यान आकर्षित किया (उदाहरण के लिए, 1920 के दशक में, मोबियस टेप के रूप में ऑडियो और फिल्म टेप को पेटेंट कराया गया था, रिकॉर्डिंग की अवधि को दोगुना करने की अनुमति दी गई थी)। लेकिन सबसे अधिक बार जादूगर इस रिबन के साथ सौदा करते हैं: वे असामान्य गुणों से आकर्षित होते हैं जो इसे काटते समय दिखाई देते हैं, इसलिए यदि आप केंद्र की रेखा के साथ मोबियस पट्टी काटते हैं, तो यह दो भागों में नहीं गिरता है, जैसा कि आप उम्मीद कर सकते हैं। इससे आपको एक संकरा और लंबा दो तरफा टेप मिलता है, दो बार मुड़ जाता है (रोलर कोस्टर के निर्माण में एक समान आकृति होती है)। और यहां "पाक चाल" है: मोबियस स्ट्रिप के रूप में केक सामान्य से अधिक स्वादिष्ट लगेगा, क्योंकि आप उन पर दोगुना क्रीम फैला सकते हैं! इसके अलावा, "मोबियस स्ट्रिप की शैली में" बनाई गई इमारतों के दिलचस्प वास्तुशिल्प डिजाइन हैं। अब तक वे केवल कागज पर मौजूद हैं, लेकिन मैं विश्वास करना चाहता हूं कि वे निश्चित रूप से लागू होंगे।

"अस्पष्ट" स्थिति

इसके गुणों से, मोबियस स्ट्रिप वास्तव में लुकिंग ग्लास से एक वस्तु जैसा दिखता है। और वह खुद, एक विषम आकृति होने के नाते, एक दर्पण डबल है। चलो दाहिने पैर के प्रिंट के साथ रिबन के साथ टहलने जाएं और जल्द ही हम पाएंगे कि बाएं पैर का प्रिंट घर वापस आ जाएगा। अजीब बात है, है ना? और "दाएं" केवल "बाएं" बनने का प्रबंधन कब किया? आइए टेप में एक दो-आयामी घड़ी को "माउंट" करें और उन्हें इसके साथ एक पूर्ण क्रांति करें। घड़ी को देखते हुए, हम देखेंगे कि डायल पर हाथ उसी गति से बढ़ रहे हैं, लेकिन विपरीत दिशा में! और आंदोलन की दो दिशाओं में से कौन सी सही है?

जब आप उत्तर के बारे में सोच रहे होते हैं, मैं ध्यान देता हूं कि एक गणितज्ञ इस "अस्पष्ट" स्थिति से भी एक सुंदर रास्ता पेश करेगा। यह आवश्यक है कि, सबसे पहले, घड़ी हमेशा एक ही समय दिखाती है, और दूसरी बात, डायल पर हाथ एक ऐसी स्थिति में होते हैं जो दर्पण छवि में संरक्षित होंगे, उदाहरण के लिए, वे लंबवत खड़े होते हैं, एक तैनात कोण बनाते हैं।

अच्छा, चलो जवाब की जाँच करें? वास्तव में, मोबियस पट्टी पर रोटेशन की एक निश्चित दिशा स्थापित करना असंभव है। एक और एक ही आंदोलन को एक दक्षिणावर्त रोटेशन और विपरीत दिशा में रोटेशन के रूप में माना जा सकता है। जब मोबीअस पट्टी पर मनमाने ढंग से चुना गया एक बिंदु इसके चारों ओर जाता है, तो एक दिशा लगातार दूसरे में बदल जाती है। इस स्थिति में, "दाएं" को "बाएं" द्वारा बदल दिया जाता है। एक दो-आयामी प्राणी अपने आप में किसी भी बदलाव को नोटिस नहीं करेगा। लेकिन वे एक ही तरह के अन्य प्राणियों द्वारा देखे जाएंगे और निश्चित रूप से, हमारे द्वारा यह देखना कि दूसरे आयाम से क्या हो रहा है। यह कितना अप्रत्याशित है, यह एक तरफा मोबियस सतह है।

मोबियस स्ट्रिप (मोबीस स्ट्रिप) - केवल एक तरफ और एक सीमा के साथ एक त्रि-आयामी सतह, जिसमें गैर-उन्मुखता की गणितीय संपत्ति होती है। यह 1858 में जर्मनी के अगस्त फर्डिनेंड मोबीस और जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग से दो गणितज्ञों द्वारा एक साथ स्वतंत्र रूप से खोजा गया था।

मोबीअस स्ट्रिप मॉडल को कागज की एक पट्टी से पट्टी के एक सिरे को आधा मोड़कर आसानी से बनाया जा सकता है और इसे बंद आकार बनाने के लिए दूसरे छोर से जोड़ा जा सकता है। यदि आप पेंसिल के साथ टेप की सतह पर एक रेखा खींचना शुरू करते हैं, तो रेखा आकार में गहराई से जाएगी और लाइन के शुरुआती बिंदु के नीचे से गुजरेगी, जैसे कि टेप के "दूसरे पक्ष" पर जा रही है। यदि आप लाइन जारी रखते हैं, तो यह प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाएगी। इस मामले में, खींची गई रेखा की लंबाई कागज की पट्टी की लंबाई से दोगुनी होगी। इस उदाहरण से पता चलता है कि मोबियस पट्टी में केवल एक पक्ष और एक सीमा होती है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, वास्तव में, दो प्रकार के मोबियस स्ट्रिप होते हैं, जो आधे मोड़ में सामने आते हैं: एक खुला दक्षिणावर्त होता है, दूसरा वामावर्त होता है।

ज्यामिति और गणित

मोबियस स्ट्रिप को समीकरणों के पैरामीट्रिक प्रणाली द्वारा दर्शाया जा सकता है:

और कहां। ये समीकरण प्लेन में पड़ी चौड़ाई 1 की मोबियस स्ट्रिप का वर्णन करते हैं एक्स-y;सर्कल का आंतरिक त्रिज्या 1 है, आंतरिक सर्कल का केंद्र मूल (0,0,0) पर है। पैरामीटर यू टेप के साथ चलता है, और पैरामीटर v - एक सीमा से दूसरी सीमा तक।

एक अन्य तरीके से, टेप को ध्रुवीय निर्देशांक में एक अभिव्यक्ति द्वारा दर्शाया जा सकता है:

Topologically, Mobius स्ट्रिप को एक वर्ग x के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें से शीर्ष अनुपात में नीचे से जुड़ा हुआ है ( एक्स,0) ~ (1-एक्स, 1) 0 ≤ के लिए एक्स ≤ 1 के रूप में दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है।

वस्तुओं को बंद करें

मोबियस पट्टी से संबंधित एक रहस्यमय वस्तु है - क्लेन बोतल। एक क्लेन बोतल दो मोबिअस स्ट्रिप्स को अपनी सीमाओं के साथ एक साथ जोड़कर बनाई जा सकती है। आकृति के भीतर चौराहों को बनाए बिना इस ऑपरेशन को 3 डी स्पेस में नहीं किया जा सकता है।

बुनियादी असंभव आंकड़ों में से एक असंभव त्रिकोण अगर इसके कुछ किनारों को चिकना किया जाता है, तो इसे मोएबियस पट्टी के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह Möbius स्ट्रिप बनाएगा जो तीन घुमावों का वर्णन करता है।

कला

पावर आर्किटेक्चर लोगो

इसके अलावा, मोबियस स्ट्रिप का उपयोग अक्सर विभिन्न लोगो और ब्रांडों की छवियों में किया जाता है। सबसे हड़ताली उदाहरण पुन: उपयोग का अंतर्राष्ट्रीय प्रतीक है।

आवेदन। Moebius रिबन के साथ पेंटिंग

पॉल बिलाज़िक द्वारा नीचे दी गई तस्वीर को कहा जाता है जैसा कि लेखक कहते हैं, यह चित्र उनके जीवन के विभिन्न पहलुओं का एक संयोजन है। सेल्टिक समुद्री मील ने उन्हें अपने काम में घेर लिया, एम.के. Eschers हमेशा प्रेरणा का स्रोत होते हैं, और Mobius पट्टी कलाकार द्वारा अध्ययन किए गए विषय से संबंधित होती है।

1858 में अगस्त फर्डिनेंड मोबियस और जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग। मोबियस स्ट्रिप मॉडल आसानी से बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको एक पर्याप्त लम्बी कागज की पट्टी लेने और पट्टी के सिरों को जोड़ने की जरूरत है, पहले उनमें से एक को मोड़ दिया गया था। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, दो प्रकार के मोबियस स्ट्रिप्स होते हैं, जो घुमा की दिशा पर निर्भर करते हैं: दाएं हाथ और बाएं हाथ (स्थैतिक रूप से, हालांकि, वे अप्रभेद्य हैं)।

मोबियस पट्टी को कभी-कभी अनन्तता के प्रतीक का जनक कहा जाता है, क्योंकि मोबियस पट्टी की सतह पर होने के कारण, कोई भी हमेशा के लिए इसके साथ चल सकता है। यह सच नहीं है, क्योंकि मोबियस पट्टी की खोज से पहले प्रतीक का उपयोग दो शताब्दियों के लिए अनन्तता को दर्शाने के लिए किया गया था। (अनंत प्रतीक देखें)।

गुण

• यदि आप दो मोबिअस स्ट्रिप्स के बजाय किनारों से एक रेखा के समान दूरी पर रिबन को काटते हैं, तो आपको एक लंबा डबल-साइडेड (मोबिअस स्ट्रिप के रूप में दो बार उतना मुड़) मिलता है, जिसे "अफगान रिबन" कहा जाता है। यदि अब इस टेप को बीच में से काट दिया जाता है, तो दो टेप प्राप्त होते हैं, एक दूसरे के ऊपर घाव होता है।
• यदि आप मोबियस स्ट्रिप को काटते हैं, तो इसकी चौड़ाई का लगभग एक तिहाई भाग किनारे से पीछे हट जाता है, आपको दो स्ट्रिप्स मिल जाती हैं, एक पतली मोबियस स्ट्रिप है, दूसरा दो स्ट्रिप (अफगान स्ट्रिप) वाली लंबी पट्टी है।
• रिबन के अन्य दिलचस्प संयोजन रिबन से दो या अधिक अर्ध-मोड़ के साथ प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप तीन हाफ-टर्न के साथ एक रिबन काटते हैं, तो आपको एक रिबन मिलता है जिसे ट्रेफ़िल नॉट में कर्ल किया जाता है। अतिरिक्त मोड़ के साथ रिबन की कटौती अप्रत्याशित आंकड़े देती है जिसे पैराड्रोमिक रिंग कहा जाता है।

ज्यामिति और टोपोलॉजी

एक सबसेट के रूप में मोबीस स्ट्रिप का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है मानकीकरण:

और कहां। ये सूत्र चौड़ाई 1 की मोबीस पट्टी को परिभाषित करते हैं, जिसके मध्य वृत्त की त्रिज्या 1 है, विमान में स्थित है एक्स - y पर केंद्रित है। पैरामीटर यू टेप के साथ चलता है, जबकि v किनारे से दूरी तय करता है।

मोबीस पट्टी एक खंड फाइबर के साथ एक सर्कल में एक nontrivial बंडल का स्थान भी है।

समान वस्तुएं

एक करीबी "अजीब" ज्यामितीय वस्तु क्लेन बोतल है। किनारों के चारों ओर दो मोबियस स्ट्रिप्स को देखकर एक क्लेन बोतल प्राप्त की जा सकती है। साधारण त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, स्व-चौराहों को बनाए बिना ऐसा करना असंभव है।

एक और समान सेट एक फिल्म के साथ एक क्षेत्र है। यदि आप एक फिल्म के साथ एक गोले में छेद करते हैं, तो एक मोबियस शीट क्या रहेगी। दूसरी ओर, यदि आप मोबियस स्ट्रिप को डिस्क को गोंद करते हैं, तो उनकी सीमाओं को संरेखित करते हुए, परिणाम एक फिल्म के साथ एक क्षेत्र होगा। यह कल्पना करने के लिए, मोबियस स्ट्रिप को विकृत करने में मददगार है ताकि इसकी सीमा एक नियमित सर्कल बन जाए। इस तरह के एक आंकड़े को "पार किया हुआ ढक्कन" कहा जाता है (एक पार किया हुआ ढक्कन भी एक सरेस से जोड़ा हुआ डिस्क के साथ एक ही आकृति का मतलब हो सकता है, अर्थात् प्रक्षेप्य विमान का विसर्जन)।

एक आम गलतफहमी है कि स्व-प्रतिच्छेदन सतह के बिना एक पार किए गए ढक्कन को तीन आयामों में नहीं बनाया जा सकता है। यह वास्तव में संभव है कि एक मोबिअस स्ट्रिप को सीमा के साथ एक पूर्ण चक्र के रूप में रखा जाए। विचार इस प्रकार है - जाने दो सी विमान में एक इकाई चक्र होगा एक्सy पर। एंटीपोडल बिंदुओं को जोड़ने पर सी , जो, कोणों पर बिंदु θ और π + an एक वृत्त का एक चाप हैं, हम इसे 0 और θ / 2 के बीच that के लिए प्राप्त करते हैं, चाप विमान के ऊपर स्थित होते हैं। एक्सy , और नीचे अन्य (के लिए (और दो स्थानों पर चाप विमान में झूठ बोलते हैं एक्सy ).

यह देखा जा सकता है कि यदि डिस्क को सीमा चक्र से चिपकाया जाता है, तो फिल्म के साथ परिणामी क्षेत्र का आत्म-अंतरग्रहण तीन-आयामी स्थान में अपरिहार्य है। वर्ग के पक्षों को निर्दिष्ट करने के संदर्भ में, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, एक फिल्म के साथ एक गोला दो शेष पक्षों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है संरक्षण उन्मुखीकरण।

समस्याओं को खोलें

उत्तर: असीम रूप से ऐसे कई सूत्र हैं, उदाहरण के लिए, देखें।

ऐसी आकृति खोजना अधिक कठिन है जो लोचदार झुकने वाली ऊर्जा को कम करता है। यह समस्या, पहले सदोव्स्की द्वारा पेश की गई ( एम। सडॉस्की) 1930 में, हाल ही में हल किया गया था, देखें। हालाँकि, समाधान का वर्णन एक बीजगणितीय सूत्र द्वारा नहीं किया जाता है, और यह संभावना नहीं है कि ऐसा कोई सूत्र बिल्कुल मौजूद हो। पेपर मोबीस पट्टी की स्थानिक संतुलन आकृति को खोजने के लिए, अंतर-बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक सीमा मूल्य समस्या को हल करना आवश्यक है।

कला और प्रौद्योगिकी

मोबियस लीफ ने मूर्तिकला और ग्राफिक कला के लिए प्रेरणा का काम किया है। एस्चर उन कलाकारों में से एक थे, जो विशेष रूप से उनसे प्यार करते थे और इस गणितीय वस्तु के लिए अपने कई लिथोग्राफ को समर्पित किया था। प्रसिद्ध में से एक - मोबियस पत्ती II, मोबियस पट्टी की सतह पर चींटियों को रेंगते हुए दिखाता है।

मोबिअस लीफ़ भी विज्ञान कथा में एक आवर्ती विशेषता है, जैसे कि आर्थर क्लार्क द्वारा लघु कहानी में। "अंधेरे की दीवार"... कभी-कभी विज्ञान कथा कहानियां (सैद्धांतिक भौतिकविदों का अनुसरण करते हुए) सुझाव देती हैं कि हमारा ब्रह्मांड किसी प्रकार का सामान्यीकृत मोबियस पट्टी हो सकता है। इसके अलावा, मोबियस की अंगूठी का उल्लेख लगातार यूराल लेखक व्लादिस्लाव क्रापिविन के कामों में किया गया है, चक्र "इन द ग्रेट क्रिस्टल" (उदाहरण के लिए, "लंगर पोल पर चौकी। टेल")। AJ Deutsch की कहानी "मोबियस लीफ" में, बोस्टन मेट्रो एक नई लाइन का निर्माण करती है, जिसका मार्ग इतना भ्रामक हो जाता है कि वह मोबियस स्ट्रिप में बदल जाती है, जिसके बाद उस लाइन पर ट्रेनें गायब होने लगती हैं। कहानी के आधार पर, गुस्तावो मस्क्यूरा द्वारा निर्देशित एक शानदार फिल्म "मोबियस" की शूटिंग की गई थी। इसके अलावा, एक एमबियस स्ट्रिप के विचार का उपयोग एम। क्लिफ्टन की कहानी "ऑन द मोबियस स्ट्रिप" में किया गया है।

समकालीन रूसी लेखक अलेक्सी ए। शेपलेव (सेंट पीटर्सबर्ग: एम्फोरा, 2003) के उपन्यास "इको" के प्रवाह की तुलना मोबियस पट्टी से की जाती है। पुस्तक के एनोटेशन से: "" इको "मोबियस रिंग का एक साहित्यिक सादृश्य है: दो कहानी -" लड़के "और" लड़कियां "- एक-दूसरे में प्रवाहित होती हैं, लेकिन अंतरंग नहीं होती हैं।

मोबियस स्ट्रिप के तकनीकी अनुप्रयोग हैं। बेल्ट कन्वेयर का बेल्ट मोबियस बेल्ट के रूप में बनाया गया है, जो इसे लंबे समय तक काम करने की अनुमति देता है, क्योंकि बेल्ट की पूरी सतह समान रूप से पहनती है। निरंतर टेप रिकॉर्डिंग सिस्टम भी Mobius टेप का उपयोग करते हैं (रिकॉर्डिंग समय को दोगुना करने के लिए)। कई डॉट मैट्रिक्स प्रिंटर में, रिबन अपने संसाधन को बढ़ाने के लिए मोबियस स्ट्रिप भी है।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010।

• कपेलमन्स, विक्टर इवानोविच
• कैपेचे, कार्लो सिगिस्मोंडो

देखें कि अन्य शब्दों में "मोबियस लीफ" क्या है:

मोबिअस लीफ - मोबीस स्ट्रिप ए मोबियस स्ट्रिप (मोबियस स्ट्रिप) एक सामयिक वस्तु है, एक किनारे के साथ सबसे सरल गैर-उन्मुख सतह, सामान्य तीन आयामी यूक्लिडियन स्पेस आर 3 में एक तरफा। आप इस सतह के एक बिंदु से किसी भी अन्य तक पहुंच सकते हैं, ... विकिपीडिया पर नहीं

मोबिअस लीफ - (भी मोबियस स्ट्रिप) सामयिक वस्तु, एक किनारे के साथ सबसे सरल एक तरफा सतह; आप किनारों को पार किए बिना इस सतह के एक बिंदु से किसी अन्य तक प्राप्त कर सकते हैं। नाम ए.एफ.ओबियस के नाम पर रखा गया है। अगस्त फर्डिनेंड मोएबियस अगस्त …… महामारी का भाग्य। शब्दकोश संदर्भ

मोबिअस लीफ - एक टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्ट, एक किनारे के साथ सबसे सरल गैर-उन्मुख सतह, सामान्य तीन आयामी यूक्लोनियन अंतरिक्ष में एक तरफा। टेप के किनारों को पार किए बिना सतह के एक बिंदु से किसी अन्य तक पहुंचना संभव है। वास्तव में, सब कुछ बहुत सरल है… आई। मोस्टिट्स्की का सार्वभौमिक अतिरिक्त व्यावहारिक व्याख्यात्मक शब्दकोश

शीट (छूट) - पत्ती: पत्ती पौधों का एक वानस्पतिक अंग है। शीट सामग्री कुछ सामग्री का एक पतला, सपाट टुकड़ा है, उदाहरण के लिए: प्लाईवुड की एक शीट, लोहे की एक शीट, कागज की एक शीट, आदि टाइपोग्राफी शीट (टाइपोग्राफी) माप की एक अप्रचलित इकाई है ... ... विकिपीडिया