Simpson formulasi bo'yicha aniq integralning qiymati ga teng. Trapezoidal usul

Oliy matematika kafedrasi

To'ldiruvchi: Matveev F.I.

Tekshirildi: Burlova L.V.

Ulan-Ude, 2002

1. Integrallashning sonli usullari

2. Simpson formulasini chiqarish

3.Geometrik tasvir

4. Integratsiya bosqichini tanlash

5. Misollar

1. Integrallashning sonli usullari

Raqamli integrasiya muammosi integralni hisoblashdan iborat

Integrandning bir qator qiymatlari orqali.

Jadvalda berilgan funksiyalar, elementar funksiyalarda integrali olinmagan funksiya va hokazolar uchun sonli integrasiya masalalarini yechish kerak. Faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyalarini ko'rib chiqing.

Integrallashuvchi funksiya o‘rniga interpolyatsiya ko‘phadini integrallaymiz. Integratsiyani interpolyatsiya polinomi bilan almashtirishga asoslangan usullar ko'phad parametrlari bo'yicha natijaning to'g'riligini baholash yoki berilgan aniqlik uchun ushbu parametrlarni tanlash imkonini beradi.

Raqamli usullarni integratsiyaga yaqinlashtirish usuliga ko'ra shartli ravishda guruhlash mumkin.

Nyuton-Kotes usullari funktsiyani darajali ko'phad bilan yaqinlashtirishga asoslangan. Bu sinfning algoritmi faqat polinom darajasida farqlanadi. Qoidaga ko'ra, yaqinlashuvchi ko'phadning tugunlari teng darajada bog'langan.

Spline integrallash usullari funktsiyani splayn-bo'lakli ko'phad bilan yaqinlashtirishga asoslangan.

Eng yuqori algebraik aniqlik usullari (Gauss usuli) berilgan (tanlangan) tugunlar soni uchun minimal integratsiya xatosini ta'minlaydigan maxsus tanlangan teng bo'lmagan tugunlardan foydalanadi.

Monte-Karlo usullari ko'pincha bir nechta integrallarni hisoblashda qo'llaniladi, tugunlar tasodifiy tanlanadi, javob ehtimollikdir.

umumiy xato

kesish xatosi

yaxlitlash xatosi

Tanlangan usuldan qat’iy nazar, sonli integrasiya jarayonida integralning taxminiy qiymatini hisoblash va xatolikni baholash kerak. n-raqam ortishi bilan xatolik kamayadi

segmentning bo'linishi. Biroq, bu yaxlitlash xatosini oshiradi.

qisman segmentlar bo'yicha hisoblangan integrallarning qiymatlarini yig'ish orqali.

Kesish xatosi integralning xususiyatlariga va qisman segment uzunligiga bog'liq.

2. Simpson formulasini chiqarish

Agar har bir juft segment uchun ikkinchi darajali ko‘phad tuzib, keyin uni integrallab, integralning qo‘shiluvchanlik xususiyatidan foydalansak, Simpson formulasini olamiz.

Intervaldagi integralni ko'rib chiqing. Ushbu integratsiyani nuqtalarda mos keladigan ikkinchi darajali Lagrange interpolyatsiya polinomi bilan almashtiramiz:

Keling, integratsiya qilaylik:

va Simpson formulasi deb ataladi.

Integral uchun olingan qiymat o'q, to'g'ri chiziqlar va nuqtalardan o'tadigan parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga to'g'ri keladi.

Keling, Simpson formulasi bo'yicha integratsiya xatosini baholaylik. y ning intervalda uzluksiz hosilalari bor deb faraz qilamiz . Farqni tuzing

O'rtacha qiymat teoremasi ushbu ikkita integralning har biriga allaqachon qo'llanilishi mumkin, chunki funktsiya uzluksiz yoqilgan va funktsiya birinchi integratsiya oralig'ida manfiy emas, ikkinchisida esa ijobiy emas (ya'ni, u belgini o'zgartirmaydi). bu intervallarning har biri). Shunung uchun:

(biz o'rtacha qiymat teoremasidan foydalandik, chunki uzluksiz funktsiya; ).

Ikki marta farqlash va keyin o'rtacha qiymat teoremasini qo'llash orqali biz boshqa ifodani olamiz:

, qayerda

Ikkala taxmindan kelib chiqadiki, Simpson formulasi eng ko'p uch darajali ko'phadlar uchun aniqdir. Masalan, Simpson formulasini quyidagicha yozamiz:

Agar integratsiya segmenti juda katta bo'lsa, u teng qismlarga bo'linadi (farz etilsa), shundan so'ng har bir qo'shni segmentlar juftiga, ,..., Simpson formulasini qo'llang, xususan:

Simpson formulasini umumiy shaklda yozamiz:

Simpson formulasining xatosi - to'rtinchi tartibli usul:

, (3)

Chunki Simpson usuli juda yuqori bo'lmasa ham, yuqori aniqlikni olish imkonini beradi. Aks holda, ikkinchi tartibli usul ko'proq aniqlik berishi mumkin.

Masalan, funktsiya uchun trapezoid shakli for aniq natijani beradi, Simpson formulasi bo'yicha esa biz olamiz.

3. Geometrik illyustratsiya

Uzunligi 2 soat bo'lgan segmentda uchta nuqtadan o'tuvchi parabola qurilgan, . OX o'qi va to'g'ri chiziqlar orasiga o'ralgan parabola ostidagi maydon integralga teng qabul qilinadi.

Simpson formulasini qo'llashning o'ziga xos xususiyati integratsiya segmentining bo'limlari sonining juft bo'lishidir.

Agar bo'linish segmentlari soni toq bo'lsa, unda birinchi uchta segment uchun integratsiyani taxmin qilish uchun birinchi to'rtta nuqtadan o'tadigan uchinchi darajali parabola yordamida formulani qo'llash kerak.

(4)

Bu Simpsonning "sakkizindan uch" formulasi.

Integratsiyaning ixtiyoriy intervali uchun (4) formulani "davom etish" mumkin; qisman segmentlar soni uchta (nuqta) karrali bo'lishi kerak.

, m=2,3,... (5)

butun qismi

Siz yuqori darajadagi Nyuton-Kotes formulalarini olishingiz mumkin:

(6)

Bo'lim segmentlari soni;

Amaldagi polinom darajasi;

Nuqtadagi th tartibli hosilasi;

Bo'lingan qadam.

1-jadvalda koeffitsientlar keltirilgan. Har bir qator k-darajali polinomni qurish uchun bo'shliq tugunlarining bir to'plamiga mos keladi. Ushbu sxemani ko'proq to'plamlar uchun ishlatish uchun (masalan, k=2 va n=6 bilan) koeffitsientlarni "davom etish" va keyin ularni qo'shish kerak.

1-jadval:

Trapetsiya va Simpson formulalarining xatosini baholash algoritmi quyidagicha yozilishi mumkin: (7),

qayerda - integrallash usuli va xossalariga bog'liq koeffitsient;

h - integratsiya bosqichi;

p - usulning tartibi.

Runge qoidasi h va kh qadamlar bilan integralni ikki marta hisoblash orqali xatoni hisoblash uchun ishlatiladi.

(8) - posteriori baho. U holda Iref.= +Ro (9), integralning aniqlangan qiymati .

Agar usulning tartibi noma'lum bo'lsa, I ni uchinchi marta o'sish bilan hisoblash kerak, ya'ni:

uchta tenglama tizimidan:

I, A va p noma'lumlari bilan biz quyidagilarni olamiz:

(10) dan kelib chiqadi (11)

Shunday qilib, zarur bo'lgan ko'p marta qo'llanilgan qo'sh hisoblash usuli berilgan aniqlik darajasi bilan integralni hisoblash imkonini beradi. Kerakli miqdordagi bo'limlarni tanlash avtomatik ravishda amalga oshiriladi. Bunday holda, ushbu usullarning algoritmlarini o'zgartirmasdan, tegishli integratsiya usullarining kichik dasturlariga bir nechta qo'ng'iroqlardan foydalanish mumkin. Shu bilan birga, teng masofadagi tugunlardan foydalanadigan usullar uchun integratsiya oralig'ining oldingi ko'p bo'limlari davomida to'plangan integral yig'indilaridan foydalangan holda algoritmlarni o'zgartirish va integralni hisoblash sonini ikki baravar kamaytirish mumkin. Integralning ikkita taxminiy qiymati va trapezoid usulida qadamlar bilan hisoblangan va , munosabat bilan bog'langan:

Xuddi shunday, va qadamlar bilan formula bo'yicha hisoblangan integrallar uchun munosabatlar o'rinlidir:

,

(13)

4. Integratsiya bosqichini tanlash

Integratsiya bosqichini tanlash uchun siz qolgan atama ifodasidan foydalanishingiz mumkin. Masalan, Simpson formulasining qolgan qismini olaylik:

Agar ê ê bo'lsa, u holda ê ê .

Integrasiya usulining aniqligi e ni hisobga olib, oxirgi tengsizlikdan mos qadamni aniqlaymiz.

, .

Biroq, bu usul baholashni talab qiladi (bu amalda har doim ham mumkin emas). Shuning uchun ular aniqlik bahosini aniqlash uchun boshqa usullardan foydalanadilar, bu esa hisob-kitoblar jarayonida kerakli h qadamni tanlash imkonini beradi.

Keling, ushbu usullardan birini ko'rib chiqaylik. Bo'lsin

,

qadamli integralning taxminiy qiymati qayerda. Segmentni ikkita teng qismga bo'linib, qadamni yarmiga kamaytiring va ().

Faraz qilaylik, bu juda tez o'zgarmaydi, shuning uchun u deyarli doimiy bo'ladi: . Keyin Va , qayerda , ya'ni .

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, agar , ya'ni, agar , va kerakli aniqlik bo'lsa, u holda bosqich integralni etarli aniqlik bilan hisoblash uchun mos keladi. Agar bo'lsa, u holda hisoblash bir qadam bilan takrorlanadi va keyin taqqoslanadi va hokazo. Bu qoida Runge qoidasi deb ataladi.

Biroq, Runge qoidasini qo'llashda, hisoblash xatosining kattaligini hisobga olish kerak: pasayganda, integralni hisoblashda mutlaq xato ortadi (qaramlik teskari proportsionaldir) va etarlicha kichik qiymatlar uchun , u usul xatosidan kattaroq bo'lishi mumkin. Agar u dan oshsa, bu qadam uchun Runge qoidasini qo'llash mumkin emas va kerakli aniqlikka erishib bo'lmaydi. Bunday hollarda qiymatini oshirish kerak.

Runge qoidasini ishlab chiqishda siz aslida degan taxmindan foydalandingiz. Agar faqat qiymatlar jadvali mavjud bo'lsa, unda "doimiylik" ni tekshirish to'g'ridan-to'g'ri jadvalda amalga oshirilishi mumkin. Yuqoridagi algoritmlarning keyingi rivojlanishi bizga moslashuv algoritmlariga o'tish imkonini beradi, bunda boshqasini tanlash tufayli. integrallash oralig'ining turli qismlarida integratsiya bosqichi, xususiyatlariga qarab, integralning hisob-kitoblari soni kamayadi.

Integral qiymatlarini aniqlashtirishning yana bir sxemasi Eytnen jarayonidir. Integral qadamlar bilan hisoblanadi va . Qiymatlarni hisoblash. Keyin (14).

Simpson usulining aniqligi o'lchovi sifatida quyidagi qiymat olinadi:

5. Misollar

1-misol Jadvalda berilgan bo'lsa, Simpson formulasi yordamida integralni hisoblang. Xatoni taxmin qiling.

3-jadval

Yechish: va integrali uchun (1) formula bo‘yicha hisoblang.

Runge qoidasiga ko'ra, biz Qabul qilamiz.

2-misol Integralni hisoblash .

Yechim: Bizda bor. Demak, h==0,1. Hisoblash natijalari 4-jadvalda keltirilgan.

4-jadval

Simpson formulasi yordamida integralni hisoblash

		y0=1,00000; -0,329573ê3. Simpson usuli xatosi uchun hisob-kitoblar: =0,1 uchun £ 0,0000017, =0,05 uchun £ 0,0000002. Yaxlitlash xatosi Simpson formulasi uchun bunday aniq natijani buzmasligi uchun barcha hisob-kitoblar oltita kasr bilan amalga oshirildi. Yakuniy natijalar:

Aniq integralni hisoblashda biz har doim ham aniq echimga erisha olmaymiz. Elementar funksiya shaklida ifodalash har doim ham mumkin emas. Nyuton-Leybnits formulasi hisoblash uchun mos emas, shuning uchun raqamli integratsiya usullaridan foydalanish kerak. Ushbu usul yuqori aniqlikdagi ma'lumotlarni olish imkonini beradi. Simpson usuli shunday.

Buning uchun formulani hosil qilishning grafik tasvirini berish kerak. Keyinchalik Simpson usulidan foydalangan holda mutlaq xato bahosini yozib olish keladi. Xulosa qilib, biz uchta usulni solishtiramiz: Simpson, to'rtburchaklar, trapezoidlar.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Parabola usuli - mohiyat, formula, smeta, xatolar, rasmlar

[ a oraliqda uzluksizlikka ega bo'lgan y = f (x) ko'rinishdagi funksiya berilgan; b ] , aniq integral ∫ a b f (x) d x ni hisoblash kerak.

Segmentni ajratish kerak [ a ; b ] x 2 i - 2 ko'rinishdagi n ta segmentga; x 2 i, i = 1, 2,. . . , n uzunligi 2 h = b - a n va nuqtalar a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Har bir interval x 2 i - 2; x 2 i, i = 1, 2,. . . , koordinatalari x 2 i - 2 bo'lgan nuqtalardan o'tib, y = a i x 2 + b i x + c i bilan aniqlangan parabola bilan integratsiyaning n ga yaqinlashtiriladi; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) . Shuning uchun usul shunday nomga ega.

Bu amallar ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x integrali ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ni taxminiy qiymat sifatida qabul qilish uchun bajariladi. Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib hisoblashimiz mumkin. Bu parabola usulining mohiyatidir.Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Parabola usulining grafik tasviri (Simpson)

Qizil chiziq y = f (x) funktsiyaning grafigini, ko'k chiziq y = f (x) grafigining kvadratik parabolalar yordamida yaqinlashishini ko'rsatadi.

Aniq integralning beshinchi xususiyatidan kelib chiqib, ∫ abf (x) dx = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 hosil bo‘ladi, agar (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x bo‘lsa. 2 i (aix 2 + bix + ci) dx

Parabola usuli yordamida formulani olish uchun quyidagini hisoblash kerak:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

x 2 i - 2 = 0 bo'lsin. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Koordinatalari x 2 i - 2 bo'lgan nuqtalar orqali tasvirlaymiz; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) y = a i x 2 + b i x + c i ko‘rinishdagi bitta kvadrat parabola bo‘lishi mumkin. Boshqacha qilib aytganda, koeffitsientlarni faqat o'ziga xos tarzda aniqlash mumkinligini isbotlash kerak.

Bizda x 2 i - 2 bor; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) parabolaning nuqtalari, u holda taqdim etilgan tenglamalarning har biri haqiqiydir. Biz buni tushunamiz

ai (x 2 i - 2) 2 + bi x 2 i - 2 + ci = f (x 2 i - 2) ai (x 2 i - 1) 2 + bi x 2 i - 1 + ci = f ( x 2 i - 1) ai (x 2 i) 2 + bi x 2 i + ci = f (x 2 i)

Olingan sistema a i, b i, c i ga nisbatan yechiladi, bunda matritsaning Vandermonde determinantini izlash zarur. Biz buni tushunamiz

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 va u nolga teng emas deb hisoblanadi va mos kelmaydi. nuqtalar x 2 i - 2, x 2 i - 1, x 2 i. Bu tenglamaning faqat bitta yechimga ega ekanligidan dalolat beradi, keyin tanlangan koeffitsientlar a i ; b i ; c i faqat o'ziga xos tarzda aniqlanishi mumkin, keyin x 2 i - 2 nuqtalari orqali; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1; x 2 i - 1, x 2 i; f (x 2 i) faqat bitta parabola o'tishi mumkin.

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x integralini topishga o‘tishingiz mumkin.

Bu aniq

f (x 2 i - 2) = f (0) = ai 0 2 + bi 0 + ci = cif (x 2 i - 1) = f (h) = ai h 2 + bi h + cif ( x 2 i) = f (0) = 4 ai h 2 + 2 bi h + ci

Oxirgi o'tishni amalga oshirish uchun shaklning tengsizligidan foydalanish kerak

∫ x 2 i - 2 x 2 i (aix 2 + bix + ci) dx = ∫ 0 2 h (aix 2 + bix + ci) dx = = aix 3 3 + bix 2 2 + cix 0 2 h = 8 aih 3 3 + 2 bih 2 + 2 cih = = h 3 8 aih 2 + 6 bih + 6 ci = h 3 fx 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + fx 2 i

Shunday qilib, biz parabola usuli yordamida formulani olamiz:

∫ abf (x) dx ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 iaix 2 + bix + cidx = = ∑ i = 1 nh 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i) - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x) 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Ta'rif 1

Simpson usuli formulasi: ∫ abf (x) dx ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Mutlaq xatolikni baholash formulasi d n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 .

Aniq integrallarni parabolik usulda taqribiy hisoblashga misollar

Simpson usuli ma'lum integrallarni taxminiy hisoblashni o'z ichiga oladi. Ko'pincha, ushbu usul qo'llaniladigan ikkita turdagi muammolar mavjud:

• aniq integralni taqribiy hisoblashda;
• d n aniqlik bilan taxminiy qiymat topilganda.

Hisoblashning aniqligiga n ning qiymati ta'sir qiladi, n qanchalik yuqori bo'lsa, oraliq qiymatlar qanchalik aniq bo'lsa.

1-misol

Simpson usuli yordamida aniq integral ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ni hisoblang, integrasiya segmentini 5 qismga ajrating.

Yechim

Shart bo'yicha ma'lumki, a = 0; b=5; n = 5 , f(x) = x x 4 + 4.

Keyin Simpson formulasini shaklga yozamiz

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Uni to'liq qo'llash uchun h = b - a 2 n formulasi yordamida qadamni hisoblash, x i = a + i · h, i = 0, 1, nuqtalarini aniqlash kerak. . . , 2 n va f (x i) , i = 0, 1 , integralining qiymatlarini toping. . . , 2n.

Oraliq hisoblar 5 kasrgacha yaxlitlanishi kerak. Qiymatlarni almashtiring va oling

h \u003d b - a 2 n \u003d 5 - 0 2 5 \u003d 0. besh

Funksiya qiymatini nuqtalarda topamiz

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 0 . 5 = 0. 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . ellik. 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Aniqlik va qulaylik quyidagi jadvalda keltirilgan.

i	0	1	2	3	4	5
x i	0	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Natijalarni parabola usuli formulasiga almashtirish kerak:

∫ 0 5 xdxx 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) ) = = 0. 5 3 0 + 4 0. 12308 + 0. 16552 + 0. 05806 + + 0. 02272 + 0. 01087 + 2 0. 2 + 0. 1 + + 0. 03529 + 0. 01538 + 0. 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Hisoblash uchun biz aniq integralni tanladik, uni Nyuton-Leybnits bo'yicha hisoblash mumkin. Biz olamiz:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Javob: Natijalar yuzdan biriga to'g'ri keladi.

2-misol

Noaniq integrali ∫ 0 p sin 3 x 2 + 1 2 d x Simpson usuli yordamida 0 , 001 oralig'ida hisoblang.

Yechim

Shartga ko'ra, bizda \u003d 0, b \u003d p, f (x) \u003d sin 3 x 2 + 1 2, d n ≤ 0 bor. 001. n qiymatini aniqlashingiz kerak. Buning uchun d n ≤ m a x [ a ko'rinishdagi Simpson usulining absolyut xatosini baholash formulasi; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

n qiymatini topsak, u holda tengsizlik m a x [ a ; b ] f (4) (x) (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 bajariladi. Keyin parabola usulidan foydalanib, hisoblashdagi xato 0 dan oshmaydi. 001. Oxirgi tengsizlik shaklni oladi

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Endi biz to'rtinchi hosilaning moduli olishi mumkin bo'lgan eng katta qiymatni aniqlashimiz kerak.

f "(x) = sin 3 x 2 + 1 2" = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " "" ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Ta'rif sohasi f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 intervalga tegishli - 81 16 ; 81 16 va integratsiya segmentining o'zi [0; p) ekstremum nuqtasiga ega, bundan kelib chiqadiki, m a x [ 0 ; p ] f (4) (x) = 81 16 .

Biz almashtirishni amalga oshiramiz:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 p - 0 5 2. 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537. 9252 ⇔ n > 4. 8159

Biz n ning natural son ekanligini tushundik, keyin uning qiymati n = 5 , 6 , 7 ga teng bo'lishi mumkin ... avval siz n = 5 qiymatini olishingiz kerak.

Harakatlar oldingi misolga o'xshash tarzda amalga oshiriladi. Siz qadamni hisoblashingiz kerak. Buning uchun

h \u003d b - a 2 n \u003d p - 0 2 5 \u003d p 10

X i = a + i h, i = 0, 1, tugunlarini toping. . . , 2 n bo'lsa, u holda integralning qiymati o'xshash bo'ladi

i = 0: x i = x 0 = a + i h = 0 + 0 p 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 0 2 + 1 2 = 0. 5 i = 1: x i = x 1 = a + i h = 0 + 1 p 10 = p 10 ⇒ f (x 1) = f (p 10) = sin 3 p 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i h = 0 + 10 p 10 = p ⇒ f (x 10) = f (p) = sin 3 p 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 p 10

4 p 5 9 p 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Eritma formulasidagi qiymatlarni parabolik usul bilan almashtirish va olish qoladi

∫ 0 p sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 nf (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) \u003d \u003d p 30 0, 5 + 4 0. 953990 + 1. 487688 + 1. 207107 ++ 0 . 343566 - 0. 391007 + 2 1 . 309017 + 1. 451056 + + 0. 809017 - 0. 87785 - 0. 5 = = 2. 237650

Simpson usuli aniq integral ∫ 0 p sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 ning taxminiy qiymatini olish imkonini beradi. 237 dan 0,001 gacha.

Nyuton-Leybnits formulasi bilan hisoblaganda natijaga erishamiz

∫ 0 p sin 3 x 2 + 1 2 dx = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 p = = - 3 2 cos 3 p 2 + p 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = p 2 + 2 3 ≈ 2. 237463

Javob:∫ 0 p sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Izoh

Aksariyat hollarda m a x [ a ni topish; b ] f (4) (x) muammoli. Shuning uchun muqobil - parabola usuli qo'llaniladi. Uning printsipi trapezoidal usul bo'limida batafsil yoritilgan. Parabola usuli integralni yechishning afzal usuli hisoblanadi. Hisoblash xatosi natijaga ta'sir qiladi n . Uning qiymati qanchalik kichik bo'lsa, taxminiy kerakli raqam qanchalik aniq bo'ladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Sahifani navigatsiya qilish.

Parabola usuli (Simpson) - usulning mohiyati, formulasi, xatosini baholash, illyustratsiya.

y = f(x) funksiya intervalda uzluksiz bo'lsin va biz aniq integralni hisoblashimiz kerak.

Segmentni uzunlikdagi n ta elementar segmentga nuqtalar orqali ajratamiz. Nuqtalar mos ravishda segmentlarning o'rta nuqtalari bo'lsin. Bunday holda, barcha "tugunlar" tenglikdan aniqlanadi.

Parabola usulining mohiyati.

Har bir oraliqda integrasiya kvadratik parabola bilan yaqinlashadi nuqtalardan o'tish. Shuning uchun usulning nomi - parabola usuli.

Bu aniq integralning taxminiy qiymati sifatida qabul qilish uchun amalga oshiriladi , uni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblashimiz mumkin. Bu nima parabola usulining mohiyati.

Geometrik tarzda u quyidagicha ko'rinadi:

Parabola usulining grafik tasviri (Simpson).

Qizil chiziqda y=f(x) funksiya grafigi, ko‘k chiziqda bo‘limning har bir elementar segmentida kvadratik parabolalar yordamida y=f(x) funksiya grafigining yaqinlashuvi ko‘rsatilgan.

Simpson usuli formulasini (parabola) chiqarish.

Aniq integralning beshinchi xossasi tufayli bizda .

Parabola usuli (Simpson) formulasini olish uchun biz hisoblashimiz kerak .

Keling (har qanday i = 1, 2, ..., n uchun tegishli geometrik siljish o'zgarishini amalga oshirib, har doim bunga erishishimiz mumkin).

Keling, rasm chizamiz.

Nuqtalardan faqat bitta kvadrat parabola o'tishini ko'rsatamiz . Boshqacha qilib aytganda, biz koeffitsientlarning yagona aniqlanganligini isbotlaymiz.

Parabola nuqtalari bo'lgani uchun tizimning har bir tenglamasi o'rinli

Yozma tenglamalar tizimi noma'lum o'zgaruvchilardagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimidir. Bu tenglamalar sistemasining asosiy matritsasining determinanti Vandermonde determinantidir , va mos kelmaydigan nuqtalar uchun u nolga teng . Bu tenglamalar tizimining yagona yechimga ega ekanligini ko'rsatadi (bu maqolada muhokama qilinadi), ya'ni koeffitsientlar yagona aniqlanadi va nuqtalardan bitta kvadrat parabola o'tadi.

Keling, integralni topishga o'tamiz .

Shubhasiz:

Biz ushbu tengliklardan quyidagi tenglik zanjirida oxirgi o'tishni amalga oshirish uchun foydalanamiz:

Shunday qilib, siz parabola usuli formulasini olishingiz mumkin:

Simpson usuli formulasi (parabolalar) shaklga ega
.

Simpson usulining mutlaq xatosini baholash.

Simpson usulining mutlaq xatosi sifatida baholanadi .

Simpson usuli (parabolalar) bo'yicha aniq integrallarni taqribiy hisoblash misollari.

Aniq integrallarni taqribiy hisoblashda Simpson usulining (parabolalar) qo‘llanilishini tahlil qilaylik.

Odatda ikkita turdagi vazifalar mavjud:

Mantiqiy savol tug'iladi: "Oraliq hisob-kitoblarni qanday aniqlik darajasida amalga oshirish kerak"?

Javob oddiy - oraliq hisob-kitoblarning aniqligi etarli bo'lishi kerak. Oraliq hisob-kitoblar tartibidan 3-4 daraja yuqoriroq aniqlik bilan amalga oshirilishi kerak. Shuningdek, oraliq hisob-kitoblarning to'g'riligi n soniga bog'liq - n qanchalik katta bo'lsa, oraliq hisoblar shunchalik aniqroq bajarilishi kerak.

Misol.

Simpson usuli yordamida aniq integralni hisoblang, integratsiya segmentini 5 qismga bo'ling.

Yechim.

Shartdan bilamizki, a = 0; b = 5; n = 5 .

Simpson usuli formulasi (parabola) shaklga ega. Uni qo'llash uchun biz qadamni hisoblashimiz kerak , tugunlarni aniqlang va integratsiyaning tegishli qiymatlarini hisoblang .

Oraliq hisob-kitoblar to'rt kasr aniqligi bilan (beshinchi kasrgacha yaxlitlangan) amalga oshiriladi.

Shunday qilib, qadamni hisoblaylik .

Keling, tugunlar va ulardagi funktsiya qiymatlariga o'tamiz:

Aniqlik va qulaylik uchun natijalarni jadvalda jamlaymiz:

Olingan natijalarni parabola usuli formulasiga almashtiramiz:

Natijalarni solishtirish uchun Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash mumkin bo'lgan aniq integralni oldik.

Natijalar yuzdan biriga mos keladi.

Misol.

Aniq integralni hisoblang Simpson usuli bilan 0,001 aniqlik bilan.

Yechim.

Bizning misolimizda a = 0, .

Avvalo, biz n ni aniqlashimiz kerak. Buning uchun Simpson usulining mutlaq xatosini baholash uchun tengsizlikka murojaat qilamiz. Aytishimiz mumkinki, agar biz tengsizlik o'rinli bo'lgan n ni topsak , u holda asl aniq integralni hisoblash uchun parabola usulidan foydalanganda mutlaq xatolik 0,001 dan oshmaydi. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin .

Integrallash oralig'ida integrandning to'rtinchi hosilasi modulining maksimal qiymati qancha ekanligini aniqlaymiz.

oraliqdir va integratsiya segmenti ekstremum nuqtalarni o'z ichiga oladi, shuning uchun .

Topilgan qiymatni tengsizlikka almashtiramiz va uni yechamiz:

Chunki n - natural son (bu integratsiya segmenti bo'lingan segmentlarning bir xil soni), keyin biz n = 5, 6, 7, ... ni olishimiz mumkin, keraksiz hisob-kitoblarni qilmaslik uchun biz n = 5 ni olamiz. .

Endi biz oldingi misoldagi kabi harakat qilamiz. Oraliq hisob-kitoblarda biz oltinchi tartibni yaxlitlaymiz.

Qadamni hisoblang .

Biz ulardagi tugunlarni va integrand qiymatlarini topamiz:

Hisoblash natijalarini jadvalga birlashtiramiz:

Parabola usuli formulasiga qiymatlarni almashtiramiz:

Shunday qilib, Simpson usulidan foydalanib, aniq integralning taxminiy qiymati olinadi 0,001 gacha aniq.

Haqiqatan ham, Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, asl integralni hisoblab chiqdik

Izoh.

Ko'p hollarda topish qiyin. Parabola usulidan foydalanishga muqobil yondashuvni qo'llash orqali buni engishingiz mumkin. Uning printsipi trapezoid usuli bo'limida tasvirlangan, shuning uchun biz uni takrorlamaymiz.

Raqamli integratsiya uchun qanday usuldan foydalanish kerak?

Simpson usulining (parabolalar) aniqligi ma'lum n uchun to'rtburchaklar va trapezoidlar usulining aniqligidan yuqori (buni mutlaq xatolik bahosidan ko'rish mumkin), shuning uchun uni qo'llash afzalroqdir.

Shuni esda tutish kerakki, hisoblash xatosi katta n uchun natijaga ta'sir qiladi, bu taxminiy qiymatni aniq qiymatdan uzoqlashtirishi mumkin.

Bu usulda nuqtalardan o'tuvchi parabola orqali qisman oraliqdagi integrasiyani yaqinlashtirish taklif etiladi.
(x j, f(x j)), qayerda j = i-1; i-0.5; i, ya'ni biz ikkinchi darajali Lagranj interpolyatsiya polinomi bo'yicha integratsiyaga yaqinlashamiz:

(10.14)

Integratsiyalashgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

(10.15)

Bu shunday Simpson formulasi yoki parabola formulasi. Segmentda
[a, b] Simpson formulasi shaklni oladi

(10.16)

Simpson usulining grafik tasviri rasmda ko'rsatilgan. 2.4.

Guruch. 10.4. Simpson usuli

O'zgaruvchilar nomini o'zgartirish orqali (2.16) ifodadagi kasr indekslaridan xalos bo'laylik:

(10.17)

Keyin Simpson formulasi shaklni oladi

(10.18)

(2.18) formulaning xatosi quyidagi ifoda bilan baholanadi:

, (10.19)

qayerda h n = b-a, . Shunday qilib, Simpson formulasining xatosi proportsionaldir O(h 4).

Izoh. Shuni ta'kidlash kerakki, Simpson formulasida integratsiya segmenti majburiy ravishda bo'linadi hatto intervallar soni.

10.5. Aniq integrallarni usullar bilan hisoblash
Monte-Karlo

Oldin muhokama qilingan usullar deyiladi deterministik , ya'ni tasodif elementidan mahrum.

Monte-Karlo usullari(MMK) - tasodifiy o'zgaruvchilarni modellashtirish orqali matematik muammolarni hal qilishning raqamli usullari. MCM ehtimollik jarayonlari natijasida yuzaga kelgan matematik muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish imkonini beradi. Bundan tashqari, hech qanday ehtimollar bilan bog'liq bo'lmagan muammolarni hal qilishda, sun'iy ravishda ushbu muammolarni hal qilishga imkon beradigan ehtimollik modeli (va hatto bir nechta) paydo bo'lishi mumkin. Aniq integralni hisoblashni ko'rib chiqing

(10.20)

To'rtburchaklar formulasidan foydalanib, bu integralni hisoblashda oraliq [ a, b] ga boʻlinadi N bir xil oraliqlar, ularning o'rtasida integratsiya qiymatlari hisoblangan. Tasodifiy tugunlarda funktsiya qiymatlarini hisoblash orqali siz aniqroq natija olishingiz mumkin:

(10.21)

(10.22)

Bu yerda g i - intervalda bir xil taqsimlangan tasodifiy son
. MMK integrali ~ hisoblashdagi xatolik, bu avval o'rganilgan deterministik usullardan ancha katta.

Shaklda. 2.5 tasodifiy tugunlar (2.21) va (2.22) bilan bitta integralni hisoblash uchun Monte Karlo usulining grafik bajarilishini ko'rsatadi.

(2.23)

Guruch. 10.6. Monte-Karlo integratsiyasi (2-holat)

Shaklda ko'rsatilganidek. 2.6, integral egri chiziq birlik kvadratida yotadi va agar biz oraliqda bir xil taqsimlangan tasodifiy sonlar juftligini olsak, olingan qiymatlarni (g 1, g 2) nuqta koordinatalari sifatida talqin qilish mumkin. birlik kvadrat. Keyin, agar bu juft raqamlar etarli bo'lsa, biz buni taxmin qilishimiz mumkin
. Bu yerda S egri chiziq ostiga tushadigan juft nuqtalar soni va N raqamlar juftlarining umumiy soni.

2.1-misol. Quyidagi integralni hisoblang:

Muammo turli usullar bilan hal qilindi. Olingan natijalar jadvalda umumlashtiriladi. 2.1.

2.1-jadval

Izoh. Jadval integralini tanlash har bir usulning xatosini solishtirish va bo'limlar sonining hisob-kitoblarning to'g'riligiga ta'sirini aniqlash imkonini berdi.

11 NOCHIZIQLIKNING TAXMINIY ECHIMI
VA TRANSENDENT TENGLAMALAR

Simpson usulining mohiyati ikkinchi darajali p2 (x) interpolyatsiya polinomi orqali segmentdagi integratsiyani yaqinlashtirishdir, ya'ni. segmentdagi funksiya grafigini parabola bilan yaqinlashtirish. Integrandni interpolyatsiya qilish uchun uchta nuqtadan foydalaniladi.

Ixtiyoriy integralni ko'rib chiqing. O‘zgaruvchining o‘zgarishidan shunday foydalanamizki, integrasiya segmentining chegaralari o‘rniga [-1,1] bo‘ladi. Buning uchun biz z o'zgaruvchisini kiritamiz:

Tugunlar sifatida uchta teng masofadagi tugun nuqtalari z = -1, z = 0, z = +1 (qadam 1, integratsiya segmentining uzunligi 2) yordamida integratsiyani interpolyatsiya qilish masalasini ko'rib chiqing. Interpolyatsiya tugunlarida integrandning mos qiymatlarini belgilaymiz:

Uchta (-1, f-1), (0, f0) va (1, f-+1) nuqtalardan o'tuvchi ko'phadning koeffitsientlarini topish uchun tenglamalar tizimi:

Koeffitsientlarni osongina olish mumkin:

Endi interpolyatsiya polinomining integralining qiymatini hisoblaymiz:

O'zgaruvchining teskari o'zgarishi bilan biz asl integralga qaytamiz. Shuni hisobga olsak:

mos keladi

mos keladi

mos keladi

Biz ixtiyoriy integratsiya oralig'i uchun Simpson formulasini olamiz:

Olingan qiymat x o'qi, x = x0, x = x2 to'g'ri chiziqlar va nuqtalardan o'tuvchi parabola bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga to'g'ri keladi.

Agar kerak bo'lsa, integratsiyaning boshlang'ich segmentini N qo'sh segmentga bo'lish mumkin, ularning har biriga Simpson formulasi qo'llaniladi. Bu holda interpolyatsiya bosqichi quyidagicha bo'ladi:

Integratsiyaning birinchi segmenti uchun interpolyatsiya tugunlari a, a+h, a+2h, ikkinchisi uchun a+2h, a+3h, a+4h, uchinchi a+4h, a+5h, a+ nuqtalari bo‘ladi. 6 soat va boshqalar. Integralning taxminiy qiymati N maydonni yig'ish orqali olinadi:

integratsiya raqamli usuli Simpson

Bu summa bir xil shartlarni o'z ichiga oladi (teng indeks qiymatiga ega ichki tugunlar uchun - 2i). Shunday qilib, biz ushbu yig'indidagi atamalarni quyidagicha tartibga solishimiz mumkin:

Biz nimani olganimizni hisobga olsak:

Keling, Simpson formulasi bo'yicha integratsiya xatosini baholaylik. Intervaldagi funksiya uzluksiz hosilalarga ega deb faraz qilamiz. Keling, farq qilaylik:

Ushbu farqga o'rtacha qiymat teoremasini ketma-ket qo'llash va R(h) ni farqlash, biz Simpson usulining xatosini olamiz:

Usulning xatosi to'rtinchi kuchga integratsiya qadamining uzunligiga mutanosib ravishda kamayadi, ya'ni. oraliqlar sonini ikki barobarga oshirish orqali xatolik 16 marta kamayadi.

Afzalliklari va kamchiliklari

Simpson va Nyuton-Kotes formulalari uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning aniq integralini yetarlicha marta hisoblash uchun yaxshi vositadir. Shunday qilib, agar to'rtinchi hosila unchalik katta bo'lmasa, Simpson usuli juda yuqori aniqlikni olish imkonini beradi. Shu bilan birga, uning algebraik aniqlik tartibi 3 ga teng va Simpson formulasi ko'pi bilan uchta darajali polinomlar uchun aniqdir.

Shuningdek, Nyuton-Kotes usullari va xususan, Simpson usuli integrandning silliqligi haqida aprior ma'lumot bo'lmagan hollarda eng samarali bo'ladi, ya'ni. jadvalda integral berilganda.